%
% Chapter 1  The Governing Equations
%            1-3 CONTINUITY EQUATION
%
% 2002/05/16 ���� ���� ����
% 2002/07/04 ���� ���� ����
%
%
%%%% title and date setting %%%%
\markboth{2-3 Ϣ³�μ�}{2-3 Ϣ³�μ�}
%\markright{1-3 Ϣ³�μ�}
%\Ddate{2002/07/04}
\Dfile{}

%%%% page and section setting %%%%
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{2}
\setcounter{equation}{5}
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}
\setcounter{footnote}{0}


%%%% text start %%%%

\section{Ϣ³�μ�}

2�Ĥ�δ���Ū��ˡ§�ϼ�����¸��ˡ§�Ǥ���.
����ϼ��Τ褦�ʿ�����ɽ�����Ȥ��Ǥ���.
��2-1�ˤ�������������$\delta x,\delta y, \delta z $��ͤ��Ƥߤ褦.
ñ�̻��֤�$x$�̤�ή�������̤�$\rho u \ \delta y \ \delta z$�Ǥ���.
������$\rho$ [kg/m$^3$]��̩��, $u$ [m/s]��®�٤�$x$��ʬ�Ǥ���.
ȿ�Ф��̤���ή�Ф����̤�
$[ \rho u + (\partial \rho u / \partial x) \delta x]\delta y \ \delta z$
�Ǥ���.
��ä�, ñ�����Ѥ������ή���̤�ή���̤ΰ㤤��
$- \partial (\rho u) / \partial x$
�Ȥʤ�.
�����ñ�����Ѥ������$x$�ζɽ�����Ѳ�, �Ĥޤ�,
̩�٤��Ѳ���ɽ��.
3���������Ƥ��θ�����, �ʲ��Τ褦�ʷ�̤�������.
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{Ϣ³�μ�}
 \DP{\rho}{t} = - \nabla \cdot (\rho \Dvect{V})
              = - \rho \nabla \cdot \Dvect{V} - \Dvect{V} \cdot \nabla \rho.
\end{eqnarray}
�ޤ�, $\alpha = 1/\rho$���Ѥ��뤳�Ȥˤ�ä�,
�����������Ѥˤ����������ʬ��ޤ���̤η��μ������뤳�Ȥ��Ǥ���
\footnote{(2-6)��Ƴ�Ф˴ؤ��Ƥ�{\bfseries 2-3-A}�򻲾ȤΤ���.}.
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{Ƴ�ؿ����Ѥ���Ϣ³�μ�}
 -\frac{1}{\rho}\DD{\rho}{t} = \frac{1}{\alpha}\DD{\alpha}{t}
                             = \nabla \cdot \Dvect{V}.
\end{eqnarray}
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/hwfig-01-01.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize ������¸ (Haltiner, G. J., and Williams, R. T., 1979:
      Numerical Prediction and Dynamic Meteorology.
      {\itshape John Wiley \& Sons,} 477pp)}
  }
  \Dfiglab{hwfig-01-01}
 \end{quote}
\end{figure} 
%


%\begin{tabular}{p{\linewidth}}
% \hline \\
%\end{tabular}

%%% �ʲ��� (2-7) ����Ƴ�Ф���ˡ %%%

\subsection*{2-3-A  \qquad (2-7)��Ƴ��}
%\textbf{{\large �� \Deqref{Ƴ�ؿ����Ѥ���Ϣ³�μ�}��Ƴ��}}

%%% ���ֹ����� %%%
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-3-A-\arabic{equation}}

\Deqref{Ϣ³�μ�}����\Deqref{Ƴ�ؿ����Ѥ���Ϣ³�μ�}��
Ƴ�Ф���.

�ޤ���, �饰��󥸥���ʬ�ȥ����顼��ʬ�δط�����Ƴ��.
����$dt$�ˤ����뤢��ή��γ�Ҥ�̩��$d\rho$��
���֤θ������˴ؤ����̤�ɽ����,
�����Ѳ�($\partial / \partial t$)�ȶ����Ѳ�($\nabla$)�Ȥ�
ʬ���뤳�Ȥ��Ǥ���.
$d\Dvect{r} =(dx ,dy, dz)$Υ�줿2����Ʊ������Ǥ�̩�٤ΰ㤤��
�ʲ��Τ褦��ɽ�����Ȥ��Ǥ���.
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{̩�٤ζ����Ѳ�}
 dx\DP{\rho}{x}+dy\DP{\rho}{y}+dz\DP{\rho}{z}=(d\Dvect{r} \cdot \nabla)\rho.
\end{eqnarray}
�����Ѳ������Ǥ�­����碌, ̩���Ѳ���ʲ��Τ褦��ɽ�����Ȥ��Ǥ���.
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{̩���Ѳ�}
 d\rho = (\DP{\rho}{t})dt + (d\Dvect{r} \cdot \nabla)\rho.
\end{eqnarray}
ξ�դ�$dt$�ǳ��Ȱʲ��Τ褦�ʥ饰��󥸥���ʬ�ȥ����顼��ʬ��
�ط��������뤳�Ȥ��Ǥ���.
\footnote{
����Ū�ˤ�
$\displaystyle \DD{}{t}=\DP{}{t}+(\Dvect{v} \cdot \nabla)$.
}
\begin{eqnarray}
 \DD{\rho}{t}&=&\DP{\rho}{t}+(\DD{\Dvect{r}}{t} \cdot \nabla)\rho \nonumber \\
 \Deqlab{̩���Ѳ��δط���}
 \DD{\rho}{t}&=&\DP{\rho}{t}+(\Dvect{v} \cdot \nabla)\rho.
\end{eqnarray}

\Deqref{̩���Ѳ��δط���}��\Deqref{Ϣ³�μ�}�����������
\begin{eqnarray}
 \DD{\rho}{t}-(\Dvect{V} \cdot \nabla)\rho
 &=& - \rho \nabla \cdot \Dvect{V} - (\Dvect{V} \cdot \nabla) \rho,
 \nonumber \\
 - \DD{\rho}{t}
 &=& \rho \nabla \cdot \Dvect{V},
 \nonumber \\
 \Deqlab{�饰��󥸥���ʬ�Ǥ�Ϣ³�μ�}
 - \frac{1}{\rho}\DD{\rho}{t}
 &=& \nabla \cdot \Dvect{V} .
\end{eqnarray}

$\alpha = 1/\rho$��Ȥä� \Deqref{�饰��󥸥���ʬ�Ǥ�Ϣ³�μ�}
�κ��դ��ѷ������,
\begin{eqnarray}
 - \frac{1}{\rho}\DD{\rho}{t}
  &=& - \alpha \DD{\alpha^{-1}}{t} \nonumber \\
  &=& - \alpha \DD{\alpha^{-1}}{\alpha} \DD{\alpha}{t} \nonumber \\
  &=& - \alpha (-\alpha^{-2}) \DD{\alpha}{t} \nonumber \\
  \Deqlab{̩�٤����Ƥδط���}
  &=& \frac{1}{\alpha}\DD{\alpha}{t}.
\end{eqnarray}
\Deqref{̩�٤����Ƥδط���}��\Deqref{�饰��󥸥���ʬ�Ǥ�Ϣ³�μ�}
�����������, \Deqref{Ƴ�ؿ����Ѥ���Ϣ³�μ�}
��Ƴ�����.

;�̤���, \Deqref{Ƴ�ؿ����Ѥ���Ϣ³�μ�}�ϰʲ��Τ褦�ˤ�񤱤�.
\begin{eqnarray*}
 \frac{1}{\alpha}\DD{\alpha}{t}= \Ddiv \Dvect{V}.
\end{eqnarray*}
������, $\alpha$ [m$^3$/kg]�ϰ�����̤��Ф������ѤǤ��뤿��,
���դ����Ѥ���ĥ�ȼ��̤��̣��,
���줬���դ�ȯ����Ʊ����̣����Ĥ��Ȥ������Ǥ��������.

%%% ���ֹ�򥰥����Х饤�� %%%
\setcounter{equation}{7}
\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}


%%%% text end %%%%