%
% Chapter 1  The Governing Equations
%            1-2 EQUATION OF MOTION
%
% 2002/05/16 ���� ���� ����
%
%
%%%% title and date setting %%%%
\markboth{2-2 ��ư������}{2-2 ��ư������}
%\markright{1-2 ��ư������}
%\Ddate{2002/05/16}
\Dfile{}

%%%% page and section setting %%%%
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{1}
%\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}
\setcounter{footnote}{0}


%%%% text start %%%%

\section{��ư������}

�˥塼�ȥ�α�ư����2ˡ§�ϴ�����ɸ�ϤǤ�
�ʲ��Τ褦��ɽ�����Ȥ��Ǥ���.
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{�˥塼�ȥ����2ˡ§}
 \frac{d_a \Dvect{V}_a}{dt} = \Dvect{M}.
\end{eqnarray}
������$\Dvect{M}$ [N/kg]��ñ�̼��̤�������Ϥι�פΥ٥��ȥ��ɽ��.
ź����$a$���դ��Ƥ����Τ�, ���줬������ɸ�Ϥ��鸫��
®�٤Ȳ�®�٤��ͤǤ��뤳�Ȥ��̣����.
�������̤��ϵ��Ǵ�¬����뤬, �ϵ�ϱ�����֤��ư���Ƥ��뤿��,
��ư���������ϵ�Ȥ����дط���ɽ������ѿ���ɽ��������.
��ʱ�ư���ϵ�β�ž����������ɬ�פ����뤬,
��ž�ʤ�¾�α�ư��̵�뤷���ɤ�.
�ϵ夬��®��$\Dvect{\Omega}$ [1/s]�ǲ�ž���Ƥ���Ȳ��ꤹ���,
γ�Ҥ�����®��$\Dvect{V}_a$ [m/s]�ϲ�ž�ˤ��,
�ϵ�Ȥ�����®��$\Dvect{V}$ [m/s]�ȳ�®�٤ˤ��ɽ���Ǥ���.
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{����®�٤�����®�٤Ȥδط���}
 \Dvect{V}_a = \Dvect{V} + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r}.
\end{eqnarray}

������$\Dvect{r}$���ϵ���濴�����Ȥ�������
γ�Ҥΰ��֥٥��ȥ�ɽ��.
��, $\Dvect{i, j, k}$�����к�ɸ�ϤǤ�ľ�򼴤�ñ�̥٥��ȥ�Ȥ�,
$\Dvect{i', j', k'}$���ž��ɸ�ϤǤ�ñ�̥٥��ȥ�Ȥ���.
������Ǥ�դΥ٥��ȥ�$\Dvect{A}$�򤳤�2�Ĥκ�ɸ�Ϥ�ɽ�������
�ʲ��Τ褦�ˤʤ�.
\begin{eqnarray*}
 \Dvect{A} = A_x \Dvect{i} + A_y \Dvect{j} + A_z \Dvect{k} =
             {A_x}' \Dvect{i'} + {A_y}' \Dvect{j'} + {A_z}' \Dvect{k'}.
\end{eqnarray*}
�������֤�Ƴ�ؿ���ɽ����,
\begin{eqnarray*}
 \DD{\Dvect{A}}{t} &=& \DD{A_x}{t}\Dvect{i} + \DD{A_y}{t}\Dvect{j} + \DD{A_z}{t}\Dvect{k} \\
                   &=& \DD{{A_x}'}{t}\Dvect{i'} + \DD{{A_y}'}{t}\Dvect{j'} + \DD{{A_z}'}{t}\Dvect{k'}
		    +  {A_x}'\DD{\Dvect{i'}}{t} + {A_y}'\DD{\Dvect{j'}}{t} + {A_z}'\DD{\Dvect{k'}}{t},
\end{eqnarray*}
�Ȥʤ�
\footnote{
$i, j, k$�ϻ��֤��Ф������ʤΤ�, $\dfrac{d\Dvect{i}}{dt} = 0$�ʤɤ�
�ʤ�Τ��Ф�,
$i', j', k'$�ϲ�ž��ɸ�Ϥ�ñ�̥٥��ȥ�ʤΤǻ��֤˰�¸��,
$\dfrac{d\Dvect{i'}}{dt} \neq 0$ �ʤɤȤʤ�Τ�̵��Ǥ��ʤ�. 
}.
ñ�̥٥��ȥ��Ƴ�ؿ��� $d\Dvect{i'} /dt = \Dvect{\Omega} \times
\Dvect{i'}$ �ʤɤ�Ϳ������Τ�,
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{Ǥ�ե٥��ȥ�A��Ƴ�ؿ�}
 \frac{d_a\Dvect{A}}{dt} = \DD{\Dvect{A}}{t} + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{A}.
\end{eqnarray}
������$d_a/dt$�ϸ���ϤǤ��Ѳ��γ���ɽ��,
$d/dt$�ϲ�ž�ϤǤ��Ѳ��γ���ɽ��.

���Τ褦�˸���ϤǤ�Ǥ�դΥ٥��ȥ��Ƴ�ؿ����¤�
��ž�ϤǤ�Ƴ�ؿ����¤�$\Dvect{\Omega} \times \Dvect{A}$
�ι��ɽ�����뤳�Ȥ��Ǥ���.

�����������ʲ��μ���Ƴ�����Ȥ��Ǥ���.
\begin{eqnarray*}
 \frac{d_a\Dvect{V_a}}{dt} = \DD{\Dvect{V_a}}{t} + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{V_a}.
\end{eqnarray*}
\Deqref{����®�٤�����®�٤Ȥδط���}�򤳤μ������������
\begin{eqnarray}
 \frac{d_a\Dvect{V_a}}{dt} &=& \DD{(\Dvect{V} + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r})}{t}
                            + \Dvect{\Omega} \times
			      (\Dvect{V} + \Dvect{\Omega} \times \Dvect{r}),
			    \nonumber \\
 \Deqlab{����®�٤�����®�٤ȳ�®�٤δط���}
 \frac{d_a\Dvect{V_a}}{dt} &=& \DD{\Dvect{V}}{t}
                            + 2\Dvect{\Omega} \times \Dvect{V}
			    + \Dvect{\Omega} \times
			      (\Dvect{\Omega} \times \Dvect{r}).
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�
\footnote{
$\dfrac{d}{dt}(\Dvect{\Omega} \times \Dvect{r}) = \Dvect{\Omega} \times
\Dvect{V}$ ���Ѥ���.
}.

�絤��ư�Ǥμ���Ϥϰ���, ����$\Dvect{g}_a$, �������໤��$\Dvect{F}$�Ǥ���.
�������Ϥ����в�®�٤μ�\Deqref{����®�٤�����®�٤ȳ�®�٤δط���}��
\Deqref{�˥塼�ȥ����2ˡ§}����������Ȱʲ��δط�����������.
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{�ϵ��絤�α�ư������}
 \DD{\Dvect{V}}{t} = - \alpha\nabla p
                      - 2\Dvect{\Omega} \times \Dvect{V}
			    + \Dvect{g} + \Dvect{F}.
\end{eqnarray}
������$\alpha$ [m$^3$/kg]������, $\Dvect{g}$�Ͻ��Ϥ���,
$- \Dvect{\Omega} \times (\Dvect{\Omega} \times \Dvect{r})$ �ϱ���
�Ǥ���,
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-5\alph{equation}}
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{���н��Ϥ����н���}
 \Dvect{g} = \Dvect{g}_a - \Dvect{\Omega} \times (\Dvect{\Omega} \times \Dvect{r}).
\end{eqnarray}
\setcounter{equation}{5}
\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}
�Ǥ���\footnote{{\bfseries 2-2-A}�ˤ��μ��˴ؤ�����­��ܤ��Ƥ���Τ�
���ȤΤ���.}. 
\Deqref{�ϵ��絤�α�ư������}�α�����2���
$- 2\Dvect{\Omega} \times \Dvect{V}$
��\textbf{���ꥪ����}�ȸƤФ��.

%\begin{tabular}{p{\linewidth}}
% \hline \\
%\end{tabular}

%%% �ʲ��ϱ��Ϥ˴ؤ�����­ %%%

\subsection*{2-2-A \qquad ���Ϥ˴ؤ�����­}

%%% ���ֹ����� %%%
\Deqref{���н��Ϥ����н���}�α�����2��α���
$-\Dvect{\Omega} \times (\Dvect{\Omega} \times \Dvect{r})$
���ϵ�ξ��($\Dvect{\Omega} = ^t(0, 0, \Omega)$)
�ǹͤ��Ƥߤ��,
\begin{eqnarray*}
 -\Dvect{\Omega} \times (\Dvect{\Omega} \times \Dvect{r})
  &=& - \Dvect{\Omega}(\Dvect{\Omega}\cdot \Dvect{r})
      +  \Dvect{r}(\Dvect{\Omega}\cdot \Dvect{\Omega}) \\
  &=& - \Dvect{\Omega} (r_z \Omega)
      + \Dvect{r} (\Omega^2) \\
  &=& - \left(
         \begin{array}{c}
	  0 \\ 0 \\ r_z \Omega^2
         \end{array}
        \right)
      + \left(
         \begin{array}{c}
	  r_x \Omega^2 \\ r_y \Omega^2 \\ r_z \Omega^2
         \end{array}
        \right) \\
  &=&   \left(
         \begin{array}{c}
	  r_x \Omega^2 \\ r_y \Omega^2 \\ 0
         \end{array}
        \right) 
\end{eqnarray*}
�Ȥʤ�
\footnote{
$ \Dvect{a} \times (\Dvect{b} \times \Dvect{c})
  = \Dvect{b}(\Dvect{a}\cdot \Dvect{c})
  - \Dvect{c}(\Dvect{a}\cdot \Dvect{b}) $
���Ѥ���.
}
\footnote{
$\Dvect{r}=(r_x, r_y, r_z)$ �Ȥ���.
}.

���Τ��Ȥ���, ��3�����Ф��Ʋ�ž���Ƥ����ϵ��Ǥ�,
��3���˿�ľ�������ˤΤ�, ���Ϥ�Ư�����Ȥ��狼��.
%%%% text end %%%%