重力場中で鉛直方向に成層している流体は, ある条件が満たされると鉛直方向の
微小変移に対して不安定となってしまう.
ここでは力学的に平衡状態にある流体が不安定になる条件について考察する.
次のような場合を考える.
\begin{itemize}
\item 重力場中で静止した流体.
静水圧平衡
\begin{equation}
 \DP{p}{z}=-\rho g
\Deqlab{eq: 3.1}
\end{equation}
が成立する.
\item 高度 $z$ で密度 $\rho $, 圧力 $p$ の流体塊を $\xi $ だけ準静的に
断熱上昇させる.
断熱運動なので流体のエントロピー ($s$) は保存される.
また流体塊の圧力は周囲の圧力($p'=p(z+\xi )$)と平衡状態を保つ.
\end{itemize}
不安定となるのは断越上昇した流体塊が周囲よりも軽くなったときである.
$z$ で密度が $\rho (p,s)$ だった流体塊 $\xi $ だけ変移したときの密度
を $\rho (p',s )$, 周囲の密度を $\rho (p', s') $とすると,
\begin{equation}
 \rho (p',s) - \rho (p',s') <0
\Deqlab{eq: 3.2}
\end{equation}
が不安定の条件である.
$s'=s(z)+\xi ds/dz $ とすると
\begin{equation}
 \left(\DP{\rho }{s}\right)_{p}\DD{s}{z} >0
\Deqlab{eq: 3.3}
\end{equation}
となる.

熱力学関係式 $c_{p}=(\partial Q/\partial T)_{p}=T(\partial s/\partial T)_{p}$
を用いると,
\[
 \left(\DP{\rho }{s}\right)_{p}=\left(\DP{\rho }{T}\right)_{p}\left
(\DP{T}{s}\right)_{p}=\frac{T}{c_{p}}\left(\DP{\rho }{T}\right)_{p}
\]
であるので, \Deqref{eq: 3.3}は
\[
 \frac{T}{c_{p}}\left(\DP{\rho }{T}\right)_{p}\DD{s}{z} >0
\]
となる.
$T,c_{p}>0$ であり, 普通 $(\partial \rho /\partial T)_{p}<0$ (熱膨張率は正)
なので, 不安定の条件は
\begin{equation}
 \DD{s}{z} < 0
\Deqlab{eq: 3.4}
\end{equation}
となる.
すなわち{\bf エントロピーが鉛直方向に減少するとき不安定}となる.
または
\begin{equation}
 \DD{s}{z} = \left(\DP{s}{T}\right)_{p}\DD{T}{z}+\left(\DP{s}{p}\right)_{T}
\DD{p}{z} = \frac{c_{p}}{T}\DD{T}{z}-\left(\DP{V}{T}\right)_{p}\DD{p}{z}<0
\Deqlab{eq: 3.5}
\end{equation}
と変形できるので
\footnote{
熱力学第一法則 $dU = Tds - pdV $ より,
\begin{eqnarray*}
 \left(\DP{U}{p}\right)_{T}&=&T\left(\DP{s}{p}\right)_{T}-p\left(\DP{V}{p}
\right)_{T} \\
 \left(\DP{U}{T}\right)_{p}&=&T\left(\DP{s}{T}\right)_{p}-p\left(\DP{V}{T}
\right)_{p}
\end{eqnarray*}
が得られる.
この第一式を $p$ で微分し第二式を $T$ で微分して, それぞれが互いに
等しいことから
\[
 \left(\DP{s}{p}\right)_{T}=-\left(\DP{V}{T}\right)_{p}
\]
が得られる.
}
\begin{equation}
 -\DD{T}{z}>\frac{g}{c_{p}}T\beta \Deqlab{eq: 3.6}
\end{equation}
となる.
ここで $V=1/\rho $ とし, $\beta =1/V(\partial V/\partial T)_{p}$ 
は熱膨張率である.

\subsection*{理想気体の場合}
理想気体の場合, 状態方程式
\begin{equation}
 p=\rho RT = \frac{RT}{V}
\Deqlab{eq: 3.7}
\end{equation}
が成立する.
これを用いると
\[
 \beta T =\frac{T}{V}\left(\DP{V}{T}\right)_{p}=1
\]
である.
よって\Deqref{eq: 3.6}は
\begin{equation}
 -\DD{T}{z}>\frac{g}{c_{p}}
\Deqlab{eq: 3.8}
\end{equation}
となる.
すなわち{\bf 場の温度勾配($-dT/dz$)が断熱運動で決まる温度勾配($g/c_{p}$)
より大きいとき不安定}となる.\\

地球大気のように気体中に相変化成分が含まれる場合, 断熱運動で決まる温度勾配
は $g/c_{p}$ ではない.
このような場合と区別して $g/c_{p}$ は{\bf 乾燥断熱減率}(dry 
adiabatic lapse late)と呼ばれ, これを $\Gamma _{d}$と書くことが多い.

\newpage
\subsection*{各惑星における乾燥断熱減率}
太陽系の種々の惑星大気の $\Gamma _{d}$ の値を求めてみよう.
理想気体の単位質量あたりの定積比熱($c_{v}$), 定圧比熱は,
分子量($M_{r}$)と気体定数($R$)を用いて以下のように与えられる.
\begin{equation}
 c_{v}=\left\{
\begin{array}{cc}
\frac{3}{2}R/M_{r} & {\mbox 単原子分子気体} \\
\frac{5}{2}R/M_{r} & {\mbox 二原子分子気体} \\
3R/M_{r}           & {\mbox 多原子分子気体}
\end{array}
\right.
\Deqlab{eq: 3.9}
\end{equation}
\begin{equation}
 c_{p}-c_{v}=R/M_{r}
\Deqlab{eq: 3.10}
\end{equation}
$R=8.31$J mol${}^{-1}$K${}^{-1}$ をあてはめて計算すると下の表のようになる.
\begin{center}
\begin{tabular}{|c||c|c|c|c|c|} \hline 
 & 大気主成分 & $M_{r}$(g) & g(${\rm m sec}^{-2}$) & $c_{p}
({\rm J kg}^{-1}{\rm K}^{-1})$ & $\Gamma _{d}({\rm K km}^{-1})$ \\ \hline
金星 & CO${}_{2}$           & 44   & 8.84 &  755 & 11.7 \\ \hline
地球 & N${}_{2}$,O${}_{2}$  & 28.8 & 9.81 & 1.0$\times 10^{3}$ & 9.8 \\ \hline
火星 & CO${}_{2}$           & 44   & 3.72 &  755 & 4.9 \\ \hline
木星 & H${}_{2}$,He${}_{2}$ &  2   & 26   & 14$\times 10^{3}$ & 1.9 \\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 










