%
% Chapter 1  The Governing Equations
%            1-7 COORDINATE SYSTEMS
%
% 2002/05/30 ���� ����    ����
% 2002/07/06 ���� ����    �ѱ�ư����¸§��Ƴ�ФˤĤ����ɵ�
%
%
%%%% title and date setting %%%%
\markboth{2-7 ��ɸ��}{2-7 ��ɸ��}
%\markright{1-7 ��ɸ��}
%\Ddate{2002/07/06}
%\Dfile{hw-01-07.tex}

%%%% page and section setting %%%%
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{6}
\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{12}
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}


%%%% text start %%%%

\section{��ɸ��}

��ư�������ˤ�����٥��ȥ�ɽ�����͡��ʹ��ʪ��Ū�����ưפˤ�,
���Ĵʷ�Ǥ���.
������, �ºݤ�����(�ä˿��͵���ͽ��ʤ�)�����Ѥ�����ˤ�
��ɸ�ϤǤε��Ҥ�ɬ�פȤʤ�.
�ϵ�ɽ�̤ˤ������絬�Ϥ��絤�α�ư�Ͻ��ʿ��Ū�Ǥ��뤿��,
���̺�ɸ������ͭ���Ȥʤ�.
�����Ĥ��Υ٥��ȥ�黻��
(����ʸ�κǸ�˷Ǻܤ���Ƥ�����ظ���(A-17)��(A-24)
\footnote{
�������ظ����˴ؤ��Ƥ� {\bf 2-7-J}�򻲾ȤΤ���.
})
�ˤ�äư��̲����줿ɽ���ϼ�(2-5)����̺�ɸ���Ѵ�����Τ�
���ѤǤ���.

���̺�ɸ�Ȥ��ƹͤ����, $x_1=\lambda$, $x_2=\varphi$,
$x_3=r=z+a$�Ȥ���.
�����Ǥ�$\lambda$, $\varphi$, $r$, $a$, ������$z$��
����, ����, �ϵ���濴����ε�Υ, �ϵ��ʿ��Ⱦ��, ʿ�ѳ��̤���ι��٤Ǥ���.
��ɸ�����ˤ����������������$ds$�ȥ����������
\footnote{
����������Ҥ˴ؤ��Ƥ� {\bf 2-7-A} ����
}
(���ʲ�����)({\it metric coefficient\/}) $h_j$
�ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�
\footnote{
���̺�ɸ�δ�ñ�ʳ�ǰ�ޤ� {\bf 2-7-B} �ˤ���.
}.
%
\begin{eqnarray*}
 ds_1 = r\cos \varphi d\lambda , \quad ds_2 = r d\varphi, \quad and \quad  ds_3 = dr, \\
 h_1 = r \cos \varphi, \hspace{12mm} h_2=r, \hspace{6mm} and \quad h_3 = 1, \hspace{4mm}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 u&=&ds_1/dt = r\cos \varphi d\lambda/dt, \\
 v&=&ds_2/dt = rd\varphi/dt, \\
 w&=&ds_3/dt=dr/dt=dz/dt,
\end{eqnarray*}%
\begin{eqnarray}
 \Dvect{V}=u\Dvect{i}'+v\Dvect{j}'+w\Dvect{k}'.
\end{eqnarray}
$u$, $v$, $w$�Ϥ��줾�������, �̸���, ��ľ����
(�����Ǥ�, �ϵ��濴�����ư���������̣����)�ؤζ���®����ʬ
��ɽ���Ƥ���.
$\Dvect{i}'$, $\Dvect{j}'$, $\Dvect{k}'$�Ϥ����������ؤ�
ľ��ñ�̥٥��ȥ�Ǥ���.
�٥��ȥ�ɽ�����줿��ư������(2-5)�����Ҥ���$h_1$, $h_2$, $h_3$�Ȥ��ä�
�ѿ���, �黻��(A-17)��(A-22)���Ѥ��Ƶ��ɸ��ɽ�����뤳�Ȥ��Ǥ���.
(ľ�� (A-23)�����Ѥ�����ˡ�⤢��).
���Ԥ���ˡ($h_j$ �� (A-17)��(A-22)����Ѥ�����ˡ)���Ѥ�����,
Ƴ�ؿ�$d\Dvect{V}/dt$�η׻��κݤˤ�
$\Dvect{i}'$, $\Dvect{j}'$, $\Dvect{k}'$�ϰ���, ���٤ˤ�ä�
�Ѳ����뤿����̤��ʤ���Фʤ�ʤ�.
�����$u$, $v$, $w$�ξ���Ʊ�ͤ�, (A-22)�ˤ�����
������Ƥ���.
���Τ狼��䤹����ˡ��Haltiner��Martin�ˤ�ä�ȯ�����줿 (1957ǯ).
�̤Υ��ץ������Ȥ���, Ÿ���������Ѥ���((A-8)����)
\footnote{
 �饰��󥸥���ʬ�ȥ����顼��ʬ�δط������
 \begin{eqnarray*}
  \DD{\Dvect{V}}{t}=\DP{\Dvect{V}}{t}+(\Dvect{V} \cdot \nabla)\Dvect{V}
 \end{eqnarray*}
 �Ǥ���, ��Ͽ�ο��ظ���(A-8)���
 \begin{eqnarray*}
  (\Dvect{V}\cdot\nabla)\Dvect{V}
    = \nabla(\Dvect{V}^2/2)+(\nabla \times \Dvect{V}) \times \Dvect{V}
 \end{eqnarray*}
 �Ȥʤ뤳�Ȥ���嵭�μ������뤳�Ȥ��Ǥ���. \\
 �ʤ�, �����Ǥ�ľ��ľ����ɸ�Ϥ��ꤷ�Ƥ���.
}.
%
 $$
 \DD{\Dvect{V}}{t}= \DP{\Dvect{V}}{t}
                  + \frac{1}{2}\nabla(\Dvect{V}\cdot\Dvect{V})
		  + (\nabla \times \Dvect{V}) \times \Dvect{V}.
 \eqno (2\textrm{-}13\textrm{-}1)
 $$
%
�嵭�μ���(2-5)����������.
���ξ��, ���̲����줿�٥��ȥ�黻��(A-17)��(A-21)���Ѥ���
�׻���Ԥ�.
�����Ĥ������餫�ȤʤäƤ��ʤ��फ��ʲ��Τ褦�ʷ�̤�
�����Ƥ���.
%
\begin{eqnarray*}
 2\Dvect{\Omega} \times \Dvect{V}
  &=& 2\Omega (\Dvect{j} \cos \varphi + \Dvect{k} \sin \varphi)
      \times (u\Dvect{i}+v\Dvect{j}+w\Dvect{k}) \\
  &=& (2\Omega \cos \varphi \ w - fv)\Dvect{i} + fu \Dvect{j}
      - 2\Omega \cos \varphi \ u \Dvect{k},
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 \nabla \times \Dvect{V}
  &=& \frac{1}{r} \left[\DP{w}{\varphi} - \DP{}{r}(rv)\right] \Dvect{i}
  + \frac{1}{r} \left[\DP{}{r}(ur) - \frac{1}{\cos \varphi}\DP{w}{\lambda}\right] \Dvect{j} \\
  & & {}+ \frac{1}{r \cos \varphi}\left[\DP{v}{\lambda} - \DP{}{\varphi}(u \cos \varphi)\right]\Dvect{k},
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 (\nabla \times \Dvect{V}) \times \Dvect{V} + \frac{1}{2} \nabla (\Dvect{V} \cdot \Dvect{V})
  &=& \Big[\Dvect{V}\cdot \nabla u - (uv\tan \varphi - uw)/r \Big]\Dvect{i} \\
  &+& \left[\Dvect{V}\cdot \nabla v + (u^2 \tan \varphi - vw)/r \right]\Dvect{j} \\
  &+& \left[\Dvect{V}\cdot \nabla w - (u^2 + v^2)/r \right]\Dvect{k} .
\end{eqnarray*}
%
�����μ���, ľ��ľ����ɸ�Ϥ�ɽ�����줿��(2-5)��
���̺�ɸ�Ϥ�ɽ�����뤿��μ��Ǥ���.
1���ܤμ���ñ��˲�ž�η׻�����������
\footnote{
�ϵ�γ�®�٤�, ľ��ľ����ɸ�Ǥ�
$\Dvect{\Omega} = \Omega \Dvect{k}$
�Ǥ���, ���̺�ɸ�Ǥ�
$\Dvect{\Omega} = \Omega \cos \varphi \Dvect{j}' + \Omega \sin \varphi
\Dvect{k}'$
��ɽ����.
(������ʸ��Ǥϵ��̺�ɸ�Ǥ�ñ�̥٥��ȥ��
$\Dvect{i}, \Dvect{j}, \Dvect{k}$ �ȵ��Ҥ��Ƥ��뤳�Ȥ�����).
ľ��ľ����ɸ�ϤǤγ�®��ɽ������̺�ɸ�Ǥ�ɽ��
���ѷ�������ˡ��{\bf 2-7-C}�򻲾ȤΤ���.

�ʤ�, $f$��������о줷�����ꥪ�ꡦ�ѥ�᡼��($f=2\Omega \sin \varphi$)
�Ǥ���.
}.
2���ܤμ������Ҥ��������������$h_j$���ͤ�,
��Ͽ�ο��ظ���(A-20)
\footnote{
 \begin{eqnarray*}
  \nabla \times \Dvect{F}
    &=& \frac{\Dvect{a}_1}{h_2 h_3}
       \left[
        \DP{}{x_2}(h_3 F_3) - \DP{}{x_3}(h_2 F_2)
       \right]
    + \frac{\Dvect{a}_2}{h_3 h_1}
       \left[
        \DP{}{x_3}(h_1 F_1) - \DP{}{x_1}(h_3 F_3)
       \right] \\
    & & {}+ \frac{\Dvect{a}_3}{h_1 h_2}
       \left[
        \DP{}{x_1}(h_2 F_2) - \DP{}{x_2}(h_1 F_1)
       \right]  
 \end{eqnarray*}
 %
}
�������뤳�Ȥ��Ǥ���.
3���ܤμ���, 2���ܤμ�����Ͽ�ο��ظ���(A-17)
�������뤳�Ȥ��Ǥ���
\footnote{
����3���ܤμ���ľ��ľ����ɸ�� $d\Dvect{V} / dt$ ����̺�ɸ��
�ͤ����ݤˤɤΤ褦�ʷ��ˤʤ뤫�Τ뤿���ɬ�פȤʤ뼰�Ǥ���.

$d\Dvect{V} / dt$�� (2-13-1) ����ɽ����.
���μ��α��դ���2, 3�����̺�ɸ��ɽ�����뤳�Ȥ�
$d\Dvect{V} / dt$����̺�ɸ��ɽ���Ǥ��뤳�Ȥˤʤ�.

���μ���Ƴ�Фˤ��󤷤Ƥ� {\bf 2-7-E}���ȤΤ���.
}.
�ʤ�, 3���ܤμ��α��դ�ľ��ľ����ɸ�ˤ�����$(\Dvect{V}\cdot\nabla)\Dvect{V}$
��������.
�Ĥޤ�, ľ��ľ����ɸ�ϤǤ�$d\Dvect{V}/dt$��
���̺�ɸ�Ǥϰʲ��Τ褦��ɽ���Ǥ���.
%
\begin{eqnarray*}
 \DD{\Dvect{V}}{t} +
  \left\{
   - \frac{uv \tan \varphi - uw}{r} \Dvect{i}
   + \frac{u^2 \tan \varphi + vw}{r} \Dvect{j}
   - \frac{u^2 + v^2 }{r} \Dvect{k}
  \right\}.
\end{eqnarray*}

(��(2-5)��)�Ĥä����Ÿ����, ����ʬ��ʬ����Ȱʲ��μ���Ƴ�����
\footnote{
{\bf 2-7-F}����.
}.
%
\begin{eqnarray}
 \DD{u}{t} &=& - \frac{1}{\rho}\DP{p}{x}
               + (2\Omega + \frac{u}{r \cos \varphi})(v \sin \varphi - w \cos \varphi)
	       + F_{\lambda} \nonumber, \\
 \DD{v}{t} &=& - \frac{1}{\rho}\DP{p}{y}
               - (2\Omega + \frac{u}{r \cos \varphi})u \sin \varphi - \frac{vw}{r}
	       + F_{\varphi}, \\
 \DD{w}{t} &=& - \frac{1}{\rho}\DP{p}{z} - g
               + (2\Omega + \frac{u}{r \cos \varphi})u \cos \varphi + \frac{v^2}{r}
	       + F_{z} \nonumber .
\end{eqnarray}
%
�����Ǥ�$x$, $y$, $z$�϶��̺�ɸ�Ǥ�������, ������, ��ľ�����򼨤�.
�嵭�����������ϵ���ʱ�Ψ��̵�뤷�Ƥ��뤿�����ΤǤϤʤ�
\footnote{
�ʱߤξ��, ���ϲ�®��$g$����ľ��ʬ�ˤΤ߸����Τ�
��������.
}
�Ȥ�����Ŧ��Phillips(1966)�ˤ�äƤ����ʤ�줿.
������, (�ʱߤǤ��äƤ�)�ѱ�ư�̤���¸����뤿��,
�ʲ��μ����ʤꤿ��.
\footnote{
�ѱ�ư����¸§��(2-14)����$r \cos \varphi$��ݤ���
�׻����뤳�Ȥ�Ƴ�ФǤ���.
�ܤ����׻���{\bf 2-7-I}����.
}.
%
\begin{eqnarray}
 \DD{}{t}\left[r \cos \varphi \ (u + \Omega r \cos \varphi)\right]
  = r \cos \varphi \ F_{\lambda}.
\end{eqnarray}
%
������$F_{\lambda}$��������γ���(���ϸ��ۤ�ޤ�)��ɽ��.

�絤���ϵ��������Ū�����ؤʤΤ�, (���Τ�)Ⱦ��$r$��
�鷺���ʸ�����̵�뤷��
ʿ�ѳ��̤��ϵ��濴����ε�Υ$a$���֤������뤳�Ȥ��Ǥ���
(�Ĥޤ� $r \simeq a = $ const).
��(2-13)�ˤ�����®����ʬ�Ǥ�Ʊ�ͤ˰������Ȥ��Ǥ���
($dr/dt \simeq da/dt=0$).
������, �ѱ�ư����¸§������������ˤ�
(2-14)��($\Dvect{i}$��ʬ��)���դ�$w$��ޤ���
�������ʤ���Фʤ�ʤ�
\footnote{
{\bf 2-7-G}����
}.
���Ū�ˤϼ�(2-15)�ˤ�����$r$��$a$���֤������������
�Ȥʤ�.
����˲ä�, ��(2-11)���θ�����
�������ˤ��
�Ǹ��������(��(2-14)��$\Dvect{k}$��ʬ)������ιब���������.
\footnote{
 ���������פΰ�̣�� {\bf 2-7-H}����
}.
�����η��, ������줿�������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�
\footnote{
����������;�פʹ��ä���������Ƥ��뤬,
Phillips(1966)�ˤ���, ����������Ҥ�
$h_1 = a \cos \varphi$, $h_s = a$, $h_3 = 1$
���֤�ľ����(2-14)��Ƴ�Ф��褦�Ȥ����,
(2-15)�������ޡ��Ȥ�Ƴ�ФǤ���.
}
.
%
\begin{eqnarray}
 \DD{u}{t}
  &=&
    - \frac{1}{\rho}\DP{p}{x}
    + \left(
       f + \frac{u \tan \varphi}{a}
      \right) v
    + F_{\lambda}, \\
 \DD{v}{t}
  &=&
    - \frac{1}{\rho}\DP{p}{y}
    - \left(
       f + \frac{u \tan \varphi}{a}
      \right) u
    + F_{\varphi}, \\
 \DD{w}{t}
  &=&
    - \frac{1}{\rho}\DP{p}{z}
    - g
    + F_{z} .
\end{eqnarray}
%
�������ϵ�α��٤α�ľ��ʬ($f = 2 \Omega \sin \varphi$)��
���ꥪ�ꡦ�ѥ�᡼���ȸƤФ��.
�Ǹ���������Ϥˤ���������Ω�Ĥȹͤ����Ƥ���ѱ�ư����¸§��
���礦��(2-15)���ˤ�$r$��$a$�˶�����Ƥ��뼰��Ʊ���Ǥ���.

��ľ�������԰��꤬��ʿ������������˾���������
��ľ��®��$dw/dt$��̵��Ǥ���.
�������໤�������(2-18)�����ſ尵������({\it hydrostatic equation\/})
�Ȥʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 0 = -\frac{1}{\rho}\DP{p}{z}-g.
\end{eqnarray}
%
Ǯ�ϳ�������(2-9b)������ʬ��ޤ�Ǥ���,
��������ʬ�Ϥ������ɸ��(A-21)�ˤ������ѷ��Ǥ��뤿��,
(2-9b)�Ϻ��ΤȤ������Τޤ����ѤǤ���.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             �ʲ���Appendix             %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%           ���ֹ�Υ������饤��         %%%%%%%% 
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}
\def\theequation{A-\arabic{equation}}
\def\thefigure{A-\arabic{figure}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{tabular}{p{\linewidth}}
% \hline \\
%\end{tabular}

\subsection*{2-7-A \qquad �����������(���ʲ�����)}
\def\theequation{2-7-A-\arabic{equation}}
\def\thefigure{2-7-A-\arabic{figure}}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}


�����������(���ʲ�����)$h_j$�ȤϤ�����̺�ɸ($\xi_1, \xi_2, \xi_3$)�ˤ�����
��ɸ��������$\xi_j$���ܥ٥��ȥ���礭��(Ĺ��)�Ǥ���.
����Ū�ʼ��ϰʲ��Τ褦�˽񤱤�.
 \begin{eqnarray*}
  h_j =  \bigg|\DP{x_1}{\xi_j} \Dvect{e}_1 + \DP{x_2}{\xi_j} \Dvect{e}_2
               + \DP{x_3}{\xi_j} \Dvect{e}_3
	 \bigg|      .
 \end{eqnarray*}
�㤨��, ����ζ�����ɸ��($\lambda, \varphi, z$)�ξ���
$\lambda$�����Υ����������$h_1$��
�ʲ��Τ褦���Ƶ��뤳�Ȥ��Ǥ���.
 \begin{eqnarray*}
  h_1 &=& \bigg|
            \DP{x_1}{\lambda} \Dvect{e}_1
	    + \DP{x_2}{\lambda} \Dvect{e}_2
	    + \DP{x_3}{\lambda} \Dvect{e}_3
          \bigg| \\
      &=& \bigg|
          \DP{}{\lambda}(r\cos \varphi \cos \lambda) \Dvect{e}_1
           + \DP{}{\lambda}(r \cos \varphi \sin \lambda) \Dvect{e}_2
	   + \DP{}{\lambda}(r \sin \varphi) \Dvect{e}_3
	  \bigg| \\
      &=& \bigg|
          - r \cos \varphi \sin \lambda \Dvect{e}_1
           + r \cos \varphi \cos \lambda \Dvect{e}_2
	  \bigg| \\
      &=& \sqrt{  r^2 \cos^2 \varphi \sin^2 \lambda
           + r^2 \cos^2 \varphi \cos^2 \lambda
	  } \\
      &=& r \cos \varphi.
 \end{eqnarray*}
�Ť����鴷��Ƥ���Ǥ���ľ��ľ����ɸ��($x, y, z$)�ξ���
�ʲ��μ��ʤɤ���$h_1=h_2=h_3=1$�Ȥʤ뤳�Ȥ�ʬ����.
 \begin{eqnarray*}
  h_1 = \bigg|
            \DP{x}{x} \Dvect{e}_1
	    + \DP{y}{x} \Dvect{e}_2
	    + \DP{z}{x} \Dvect{e}_3
        \bigg|
      = 1.
 \end{eqnarray*}

���Υ���������Ҥ�$\xi_j$�������ܥ٥��ȥ�
($\partial x_1 / \partial \xi_j \Dvect{e}_1
+ \partial x_2 / \partial \xi_j \Dvect{e}_2
+ \partial x_3 / \partial \xi_j \Dvect{e}_3$)
��$\xi_j$������ñ�̥٥��ȥ�ˤ���Τ˻Ȥ���.
$\xi_j$������ñ�̥٥��ȥ��$\Dvect{e}'_j$�Ȥ����
�ʲ��Τ褦�ˤʤ�.
 \begin{eqnarray*}
  \Dvect{e}'_j = \frac{1}{h_j}
    (\partial x_1 / \partial \xi_j \Dvect{e}_1
    + \partial x_2 / \partial \xi_j \Dvect{e}_2
    + \partial x_3 / \partial \xi_j \Dvect{e}_3).
 \end{eqnarray*}



\subsection*{2-7-B \qquad ���̺�ɸ��ǰ��}
\def\theequation{2-7-B-\arabic{equation}}
\def\thefigure{2-7-B-\arabic{figure}}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}


�ʲ���
\Dfigref{hwfig-01-07-spherical}�ϵ��̺�ɸ�γ�ǰ�ޤǤ���.

\begin{figure}[htb]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/spherical.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize ���̺�ɸ��ǰ��}
  }
  \Dfiglab{hwfig-01-07-spherical}
 \end{quote}
\end{figure}



\subsection*{2-7-C \qquad ľ�������ɸ���Ǥ��ϵ�γ�®��}
\def\theequation{2-7-C-\arabic{equation}}
\def\thefigure{2-7-C-\arabic{figure}}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

�ϵ�γ�®�٤�$\Omega$�Ȥ������,
ľ��ľ����ɸ�ϤǤ��ϵ�γѱ�ư��
$\Dvect{\Omega} = \Omega \Dvect{k}$
��ɽ�����Ȥ��Ǥ���.
�����ϵ�γ�®�٤���ɸ��ɽ�������
$\Dvect{\Omega} = \Omega \cos \varphi \Dvect{j}' + \Omega \sin \varphi
\Dvect{k}'$�Ȥʤ�.
�����Ǥ�ľ��ľ����ɸ�Ǥ�ñ�̥٥��ȥ��
���̺�ɸ�Ǥ�ñ�̥٥��ȥ���ѷ���,
���̺�ɸ�Ǥ��ϵ�γ�®�٤��嵭�Τ褦��ɽ������ͳ��Ҥ٤�.

ľ��ľ����ɸ�ϤǤα�ľ�����٥��ȥ�$\Dvect{k}$��
�ͤ���.
���̺�ɸ�Ϥ�ñ�̥٥��ȥ��
%
\begin{eqnarray*}
 \Dvect{e}_j &=& \frac{1}{h_j}\DP{\Dvect{x}}{\xi_j} \\
             &=& \left(
		  \frac{1}{h_j}\DP{x_1}{\xi_j} \Dvect{e}'_1
		  + \frac{1}{h_j}\DP{x_2}{\xi_j} \Dvect{e}'_2
		  + \frac{1}{h_j}\DP{x_3}{\xi_j} \Dvect{e}'_3
		 \right) 
\end{eqnarray*}
%
�ʤΤ�, $\Dvect{k}$�ξ��ǹͤ����,
$x_1 = \lambda = \arctan(y/x)$,
$x_2 = \varphi = \arctan(z/ \sqrt{x^2 + y^2})$,
$x_3 = r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
�Ǥ��뤳�Ȥ���,
%
\begin{eqnarray*}
 \Dvect{k} &=& \frac{1}{h_j}
               \left\{
	        \DP{}{z}\Big(\arctan(y/x)\Big) \Dvect{i}'
	        + \DP{}{z}\Big(\arctan(z/ \sqrt{x^2+y^2})\Big) \Dvect{j}'
	        + \DP{}{z}\Big(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Big) \Dvect{k}'
               \right\} \\
           &=& \frac{1}{h_j}
               \left\{
	        \DP{}{z}\Big(\arctan(z/ \sqrt{x^2+y^2})\Big) \Dvect{j}'
	        + \DP{}{z}\Big(\sqrt{x^2+y^2+z^2}\Big) \Dvect{k}'
               \right\} \\
           &=& \frac{1}{h_j}
               \left\{
	        \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{1}{1+\frac{z^2}{x^2+y^2}} \Dvect{j}'
	        + \frac{z}{r} \Dvect{k}'
               \right\} \\
           &=& \frac{1}{h_j}
               \left\{
	        \frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\frac{x^2+y^2}{x^2+y^2+z^2} \Dvect{j}'
	        + \frac{z}{r} \Dvect{k}'
               \right\} \\
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
 \begin{eqnarray*}
  \DP{}{x} \arctan (ax) = \frac{a}{1+(ax)^2}
 \end{eqnarray*}
}.
������,
$x = r \cos \varphi \cos \lambda$,
$y = r \cos \varphi \sin \lambda$,
$z = r \sin \varphi$
�ʤΤ�,
%
\begin{eqnarray*}
 \Dvect{k} &=& \frac{1}{r \cos \varphi} \frac{r^2 \cos ^2 \varphi}{r^2} \Dvect{j}'
               + \cos \varphi \Dvect{k}'\\
 \Dvect{k} &=& \frac{1}{r} \sin \varphi \Dvect{j}'
               + \cos \varphi \Dvect{k}'
\end{eqnarray*}%
%



\subsection*{2-7-E \qquad ���̺�ɸ�ϤǤ�
$\nabla \times (\nabla \times \Dvect{V})
+ 1/2 \nabla (\Dvect{V} \cdot \Dvect{V})$��Ƴ��}
\def\theequation{2-7-E-\arabic{equation}}
\def\thefigure{2-7-E-\arabic{figure}}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}


���̺�ɸ�ϤǤ�
$\nabla \times (\nabla \times \Dvect{V})
+ 1/2 \nabla (\Dvect{V} \cdot \Dvect{V})$
�����.
%
\begin{eqnarray}
 (\nabla \times \Dvect{V}) \times \Dvect{V}
  &=& \left(
       \begin{array}{ccc}
	\Dvect{i} & \Dvect{j} & \Dvect{k} \\
        \frac{1}{r} \left[\DP{w}{\varphi} - \DP{}{r}(rv)\right] &
        \frac{1}{r} \left[\DP{}{r}(ur) - \frac{1}{\cos \varphi}\DP{w}{\lambda}\right] &
        \frac{1}{r \cos \varphi}\left[\DP{v}{\lambda} - \DP{}{\varphi}(u \cos \varphi)\right] \\
	u & v & w \\
       \end{array}
      \right) \nonumber \\
  &=& \left\{
       \frac{w}{r} \left[\DP{}{r}(ur) - \frac{1}{\cos \varphi}\DP{w}{\lambda}\right] 
       - \frac{v}{r \cos \varphi} \left[\DP{v}{\lambda} - \DP{}{\varphi}(u \cos \varphi)\right]
      \right\} \Dvect{i} \nonumber \\
  & & {} +
      \left\{
       \frac{u}{r \cos \varphi}\left[\DP{v}{\lambda} - \DP{}{\varphi}(u \cos \varphi)\right]
       - \frac{w}{r} \left[\DP{w}{\varphi} - \DP{}{r}(rv)\right]
      \right\} \Dvect{j} \nonumber \\      
  & & {} +
      \left\{
       \frac{v}{r} \left[\DP{w}{\varphi} - \DP{}{r}(rv)\right]
       - \frac{u}{r} \left[\DP{}{r}(ur) - \frac{1}{\cos \varphi}\DP{w}{\lambda}\right]
      \right\} \Dvect{k} \nonumber \\      
  &=& \left\{
       \frac{v}{r} \DP{u}{\varphi}
       + w \DP{u}{r}
       - \frac{v}{r \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
       - \frac{w}{r \cos \varphi} \DP{w}{\lambda}
       - (uv \tan \varphi - uw)/r 
      \right\} \Dvect{i} \nonumber \\
  & & {} +
      \left\{
       \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
       + w \DP{v}{r}
       - \frac{u}{r} \DP{u}{\varphi}
       - \frac{w}{r} \DP{w}{\varphi}
       + (u^2 \tan \varphi + vw)/r 
      \right\} \Dvect{j} \nonumber \\
 \Deqlab{��ž�β�ž}
  & & {} +
      \left\{
       \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{w}{\lambda}
       + \frac{v}{r} \DP{w}{\varphi}
       - u \DP{u}{r}
       - v \DP{v}{r}
       - (u^2 + v^2)/r 
      \right\} \Dvect{k}  
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. ����,
%
\begin{eqnarray}
 \frac{1}{2} \nabla (\Dvect{V} \cdot \Dvect{V})
  &=& \frac{1}{2}
      \left(
       \frac{1}{r \cos \varphi} \DP{}{\lambda} \Dvect{i}
       + \frac{1}{r} \DP{}{\varphi} \Dvect{j}
       + \DP{}{r} \Dvect{k}
      \right)
      \left(
       u^2 + v^2 + w^2
      \right)
      \nonumber \\
 &=& \left(
      \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
      + \frac{v}{r \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
      + \frac{w}{r \cos \varphi} \DP{w}{\lambda}
     \right) \Dvect{i} \nonumber \\
 & & {} +
     \left(
      \frac{u}{r} \DP{u}{\varphi}
      + \frac{v}{r} \DP{v}{\varphi}
      + \frac{w}{r} \DP{w}{\varphi}
     \right) \Dvect{j} 
        +
     \left(
      u \DP{u}{r}
      + v \DP{v}{r}
      + w \DP{w}{r}
     \right) \Dvect{k} \nonumber \\ 
 \Deqlab{®�ټ���Υʥ֥�}
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ뤿��,
%
\begin{eqnarray}
 \lefteqn{
  (\nabla \times \Dvect{V}) \times \Dvect{V}
  + \frac{1}{2} \nabla (\Dvect{V} \cdot \Dvect{V})
 } \hspace{10mm} \nonumber \\
  &=& \left\{
       \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
       + \frac{v}{r} \DP{u}{\varphi}
       + w \DP{u}{r}
       - (uv \tan \varphi - uw)/r 
      \right\} \Dvect{i} \nonumber \\
  & & {} +
      \left\{
       \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
       + \frac{v}{r} \DP{v}{\varphi}
       + w \DP{v}{r}
       + (u^2 \tan \varphi + vw)/r 
      \right\} \Dvect{j} \nonumber \\
  & & {} +
      \left\{
       \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{w}{\lambda}
       + \frac{v}{r} \DP{w}{\varphi}
       + w \DP{w}{r}
       - (u^2 + v^2)/r 
      \right\} \Dvect{k}  \nonumber \\
  &=& \left\{
       \Dvect{V} \cdot \nabla u
       - (uv \tan \varphi - uw)/r 
      \right\} \Dvect{i} \nonumber \\
  & & {} +
      \left\{
       \Dvect{V} \cdot \nabla v
       + (u^2 \tan \varphi + vw)/r 
      \right\} \Dvect{j} \nonumber \\
  & & {} +
      \left\{
       \Dvect{V} \cdot \nabla w
       - (u^2 + v^2)/r 
      \right\} \Dvect{k}  .
\end{eqnarray}
%
�����Ǥϰʲ��μ�����Ѥ���.
%
\begin{eqnarray*}
 \Dvect{V} \cdot \nabla A
  = \frac{u}{r \cos \varphi} \DP{A}{\lambda}
  + \frac{v}{r} \DP{A}{\varphi}
  + w \DP{A}{r}.
\end{eqnarray*}



\subsection*{2-7-F \qquad (2-14)����Ƴ��}
\def\theequation{2-7-F-\arabic{equation}}
\def\thefigure{2-7-F-\arabic{figure}}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

(2-14)���ϼ�(2-5)���ε��̺�ɸ��ɽ���Ǥ���.
����(2-14)���ϼ�(2-5)
%
\begin{eqnarray*}
 \DD{\Dvect{V}}{t} = - \alpha\nabla p
                      - 2\Dvect{\Omega} \times \Dvect{V}
			    + \Dvect{g} + \Dvect{F} 
\end{eqnarray*}
%
�˰ʲ�������������������, �ѷ����뤳�Ȥ����뤳�Ȥ��Ǥ���.
%
\begin{eqnarray*}
 \lefteqn{\bigg(\DD{\Dvect{V}}{t}\bigg)_{(ľ��ľ����ɸ��ɽ��)}} \hspace{10mm} \\
  &=&
  \DD{\Dvect{V}}{t} +
  \left\{
   - \frac{uv \tan \varphi - uw}{r} \Dvect{i}
   + \frac{u^2 \tan \varphi + vw}{r} \Dvect{j}
   - \frac{u^2 + v^2 }{r} \Dvect{k},
  \right\}
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 2\Dvect{\Omega} \times \Dvect{V}
   =  (2\Omega \cos \varphi \ w - 2\Omega \sin \varphi \ v)\Dvect{i}
      + 2\Omega \sin \varphi \ u \Dvect{j}
      - 2\Omega \cos \varphi \ u \Dvect{k},
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 \nabla p = \DP{p}{x} \Dvect{i}
            + \DP{p}{y} \Dvect{j}
            + \DP{p}{z} \Dvect{k},
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 \Dvect{g} = g \Dvect{k},
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
 \Dvect{F} = F_{\lambda} \Dvect{i}
             + F_{\varphi} \Dvect{j}
	     + F_z \Dvect{k}.
\end{eqnarray*}



\subsection*{2-7-G \qquad $w$��ޤ������������ͳ}
\def\theequation{2-7-G-\arabic{equation}}
\def\thefigure{2-7-G-\arabic{figure}}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

�ѱ�ư����¸�μ�(2-15)����Ÿ�������
��(2-14)��$\Dvect{i}$��ʬ�ˤʤ�.
�����ʳ���$r \simeq a$�����Ȥ���,
�ʲ��μ��Ȥʤ�. (���μ��Ǥ�$F_{\lambda}$�ϰ��Ϲ��ޤ�)
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{�ѱ�ư����¸§��Ÿ����1}
 \DD{u}{t}
  =
     \left(
      2 \Omega + \frac{u}{a \cos \varphi}
     \right)
     \left(
      v \sin \varphi - w \cos \varphi
     \right)
     + F_{\lambda}
\end{eqnarray}
%
�ǤϤ��μ���$r \simeq a$������ˤ�����
�ѱ�ư����¸§���������Τ�������.
������γѱ�ư����¸§�����.
�ʤ�, ��ʸ�ζ�����$dr/dt \simeq da/dt = 0$
���Ѥ���.
%
\begin{eqnarray}
 \DD{}{t}
  \left[
   a \cos \varphi (u + \Omega a \cos \varphi)
  \right]
  = a \cos \varphi F_{\lambda}, \nonumber \\
 \Deqlab{�ѱ�ư����¸§��Ÿ����2}
 \DD{u}{t} =
  \left(
   2 \Omega + \frac{u}{a \cos \varphi}
  \right)
  v \sin \varphi  + F_{\lambda}.
\end{eqnarray}
%
�ѱ�ư�̤���¸����ʤ���Фʤ�ʤ��̤ʤΤ�,
��\Deqref{�ѱ�ư����¸§��Ÿ����2}��
��\Deqref{�ѱ�ư����¸§��Ÿ����1}����
ͥ�褵���.
���Τ���, ��\Deqref{�ѱ�ư����¸§��Ÿ����1}�ˤ�����
$w$��ޤ��Ͻ�������ʤ���Фʤ�ʤ��ΤǤ���.



\subsection*{2-7-H \qquad ���������פΰ�̣}
\def\theequation{2-7-H-\arabic{equation}}
\def\thefigure{2-7-H-\arabic{figure}}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

��ʸ�˽ФƤ������������פȤ������դ�
{\bfseries ���ͥ륮����¸§���������Ȥ�������}
���̣����.
���Ϥ�$\Dvect{F} = (F_{\lambda}, F_{\varphi}, F_z)$�Ȥ�,
ñ�̼��̤ǹͤ������,
���ͥ륮����¸§��
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{���ͥ륮����¸�μ�}
 \DD{}{t} \left( \frac{1}{2} \Dvect{V}^2 \right)
  = \Dvect{V} \cdot \Dvect{F}
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
��(2-14)��$\Dvect{i}$��ʬ��$u$,
�򤫤��Ƥߤ��
(���Ϥ���ϤϤ��줾��, $F_{\lambda}, F_{\varphi}, F_z$�˴ޤ�Ƥ���),
%
\begin{eqnarray}
 u \DD{u}{t}
  &=&
    u (2\Omega + \frac{u}{r \cos \varphi})(v \sin \varphi - w \cos \varphi)
    + u F_{\lambda}, \nonumber \\
 \Deqlab{u��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}
 \DD{}{t} \left( \frac{1}{2} u^2 \right)
  &=&
    2\Omega uv \sin \varphi -2 \Omega uw \cos \varphi
    + \frac{u^2 v}{r} \tan \varphi - \frac{u^2 w}{r} 
    + u F_{\lambda} .
\end{eqnarray}
%
Ʊ�ͤˤ���, 
$\Dvect{j}$��ʬ��$v$,
$\Dvect{k}$��ʬ��$w$�򤫤��Ʒ׻������,
%
\begin{eqnarray}
 \DD{}{t} \left( \frac{1}{2} v^2 \right)
 \Deqlab{v��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}
  &=&
    - 2 \Omega uv \sin \varphi
    - \frac{u^2 v}{r} \tan \varphi
    - \frac{v^2 w}{r}
    + v F_{\varphi}, \\ 
 \Deqlab{w��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}
 \DD{}{t} \left( \frac{1}{2} w^2 \right)
  &=&
     2 \Omega uw \sin \varphi
    + \frac{u^2 w}{r}
    + \frac{v^2 w}{r}
    + v F_{\varphi} .
\end{eqnarray}
%
������3��ʬ�μ���­����碌���
\Deqref{���ͥ륮����¸�μ�}���ˤʤ뤳�Ȥ�ʬ����.

������, $\Dvect{\Omega} \times \Dvect{V}$�ι��,
���줾�����ʬ�ιब�Ǥ��ä���äƥ����ˤʤäƤ���
���Ȥ����ܤ����ߤ���.
\Deqref{u��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����1���
\Deqref{v��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����1��,
\Deqref{u��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����2���
\Deqref{w��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����1��,
\Deqref{u��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����3���
\Deqref{v��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����2��,
\Deqref{u��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����4���
\Deqref{w��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����2��,
\Deqref{v��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����3���
\Deqref{w��ʬ�Υ��ͥ륮���μ�}�α�����3��
���б����Ƥ��뤳�Ȥ�ʬ���������.
���ͥ륮����¸§����������뤿��ˤ�,
����ब�������줿���ˤϤ�����б�������������ʤ���Фʤ�ʤ�.
���줬���������ˤ���ν����פǤ���.

����Ū�ˤ�, �ѱ�ư����¸��ˡ§�Ǽ�(2-14)��$\Dvect{i}$��ʬ�μ���
$uw/r$�ιब�������줿�����$\Dvect{k}$��ʬ�μ���
$u^2/r$��$2 \Omega u \cos \varphi$���������ɬ�פ�����.

�ޤ�, ��(2-11)���ֿ�ʿ��ʬ��®���Ѳ��Ͽ�ʿ��ʬ�γ��ϵڤ�®�٤����ޤ��
�Ϥ��ʤΤ�,
��(2-14)��$\Dvect{j}$��ʬ�μ���$vw/r$�ι�Ͻ�������,
������б�����$\Dvect{k}$��ʬ�μ���$v^2/r$����������.

�����ˤ�äƼ�(2-16)��(2-18)����������.



\subsection*{2-7-I \qquad �ѱ�ư����¸§��Ƴ��}
\def\theequation{2-7-I-\arabic{equation}}
\def\thefigure{2-7-I-\arabic{figure}}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}

(2-14)��$r \cos \varphi$�򤫤��Ʒ׻����뤳�Ȥ�
�ѱ�ư����¸§�Ǥ���(2-15)����뤳�Ȥ��Ǥ���.
�ʲ��Ϥ��η׻��Ǥ���.
�ʤ�, ���ϸ��ۤι�ϳ���$F_{\lambda}$�˴ޤޤ�Ƥ���Ȥ���.
%
\begin{eqnarray*}
  r \cos \varphi \DD{u}{t}
 &=&
  (2 \Omega r \cos \varphi + u)(v \sin \varphi - w \cos \varphi)
  + r \cos \varphi F_{\lambda}
 \\
\lefteqn{
  \DD{}{t} (r u \cos \varphi) - u \cos \varphi \DD{r}{t}
  + r u \sin \varphi \DD{\varphi}{t}
} \qquad \\
 &=&
  2 \Omega r \cos \varphi (v \sin \varphi - w \cos \varphi)
  + uv \sin \varphi - uw \cos \varphi
  + r \cos \varphi F_{\lambda}.
\end{eqnarray*}
%
$v = r d \varphi /dt$, $w = d r /dt$�Ǥ��뤳�Ȥ���,
%
\begin{eqnarray*}
  \DD{}{t}(r u \cos \varphi)
 &=&
  2 \Omega r \cos \varphi (v \sin \varphi - w \cos \varphi)
  + r \cos \varphi F_{\lambda} \\
 &=&
  2 \Omega r \cos \varphi
   \left(
     r \sin \varphi \DD{\varphi}{t}
     - \cos \varphi \DD{r}{t}
   \right)
  + r \cos \varphi F_{\lambda} \\
 &=&
  2 \Omega r \cos \varphi
   \left\{
    - \DD{}{t} (r \cos \varphi)
   \right\}
  + r \cos \varphi F_{\lambda} \\
 &=&
  - \Omega \DD{}{t}(r^2 \cos ^2 \varphi)
  + r \cos \varphi F_{\lambda} 
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�.
��äƳѱ�ư����¸§
%
\begin{eqnarray*}
 \DD{}{t} [r \cos \varphi (u + \Omega r \cos \varphi)]
 =
 r \cos \varphi F_{\lambda}
\end{eqnarray*}
%
��Ƴ�����.


\subsection*{2-7-J \qquad ���̺�ɸ}

���̺�ɸ�θ���, ȯ��, ��ž�˴ؤ��Ƥ�
���� ¾(1996)��Ͽ�򻲾ȤΤ���.




%%%%%%%%          ���ֹ�Υ������Х饤��        %%%%%%%% 
\setcounter{equation}{20}
\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%              text end                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
