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: B. 乱流パラメタリゼーション : 湿潤大気における 2 次元非静力学モデルの定式化 : 2. 参考文献


A. 準圧縮方程式系の導出

A.1 基礎方程式

地球大気における湿潤対流の定式化同様, 大気の乾燥成分と湿潤成分の 分子量の差を密度の式には考慮するが, 熱の式には考慮しないような 系を考える. このような系では温位 $\theta $ が保存量として使える.

A.1.1 基礎方程式系

水平鉛直 2 次元大気の状態を 気温 $T$, 圧力 $p$, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{x} + D_u$ (A.1)
    $\displaystyle \DD{w}{t} = - \Dinv{\rho}\DP{p}{z} -g + D_w$ (A.2)

連続の式
 
$\displaystyle \DD{\rho}{t} + \rho\left( \DP{u}{x} + \DP{w}{z}\right) = M_{fall}
(\rho_r)$     (A.3)

全密度の式
 
$\displaystyle \rho = \rho_d + \sum \rho_v + \sum \rho_c + \sum \rho_r$     (A.4)

熱の式
 
$\displaystyle \langle c_{p} \rangle \DD{T}{t} - \Dinv{\rho_{g}} \DD{p}{t}
= Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis}$     (A.5)

比湿の時間発展方程式
 
$\displaystyle \DD{q_{d}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{d}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ D_{q_d},$ (A.6)
$\displaystyle \DD{q_{v}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{v}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_v)
+ D_{q_v},$ (A.7)
$\displaystyle \DD{q_{c}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{c}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_c)
+ D_{q_c},$ (A.8)
$\displaystyle \DD{q_r}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_r}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{fall}(\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_r)
+ D_{q_r}.$ (A.9)

ここで $\langle c_{p} \rangle$ は平均定圧比熱であり,
$\displaystyle \langle c_p \rangle$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\rho_d c_{pd} + \sum \rho_v c_{pv}}{
\rho_d + \sum \rho_v }$ (A.10)

である. $Q$ は非断熱加熱, $q_{v}$ は比湿, $q_{c}$ は雲水比湿, $q_{r}$ は雨水比湿である. $q_{v}, q_{r}, q_{c}$ は, 凝結成分の数だけ存在する. $D_{\ast}$, $M_{src}$, $M_{fall}$ はそれぞれ 乱流拡散項, 生成消滅項, 落下項を意味する.

A.1.2 熱の式の導出

各分子に対する状態方程式より

$\displaystyle p$ $\textstyle =$ $\displaystyle p_d + \sum p_v$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \rho_d R_d + \sum \rho_v R_v \right) T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \rho_d + \sum \rho_v \right)
\frac{\rho_d R_d + \sum \rho_v R_v}{ \rho_d + \sum \rho_v } T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_g \langle R \rangle T$ (A.11)

となる. 但し $\rho_g$, $\langle R \rangle$ はそれぞれ気相密度, 平均気体定数であ り,
$\displaystyle \rho_g$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho_d + \sum \rho_v,$ (A.12)
$\displaystyle \langle R \rangle$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\rho_d R_d + \sum \rho_v R_v}{ \rho_d + \sum
\rho_v }$ (A.13)

である. 凝結物の体積及び比熱が無視できると仮定すると, 熱力学第一法則は
\begin{displaymath}
\langle c_v \rangle dT = - p d \rho_g^{-1} + dQ
\end{displaymath} (A.14)

と書ける. (A.11) を (A.14) の右辺第 1 項に適用すると,
$\displaystyle - p d \rho_g^{-1}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - p \langle R \rangle
\left( \Dinv{p} dT - \frac{T}{p^2} dp \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \langle R \rangle d T
+ \Dinv{\rho_g} d p$ (A.15)

となる. 従って (A.14) は
\begin{displaymath}
\langle c_p \rangle \DD{T}{t} - \Dinv{\rho_g} \DD{p}{t}
= \DD{Q}{t}
\end{displaymath} (A.16)

と書き換えられる. ここで
\begin{displaymath}
\dot{Q} = \DD{Q}{t}
\end{displaymath} (A.17)

と置くことにより,
\begin{displaymath}
\langle c_p \rangle \DD{T}{t} - \Dinv{\rho_g} \DD{p}{t}
= \dot{Q}
\end{displaymath} (A.18)

が得られる.

A.1.3 温位の導出

温位は乾燥断熱状態における保存量である. 乾燥断熱状態を表す熱力学の式は (A.18) より

$\displaystyle \langle c_{p} \rangle dT - \Dinv{\rho_g} dp = 0$     (A.19)

である. (A.11) より
\begin{displaymath}
\Dinv{\rho_g} = \frac{\langle R \rangle T}{p}
\end{displaymath} (A.20)

である. ここで $\langle R \rangle$ は平均気体定数である. (A.19) 式に (A.20) 式を代入し整理すると,
$\displaystyle \frac{\langle c_{p} \rangle}{T}dT - \frac{\langle R \rangle}{p} dp = 0$     (A.21)

となる. 凝結を生じない場合には気塊の組成は変化しないので $\langle c_{p} \rangle$ $\langle R \rangle$ は共に $p$ に依存しない. 一般に $\langle c_{p} \rangle$$T$ の関数であるが, $\langle c_{p} \rangle$ を定数とみなすと,
$\displaystyle \int^{T_{0}}_{T} \Dinv{T}dT$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle R \rangle}{\langle c_{p} \rangle} \int^{p_{0}}_{p}
\Dinv{p} dp$  
$\displaystyle \ln{(T_{0}/T)}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle R \rangle}{\langle c_{p} \rangle} \ln{(p_{0}/p)}$  
$\displaystyle \theta$ $\textstyle =$ $\displaystyle T \left(\frac{p_{0}}{p}\right)^\frac{\langle R \rangle}{\langle
c_{p} \rangle}$ (A.22)

となり, 温位が得られる.

A.1.4 仮温位の導出

凝結物の密度も含めた仮温位 $\theta_v$ を導く. 全圧 $p$ を変形すると,

$\displaystyle p$ $\textstyle =$ $\displaystyle p_d + \sum p_v$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \rho_d R_d + \sum \rho_v R_v \right) T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \langle R \rangle
\left( \frac{R_d}{\langle R \rangle } \fra...
...o_d}{\rho}
+ \sum \frac{R_v}{ \langle R \rangle } \frac{\rho_v}{\rho}
\right) T$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \langle R \rangle
\left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) T$ (A.23)

但し $\langle M \rangle$ は平均分子量であり, 普遍気体定数を $R_{\ast}$ として
$\displaystyle \langle M \rangle
= \frac{R_{\ast}}{\langle R \rangle}
= \frac{\rho_d + \sum \rho_v}{\rho_d / M_d + \sum \rho_v / M_v}$     (A.24)

である. $\langle R \rangle$ を定数とみなしているので, $\langle M \rangle$ もまた 定数である. ここで仮温度を
\begin{displaymath}
T_v \equiv \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) T
\end{displaymath} (A.25)

と定義すると,
\begin{displaymath}
p = \rho \langle R \rangle T_v
\end{displaymath} (A.26)

となる. 更に仮温位 $\theta_v$
\begin{displaymath}
\theta_v \equiv \frac{T_v}{\Pi}
\end{displaymath} (A.27)

と定義すると,
$\displaystyle \theta_v$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) \theta,$ (A.28)
$\displaystyle p$ $\textstyle =$ $\displaystyle \rho \langle R \rangle \Pi \theta_v$ (A.29)

となる.

A.1.5 連続の式の導出

密度の時間発展の式は

$\displaystyle \DP{\rho_d}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_d u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle D_{\rho_d},$ (A.30)
$\displaystyle \DP{\rho_v}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_v u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_v) +
D_{\rho_v},$ (A.31)
$\displaystyle \DP{\rho_c}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_c u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_c) +
D_{\rho_c},$ (A.32)
$\displaystyle \DP{\rho_r}{t} + \DP{}{x_j} (\rho_r u_j)$ $\textstyle =$ $\displaystyle M_{src}(\rho_r) +
M_{fall}(\rho_r) + D_{\rho_r}$ (A.33)

と書ける. $M_{src} (\rho_v) + M_{src} (\rho_c) + M_{src} (\rho_r) = 0$ となること に注意して, (A.30) - (A.33) の和をとると,
\begin{displaymath}
\DP{\rho}{t} + \DP{}{x_j} (\rho u_j) = \sum M_{fall} (\rho_r)
\end{displaymath} (A.34)

が得られる.

A.1.6 比湿の時間発展方程式の導出

(A.30) - (A.34) より

$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_d}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_d}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho} \DP{\rho_d}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_d}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]
+ \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_d u_j) \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_d}{\rho} \right)
- \frac{\rho_d}{\rho^2} \sum M_{fall} (\rho_r),$ (A.35)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_v}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_v}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_v}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_v}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{...
...ight] + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_v
u_j) + M_{src} (\rho_v) \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_v}{\rho} \right)
- \frac{\rho_v}{\rho^2} \sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_v),$ (A.36)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_c}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_c}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_c}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_c}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{...
...ight] + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_c
u_j) + M_{src} (\rho_c) \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_c}{\rho} \right)
- \frac{\rho_c}{\rho^2} \sum M_{fall} (\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src} (\rho_c),$ (A.37)
$\displaystyle \DP{}{t} \left( \frac{\rho_r}{\rho} \right)$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_r}{\rho^2} \DP{\rho}{t} + \Dinv{\rho}
\DP{\rho_r}{t}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\rho_r}{\rho^2} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho u_j) + \sum
M_{fall} (\rho_r) \right]$  
    $\displaystyle + \Dinv{\rho} \left[ - \DP{}{x_j} (\rho_r u_j) + M_{src} (\rho_r)
+ M_{fall} (\rho_r) \right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - u_j \DP{}{x_j} \left( \frac{\rho_r}{\rho} \right)
- \frac{\rho_...
... \sum M_{fall} + \Dinv{\rho}
M_{src} (\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{fall} (\rho_r) .$ (A.38)

即ち
$\displaystyle \DD{q_{d}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{d}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ D(q_d),$ (A.39)
$\displaystyle \DD{q_{v}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{v}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_v)
+ D(q_v),$ (A.40)
$\displaystyle \DD{q_{c}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_{c}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_c)
+ D(q_c),$ (A.41)
$\displaystyle \DD{q_r}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{q_r}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{fall}(\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_r)
+ D(q_r).$ (A.42)

を得る.

A.1.7 温位 $\theta $, 無次元圧力 $\Pi $, 風速 $u, w$ を予報変数とする場合

水平鉛直 2 次元大気の状態を 温位 $\theta $, 無次元圧力 $\Pi $, 風速 $u, w$, 密度 $\rho$ で表現する場合, 基礎方程式系は以下のようになる.

運動方程式
 
    $\displaystyle \DD{u}{t} = - \langle c_{p} \rangle \theta_v \DP{\Pi}{x} + D_u$ (A.43)
    $\displaystyle \DD{w}{t} = - \langle c_{p} \rangle \theta_v \DP{\Pi}{z} - g + D_w$ (A.44)

圧力方程式
 
$\displaystyle \DP{\Pi}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[...
...P{u_j}{x_j} + \Dinv{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) +
\Dinv{\theta} \DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...} \DD{ q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{ q_v}{t} \right)
\Bigg]$  

状態方程式
 
$\displaystyle \rho
= \frac{p}{\langle R \rangle \Pi \theta_v}
= \frac{p_0 \Pi^{\langle c_{v} \rangle / \langle R \rangle}}{\langle R
\rangle \theta_v}$     (A.45)

熱の式
 
$\displaystyle \DD{\theta}{t} = Q + D_{\theta}$     (A.46)

非凝結性ガス・凝結性ガスおよび凝結物の比湿の式
 
    $\displaystyle \DD{q_{d}}{t}
= - \frac{q_{d}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ D_{q_d}$ (A.47)
    $\displaystyle \DD{q_{v}}{t}
= - \frac{q_{v}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_v)
+ D_{q_v}$ (A.48)
    $\displaystyle \DD{q_{c}}{t}
= - \frac{q_{c}}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_c)
+ D_{q_c}$ (A.49)
    $\displaystyle \DD{q_r}{t}
= - \frac{q_r}{\rho} \sum M_{fall}(\rho_r)
+ \Dinv{\rho} M_{fall}(\rho_r) + \Dinv{\rho} M_{src}(\rho_r)
+ D_{q_r}$ (A.50)

ただし, エクスナー関数 $\Pi $ は,
$\displaystyle \Pi \equiv \left( \frac{p}{p_0} \right)^{\langle R \rangle / \langle
c_p \rangle}$     (A.51)

であり, 音速 $c_{s}$
$\displaystyle \langle c_s \rangle^2$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_p \rangle \langle R \rangle
\Pi \theta_v}{\langle c_v \rangle}$ (A.52)

である.

運動方程式の圧力勾配は, 温位とエクスナー関数を用いることで得られる. (A.46), (A.52) より

$\displaystyle \Dinv{\rho} \DP{p}{x_i}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \langle R \rangle \Pi \theta_v }{p}
\DP{ \left(
p_{0} \Pi^{ \langle c_{p} \rangle / \langle R \rangle}
\right)}{x_i}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \langle R \rangle \Pi \theta_v }{p}
\left(
\frac{p_{0} {c_...
...{d}} \Pi^{ \langle c_{p} \rangle / \langle
R \rangle - 1}
\right)
\DP{\Pi}{x_i}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{ \langle R \rangle \Pi \theta_v }{p}
\left(
\frac{ \langle c_{p} \rangle}{ \langle R \rangle} p \Pi^{-1}
\right) \DP{\Pi}{x_i}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \langle c_{p} \rangle \theta_v \DP{\Pi}{x_i}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \langle c_{p} \rangle \theta_{v} \DP{\Pi}{x_i}$ (A.53)

圧力方程式は密度の式と連続の式を組み合わせることで得られる. まず密度 $\rho$ の全微分を計算すると,

$\displaystyle d \rho$ $\textstyle =$ $\displaystyle d \left[ \frac{p_0 \Pi^{\langle c_v \rangle / \langle R
\rangle}}...
...gle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle / M_v \right) \theta }
\right]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{p_0 \Pi^{(\langle c_v \rangle - 1) / \langle R
\rangle}}{
\...
...ngle / M_v \right) \theta }
\frac{\langle c_v \rangle}{\langle R \rangle}
d \Pi$  
    $\displaystyle - \frac{p_0 \Pi^{\langle c_v \rangle / \langle R
\rangle}}{
\lang...
... M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle / M_v \right) \theta^2 } d \theta$  
    $\displaystyle - \frac{p_0 \Pi^{\langle c_v \rangle / \langle R
\rangle}}{
\lang...
...langle M \rangle}{M_d} d q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} d q_v \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \langle c_p \rangle \theta_v
\left( \frac{\langle c_v \rangle}{\l...
...angle R \rangle
\Pi \theta_v} \right)
\rho d \Pi
- \frac{\rho}{\theta} d \theta$  
    $\displaystyle - \frac{\rho}{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \r...
...langle M \rangle}{M_d} d q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} d q_v \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_p \rangle \rho \theta_v}{\langle c_s \rangle^2}
d \Pi
- \frac{\rho}{\theta} d \theta$  
    $\displaystyle - \frac{\rho}{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \r...
...angle M \rangle}{M_d} d q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} d q_v \right).$ (A.54)

となる. ここで $\langle c_s \rangle $ は音波であり,
\begin{displaymath}
\langle c_s \rangle^2
= \frac{\langle c_p \rangle \langle R \rangle
\Pi \theta_v}{\langle c_v \rangle}
\end{displaymath} (A.55)

である. (A.55) 式を圧力の式として整理すると,
$\displaystyle \DD{\Pi}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[ \Dinv{\rho} \DD{\rho}{t} + \Dinv{\theta} \DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...} \DD{ q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{ q_v}{t} \right)
\Bigg]$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[...
...P{u_j}{x_j} + \Dinv{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) +
\Dinv{\theta} \DD{\theta}{t}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...} \DD{ q_d}{t}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v} \DD{ q_v}{t} \right)
\Bigg]$ (A.56)

となり, 圧力方程式が得られる.

A.2 準圧縮方程式系の導出

準圧縮方程式系では, 変数を基本場と擾乱場に分離し, 線形化を行う.

A.2.1 基本場と擾乱場の分離

変数を基本場と擾乱場に分離し, 基本場は静水圧平衡にあると仮定する. この時, 変数は以下のように書ける.

$\displaystyle u (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle u^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle w (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle w^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle \theta (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\theta} (z) + \theta^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle \Pi (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{\Pi} (z) + \Pi^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_d (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_d} (z) +
{q_d}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_v (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle \overline{q_v} (z) +
{q_v}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_c (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {q_c}^{\prime} (x,z,t),$  
$\displaystyle q_r (x,z,t)$ $\textstyle =$ $\displaystyle {q_r}^{\prime} (x,z,t).$  

ここで基本場の風速 $u, w$ と雲水比湿と雨水比湿はゼロとみなした. そして基本場には静水圧平衡
$\displaystyle \DP{\bar{\Pi}}{z}
= - \frac{g}{\langle c_{p} \rangle \bar{\theta_{v}}}$     (A.57)

の関係が成り立つものとする.

A.2.2 水平方向の運動方程式の線形化

水平方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{u^{'}}{t} =
- \left(
u^{'} \DP{u^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{u^{'}}{z...
...} \DP{\bar{\Pi}}{x}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\Pi^{'}}{x}
\right)
+ D_{u^{\prime}}$      

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去し, さらに基本場は $x$ 方向に は変化しないことを利用すると, 以下の擾乱成分の式が得られる.
$\displaystyle \DP{u^{'}}{t}
=
- u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x} - w^{\prime} \DP{...
...- \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{x}
+ D_{u^{\prime}}$     (A.58)

A.2.3 鉛直方向の運動方程式の線形化

鉛直方向の運動方程式を基本場と擾乱場に分離する.

$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z}
\right)
- \lan...
...+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\Pi^{'}}{z}
\right)$  
    $\displaystyle - g
+ D_{w^{'}}$  

上式において移流項以外の 2 次の微小項を消去すると以下となる.
$\displaystyle \DP{w^{'}}{t} =
- \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z...
... \DP{\Pi^{'}}{z}
+ {\theta_{v}}^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}
\right)
- g
+ D_{w^{'}} .$      

さらに静水圧の式
$\displaystyle \DP{\overline{\Pi}}{z} = - \frac{g}{\langle c_p \rangle
\overline{\theta_v}}$     (A.59)

を利用すると以下のようになる.
$\displaystyle \DP{w^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z}
\right)
+ \lan...
... {\theta_{v}}^{'}
\left( \frac{g}{\langle c_p \rangle \bar{\theta_{v}}} \right)$  
    $\displaystyle - g + D_{w^{\prime}}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'} \DP{w^{'}}{x}
+ w^{'} \DP{w^{'}}{z}
\right)
- \lan...
... \DP{\Pi^{'}}{z}
+ \frac{{\theta_{v}}^{'}}{\bar{\theta_{v}}} g
+ D_{w^{\prime}}$  

仮温位
$\displaystyle \theta_v
\equiv \frac{T_v}{\Pi}
= \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} q_d
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v
\right) \theta$     (A.60)

を基本場成分と擾乱成分に分けると,
$\displaystyle \bar{\theta_v}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} \bar{q_d}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } \bar{q_v}
\right) \bar{\theta}$ (A.61)
$\displaystyle \theta_v^{\prime}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \left( \frac{\langle M \rangle}{M_d} \overline{q_d}
+ \sum \frac{...
...}
+ \sum \frac{\langle M \rangle}{ M_v } q_v^{\prime}
\right) \overline{\theta}$ (A.62)

となるので, 浮力項は
$\displaystyle \frac{\theta_v^{\prime}}{\overline{\theta_v}} g
=
\frac{\theta^{\...
...ne{q_d} \langle M \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v} g$     (A.63)

と書き換えられる. 従って線形化された鉛直方向の運動方程式は
\begin{displaymath}
\DP{w^{\prime}}{t}
= - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x} - w^{\p...
...m \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v} g
+ D_{w^{\prime}}
\end{displaymath} (A.64)

となる.

A.2.4 圧力方程式の線形化

Klemp and Wilhelmson (1978) では, 非断熱的な加熱による熱膨張と 凝結に伴う圧力変化を無視しているが, 本モデルではこれを無視しない. (A.57) に (A.39), (A.40) を代入する と,

$\displaystyle \DD{\Pi}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[...
...eta }
\left\{ \Dinv{\Pi} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...rangle}{M_d}
\left( - \frac{q_d}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) + D_{q_d} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{q_v}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) + M_{src} (q_v) +
D_{q_v} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (A.65)

となる.

(A.66) の左辺を線形化すると,

$\displaystyle \DD{\Pi}{t}
=
\DP{\bar{\Pi} + \Pi^{'}}{t}
+ u^{'} \DP{\bar{\Pi}+\...
...{'} \DP{\bar{\Pi}+\Pi^{'}}{z}
\approx
\DP{\Pi^{'}}{t}
+ w^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}$      

乱流拡散項・生成項・雲粒落下項は擾乱成分とみなすと, 圧力方程式を線形化したときの $\langle c_{s} \rangle^2$, 及び $\theta_v$ からの寄与は基本場成分のみとなる. 従って (A.66) の右辺を線形化すると,
    $\displaystyle \frac{\langle c_s \rangle^2}{\langle c_p \rangle \theta_v}
\Bigg[...
...eta }
\left\{ \Dinv{\Pi} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{q_d \langle M \rangle / M_d
+ \sum q_v \langle M \rangle ...
...rangle}{M_d}
\left( - \frac{q_d}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) + D_{q_d} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{q_v}{\rho} \sum M_{fall} (\rho_r) + M_{src} (q_v) +
D_{q_v} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$  
  $\textstyle \approx$ $\displaystyle \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\ba...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$  

従って線形化された圧力方程式は
$\displaystyle \DP{ \Pi^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - w^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}
- \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\bar{\theta_v} } \DP{u_j^{'}}{x_j}$  
    $\displaystyle \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\ba...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (A.66)

と表される. ここで
$\displaystyle \overline{\langle c_s \rangle^2}
=
\frac{\langle c_p \rangle \langle R \rangle
\bar{\Pi} \bar{\theta_v}}{\langle c_v \rangle}$      

となる. (A.67) の右辺第 1 項, 第 2 項をまとめると,
    $\displaystyle - w^{'} \DP{\bar{\Pi}}{z}
- \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\bar{\theta_v} } \DP{u_j^{'}}{x_j}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - w^{'} \DP{}{z}
\left( \frac{\bar{\rho} \langle R \rangle \bar{\...
...gle c_p \rangle
\bar{\theta_v} }
\left( \DP{ u^{'}}{x} + \DP{ w^{'}}{z} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - w^{'}
\frac{\langle R \rangle}{ \langle c_{v} \rangle} \bar{\Pi...
...angle c_p \rangle
\bar{\theta_v} }
\left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\overline{ {\langle c_{s} \rangle}^{2} }}{\langle c_p \ra...
...\bar{\rho} \bar{\theta_v}
\left( \DP{u^{'}}{x} + \DP{w^{'}}{z} \right)
\right\}$  
  $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\overline{{c_{s}}^{2}}}{\langle c_p \rangle \bar{\rho}
\bar{\theta_v}^{2}}
\Ddiv \left(
\bar{\rho} \bar{\theta_v} \Dvect{u^{'}}
\right)$  

以上より,
$\displaystyle \DP{ \Pi^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\overline{{c_{s}}^{2}}}{\langle c_p \rangle \bar{\rho}
\bar{\theta_v}^{2}}
\Ddiv \left(
\bar{\rho} \bar{\theta_v} \Dvect{u^{'}}
\right)$  
    $\displaystyle \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\ba...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (A.67)

である.

A.2.5 熱の式の線形化

熱の式を平均成分と擾乱成分に分離する.

$\displaystyle \DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{x}
- w^{'}\DP{(\bar{\theta} + \theta^{'})}{z}
+ \Dinv{\bar{\Pi} + \Pi^{'}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})$  
    $\displaystyle + D_{\bar{\theta}} + D_{\theta^{'}}$  

ここで平均場の量は $z$ の関数であることを用いると,
$\displaystyle \DP{\theta^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \left(
u^{'}\DP{\theta^{'}}{x}
+ w^{'}\DP{\theta^{'}}{z}
\right)
- w^{'}\DP{\bar{\theta}}{z}
+ \Dinv{\bar{\Pi}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})$  
    $\displaystyle + D_{\bar{\theta}} + D_{\theta^{'}}$ (A.68)

となる.

A.2.6 比湿の保存式の線形化

凝結成分の比湿の保存式についても, 変数を平均成分と擾乱成分に分離する. 熱の式と同様に, 以下のように書ける. 但し, 生成項, 落下項は擾乱成分のみ 存在すると仮定する. この仮定は平均場では凝結は生じていないと考えることに 等しい.

$\displaystyle \DP{q_d^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_d^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_d^{\prime}}{...
...d}}{z}
- \frac{\overline{q_d}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\prime})$  
    $\displaystyle + D_{\overline{q_d}}
+ D_{q_d^{\prime}},$ (A.69)
$\displaystyle \DP{q_v^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{...
...v}}{z}
- \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\prime})$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_v^{\prime})
+ D_{\overline{q_v}}
+ D_{q_v^{\prime}},$ (A.70)
$\displaystyle \DP{q_c^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{z}
- \frac{\overline{q_c}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_r^{\prime})$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_c^{\prime})
+ D_{q_c^{\prime}},$ (A.71)
$\displaystyle \DP{q_r^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{...
...\prime})
+ \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_r^{\prime})
+ D_{q_r^{\prime}}.$ (A.72)

但し雲水量と雨水量は擾乱成分のみの量である.

A.3 まとめ

準圧縮方程式系は以下のようにまとめられる.

運動方程式
 
$\displaystyle \DP{u^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{u^{\prime}}{x} - w^{\prime} \DP{u^{\prime}}{z}
- \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{x} +
D_{u^{\prime}}$ (A.73)
$\displaystyle \DP{w^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{w^{\prime}}{x} - w^{\prime} \DP{w^{\prime}}{z}
- \langle c_p \rangle \overline{\theta_v} \DP{\Pi^{\prime}}{z}$  
    $\displaystyle + \frac{\theta^{\prime}}{\overline{\theta}} g
+ \frac{q_d^{\prime...
... \rangle /M_d +
\sum \overline{q_v} \langle M \rangle / M_v} g
+ D_{w^{\prime}}$ (A.74)

圧力方程式
 
$\displaystyle \DP{ \Pi^{'}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - \frac{\overline{ \langle {c_{s}} \rangle^{2}}}{\langle c_p \ran...
...bar{\theta_v}^{2}}
\Ddiv \left(
\bar{\rho} \bar{\theta_v} \Dvect{u^{'}}
\right)$  
    $\displaystyle + \frac{ \overline{\langle c_s \rangle^2} }{\langle c_p \rangle
\...
...t\{ \Dinv{\bar{\Pi}} ( Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis} )
+ D_{\theta^{'}} \right\}$  
    $\displaystyle + \Dinv{ \bar{q_d} \langle M \rangle / M_d
+ \sum \bar{q_v} \lang...
...- \frac{\bar{q_d}}{\bar{\rho}} \sum M_{fall} (\rho_r^{'}) +
D_{q_d^{'}} \right)$  
    $\displaystyle + \sum \frac{\langle M \rangle}{M_v}
\left( - \frac{\bar{q_v}}{\b...
... M_{fall} (\rho_r^{'}) +
M_{src} (q_v^{'}) + D_{q_v^{'}} \right)
\Bigg\}
\Bigg]$ (A.75)

熱の式
 
$\displaystyle \DP{\theta^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{\theta^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{\theta^{\pr...
...DP{\overline{\theta}}{z}
+ \Dinv{\overline{\Pi}} (Q_{cond} + Q_{rad} + Q_{dis})$  
    $\displaystyle + D_{\overline{\theta}} + D_{\theta^{\prime}}$ (A.76)

比湿の保存式
 
$\displaystyle \DP{q_d^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_d^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_d^{\prime}}{...
...d}}{z}
- \frac{\overline{q_d}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_s^{\prime})$  
    $\displaystyle + D_{\overline{q_d}}
+ D_{q_d^{\prime}},$ (A.77)
$\displaystyle \DP{q_v^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_v^{\prime}}{...
...v}}{z}
- \frac{\overline{q_v}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_s^{\prime})$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_v^{\prime})
+ D_{\overline{q_v}}
+ D_{q_v^{\prime}},$ (A.78)
$\displaystyle \DP{q_c^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_c^{\prime}}{z}
- \frac{\overline{q_c}}{\overline{\rho}} \sum M_{fall}
(\rho_s^{\prime})$  
    $\displaystyle + \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_c^{\prime})
+ D_{q_c^{\prime}},$ (A.79)
$\displaystyle \DP{q_r^{\prime}}{t}$ $\textstyle =$ $\displaystyle - u^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{x}
- w^{\prime} \DP{q_r^{\prime}}{...
...\prime})
+ \Dinv{\overline{\rho}} M_{src} (\rho_s^{\prime})
+ D_{q_r^{\prime}}.$ (A.80)


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Yamashita Tatsuya 平成21年10月16日