% ɽ��   AGCM5 ��2�� Υ���� GCM �Ǹ�������Ĵ��ȡ���ζ�����ʬ
%
% ����
\Drireki{91/12/04 �ݺ�����}


\section{��ʬ����, �ǣãͤ��ѿ�����ʬ�ط���}
   
�����Ǥ�, 
�����顼��, �٥��ȥ����ʬ��׻�����. 
����ˤ����򸵤�, 
ȯ��$D$, ���� $\zeta$, ®�٥ݥƥ󥷥��$\chi$, ή���ؿ�$\psi$ �� 
$(U,V)$ �Ȥδط����դ���. 


\subsection{�����顼�̤���ʬ}
   
   �����顼�� $f(\lambda,\phi)$ �� $x$ ��ʬ��
    ${\displaystyle \frac{1}{r \cos \phi} \DP{f}{\lambda} }$
   ��Ϳ������. 
   \vspace{5mm}
   
   $f$ �� $y$ ��ʬ��
    ${\displaystyle \frac{1}{r} \DP{f}{\phi}
             \left( = \frac{\cos \phi}{r} \DP{f}{\mu} \right) }$
   ��Ϳ������. 
   \vspace{5mm}
   
   $f$ ��2������ץ饷�����
   \begin{eqnarray*}
           \nabla^2_H f  
        &\equiv&
           \frac{1}{r^2}
           \left[ \frac{1}{\cos \phi} 
                  \DP{}{\phi} \left( \cos \phi \DP{}{\phi} \right)
                  + \frac{1}{\cos^2 \phi} \DP[2]{}{\lambda} 
           \right] f  \\
        &=&
         \frac{1}{r^2}
          \left[
            \DP{}{\mu} 
               \left\{ (1-\mu^2) \DP{}{\mu} \right\}
          + \frac{1}{1-\mu^2} \DP[2]{}{\lambda}
          \right] f 
   \end{eqnarray*}
   ��Ϳ������. 
   
\subsection{�٥��ȥ��̤���ʬ}
   
   2�����٥��ȥ�� $\Dvect{v}=(v_1,v_2)$ �ο�ʿȯ���� 
   
   \begin{eqnarray*}
     \mbox{div}_H \Dvect{v}
         &\equiv&    \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v_1}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi} (v_2 \cos \phi)     \\
     &=&    \frac{1}{r \sqrt{1-\mu^2} } \DP{v_1}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r} \DP{}{\mu}(  \sqrt{1-\mu^2} v_2 )    
   \end{eqnarray*}
   ��Ϳ������. 

\vspace{5mm}
   
   $\Dvect{v}$ �β�ž�� $r$ ��ʬ��, 
   \begin{eqnarray*}
     (\mbox{rot} \Dvect{v})_r
      &\equiv&   \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v_2}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi}(v_1 \cos \phi)    \\
     &=&    \frac{1}{r \sqrt{1-\mu^2} } \DP{v_2}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r} \DP{}{\mu}(\sqrt{1-\mu^2}v_1)      
   \end{eqnarray*}
   ��Ϳ������. 
   
\vspace{10mm}

�ʾ������줿��ʬ�����򸵤�, 
�ʲ��˼ºݤ�GCM�ǻ��Ѥ�����������ʬ�θ������¤٤Ƥ���. 

\subsection{ȯ��}

   ��ʿʬ�ۤ���®�پ�
   \begin{eqnarray*}
     (u,v) \equiv 
        \left( \frac{U}{\cos \phi}, \frac{V}{\cos \phi} \right) 
   \end{eqnarray*}
   �ο�ʿȯ�� $D$ ��, $U,V$ ���Ѥ���ɽ��.  
   
   \begin{eqnarray*}
     D  &=&    \frac{1}{r \cos \phi} \DP{u}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi} (v \cos \phi)        \\
     &=&    \frac{1}{r \cos^2 \phi} \DP{U}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{V}{\phi}                 \\
     &=&    \frac{1}{r (1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda} 
         +  \frac{1}{r} \DP{V}{\mu}          
   \end{eqnarray*}
   
\subsection{����}
   
   ��ʿʬ�ۤ���®�پ�
   \begin{eqnarray*}
     (u,v) = \left( \frac{U}{\cos \phi}, \frac{V}{\cos \phi} \right) 
   \end{eqnarray*}
   �α��� $\zeta$ ��, $U,V$ ���Ѥ���ɽ��. 
   
   \begin{eqnarray*}
     \zeta 
     &=&    \frac{1}{r \cos \phi} \DP{v}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{}{\phi}(u \cos \phi)    \\
     &=&    \frac{1}{r \cos^2 \phi} \DP{V}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r \cos \phi} \DP{U}{\phi}                \\
     &=&    \frac{1}{r (1-\mu^2)} \DP{V}{\lambda} 
         -  \frac{1}{r} \DP{U}{\mu}                           \\
   \end{eqnarray*}
   
\subsection{®�٥ݥƥ󥷥��, ή���ؿ��� $(U,V)$}
   
   ®�٥ݥƥ󥷥�� $\chi$, ή���ؿ� $\psi$ ��
   \begin{eqnarray*}
     D     &\equiv& \nabla_H^2 \chi \\
     \zeta &\equiv& \nabla_H^2 \psi \\
   \end{eqnarray*}
   ����������. 
   $(U,V)$ �� $\chi,\psi$ ��ɽ��. 
   
   \begin{eqnarray*}
     U  &=& - \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\psi}{\mu}
            + \frac{1}{r}             \DP{\chi}{\lambda} \\
     V  &=&   \frac{1}{r}             \DP{\psi}{\lambda}
            + \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\chi}{\mu}
   \end{eqnarray*}
   �Ȥʤ�. 
   

