... スキームと同じである1
2 段の Lax-Wendroff スキームとは以下のような方法である.

\begin{eqnarray*}
\rho _{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}} &=& \frac{1}{2}(\rho _{...
...\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}-f_{i-\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}})
\end{eqnarray*}

ただし $f_{i}^{n}=u_{i}^{n}\rho _{i}^{n}$ 等である. まず $\rho _
{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}$ を求め, その値を用いて $\rho _
{i+1}^{n+1}$ を求める. $u_{i}^{n}$ が一定の場合は $\rho _
{i+\frac{1}{2}}^{n+\frac{1}{2}}$ を消去して,

\begin{displaymath}
\rho _{i}^{n+1} = \rho _{i}^{n} - \frac{1}{2}\epsilon (\rho...
...psilon ^{2}(\rho _{i+1}^{n}-2\rho _{i}
^{n}+\rho _{i-1}^{n})
\end{displaymath}

となる.
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... の実行手続きを以下にまとめる2
ここで示した補正過程は(5)式に基づいたものなので, (4)式と(5)式のずれに伴う部分は補正されない. $O((u_{i\pm 1}-u_{i})\Delta t/\Delta x) \sim O(\epsilon ) < 1$ として (4)式を展開すると, (5)式とのずれは,

\begin{eqnarray*}
&& \left(\frac{1}{2}+\epsilon \right)
^{2}(u_{i-1}^{n}-u_{i}...
...^{n}-u_{i}^{n})
\right]\frac{\Delta t}{\Delta x}\rho _{i}^{n},
\end{eqnarray*}

となる. これは $O(\epsilon )$ 以上のオーダーなので補正にとって最も 重要な項は 0 次の拡散項であることがわかる. なおこれから $O(\epsilon )$ の項のみを抜き出すと


\begin{displaymath}
\frac{1}{4}(u_{i-1}^{n}-u_{i}^{n})(\rho _{i-1}^{n} + \rho _...
...
(\rho _{i+1}^{n} + \rho _ {i}^{n})\frac{\Delta t}{\Delta x}
\end{displaymath}

となり, 拡散ではない. 速度場が滑らかで $O((u_{i\pm 1}-u_{i})\Delta t/\Delta x) < O(\epsilon )$ とみなせるような場合には, このずれを無視することができる.
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... 補正フラックスを計算する3
実際に計算を行なう場合 Boris and Book(1973) では antidiffusion 係 数(仮に $\mu $ とおく)を以下のようにして精度を上げている.

\begin{displaymath}
\mu = \left\{
\begin{array}{ll}
0.125[1+(1-0.25\overline{...
...ne{\rho } \\
0.125 & \mbox{otherwise}.
\end{array} \right.
\end{displaymath}

ただし $\overline{\rho }=\sqrt{\rho _{min}\rho_{max}}$ であるが, $D_{i+\frac{1}{2}}$ が何であるかは Boris and Book(1973) には明示さ れていない.
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... る4
Boris and Book(1973) では脚注2に示したようにさらに細か い補正を行なうことでより高精度の結果を得ている(Boris and Book(1973), fig.3, fig.4 参照).
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