% ɽ��   AGCM5 ��2�� Υ���� ����Ĵ��ȡ��
%
% ����
\Drireki{91/12/09 �ݺ�����}
\Dchapterhead
%

\section{����Ĵ��ȡ��}

�����Ǥ�Ϣ³�ϤǤε���Ĵ��ȡ���������, 
���ڥ��ȥ�׻��������ɬ�פ��������, ��������. 
\vspace{5mm}

�ޤ�����Ĵ��ȡ���������, 
�����ǵ���Ĵ��ȡ��������ľ��Ϥ�ʤ����Ȥ��ĥ����. 
���Τ��Ȥˤ��, 
���̾��ʬ�ۤ��뤢����Ϣ³�ؿ���
����Ĵ��ȡ���νŤ͹�碌�ǰ��Ū��ɽ����뤳�Ȥˤʤ�. 
\vspace{5mm}

����Ĵ��ȡ����2������ץ饷����˴ؤ����ͭ�ؿ��Ǥ���, 
���Τ�������ȿ��Ȥ�����ǰ�����ޤ��. 
���ͤޤǤˤ��Τ��Ȥ⵭���Ƥ���. 
\vspace{5mm}

�����, ����Ĵ��ȡ���������ʬ������̤�񤤤Ƥ���. 

\begin{enumerate}
  \item ����������ʵ���Ĵ��ȡ��, Legendreȡ��, Legendre��ȡ����
  \item ������ʬ
  \item ���ȿ��γ�ǰ
\end{enumerate}

�ޤ�, ���᡼����Ĥ��ि���, 
�른���ɥ�(��)�ؿ��Υ���դ򼨤�. 


\subsection{���������}

�����Ǥ�, 
���ȸ�����\footnotemark �� 
      Legendreȡ������ȡ�� $\tilde{P}_n^m$ , 
       \footnotetext{
           ����, ������, �쾾�ԡֿ��ظ���III��,1960 \ ��ؤ�. }
2 �ǵ��ʲ�����Legendreȡ������ȡ�� $P_n^m$, 
$4 \pi$ �ǵ��ʲ���������Ĵ��ȡ�� $Y_n^m$ 
�ν���������. 
����ˤ����������Ȥ���, 
������ʬ������, ������, ��������ľ�����ˤĤ��ƽҤ٤�. 
   
   \subsubsection{���ȸ������� Legendreȡ������ȡ��$\tilde{P}_n^m$}
   
   \begin{itemize}
     \item ���
   
       ���ȸ������ˤ���
       Legendreȡ������ȡ��$\tilde{P}_n^m(\mu)$ ��
       $-1 \le \mu \le 1$ �ˤ����Ƽ�������������
       ��Rodrigues �θ�����. 
   
       \begin{eqnarray*}
         & &\tilde{P}_n^m
              \equiv \frac{ (1-\mu^2)^{\frac{|m|}{2}} }{2^n n!}
                        \DD[n+|m|]{}{\mu} (\mu^2-1)^n   
       \end{eqnarray*}
       
       ������, $m,n$ �� $0 \le |m| \le n$ �������������Ǥ���.
       Legendreȡ�� $\tilde{P}_n^0$ �� $\tilde{P}_n$ �Ȥ��. 
       
     \item Legendre ȡ������ȡ����������������
   
       $\tilde{P}^m_n(\mu)$ �ϼ�����������������. 
   
       \begin{eqnarray*}
          \DD{}{\mu} 
            \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} \tilde{P}_n^m \right\}
            + \left\{ n(n+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2} \right\} 
                                           \tilde{P}_n^m  = 0
       \end{eqnarray*}
   
       ������, $m,n$ �� $0 \le |m| \le n$ �������������Ǥ���.
   
     \item Legendre ȡ������ȡ���ν���������
   
       $\tilde{P}_n^m(\mu)$ �ϼ����������˽���. 
       \begin{eqnarray*}
       & &  (n-|m|+1) \tilde{P}_{n+1}^m
           - (2n+1) \mu \tilde{P}_n^m 
           +(n+|m|) \tilde{P}_{n-1}^m        = 0  
       \end{eqnarray*}
       ������, $m,n$ �� $0\le |m| \le n-1, �ޤ��� m=n=0$ 
       �������������Ǥ���. 
       \vspace{5mm}
     
       �����, ���δط���������Ω��. 
       \begin{eqnarray*}
         & & (1-\mu^2)  \DD{}{\mu}\tilde{P}_{n}^{m} 
             =  (n+|m|) \tilde{P}_{n-1}^m     
               -  n \mu \tilde{P}_n^m
       \end{eqnarray*}
       ������, $m,n �� 0\le |m| \le n-1$ �������������Ǥ���. 
     
     \item ��������ľ����
   
       $\tilde{P}_n^m(\mu) \ (n=|m|,|m+1, \cdots)$ ��
       ����ľ��ط���������. 
       \begin{eqnarray*}
         \int_{-1}^1 \tilde{P}_n^m(\mu) \tilde{P}_{n'}^m (\mu) d \mu 
           =  \frac{2}{2n+1} \frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!}  \delta_{nn'}
       \end{eqnarray*}
       ������, $m,n,n'  �� 
       0\le |m| \le n,n'$ �������������Ǥ���. 
       \vspace{5mm}
   
       $-1 \le \mu \le 1$ ����������Ϣ³�ؿ� $A(\mu)$ ��
       $ \{ \tilde{P}_n^m | n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ ���Ѥ���
       \begin{eqnarray*}
        & & A(\mu) = \sum_{n=|m|}^{\infty} 
                       \tilde{A}_n^m \tilde{P}_n^m(\mu),       \\
        & & \tilde{A}_n^m =  \frac{2n+1}{2} \frac{(n-|m|)!}{(n+|m|)!} 
                    \int_{-1}^1  A(\mu) \tilde{P}_n^m(\mu) d \mu
       \end{eqnarray*}
       ��ɽ�����. 
   
     \end{itemize}
   
   \subsubsection{2 �ǵ��ʲ����� Legendreȡ������ȡ��$P_n^m$}
   
   \begin{itemize}
     \item ���
   
        2 �ǵ��ʲ�����
        Legendreȡ������ȡ��$P_n^m(\mu)$ ��
        $-1 \le \mu \le 1$ �ˤ����Ƽ�������������. 
   
       \begin{eqnarray*}
          & &P_n^m
             \equiv \sqrt{ \frac{(2n+1)(n-|m|)!}{(n+|m|)!} } 
                     \tilde{P}_n^m   
             = \sqrt{ \frac{(2n+1)(n-|m|)!}{(n+|m|)!} }
                         \frac{ (1-\mu^2)^{\frac{|m|}{2}} }{2^n n!}
                         \DD[n+|m|]{}{\mu} (\mu^2-1)^n   ,           \\
       \end{eqnarray*}
       ������, $m,n �� 0 \le |m| \le n$ �������������Ǥ���. 
       Legendreȡ�� $P_n^0$ �� $P_n$ �Ȥ��. 
   
     \item Legendreȡ������ȡ����������������
   
        $P^m_n(\mu)$ ��, ������������������. 
        \begin{eqnarray*}
           \DD{}{\mu} \left\{ (1-\mu^2) \DD{}{\mu} P_n^m \right\}
             + \left\{ n(n+1) - \frac{m^2}{1-\mu^2} \right\} P_n^m  = 0
        \end{eqnarray*}
        ������, $m,n �� 0 \le |m| \le n$ �������������Ǥ���. 
   
   
     \item Legendreȡ������ȡ���ν���������
   
        $P_n^m(\mu)$ ��, �����������˽���. 
        \begin{eqnarray*}
          & & (n-|m|+1) 
             \sqrt{ \frac{1}{2n+3} \frac{(n+1+|m|)!}{(n+1-|m|)!} }
             P_{n+1}^m 
            - (2n+1) 
             \sqrt{ \frac{1}{2n+1} \frac{(n+|m|)!}{(n-|m|)!} }
            \mu P_n^m                                        \\
         & & \hspace*{2cm}
            +(n+|m|) 
             \sqrt{ \frac{1}{2n-1} \frac{(n-1+|m|)!}{(n-1-|m|)!} }
            P_{n-1}^m        = 0                              \\
         & &�� P_{n+1}^m
             = \sqrt{ \frac{(2n+1)(2n+3)}{(n-|m|+1)(n+|m|+1)} } 
               \mu P_n^m                                           \\
         & & \hspace*{2.5cm}
             - \sqrt{ \frac{(2n+1)(2n+3)}{(n-|m|+1)(n+|m|+1)} }
               \sqrt{ \frac{(n-|m|)(n+|m|)}{(2n+1)(2n-1)} } P_{n-1}^m
        \end{eqnarray*}
        ������, $m,n$ �� $0\le |m| \le n-1, �ޤ��� m=n=0$ 
        �������������Ǥ���. 
        \vspace{5mm}
     
        ����˼��δط���������Ω��. 
        \begin{eqnarray*}
        & &   (1-\mu^2)  \DD{}{\mu} P_n^m  
            = (n+|m|) 
              \sqrt{ \frac{(n-|m|)(2n+1)}{(n+|m|)(2n-1)} } P_{n-1}^m 
              - n \mu P_n^m 
        \end{eqnarray*}
        ������, $m,n �� 0 \le |m| \le n-1$ �������������Ǥ���. 

     \item ��������ľ����
   
        $P_n^m(\mu) \ (n=|m|,|m+1, \cdots)$ �ϼ���ľ��ط���������. 
        \begin{eqnarray*}
          \int_{-1}^1 P_n^m(\mu) P_{n'}^m (\mu) d \mu 
            =  2 \delta_{nn'}
        \end{eqnarray*}
        ������, $m,n,n'$ �� 
        $ 0\le |m| \le n, n' $
        �������������Ǥ���. 
        \vspace{5mm}
   
        $-1 \le \mu \le 1$ ����������Ϣ³�ؿ� $A(\mu)$ ��
        $ \{ P_n^m | n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ ���Ѥ���
        \begin{eqnarray*}
         & & A(\mu) = \sum_{n=|m|}^{\infty} 
                      \tilde{A}_n^m P_n^m(\mu),\\
         & & \tilde{A}_n^m =  \frac{1}{2}
                     \int_{-1}^1  A(\mu) P_n^m(\mu) d \mu
        \end{eqnarray*}
        ��ɽ�����. 
     \end{itemize}

   \subsubsection{����Ĵ��ȡ��$Y_n^m$}
   
   \begin{itemize}
     \item ���
   
       ����Ĵ��ȡ�� $Y_n^m(\lambda,\phi)$ ��
       Legendreȡ��$P_n^m(\sin \phi)$, 
       ���Ѵؿ�\footnotemark $\exp(i m \lambda)$ ���Ѥ���
           \footnotetext{
                 $\exp(im\lambda)$ ��
                 $\int_0^{2 \pi} \exp(im\lambda) \exp(-im'\lambda) 
                      d \lambda = 2 \pi \delta_{mm'}$ 
                 ��������.
                 ������, $m,m'$ �������Ǥ���.}
       ���Τ褦����������. 
   
       \begin{eqnarray*}
         & & Y_n^m(\lambda, \phi) 
              \equiv P_n^m(\sin \phi) \exp(i m \lambda) 
       \end{eqnarray*}
   
       ������, $m,n �� 0 \le |m| \le n$ �������������Ǥ���.
   
     \item ����Ĵ��ȡ����������������
   
       $Y^m_n(\lambda, \phi)$ �ϼ�����������������. 
       \begin{eqnarray*}
         & &   \left[ \frac{1}{\cos \phi} 
                      \DP{}{\phi} 
                      \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right)
                      + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} 
                + n(n+1) \right] Y_n^m =0                      
       \end{eqnarray*}
       ���ʤ��, 
       \begin{eqnarray*}
                  \left[ 
                   \DP{}{\mu} \left( (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right)
                   + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} 
                   + n(n+1) 
               \right] Y_n^m =0   \\
       \end{eqnarray*}
       �β�Ǥ���. 
       ������, $m,n �� 0 \le |m| \le n$ �������������Ǥ���.
       
   
     \item ��������ľ����
   
       $Y_n^m$ �ϼ���ľ��ط���������. 
       \begin{eqnarray*}
         \int_{-1}^1 Y_n^m(\lambda, \phi) 
                     Y_{n'}^{m'*} (\lambda, \phi) 
         d (\sin \phi) d \lambda 
           =  4 \pi \delta_{mm'} \delta_{nn'}
       \end{eqnarray*}
       ������, $m,m',n,n'$ �� 
       $0 \le |m| \le n$ ��
       $0 \le |m'| \le n'$ �Ȥ������������Ǥ���.
       \vspace{5mm}
   
       ���̾����������Ϣ³�ؿ� $A(\lambda,\phi)$ ��
       $ \{ Y_n^m | m=0,1,2,\cdots, \  n=|m|,|m+1|,\cdots \}$ ���Ѥ���
       \begin{eqnarray*}
        & & A(\lambda, \phi) 
           = \sum_{m=0}^{\infty} \sum_{n=|m|}^{\infty} 
                     \tilde{A}_n^m Y_n^m(\lambda,\phi)         ,\\
        & & \tilde{A}_n^m =  \frac{1}{4 \pi}
                    \int_{-1}^1  d (\sin \phi) 
                    \int_0^{2 \pi} d \lambda A(\lambda, \phi)
                    Y_n^{m*}(\lambda, \phi)
       \end{eqnarray*}
       ��ɽ�����. 

   \end{itemize}
   

\subsection{����Ĵ��ȡ���ζ�����ʬ}

�����Ǥ�, ����Ĵ��ȡ�� $Y_n^m(\phi,\lambda)$ ��
\begin{itemize}
  \item x��ʬ
  \item y��ʬ
  \item 2������ץ饷����
\end{itemize}
�η׻��򤹤�. 

\subsubsection{x��ʬ}

   \begin{eqnarray*}
      \frac{1}{r \cos \phi} \DP{Y_n^m}{\lambda} 
     =  \frac{1}{r \cos \phi} 
             \DP{}{\lambda} 
            \left( P_n^m (\sin \phi) \exp(im \lambda) \right)
     =  \frac{im}{r \cos \phi}
            P_n^m (\sin \phi) \exp(im \lambda)         
   \end{eqnarray*}
   
\subsubsection{y��ʬ}

   \begin{eqnarray*}
      \frac{1}{r} \DP{Y_n^m}{\phi}
      =     \frac{1}{r} 
            \DP{}{\phi} 
            \left( P_n^m (\sin \phi) \exp(im \lambda) \right)
      =  \frac{\sqrt{1-\mu^2} }{r}
            \DD{}{\mu} P_n^{m} (\mu) \exp(im \lambda) 
   \end{eqnarray*}

\subsubsection{2������ץ饷����}

   \begin{eqnarray*}
     \nabla_H^2
     Y_n^m
     &\equiv& \frac{1}{r^2}
           \left[ \DP{}{\mu} \left( (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right)
                  + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right] Y_n^m \\
     &=& \frac{1}{r^2} 
           \left[ \frac{1}{\cos \phi} 
                  \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right)
                  + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right] Y_n^m \\
     &=& - \frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m 
   \end{eqnarray*}
   

   
\subsection{������ --- ���ȿ��ˤĤ���}   
   
    ����Ĵ��ȡ��
    $Y^m_n(\lambda,\phi)$ �ˤ����� $n$ �Τ��Ȥ����ȿ��ȸƤ�. 
    \vspace{5mm}
    
    ���ȿ��ˤ�, 
    ��ɸ�Ϥβ�ž�˴ؤ������ѤǤ���, �Ȥ�����ħ������. 
    ���ʤ��, Ǥ�դ� $Y_n^m(\lambda, \phi)$ ��
    ��ž�����������ɸ�� $(\lambda', \phi')$ �ˤ�����
    ���ȿ� $n$ �ε���Ĵ��ȡ�� 
    $\{ Y_n^m(\lambda', \phi') | m=-n,-n+1, \cdots, n \} $
    ���¤�ɽ���Ǥ��� ��
    \begin{eqnarray*}
         Y^m_n(\lambda, \phi)
        = \sum_{m'=-n}^{n} A_n^{m'} Y^{m'*}_n(\lambda',\phi')
    \end{eqnarray*}
    �ΤǤ���\footnotemark . 
        \footnotetext{
         ������ħ��
         �����ؤ����, 
         ���ȿ� $n$ �ε���Ĵ��ȡ���νŤ͹�碌��ɽ���Ǥ���ʬ�۴ؿ���
         ��ɸ�Ϥ��ž�������Ϥˤ����Ƥ�
         ���ȿ� $n$ �ε���Ĵ��ȡ���νŤ͹�碌��ɽ���Ǥ��뤳�Ȥˤʤ�. 
                 }
    ������ħ��, 
    ����Ĵ��ȡ����2������ץ饷�����
    ��ͭ�ͤǤ��뤳�Ȥˤ�äƤ���\footnotemark . 
      \footnotetext{
         $\nabla_H^2 \equiv 
           \frac{1}{r^2}
           \left[ \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right)
                  + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right]    
        $ ��, 
        ��ͭ�ͤ� $- \frac{n(n+1)}{r^2}$ �Ȥ����ͭ�ؿ��Ǥ��뤳�Ȥ�, 
        �����顼�黻�� $\nabla_H^2$ ��
        ��ɸ�Ϥβ�ž�˴ؤ������Ѥʱ黻�ҤǤ��뤳�ȤȤ˵�������. 
        \vspace{5mm}
    
        ���ʤ��, 
        $\nabla_H^2 Y^m_n(\lambda, \phi)
        =- \frac{n(n+1)}{r^2} Y^m_n(\lambda,\phi)$ 
        ���, 
        ����Ĵ��ȡ�� $Y_n^m \exp(im\lambda)$ ��
        ��ͭ�ͤ� $-\frac{n(n+1)}{r^2}$ �Ȥ���
        $\nabla_H^2$ �θ�ͭ�ؿ��Ǥ���. 
        $\{Y_n^m |n=0,1,2,\cdots,\  m= -n, -n+1,\cdots,n \}$ 
        �δ���ľ�������, 
        $\{Y_n^m  | m= -n, -n+1,\cdots,n \}$ �� 
        $\nabla^2_H f = -\frac{n(n+1)}{r^2} f$ ��
        ����֤�ĥ�äƤ������Ǥ���. 
   
        ��ɸ�Ϥ��ž������,  
        �����ʺ�ɸ�ϤǤε���Ĵ��ȡ�� $Y_n^m(\lambda',\phi')$ ���¤η���
        ���κ�ɸ�ϤǤε���Ĵ��ȡ�� $Y_n^m(\lambda,\phi)$ ��
        ɽ�����뤳�Ȥ�ͤ��褦. 
   
        ���зϤǸ���Ʊ�����֤��ͤ���٤��, 
        2������ץ饷�����黻�����ͤ����ѤʤΤ�, 
        ���κ�ɸ�ϤǤε���Ĵ��ȡ�� $Y_n^m(\lambda',\phi')$ ��
        �����ʺ�ɸ�Ϥˤ����Ƥ�
        $\nabla^{'2}_H Y_n^m = -\frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m $ �β�Ǥ���. 
        �����ʺ�ɸ�Ϥε���Ĵ��ȡ���ν���
        $\{ Y_n^m(\lambda', \phi') |m=-n,-n+1,\cdots,n \}$ ��
        $\nabla^{'2}_H Y_n^m = -\frac{n(n+1)}{r^2} Y_n^m$ ��
        ����֤δ���Ǥ���. 
        �������ä�, ���κ�ɸ�Ϥε���Ĵ��ȡ����
        �����ʺ�ɸ�Ϥε���Ĵ��ȡ�����¤η��ǽ񤱤�. 
        }
        

\newpage

\subsection{�����}  
  
   $P_n^m(\mu)$ �γ�����Ĥ��ि���, 2�ǵ��ʲ����� $P_n,P_n^1,P_n^2$ 
   �Υ���դ򼨤�.
   
   \begin{center}
   \Depsf[10cm]{zahyou/lg1.ps}

     {\bf ���ȸ������� Legendreȡ�� $\tilde{P}_n$ �Υ����} 
       �ʿ���, ������, �쾾, 1960��
   \end{center}
   

   \begin{center}
     \Depsf[][7cm]{zahyou/lg2.ps}

     {\bf Legendreȡ�� 
            $ \overline{P_n^1} = P_n^1/\sqrt{2},
              \overline{P_n^2} = P_n^2/\sqrt{2}$ 
            �Υ����} 
       �ʿ���, ������, �쾾, 1960��
   \end{center}

