% ɽ��   DCPAM3 ��2�� Υ���� Gauss �θ���, Gauss - Legendreȡ���θ���
%
% ����
\Drireki{91/12/04 �ݺ�����}
\Drireki{2005/04/04 ��������}

\section{��ʬɾ��}
   
\subsection{Gauss ���������}

  �����Ǥ� Gauss ����������򼨤�. 
  \vspace{5mm}
  
  �ȿ� $M$ �ʲ��λ���ȡ����ɽ������� 
  $g(\lambda)$ \ ��$0 \le \lambda < 2 \pi$��
  \begin{eqnarray}
    g(\lambda) = \sum_{m=-M}^{m=M} g_m \exp( i m \lambda )
  \end{eqnarray}
  �ˤĤ��� $M < I$ ���������褦�� $I$ ��Ȥ��, 
  \begin{eqnarray}
     & &\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(\lambda) d \lambda 
       = \frac{1}{I} \sum_{n=1}^{I} g(\lambda_n) \\
     & & \lambda_n = \frac{2\pi (n-1)}{I} \ (n=1,2,\cdots,I)
  \end{eqnarray}
  ������Ω��. ����� Gauss ����������Ȥ���. 
  \vspace{5mm}

  
  ������Ū�ʸ�����, 
  \begin{eqnarray}
    & &\sum_{n=1}^{I} \exp(i m \lambda_n) 
          = \left\{
                \begin{array}{ll}
                    I & \ \ (m=0)  \\
                    0 & \ \ (0 < |m| < I) \\
                \end{array}
            \right.                                     \\
     & & \lambda_n = \frac{2\pi (n-1)}{I} \ (n=1,2,\cdots,I)
  \end{eqnarray}
  �Ǥ���. ���ξ�����, 
  $I > M$ ($|m|$ �κ�����) ��� $m \neq 0$ �λ��ˤ�
  ${\displaystyle \exp(i m \lambda_n) 
                     = \exp \left( \frac{2\pi i m (n-1)}{I} \right) }$ 
  �ˤ�����, ���Ƥ� $n$ �ˤĤ��� 
  $m(n-1)$ ��$I$ �������ܤˤʤ뤳�Ȥ��ʤ����Ȥ��θ��������餫�Ǥ���
  ( $m$, $n-1$ �ϤȤ�� $I$ ���⾮���������ʤΤ�, $m(n-1)$ �� 
    $I$ �������ܤˤʤ�ʤ�)
  \footnote{
      ���������¤�ľ�ܷ׻����Ƥ��ɤ�.
      \begin{eqnarray}
          \sum^{I}_{n=1} \exp \left\{ im \frac{2 \pi (n-1)}{I} \right\}
         = \frac{1 - \left( e^{\frac{im 2 \pi}{I}}\right)^I}
                {1 - e^{ \frac{im 2 \pi}{I} } }
         = \frac{1 -  e^{im 2 \pi} }
                {1 - e^{ \frac{im 2 \pi}{I} } }
         = 0
      \end{eqnarray}
   }. 
  \vspace{5mm}

  
  �ʲ��� Gauss ����������ξ����򵭤�. \\
   �ޤ�, ���դ�׻������, 
   \begin{eqnarray}
      \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(\lambda) d \lambda 
         &=& \sum_{m=-M}^{M} \frac{1}{2\pi} g_m 
                \int_0^{2\pi} \exp(i m \lambda) d \lambda 
          =g_0 
   \end{eqnarray}
   �Ǥ���. ������, $\int_0^{2\pi} \exp(i m \lambda) d \lambda $ ��
   $m=0$ �ιष���Ĥ�ʤ����Ȥ�Ȥä�.
   �������դ�
   \begin{eqnarray}
      \frac{1}{I} \sum_{n=1}^{I} g(\lambda_n) 
      &=& \frac{1}{I} 
           \sum_{n=1}^{I} \sum_{m=-M}^{M} 
           g_m \exp(i m \lambda_n) \\
      &=& g_0 
          + \sum_{m=-M, m\neq0}^{M} \frac{g_m}{I} 
             \sum_{n=1}^{I} 
               \left( \exp(\frac{2 \pi i m}{I}) \right)^{n-1} 
   \end{eqnarray}
   ������, ��˼������֤�����Ū�ʸ����פˤ��
   \begin{eqnarray}
       \sum_{n=1}^{I} 
         \left( \exp(\frac{2 \pi i m}{I}) \right)^{n-1} =0
         \ \ \ \ (m \neq 0)
   \end{eqnarray}
   ������Ω��. �������ä�, 
   \begin{eqnarray}
      \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(\lambda) d \lambda 
        = \frac{1}{I} \sum_{n=1}^{I} g(\lambda_n) 
   \end{eqnarray}
   �Ȥʤ�. 
  
\subsection{Gauss-Legendre�θ���}

   $f(\mu)$ �� $2J-1$ ���ʲ���¿�༰�Ȥ���.  
   $P_n$ ��2�ǵ��ʲ����� n ���� Legendreȡ���Ȥ���. 
   ���ΤȤ�, ${\displaystyle \int_{-1}^1 f d \mu }$ �� 
   $P_J$ �������Ǥ��� Gauss �ʻ� $\mu_j��j=1,2,\cdots,J��$ �ˤ����� 
   $f$ ���� $f(\mu_j)$ �Τߤ��Ѥ���, 
   �����ˤ�ȤŤ������Τ�ɾ�����뤳�Ȥ��Ǥ���. 
   \begin{eqnarray}
      & &\int^{1}_{-1} f(\mu) d \mu = 2 \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) w_j  \\
      & &      w_j = \frac{1}{2} \int_{-1}^{1} 
                      \frac{P_J(\mu)}{(\mu-\mu_j) P^{'}_J (\mu_i)}d \mu
                   = \frac{(2J-1)(1-\mu_j^2)}{(J P_{J-1}(\mu_j))^2 }  .
   \end{eqnarray}
   ������, $w_j$ �� Gauss �ٽŤȸƤФ��. 
   \vspace{10mm}
   
   �ʲ��ǤϾ�μ����������. 
   ������, Legendreȡ���Ȥ��Ƥ�, 
   �ǽ�ϴ��ȸ�������Legendreȡ�� $\tilde{P_n}$ ���Ѥ�, 
   �Ǹ��2�ǵ��ʲ�����Legendreȡ�� $P_n$ ��
   ľ�����Ȥˤ���\footnotemark. 
          \footnotetext{
                �䤬���𤷤ʤ�����ˤ��Τ褦�ʼ�³����Ƨ��. 
                �º�, ��������ޤ�¾��ʸ���ˤ� 
                $\tilde{P}_n^m$ �θ������񤫤�Ƥ��뤳�Ȥ�¿���Τ�, 
                ���Τ褦�˽�����¾�Ȼ��Ȥ��䤹���Ǥ�����. }
   \vspace{5mm}
   

   \underline{STEP 1} \ \ Lagrange ��֤�Ƴ��

   $f(\mu)$ �� $K$ ��¿�༰��$0 \le K \le 2J-1$�ˤȤ���. 
   $\tilde{P}_n$ ����ȸ�������Legendreȡ����Rodrigues�θ�����
   �Ȥ���. 
   
   \begin{eqnarray}
     \int_{-1}^1 \tilde{P}_n(\mu) \tilde{P}_{n'}(\mu) d \mu 
        = \frac{2}{2n+1} \delta_{nn'}
   \end{eqnarray}
   
   $L(\mu)$ ��, 
   $f(\mu_j)$ �� Lagrange ��ָ����ˤ������ä���֤���¿�༰�Ȥ���
   �������. 
   
   \begin{eqnarray}
     L(\mu) \equiv 
              \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) 
              \prod_{k=1,k \neq j}^{J} 
               \frac{ \mu-\mu_k}{\mu_j-\mu_k} 
   \end{eqnarray}
   ���ΤȤ�, ��$j$ �ˤĤ��� $ L(\mu_j) = f(\mu_j) $ �Ǥ���. 
   ������ $L$ ��, 
    $0 \le K \le J-1$ �λ���$f$ �� $J-1$ ���ʲ���¿�༰�ˤΤȤ��� 
    ��̩�� $L=f$ �ˤʤ�\footnotemark 
               \footnotetext{
                    ���Τ��Ȥ�
                    $L-f$ �� $J-1$ ���ʲ���¿�༰�Ǥ��뤳��,
                    $J$ �Ĥ����� $\mu_j$ ����Ĥ��Ȥ������餫. }
   ���Ȥ����դ���. 
   \vspace{5mm}

   �������ä�, 
   �ؿ� $f(\mu)-L(\mu)$ ��
   \begin{itemize}
     \item $0 \le K \le J-1$ �λ�, $0$ �Ǥ���. 
     \item $J \le K \le 2J-1$ �λ�, \\
           $\mu=\mu_j$ �������Ȥ��� $K$ ��¿�༰�Ǥ���. 
           $\mu_j$ �� $J$ ��¿�༰ $\tilde{P}_J(\mu)$ ��
           �����Ǥ��뤳�Ȥ�פ��Ф���, 
           $f-L$ �� $\tilde{P}_J(\mu)$ �ǳ���ڤ��Τ�, 
           ���� $K-J$ ��¿�༰ $S(\mu)$ ���Ѥ���, 
           \begin{eqnarray}
             f(\mu) - L(\mu) = \tilde{P}_J(\mu) S(\mu)
           \end{eqnarray}
           �Ƚ񤯤��Ȥ��Ǥ���. 
   \end{itemize}
   
   $f(\mu)-L(\mu)$ �� $\mu$ �ˤĤ��� $-1$ ���� 1 �ޤ���ʬ����. 
   $J \le K \le 2J-1$ �λ��ˤĤ��Ƥ�
   Legendreȡ����ľ�������, 
   $\tilde{P}_J(\mu) S(\mu)$ ����ʬ�����Ǥ���.
   �������ä�, 
   \begin{eqnarray}
     \int_{-1}^{1} f(\mu) d \mu
       &=& \int_{-1}^1 L(\mu) d \mu \\
       &=& \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) 
            \int^1_{-1}
             \frac{ {\displaystyle
                        \prod_{k=1}^{J}(\mu-\mu_k) }
                  }
                  { (\mu-\mu_j)
                    {\displaystyle
                        \prod_{k=1,k \neq j}^{J}(\mu_j-\mu_k) }
                  }    
             d \mu                                         \\  
       &=& \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) 
             \int_{-1}^1
             \frac{\tilde{P}_J(\mu)}
                  {(\mu-\mu_j)\tilde{P}^{'}_J(\mu_j)} d \mu \\
       &=& 2 \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) w_j   
   \end{eqnarray}
   
   ������, �������٤����� $P_J$ �ϵ��ʲ�����Ƥ���, 
   ��μ��� $\tilde{P}_J$ �ϵ��ʲ�����Ƥ��ʤ��Τˤ⤫����餺
   Ʊ�� $w_j$ ���Ȥ��Ƥ��뤬, 
   $\tilde{P}_J$ �� $P_J$ �ε��ʲ������Ʊ���ʤΤ�
   consistent �Ǥ���. 
   \vspace{5mm}
   
   \underline{STEP 2} \ \ 
   ${\displaystyle w_j
         = \frac{1}{2} \int_{-1}^1
             \frac{\tilde{P}_J(\mu)}
                  {(\mu-\mu_j)\tilde{P}^{'}_J(\mu_j)} d \mu
   }$ �����������Ѥ����ѷ�
   
   ������ (���Ȥ� Lgendre �ؿ�����ؿ��ν���������) �ˤ�����
   $m=0$ �Ȥ�����
   \begin{eqnarray}
     (n+1) \tilde{P}_{n+1}(\mu) 
       = (2n+1) \mu \tilde{P}_n(\mu) - n \tilde{P}_{n-1}(\mu)
       \ \ \ \ (n=0,1,2,\cdots)
   \end{eqnarray}
   ���, 
   \begin{eqnarray}
     (n+1) \left| 
             \begin{array}{ll}
                \tilde{P}_{n+1}(x) & \tilde{P}_n(x) \\
                \tilde{P}_{n+1}(y) & \tilde{P}_n(y) 
             \end{array}
           \right| 
      &=& 
          \left| 
             \begin{array}{ll}
                (2n+1)x \tilde{P}_n(x)-n\tilde{P}_{n-1}(x) 
                   &   \tilde{P}_n(x) \\
                (2n+1)y \tilde{P}_n(y)-n\tilde{P}_{n-1}(y) 
                   &   \tilde{P}_n(y) 
             \end{array}
           \right| 
    \\
      &=& 
          (2n+1)(x-y)\tilde{P}_n(x)\tilde{P}_n(y)                           \\
          & & +n (- \tilde{P}_{n-1}(x) \tilde{P}_n(y) 
              + \tilde{P}_{n-1}(y) \tilde{P}_n(x) ) \\
      &=& 
          (2n+1)(x-y)\tilde{P}_n(x)\tilde{P}_n(y) 
          +
           n \left| 
                   \begin{array}{ll}
                      \tilde{P}_{n}(x) & \tilde{P}_{n-1}(x) \\
                      \tilde{P}_{n}(y) & \tilde{P}_{n-1}(y) 
                   \end{array}
                 \right| 
   \end{eqnarray}
   �Ȥʤ�. 
   ���μ��� $n=0,1,\cdots,n-1$ �ˤĤ��Ʋä����, 
   \begin{eqnarray}
          n \left| 
             \begin{array}{ll}
                \tilde{P}_n(x) & \tilde{P}_{n-1}(x) \\
                \tilde{P}_n(y) & \tilde{P}_{n-1}(y) 
             \end{array}
           \right| 
      &=&  \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(x-y)\tilde{P}_k(x)\tilde{P}_k(y) 
   \end{eqnarray}
   ������Ω��. 
   ������ $n=J,x=\mu,y=\mu_j$ �Ȥ���� $\tilde{P}_J(\mu_j)=0$ ���, 
   \begin{eqnarray}
     J  \tilde{P}_J (\mu)  \tilde{P}_{J-1} (\mu_j) 
       &=&  \sum_{k=0}^{J-1} (2k+1) (\mu-\mu_j) 
              \tilde{P}_k(\mu) \tilde{P}_k(\mu_j).
   \end{eqnarray}
   ��ä�, 
   \begin{eqnarray}
       \frac{\tilde{P}_J (\mu) }{\mu-\mu_j}
       &=& \frac{ 
                   {\displaystyle
                      \sum_{k=0}^{J-1} (2k+1) 
                      \tilde{P}_k(\mu) \tilde{P}_k(\mu_j) }
                 }
                 {J \tilde{P}_{J-1}(\mu_j)} 
   \end{eqnarray}
   �Ǥ���. 
   �������ä�, 
   \begin{eqnarray}
     w_j &=& \frac{1}{2} \int_{-1}^1 
              \frac{\tilde{P}_J(\mu)} 
                   {(\mu-\mu_j) \tilde{P}^{'}_J(\mu_j)} 
              d \mu                                            \\
         &=& \frac{1}{2 J \tilde{P}_{J-1}(\mu_j) 
                        \tilde{P}^{'}_{J} (\mu_j)}
             \sum_{k=0}^{J-1} 
                  (2k+1) \tilde{P}_k(\mu_j) 
                  \int_{-1}^1 \tilde{P}_k(\mu) d \mu \Deqlab{w ��ʬɽ��}\\
         &=& \frac{1}{J \tilde{P}_{J-1}(\mu_j) 
                        \tilde{P}^{'}_{J} (\mu_j)}      \\
   \end{eqnarray}
   �Ǥ���. 
   ������, \Deqref{w ��ʬɽ��} �ˤ�������ʬ��, k=0 �λ��Τ�0�Ǥʤ��ͤ�
   ���Ĥ���, ����� $\tilde{P}_0 = 1$ ��Ȥä�.
   �����, ������
   \begin{eqnarray}
     (1-\mu^2) \DP{\tilde{P}_n}{\mu}
         = n \tilde{P}_{n-1}(\mu) - n \mu \tilde{P}_n(\mu) 
   \end{eqnarray}
   �� $n=J, \mu=\mu_j$ �Ȥ���. $\tilde{P}_J (\mu_j)=0$ ���,  
   \begin{eqnarray}
     w_j &=& \frac{1-\mu_j^2}{(J \tilde{P}_{J-1}(\mu_j))^2 }
   \end{eqnarray}
   �Ȥʤ�. 
   \vspace{5mm}
   
   \underline{STEP3} \ $\tilde{P}_n$ �ε��ʲ�
   
   $P_n$ ��
   \begin{eqnarray}
     \int_{-1}^1 P_n(\mu) P_n'(\mu) d \mu = 2
   \end{eqnarray}
   �ˤʤ�褦�˵��ʲ�����. 
   ${\displaystyle 
      \tilde{P}_{J-1}
      =\sqrt{ \frac{1}{2(\mbox{J}-1)+1} } P_{J-1} 
    }$ 
   ���, 
   \begin{eqnarray}
     w_j = \frac{1-\mu_j^2}
                  {(J  \sqrt{ \frac{1}{2J-1} } P_{J-1}(\mu_j))^2 } 
         = \frac{(2J-1)(1-\mu_j^2)}
                  {(J  P_{J-1}(\mu_j))^2 }
   \end{eqnarray}
   �Ȥʤ�. 
   \vspace{5mm}
   
   \underline{�ޤȤ�}
   
   �ʾ���
   \begin{eqnarray}
      & &\int^{1}_{-1} f(\mu) d \mu = 2 \sum_{j=1}^{J} f(\mu_j) w_j  \\
      & &w_j = \frac{(2J-1)(1-\mu_j^2)}{(J P_{J-1}(\mu_j))^2 }
   \end{eqnarray}
   

