% 表題   AGCM5 第1部 数理モデル 
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% 履歴 
\Drireki{94/04/13 石渡正樹}
\Drireki{97/04/15 赤堀浩司}
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\section{回転系への変換}

\subsection{回転系への変換公式}

方程式系を, 一定の自転角速度 $\Dvect{\Omega}$ で回転する回転系に変換す
る.

\subsection{スカラーの変換公式}

慣性系における時間微分を添字 a で, 回転系を添字 r で表現する. このとき, 
任意のスカラー $\psi$ に対して,
\begin{equation}
   \left( \DD{\psi}{t} \right)_{\rm a}
 = \left( \DD{\psi}{t} \right)_{\rm r},
\end{equation}
が成りたつ. 
\footnote{
これは自明のこととしたい. スカラー $\psi$ の座標変換は座標変換テンソル
に依存しない(で同じ値をとる)からである. なお, Pedlosky (1987) では, ベ
クトルの変換公式を使ってスカラーの変換を証明している. ところがベクトル
の変換公式ではスカラーの変換公式を使っているので, 何がなんだかわからな
い.

一方, ベクトルの座標変換は, 座標変換テンソルとの積で表現される. したがっ
て, 座標変換テンソル自体が時間変化する場合, 当然ベクトルの時間微分は座
標変換テンソルの時間微分の影響を受ける. 
}

\subsection{ベクトルの変換公式}

任意のベクトル $\Dvect{A}$ に対する慣性系および回転系での微分は次の関
係をもつ. 
\begin{equation}
  \left( \DD{\Dvect{A}}{t} \right)_{\rm a}
     = \left( \DD{\Dvect{A}}{t} \right)_{\rm r}
      + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{A}.
   \label{ベクトル回転系}
\end{equation}

(証明) \hspace{1cm} 任意のベクトル $\Dvect{A}$ を, 慣性系では
\begin{eqnarray}
  & \Dvect{A} = &
      \Dvect{i} A_x
      + \Dvect{j} A_y   
      + \Dvect{k} A_z
\end{eqnarray}
と表し, 回転系では
\begin{eqnarray}
  & \Dvect{A} = &
      \Dvect{i}' A'_x
      + \Dvect{j}' A'_y   
      + \Dvect{k}' A'_z
\end{eqnarray}
と表す. 
時間微分をとると
\begin{eqnarray}
  \left( \DD{\Dvect{A}}{t} \right)_{\rm a}
    &=& \Dvect{i} \left( \DD{A_x}{t} \right)_{\rm a}
      + \Dvect{j} \left( \DD{A_y}{t} \right)_{\rm a}
      + \Dvect{k} \left( \DD{A_z}{t} \right)_{\rm a} \nonumber \\
    &=& \Dvect{i}' \left( \DD{A'_x}{t} \right)_{\rm a}
      + \Dvect{j}' \left( \DD{A'_y}{t} \right)_{\rm a}
      + \Dvect{k}' \left( \DD{A'_z}{t} \right)_{\rm a}
      + \left( \DD{\Dvect{i}'}{t} \right)_{\rm a} A'_x
      + \left( \DD{\Dvect{j}'}{t} \right)_{\rm a} A'_y
      + \left( \DD{\Dvect{k}'}{t} \right)_{\rm a} A'_z \nonumber \\
    &=& \Dvect{i}' \left( \DD{A'_x}{t} \right)_{\rm r}
      + \Dvect{j}' \left( \DD{A'_y}{t} \right)_{\rm r}
      + \Dvect{k}' \left( \DD{A'_z}{t} \right)_{\rm r}
      + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{i}' A'_x
      + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{j}' A'_y
      + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{k}' A'_z \nonumber \\
    &=& \left( \DD{\Dvect{A}}{t} \right)_{\rm r}
      + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{A}.
\end{eqnarray}
\hspace{12cm}
(証明終り)

ここで $\Dvect{A}=\Dvect{r}$ ( $\Dvect{r}$ は位置ベクトル ) とおけば慣
性系での速度 $\Dvect{v}_a \equiv (d\Dvect{r}/dt)_{\rm a}$ (これまでの 
$\Dvect{v}$) は回転系での速度 $\Dvect{v} \equiv (d\Dvect{r}/dt)_{\rm
r}$ を用いて次のように表すことができる.
\begin{equation}
  \Dvect{v}_a = \Dvect{v} + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r}.
\end{equation}
さらに, 式(\ref{ベクトル回転系}) で $\Dvect{A}=\Dvect{v}_{\rm a}$ とお
けば, 速度の時間微分項は 
\begin{equation}
    \DD{\Dvect{v}_a}{t}
 =  \DD{\Dvect{v}}{t} + 2 \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v}
    + \Dvect{\Omega} \times ( \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r} ),
\label{速度微分}
\end{equation}
と変換できる. 

\subsection{回転系への変換}

変換の式 (\ref{速度微分}) を用いて運動方程式を回転系で記述する. 
\begin{equation}
      \DD{\Dvect{v}}{t}
  = - \frac{1}{\rho} \Dgrad p 
    - 2 \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v}
    - \Dvect{\Omega} \times ( \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r} )
    + \Dgrad \Phi^* + \Dvect{F}. 
\end{equation}
ここで, 重力加速度 $\Dvect{g} \equiv \Dgrad \Phi^* - \Dvect{\Omega}
\times ( \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v})$ を定義すれば, 運動方程式は 
\begin{equation}
  \DD{\Dvect{v}}{t}
  = - \frac{1}{\rho} \Dgrad p 
    - 2 \Dvect{\Omega} \times \Dvect{v}
    + \Dvect{g} + \Dvect{F}, 
\end{equation}
となる.

連続の式および熱力学の式においては, ラグランジュ微分が作用している密度
および温度は座標変換に無関係なスカラーであるため, その時間微分の形は変
わらない. 連続の式は, 速度場の発散を含むが, これは座標変換によっても値
は変わらない. したがって, これらの式は形を変えない.
\footnote{ここで私が気になっているのは, 運動エネルギー保存の式が, 回転系へ
の移行によって形を変えることである. }
