%
% Chapter 3   Scale Analysis
%             3-2 SHALLOW-WATER EQUATIONS
%
% 2002/11/02  ���� ����   ����
% 2002/11/04  ���� ����   ����
% 2002/12/04  ���� ����   ���ߥʡ���ν���
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\markboth{4-2 ������������}{4-2 ������������}
%\markright{3-2 ������������}
%\Ddate{2002/12/04}
%\Dfile{hw-03-02.tex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%
\setcounter{chapter}{4}
\setcounter{section}{1}
\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Counter Output Format           %%%%%%%%
\def\thesection{\arabic{chapter}-\arabic{section}}
\def\thesubsection{\arabic{chapter}-\arabic{section}-\arabic{subsection}}
\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}}
\def\thefigure{\arabic{chapter}-\arabic{figure}}
\def\thetable{\arabic{chapter}-\arabic{table}}
%\def\thefootnote{\arabic{footnote})}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%

\section{������������}

\begin{itembox}[l]{����}
 �����������ϤΥ���������Ϥ򤪤��ʤ�.
 �ޤ��������������Ϥ�3�Ĥμ������ѵ��ϤǤΥ�������󥰤򤪤��ʤ�.
 ��������󥰤η��, ���ѵ��Ϥ��絤�Ϥۤ��Ϲ�ήŪ�Ǥ��뤳�Ȥ��狼��.
 ����ϼºݤ��絬���絤�ξ��֤Ȥۤܰ��פ���.
 ����, �����������Ϥ���Ƴ�Ф���뱲�٤μ���ȯ���μ��Υ�������󥰤򤪤�
 �ʤ�. ���η��, {\bfseries ���Ϲ�ή������}
 ({\itshape quasi-geostrophic equation})��������.
 �ʤ�, �����Υ�������󥰤ˤϥ����ӡ���$R_O = V/fL$�����פ�����̤���. 
 ���Υ�������󥰤η��, ��������������Ƥι�Υ������뤬·��.
 ���Τ�������, �׻��κݤ�, ������֤Ǥθ������ܼۤ�������뤳�Ȥˤʤ�.
\end{itembox}

�󰵽̤Ǿ�����������ͳɽ�̤Ǥ���ή�Τ��ſ尵Ū��ư�򵭽Ҥ���������������
����������Ϥ��Ƥ������ȤϤ��������ȹ��Թ�Ǥ���.
2�ϤǸ������Ȥ���, �����������Ϥ�ʣ���ʱ�ư�򵭽ҤǤ���褦��,
���������������Ϥϴ��������Ȥȥ����ӡ��Ȥ򵭽ҤǤ���.
����Ū�������������Ϥ����褽��ή�������ؤ��Ϥä�ʿ�Ѥ����褦�ʱ�ư��ɽ��.

��ư������(3-35a),
\footnote{
 $$
  \DP{u}{t} + u \DP{u}{x} + v \DP{u}{y} - fv + g \DP{h}{x} = 0.
  \eqno \textrm{(3-35a)}
 $$
}
(3-35b)
\footnote{
 $$
  \DP{v}{t} + u \DP{v}{x} + v \DP{v}{y} + fu + g \DP{h}{y} = 0.
  \eqno \textrm{(3-35b)}
 $$
}
���Ȥ߹�碌��Ȱʲ��μ���������.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\Dvect{V}}{t} + (\Dvect{V} \cdot \nabla) \Dvect{V}
  + \nabla \phi + f \Dvect{k} \times \Dvect{V} = 0.
\end{eqnarray}
%
$\phi = gh$�Ǥ���. �����Ǥϥ��ꥪ��ѥ�᡼��$f$�ϰ���Ǥ���Ȳ��ꤹ��.
���Τ��ϵ�δ����ؤ��θ����Τϸ塹����Ǥ����ʤ�.
Ϣ³�μ�(3-38)
\footnote{
 $$
  \left( \DP{h}{t} + u \DP{h}{x} + v \DP{h}{y} \right)
  + h \left( \DP{u}{x} + \DP{v}{y} \right) = 0.
  \eqno \textrm{(3-38)}
 $$
}
�ϰʲ��Τ褦�˵��Ҥ����.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\phi}{t} + \Dvect{V} \cdot \nabla \phi + \phi \Ddiv \Dvect{V} = 0.
\end{eqnarray}
%
���֥�������ϰʲ��Τ褦�ˤ���.
%
\begin{eqnarray}
 T = L/C.
\end{eqnarray}
%
$C$�������α�ư��ʿ�Ѱ���®�٤Ǥ���.
���ѵ��Ϥ���ħ�Ȥ���$C \sim V$������. ����ˤ�ä�
%
\begin{eqnarray}
 T = L/V
\end{eqnarray}
%
������Ω��. �����{\bfseries ��ή���֥�������}
({\itshape advective time scale})�ȸƤФ��.
$L \sim 10^6$ m, $V \sim 10$ m sec$^{-1}$�Ȥ����, (4-4)����
$T \sim 10^5$ sec ($\sim 1$ ��)�Ȥʤ�.
��������ѵ��ϤǤξ���μ�����1/4�Ȥ��Ƥ�Ŭ�����ͤǤ���.

��ư������(4-1)�ˤ����ư��Ϸ����Ϥι����������줾��ι�Υ��������
�ͤ���Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\Dvect{V}}{t} + (\Dvect{V} \cdot \nabla) \Dvect{V}
  + \nabla \phi + f \Dvect{k} \times \Dvect{V} = 0.
  \nonumber \\
 \frac{V^2}{L} \hspace{12mm} \frac{V^2}{L} \hspace{21mm} fV \hspace{10mm}
  \\
 R_O fV        \hspace{ 7mm} R_O fV        \hspace{18mm} fV \hspace{10mm}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
$R_O = V/fL$ [1]��{\bfseries �����ӡ���}({\itshape Rossby number})�ȸƤФ��
�̤Ǥ���. �����ӡ����ϲ�®�٤Υ��ꥪ���Ϥ��Ф�����Ǥ���
\footnote{
 (4-5)�ˤ�����$R_O fV$(��®�٤Υ�������)��$fV$(���ꥪ���ϤΥ�������)
 ����Ӥˤ�����, ���礦��$R_O$��ξ�Ԥ���ˤʤ�Ȥ������ȤǤ���.
}.
ŵ��Ū�����ѵ��ϤǤ��ͤ�$f \sim 10^{-4}$ sec$^{-1}$, $L \sim 10^6$ m,
$V \sim 10$ m sec$^{-1}$�Ǥ���. ���ξ������ӡ�����$R_O \sim 0.1$�Ȥʤ�.
�ºݤ�, ��������ư���������絤�䳤�Τˤ����Ƥϥ����ӡ����Ͼ������ʤ�.

$R_O$�����������, (4-5)����狼��褦�˲�®�٤ϥ��ꥪ���Ϥ���٤ƾ�����.
��̤Ȥ��ƥ��ꥪ���ϤΤߤ����Ϸ����ϤȥХ�󥹤���.
���ˤ���Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \nabla \phi \sim fV.
\end{eqnarray}
%
Ϣ³�μ�(4-2)����Ϥ��뤿���, $\phi$��ʲ��Τ褦��ʬ����.
%
\begin{eqnarray}
 \phi = \overline{\phi} + \phi'.
\end{eqnarray}
%
$\overline{\phi}$������Ǥ���. $\phi'$�Υ��������(4-7)��(4-6)����������
������. ���η��,
%
\begin{eqnarray}
 \phi' \sim f V L
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
 (4-7)��(4-6)�����������, ����Ǥ���$\overline{\phi}$����ʬ�ˤ�äƾä�
 ��, $\nabla \phi' \sim fV$�Ȥʤ�. $\nabla$�Υ��������$1/L$�ʤΤ�
 ��������󥰤����$\phi'/L \sim fV$�Ȥʤ�, (4-8)����������.
}. 
����ϡ��Ϲ���Ū�ץ�������󥰤Ȥ����Τ��Ƥ���.

(4-7)��(4-2)��������, (4-4)��(4-8)��Ȥäƥ���������Ϥ򤪤��ʤ���
�ʲ��Τ褦�ˤʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\phi'}{t} \ + \ \Dvect{V} \cdot \nabla \phi' \
  + \ \phi' \Ddiv \Dvect{V} \
  + \ \overline{\phi} \Ddiv \Dvect{V} = 0,
  \nonumber \\
 fV^2 \hspace{8mm} fV^2 \hspace{11mm} fV^2 \hspace{9mm}
  \overline{\phi} V/L \hspace{8mm}
  \\
 R_O F \overline{\phi} \frac{V}{L}  \hspace{2mm}
  R_O F \overline{\phi} \frac{V}{L}  \hspace{3mm}
  R_O F \overline{\phi} \frac{V}{L}  \hspace{5mm}
  \overline{\phi} V/L \hspace{8mm}
  \nonumber 
\end{eqnarray}
%
$F = f^2 L^2 / \overline{\phi}$ [1]��{\bf ��ž�ե롼�ɿ�}({\it rotational
Froude number\/})�ȸƤФ��.
���ο��ϰʲ��Τ褦�ˤ⵭�ҤǤ���.
%
\begin{eqnarray}
 F = f^2 L^2 / \overline{\phi} = L^2 / L_R^2.
\end{eqnarray}
%
$L_R = \overline{\phi}^{1/2} / f$ [m]��{\bf �����ӡ����ѷ�Ⱦ��}
({\it Rossby radius of deformation\/})�Ǥ���.
������2-8��Ǥ⸫���褦��, $L_R$���Ϲ���Ĵ��ץ������˽��פ�����̤���.

��ư�������ˤ�����$R_O$�ιब̵�뤵�����, (4-5)��
%
\begin{eqnarray}
 \nabla \phi + f \Dvect{k} \times \Dvect{V} = 0,
  \quad
  {\rm �⤷����}
  \quad
  \Dvect{V} = f^{-1} \Dvect{k} \times \nabla \phi 
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
 ����ʸ�κǸ�˷Ǻܤ���Ƥ�����ظ���(A-2)���
 $\Dvect{A} \times (\Dvect{B} \times \Dvect{C}) = (\Dvect{A} \cdot
 \Dvect{C}) \Dvect{B} - (\Dvect{A} \cdot \Dvect{B}) \Dvect{C}$
 �Ǥ��뤿��,
 $\Dvect{k} \times (\Dvect{k} \times \Dvect{V}) = - \Dvect{V}$�Ǥ���.
}.
���Τ褦��, ���Ϥۤ��Ϲ����Ǥ��뤬, $R_O$�ι��̵�뤷��ʬ�θ�����
�ޤ�Ǥ���.
$F \lesssim 1$�Ǥ�����, Ϣ³�μ�(4-9)�ؤ���1����η��
%
\begin{eqnarray}
 \overline{\phi} \Ddiv \Dvect{V} = 0
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. $f$������λ�, �Ϲ�����ȯ���ϥ����ˤʤ뤳�Ȥ���(4-12)��(4-11)��
���פ���
\footnote{
 $\Dvect{k} \times \nabla \phi = - \partial \phi / \partial y \ \Dvect{i}
 + \partial \phi / \partial x \ \Dvect{j}$�ʤΤ�
 $\Ddiv (\Dvect{k} \times \nabla \phi) = 0$�Ȥʤ�.
}.
(4-11)��(4-12)�δط�����������Ū
\footnote{
 ������ʬ�ιब�ʤ�����.
}
�Ǥ���, ������ʬ��ޤޤʤ�.
�����, �絬���絤��ή�줬�ۤ��Ϲ���Ū�Ǥ���Ȥ�����¬���¤Ȱ��פ���.
�⤷�ⴰ�����������Ǥ���(4-5)��(4-9)��ͽ��˻Ȥ���, ������֤��������
�⤵�ξ����ʸ��������֤ηв�ȶ��������礭�ʸ����Ȥʤ�(3-7�Ỳ��).
Richardson(1922)��
�ϼºݤ�(4-9)�Ȼ����褦����ɽ�̰��ϸ��ۤμ�
���¬�ǡ����˱��Ѥ��Ƥߤ�. �ºݤ˴�¬���줿�Ȥ����ǤϤۤȤ���Ѳ���̵��
�Τ���, �׻��η�������礭�����ϸ��ۤ�����줿.
(4-1)��(4-2)���٤������ӡ��Ȥ����Ǥʤ�, ®�����������ȤޤǴޤ�Ǥ��ޤä�
����Ȥ�����������񤷤����Ƥ��븶��������(3-5�Ỳ��)
\footnote{
 2-7��Ǥ�, ���������Ȥϥ����ӡ��Ȥ���٤ƿ��������������Ȥ���
 ����ͤ�����ˤ����ƴ��������Ȥ�õ��褦������.
}.

���Ϥۤ��Ϲ���Ū�˿����񤦤褦���������Ϥ��Ѥ�������˾�ޤ���.
2-6���, ���������������ӡ��ȤǤϱ��٤���٤�ȯ���Ͼ��������Ȥ������줿.
����϶�����줿��(4-11)��(4-12)�ˤ�äƤ⼨���줿���ȤǤ���
\footnote{
 ���Ǥ����Ϲ�ή��ή���(4-11)����¸�ߤ��뤳�Ȥ�ʬ����Τ��Ф�,
 (4-12)����ȯ���Ϥۤܶ��Ū�˥����ˤʤäƤ��ޤ������������Ȥ�ʬ����.
}.
�������ä�, ����{\bf ��ž}({\it rotational\/})��{\bf ȯ��}
({\it divergent\/})����ʬ��ʬ���������ɤ�.
���줾���ʬ�����,
%
\begin{eqnarray}
 \Dvect{V} = \Dvect{V}_{\Psi} + \Dvect{V}_{\chi},
  \quad
  \Dvect{V}_{\Psi} = \Dvect{k} \times \nabla \Psi,
  \quad
  \Dvect{V}_{\chi} = \nabla \chi
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
$\Psi$ [m$^2$/s]�����β�ž��ʬ��ɽ��{\bf ή���ؿ�}
({\it stream function})�Ǥ���, $\chi$ [m$^2$/s]������ȯ������ʬ��
ɽ��{\bf ®�٥ݥƥ󥷥��}({\it velocity potential\/})�Ǥ���.
$\Psi, \chi$��Ȥäƹͤ����, ����$\zeta$��ȯ��$D$�ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \zeta = \Dvect{k} \cdot \nabla \times \Dvect{V} = \Dlapla \Psi,
  \quad
  D = \Ddiv \Dvect{V} = \Dlapla \chi .
\end{eqnarray}
%
������蘆����ޤ�Ф����μ���$\Psi$��$\chi$�ˤĤ��Ʋ򤯤��Ȥ������.
���٤μ���(4-1)��$\Dvect{k} \cdot \nabla \times$���뤳�Ȥ�������.
���, �ʲ��μ���������.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\zeta}{t} + \Dvect{V} \cdot \nabla \zeta + (f+\zeta) \Ddiv \Dvect{V}
  = 0.
\end{eqnarray}
%
ȯ���μ���(4-1)��$\Ddiv$���뤳�Ȥ������, �ʲ��Τ褦�ʼ��ˤʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{D}{t} + \Ddiv (\Dvect{V} \cdot \nabla \Dvect{V}) + \Dlapla \phi
  - f \zeta = 0.
\end{eqnarray}
%
®����ʬ�Υ�������ϰʲ��Τ褦�ˤʤäƤ���.
%
\begin{eqnarray}
 \Dvect{V}_{\Psi} \sim V,
  \quad
  \Dvect{V}_{\chi} \sim R_1 V.
\end{eqnarray}
%
$R_1$�Ͼ�����̵�����ο��ȷ�ޤäƤ���
\footnote{
 $R_1$�ϱ��٤��Ф���ȯ������Ȥ������ꤷ���ͤǤ���,
 ���켫�Τ�ʪ��Ū�ʰ�̣������櫓�ǤϤʤ�.
 ����������ˤǤ�, $R_1$��Ŭ�����ͤˤȤäƥ�������󥰤�ԤäƤ���.
 �ʤ�, �����2-6��κǸ���о줷�������ӡ����Τ��ȤǤ���.
}.
(4-13)��(4-9)��������, (4-17)�����Ѥ���Ȱʲ��Τ褦�˥���������ϤǤ���.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\phi'}{t} \ + \ \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \phi' \
  + \ \Dvect{V}_{\chi} \cdot \nabla \phi' \
  + \ \phi' \Ddiv \Dvect{V}_{\chi} \
  + \ \overline{\phi} \Ddiv \Dvect{V}_{\chi} = 0,
  \nonumber \\
 R_O F \overline{\phi} \frac{V}{L}  \hspace{3mm}
  R_O F \overline{\phi} \frac{V}{L}  \hspace{3mm}
  R_1 R_O F \overline{\phi} \frac{V}{L}  \hspace{3mm}
  R_1 R_O F \overline{\phi} \frac{V}{L}  \hspace{5mm}
  R_1 \overline{\phi} \frac{V}{L} \hspace{9mm}
\end{eqnarray}
%
�Ǹ�ιब�Х�󥹤��뤿��ˤ�
%
\begin{eqnarray}
 R_1 \lesssim R_O F
\end{eqnarray}
%
�Ǥʤ���Фʤ�ʤ�
\footnote{
 �⤷��$R_1 > R_O F$�Ǥ�����ˤϺǸ�ι��������Ƥιब����������
 ���, $\overline{\phi} \Ddiv \Dvect{V}_{\chi} = 0$�Ȥ������ˤʤä�
 ���ޤ�, ʣ���ιब�Х��(�ѹ�)���뼰�ˤʤ�ʤ��Τǰ�̣��̵���ʤäƤ�
 �ޤ�.
}.
���٤μ�(4-15)��(4-13)���Ѥ��ƽ�ľ��, ����������Ϥ򤪤��ʤ���
�ʲ��μ���������.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\zeta}{t} \ + \ \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \zeta \
  + \ \Dvect{V}_{\chi} \cdot \nabla \zeta \
  + \ fD \ + \ \zeta D \ 
  = \ 0,
  \nonumber \\
 \frac{V^2}{L^2} \hspace{10mm}
  \frac{V^2}{L^2} \hspace{12mm}
  R_1 \frac{V^2}{L^2} \hspace{6mm}
  \frac{R_1}{R_O} \frac{V^2}{L^2} \hspace{1mm}
  R_1 \frac{V^2}{L^2} \hspace{8mm}
\end{eqnarray}
%
���Υ���������ϤǤ�$\zeta \sim V/L$, $D \sim R_1 V/L$,
$f \sim (1/R_O)(V/L)$
\footnote{
 �����ӡ���$R_O$��$R_O = V/fL$�Ǥ���.
}
��Ȥä�.
ȯ���μ�(4-16)��񤭴����ƥ���������Ϥ���Ȱʲ��μ���������.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{D}{t} \
  + \ \Ddiv (\Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \Dvect{V}_{\Psi}) \
  + \ \Ddiv (\Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \Dvect{V}_{\chi}) \
  + \ \Ddiv (\Dvect{V}_{\chi} \cdot \nabla \Dvect{V}_{\Psi}) \
  \nonumber \\
 R_1 \frac{V^2}{L^2} \hspace{14mm}
  \frac{V^2}{L^2} \hspace{22mm}
  R_1 \frac{V^2}{L^2} \hspace{22mm}
  R_1 \frac{V^2}{L^2} \hspace{8mm}
  \\
 \nonumber \\
  + \ \Ddiv (\Dvect{V}_{\chi} \cdot \nabla \Dvect{V}_{\chi}) \
  + \ \Dlapla \phi' \
  - \ f \zeta \ = \ 0. \hspace{20mm}
  \nonumber \\
 {R_1}^2 \frac{V^2}{L^2} \hspace{13mm}
  \frac{1}{R_O} \frac{V^2}{L^2} \hspace{2mm}
  \frac{1}{R_O} \frac{V^2}{L^2} \hspace{26mm}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
���٤μ�(4-20)�ˤ�����ȯ���ιब�Х�󥹤��뤿��ˤϰʲ��δط���
����Ω��ɬ�פ�����.
%
\begin{eqnarray}
 R_1 \lesssim R_O.
\end{eqnarray}
%
ȯ���α��٤��Ф�����ϰʲ��Τ褦�˽񤱤�.
%
\begin{eqnarray}
 \frac{|D|}{|\zeta |} = R_1.
\end{eqnarray}
%
$R_1$��(4-19)��(4-22)�������ͤФʤ�ʤ�. $L=\mu^{-1}$, $\overline{\phi}=gH$
�ξ��, ����ϥ����ӡ��Ȥξ��η��(3-59)
\footnote{
 $$
  \left| \frac{D}{\zeta} \right|_{R} =
  \frac{(U \mu /f)}{(\mu^2 g H / f^2) + 1}
  \eqno \textrm{(3-59)}
 $$
}
�Ȱ��פ���\footnote{����˴ؤ��Ƥ�{\bfseries 4-2-C}����.}.
�Ϥ���ž������, ȯ���ϱ��٤���پ�����.

$F \sim 1, R_O \ll 1$����������ư��ͤ���.
���ξ��, (4-19)��(4-22)��$R_1 = R_O$�ˤ�ä����������.
(4-18), (4-20), (4-21)�ˤ�����¾�ι����٤ƾ�����������������.
���, �������Ϥϰʲ��Τ褦�˴�ñ�ˤʤ�
\footnote{
 ���$R_1 \ll 1$, $R_O \ll 1$�Ǥ��뤳�Ȥ����Ѥ��ƹ����Ȥ�.
}.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\phi'}{t} + \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \phi' + \overline{\phi} D
  &=& 0,
  \\
 \DP{\zeta}{t} + \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \zeta + f D
  &=& 0,
  \\
 \Dlapla \phi' \hspace{20mm} - f \zeta &=& 0.
\end{eqnarray}
%
(4-26)���鱲�٤��Ϲ���Ū�Ǥ��뤳�Ȥ�ʬ����. $\zeta = \Dlapla \Psi$��Ƴ��
�����, ή���ؿ��β��$\Psi = \phi' / f$�Ȥʤ�.
���Τ��Ȥ������β�ž��ʬ�ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \Dvect{V}_{\Psi} = \Dvect{k} \times \nabla \Psi
  = f^{-1} \Dvect{k} \times \nabla \phi'.
\end{eqnarray}
%
������Ϲ���(4-11)��������.
������(4-24), (4-25), (4-26)�ޤ���(4-27)��{\bfseries ���Ϲ�ή������}
({\itshape quasi-geostrophic equations})�ȸƤФ��.
���٤Ȱ�ή�����Ϲ���Ū�Ǥ��뤬, ȯ���Ϥ����ǤϤʤ�(���Υ�ǥ�Ǥ�
�Ϲ���Ū��ȯ���ϥ����Ȥʤ�).
(4-23)�Ǥ�ȯ���ϱ��٤���٤ƾ������ä���, (4-25), (4-26)�Ǥ�ȯ����
��Υ���������¾�ι��Ʊ���礭������äƤ���.

(4-25)����$(f/\overline{\phi})$�򤫤���(4-24)��������Ȥ�ȯ�����������
�������뤳�Ȥ������. ���η��, �ʲ��μ���������.
%
\begin{eqnarray}
 \left( \DP{}{t} + \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \right)
  \left( \zeta - (f/ \overline{\phi}) \phi' \right) = 0.
\end{eqnarray}
%
�����{\bfseries ���Ϲ�ή�ݥƥ󥷥�뱲��������}
({\itshape quasi-geostrophic potensital vorticity equation})
�ȸƤФ��.
���μ���
$g^{-1} \overline{\phi} q = (\zeta + f) /(1 + \phi' / \overline{\phi})$
��Ÿ��������ʬ���뤳�ȤǤ�������
\footnote{
 $q$�ϥݥƥ󥷥�뱲��$q = (\zeta + f) / h$�ʤΤ�,
 %
 \begin{eqnarray}
  g^{-1} \overline{\phi} q
   &=& \overline{h} (\zeta + f) / h
   \nonumber \\
  &=& \overline{h} (\zeta + f) / (\overline{h} + h')
   \nonumber \\
  &=& (\zeta + f) / (1+ h'/\overline{h})
   \nonumber \\
  &=& (\zeta + f) / (1+ \phi'/\overline{\phi})
   \nonumber
 \end{eqnarray}
 %
 �Ǥ���.
}
\footnote{
 �����ǤϷ��, ���Ϲ�ή�ݥƥ󥷥�뱲����������2�̤����ˡ��
 ��᤿���Ȥˤʤ�.
 �ܺ٤�{\bfseries 4-2-D}���ȤΤ���.
}.
�����, ���Υ�ǥ�ˤ�����ݥƥ󥷥�뱲��������(3-39b)
\footnote{
 $$
  \DD{}{t} \left( \frac{\zeta + f}{h} \right) = 0.
  \eqno \textrm{(3-39b)}
 $$
}
�ζ���Ȥ��Ƥ������Ǥ���.
(4-26)��(4-27)��Ȥ���, (4-28)��$\phi'$�ι������ɽ�����Ȥ������
\footnote{
 $\Dvect{V}_{\Psi}$��(4-27)��, $f, \zeta$��(4-26)���������뤳�Ȥ�
 $\phi'$�����μ���񤯤��Ȥ������.
}.

ȯ���˴ؤ��������������(4-26)��Ȥä�(4-24)��(4-25)�ǻ�����ʬ��ä�����
�����뤳�Ȥ������.
�����������ϰʲ��Τ褦�ˤʤ�
\footnote{
 ���μ���Ƴ�Ф˴ؤ��Ƥ� {\bfseries 4-2-A}����.
}.
%
\begin{eqnarray}
 \Dlapla D - (f^2/\overline{\phi}) D = (1/f \overline{\phi})
  \Dvect{k} \times \nabla \phi' \cdot \nabla (\Dlapla \phi').
\end{eqnarray}
%
���μ���{\bfseries ���Ϲ�ήȯ��������}
({\itshape quasi-geostrophic divergence equation})�ȸƤФ��.
���������������Ϥ���ˡ�������������, (3-57)
\footnote{
 $$
  \DP[2]{u}{x} - (f^2/gH) u = \frac{U}{H} \DP[2]{h}{x}.
  \eqno \textrm{(3-57)}
 $$
}
��$x$��ʬ������Τˤʤ�.
�ä˽��פʤΤ�, ȯ����ľ��$\phi'$��ȴط�������Ȥ������ȤǤ���.
Ʊ�ͤ�, (4-26)���̤��Ʊ��٤ȴط������뤳�Ȥ���פǤ���.
�����ή���ϳ�Ū�ˤ�������
\footnote{
 ���ݳ�Ū�ˤ�, �㵤���Τ褦�ʼ�«(ȯ��)���������ळ�Ȥ����ʬ�����̤�,
 ���٤�ȯ���ˤϴط��������礬¿��. ������, ή���ϳ�Ū�ˤϱ��٤�ȯ����
 ������ʪ�Ǥ���, ������������������ȸ�����.
}.
����ϷϤζ�����ž�η�̤Ǥ���.

���������㵤���Υ�������Ǥα�ư($L \sim 10^6$ m ,
$f \sim 10^{-4}$ sec$^{-1}$, $\overline{\phi}^{1/2} = 300$ m sec$^{-1}$ )
�ˤ����Ƥ�$F \sim 0.1$�Ǥ���.
����$F \sim 1$�Ǥβ��Ϥ�, ����ǹԤ�������������󥰤Ȥ���ӤΤ����
�����ʤ�줿.
����ϼ�����ǻȤ���.
$F \sim R_O \ll 1$�Ȥ����, (4-19)���$R_1 = {R_O}^2$�Ǥ���.
���٤μ�(4-20)�Ϥ��ξ�ﲽ�Ǥ�
%
\begin{eqnarray}
 \DP{\zeta}{t} + \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \zeta = 0
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
�����ȯ����̵���簵�����������Ǥ���
\footnote{
 {\bfseries �簵}({\itshape barotropic})��
 {\bfseries ����}({\itshape baroclinic})�˴ؤ��Ƥ�
 {\bfseries 4-2-B}���ȤΤ���.
}.
���ξ���Ϣ³�μ���ɬ�פʤ�.
�ޤ�, ȯ���μ��ϺƤ��Ϲ�ήŪ�ط���(4-27)��Ϳ����.

���פʤ��Ȥ�, ���������ͽ��������
\footnote{
 ����ɽ���Ͽ������������б����Ƥ���.
 ͽ���������ϻ�����ʬ�ι��ޤ�褦���������ϤǤ���,
 �����������ϻ�����ʬ�ι��ޤޤʤ��������Ǥ���.
}
(4-28), (4-30)�Ͻ�����֤ξ����ʸ�����
�Ҵ��Ǥʤ��Ȥ����Ǥ���.
�����������������ƤιबƱ����������������Ǥ���.
������ħ�ϥ��ꥸ�ʥ�μ�(4-1), (4-2)�ˤ�̵����ΤǤ���.



%\begin{center}
% {\bf 
% --------------------------------------
% ��ʸ�����ޤ�
% --------------------------------------
% } 
%\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             �ʲ���Appendix             %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%   Appendix �Ѥ� Counter, OutputFormat ������   %%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%
%\setcounter{chapter}{2}
%\setcounter{section}{0}
%\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}
\setcounter{figure}{0}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Counter Output Format           %%%%%%%%
\def\theequation{A-\arabic{equation}}
%\def\thesection{\arabic{chapter}-\arabic{section}}
%\def\thesubsection{\arabic{chapter}-\arabic{section}-\arabic{subsection}}
\def\thefigure{A-\arabic{figure}}
\def\thetable{A-\arabic{table}}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      4-2-A      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{4-2-A\qquad ���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{4-2-A-\arabic{equation}}


���Ϲ�ήȯ��������(4-29)����Ϲ�ή������(4-24)��(4-27)����Ƴ�Ф���.
(4-24)��(4-25)���������ʬ��õ��褦�˷׻��򤪤��ʤ����Ȥ�(4-29)��
���뤳�Ȥ������. ����������2�������Ǥϻ�����ʬ��õ�Ǥ��ʤ�����,
(4-26), (4-27)���Ѥ���.

(4-26)���$\zeta = f^{-1} \Dlapla \phi'$�ʤΤ�, ������Ѥ��뤳�Ȥ�
(4-25)�ϰʲ��Τ褦�˵��ҤǤ���.
%
\begin{eqnarray}
 \frac{1}{f} \Dlapla \DP{\phi'}{t}
  + \frac{1}{f} (\Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla) (\Dlapla \phi')
  + f D &=& 0
  \nonumber \\
 \Deqlab{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��1}
  \Dlapla \DP{\phi'}{t}
  + (\Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla) (\Dlapla \phi')
  + f^2 D &=& 0.
\end{eqnarray}
%
(4-24)��$\Dlapla$�򤫤����,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��2}
  \Dlapla \DP{\phi'}{t} + \Dlapla (\Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \phi')
  + \overline{\phi} \Dlapla D = 0
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
\Deqref{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��2}����
\Deqref{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��1}�������,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��3}
  \overline{\phi} \Dlapla D - f^2 D
  &=& (\Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla) (\Dlapla \phi')
  - \Dlapla (\Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \phi')
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�, ������ʬ�ι��õ�Ǥ���.
�����(4-27)$\Dvect{V}_{\Psi} = f^{-1} \Dvect{k} \times \nabla \phi'$��
\Deqref{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��3}�����������,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��4}
  \overline{\phi} \Dlapla D - f^2 D
  &=& \frac{1}{f}
  \left\{ (\Dvect{k} \times \nabla \phi')  \cdot \nabla \right\}
  (\Dlapla \phi')
  - \Dlapla \left\{ (\Dvect{k} \times \nabla \phi') \cdot \nabla \phi' \right\}
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
\Deqref{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��4}�α�����2���
%
\begin{eqnarray}
 \Dlapla \left\{ (\Dvect{k} \times \nabla \phi') \cdot \nabla \phi' \right\}
  &=& \Dlapla
  \left\{
   \left( - \DP{\phi'}{y} \Dvect{i} + \DP{\phi'}{x} \Dvect{j} \right)
   \cdot
   \left( \DP{\phi'}{x} \Dvect{i} + \DP{\phi'}{y} \Dvect{j} \right)
  \right\}
  \nonumber \\
  &=& 0
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ뤿��,
\Deqref{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��4}�ϰʲ��ν��Ϲ�ήȯ��������
(4-29)�Ȥʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-���Ϲ�ήȯ����������Ƴ��5}
  \Dlapla D - \frac{f^2}{\overline{\phi}} D
  &=& \frac{1}{f \overline{\phi}}
  (\Dvect{k} \times \nabla \phi')  \cdot \nabla
  (\Dlapla \phi').
\end{eqnarray}




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      4-2-B      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{4-2-B\qquad �簵�ȷ���}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{4-2-B-\arabic{equation}}


�����Ǥϴ�ñ��{\bfseries �簵}({\itshape barotropic})��
{\bfseries ����}({\itshape baroclinic})�ˤĤ��ƹͤ���.

\begin{Dlist}[�簵 ]
 \item[����] �����Ȥ������̤���̩���̤�������֤Τ��Ȥ����.
	     ������������갵��, ̩��, ���٤�3�Ĥϴط��դ����Ƥ���Τ�,
	     �����������̤������̤����äƤ�����֤Ȥ������.
	     �Ĥޤ�, �����̾����̩���������������Ҥ�����, ����Ϸ�����
	     ����Ȥ������Ȥˤʤ�.

	     �����絤�Ǥ������̾�ǲ��٤��Ѳ������뤿��, �������δط���
	     �����®�Ϲ��٤ȶ������礹��.
	     �絤�˸¤餺, �ַ����פʾ��֤ǤϹ��٤ȶ���ή®����Ѳ�����.
	     
	     
 \item[�簵] �簵�Ȥ������̤���̩���̤�ʿ��(�Ĥޤ����ʤ�)���֤Τ���
	     �����.
	     
	     ���ξ��֤Ǥ�ή®��Ϲ��٤ȶ����Ѳ����ʤ�.

	     �����̾��̩�٤��Ѳ����ʤ�����, ���ϰ���Ǥ�ȯ���ϥ����ˤʤ�.
\end{Dlist}

  




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      4-2-C      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{4-2-C\qquad �����ӡ��Ȥˤ����뱲�٤�ȯ������}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{4-2-C-\arabic{equation}}


$L=\mu^{-1}$, $\overline{\phi}=gH$�Ǥ������,
�����ӡ��Ȥˤ����뱲�٤�ȯ������(3-59)
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-�����ӡ��Ȥˤ����뱲�٤�ȯ������1}
  \left| \frac{D}{\zeta} \right|_{R} =
  \frac{(U \mu /f)}{(\mu^2 g H / f^2) + 1}
\end{eqnarray}
%
��(4-19), (4-22)
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-���٤�ȯ������}
  R_1 \lesssim R_O F, \qquad
  R_1 \lesssim R_O
\end{eqnarray}
%
�Ȱ��פ��뤳�Ȥ򼨤�.
�ʤ�, $R_1$�ϱ��٤�ȯ������ʤΤ�$R_1 = |D/\zeta|$�Ǥ��뤳�Ȥ˵���Ĥ���
����.
�����ӡ��Ȥˤ�����$R_1$��
\Deqref{hw-03-02-�����ӡ��Ȥˤ����뱲�٤�ȯ������1}��
$L=\mu^{-1}$, $\overline{\phi}=gH$���,
%
\begin{eqnarray}
 R_1 = \left| \frac{D}{\zeta} \right|_{R}
  = \frac{(U /fL)}{(\overline{\phi}/ f^2 L^2) + 1}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. ������, �����ӡ���$R_O = V / FL$, ��ž�ե롼�ɿ�
$F = f^2 L^2 / \overline{\phi}$���,
%
\begin{eqnarray}
 R_1 = \frac{R_O}{1/F + 1} = \frac{R_O F}{1 + F}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. ���,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-�����ӡ��Ȥˤ����뱲�٤�ȯ������2}
  R_1 \sim
  \Bigg\{
  \begin{array}{c}
   R_O \qquad (F > 1) \\ R_O F \qquad (F \lesssim 1)
  \end{array}
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
���μ�����, \Deqref{hw-03-02-�����ӡ��Ȥˤ����뱲�٤�ȯ������2}��
\Deqref{hw-03-02-���٤�ȯ������}�Ȱ��פ��뤳�Ȥ��狼�ä�.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      4-2-D      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{4-2-D\qquad ���Ϲ�ή��������2�̤�ε����}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{4-2-D-\arabic{equation}}


��ʸ�Ǥ�, ������������[(4-1), (4-2) �ޤ��� (3-35a), (3-35b), (3-38)]
����, 2�Ĥ�����Ԥäƽ��Ϲ�ή�ݥƥ󥷥�뱲��������(4-28)��Ƴ����.
1���ܤ����������������Ϥ��Ϲ�ή��������󥰤�ԤäƤ�
���Ϲ�ή��������(4-24), (4-25), (4-26)��Ƴ�ФǤ���.
������2���ܤ�����, �����������Ϥ��Ȥ߹�碌�뤳�ȤǤ�
�ݥƥ󥷥�뱲�٤μ�(4-28)��Ƴ�ФǤ���.

���Ϲ�ή�ݥƥ󥷥�뱲���������Ϥ�, �ݥƥ󥷥�뱲�٤μ���Ƴ�Ф�
����Ϲ�ή��������󥰤�ԤäƤ�Ƴ�Ф��뤳�Ȥ������.
��ʸ��Ρ֤��μ���
$g^{-1} \overline{\phi} q = (\zeta + f) /(1 + \phi' / \overline{\phi})$
��Ÿ��������ʬ���뤳�ȤǤ�������.�פȤ������Ҥ�
�������ä����Ȥ򼨺����Ƥ���.
�ʲ��Ǥϼºݤˤ���Ƴ�Ф�ԤäƤߤ�.

������������[(3-35a), (3-35b), (3-38)]����ݥƥ󥷥�뱲�٤μ���
Ƴ�Ф�����ˡ��2-6��򻲾Ȥ����ߤ���.
���, �ʲ��Υݥƥ󥷥�뱲�٤μ�(3-39b)��������.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-�ݥƥ󥷥�뱲����¸��}
  \DD{}{t} \left( \frac{\zeta + f}{h} \right) = 0.
\end{eqnarray}
%
�ޤ�, �ݥƥ󥷥�뱲��$(\zeta + f)/ h$�ϰʲ��Τ褦���ѷ��Ǥ���.
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\zeta + f}{h} &=& \frac{\zeta + f}{\overline{h} + h'}
  \nonumber \\
 &=& \frac{1}{\overline{h}}
  \left( \frac{\zeta + f}{1 + h'/\overline{h}} \right)
  \nonumber \\
 &=& \frac{1}{\overline{h}}
  \left( \frac{\zeta + f}{1 + \phi'/\overline{\phi}} \right)
  \nonumber \\
 &=& \frac{1}{\overline{h}} \left( \zeta + f \right)
  \left\{
   1 - \left( \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)
   + \frac{1}{2!} \left( \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)^2
   - \frac{1}{3!} \left( \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)^3
   + \cdots 
  \right\}.
  \nonumber 
\end{eqnarray}
%
�����Ǥ�, $1/(1 + \phi'/\overline{\phi})$��$\phi'/\overline{\phi} = 0$
�μ���ǥƥ��顼Ÿ������.
2��ʾ�ι�������Ǥ���Ȥ���̵�뤹���,
%
\begin{eqnarray}
 \frac{\zeta + f}{h}
  &\simeq& \frac{1}{\overline{h}} \left( \zeta + f \right)
  \left( 1 - \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)
  \nonumber \\
 &=& \frac{1}{\overline{h}}
  \left(
   \zeta \quad + \quad \zeta \frac{\phi'}{\overline{\phi}}
   \quad + \quad f \quad + \quad f \frac{\phi'}{\overline{\phi}}
  \right).
  \nonumber \\
 & &
  \hspace{6mm}
  \frac{V}{L} \hspace{9mm}
  R_O F \frac{V}{L} \hspace{5mm}
  \frac{1}{R_O} \frac{V}{L} \hspace{9mm}
  F \frac{V}{L} \hspace{5mm}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
���β��ˤĤ��Ƥ���Τϥ�������Ǥ���.
��ʸ�ǽ��Ϲ�ή��������Ƴ�����ݤ�Ʊ���褦��
$F \sim 1$, $R_O \ll 1$����������ư��ͤ����,
$\zeta (\phi' / \overline{\phi})$�ι�ϥ������뤬��������������,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-�ݥƥ󥷥�뱲�٤��Ϲ�ή���}
  \frac{\zeta + f}{h}
  &\simeq& \frac{1}{\overline{h}}
  \left(
   \zeta + f + f \frac{\phi'}{\overline{\phi}}
  \right)
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
 �Ĥä�3�Ĥι����, $f$�Υ��������¾��2�Ĥ����礭��.
 ������, ���θ�ǥݥƥ󥷥�뱲�٤϶���, ������ʬ�����Τ�
 $f$�Ͼ��Ǥ���. 
}.
\Deqref{hw-03-02-�ݥƥ󥷥�뱲�٤��Ϲ�ή���}��
\Deqref{hw-03-02-�ݥƥ󥷥�뱲����¸��}�����Ѥ���
����������Ϥ���Ȱʲ��Τ褦�ˤʤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \DP{}{t} \left( \zeta + f + f \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)
  + \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \left( \zeta + f + f \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)
  + \Dvect{V}_{\chi} \cdot \nabla \left( \zeta + f + f \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)
  &=& 0
  \nonumber \\
 \DP{}{t} \left( \zeta  + f \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)
  + \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \left( \zeta + f \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)
  + \Dvect{V}_{\chi} \cdot \nabla \left( \zeta + f \frac{\phi'}{\overline{\phi}} \right)
  &=& 0.
  \nonumber \\
  \frac{V^2}{L^2} \hspace{35mm}
  \frac{V^2}{L^2} \hspace{28mm}
  R_1 \frac{V^2}{L^2} \hspace{7mm}
  & &
  \nonumber \\
  \Deqlab{hw-03-02-�ݥƥ󥷥�뱲�٤μ��Υ��������}
\end{eqnarray}
%
���Υ���������ϤǤ�, ��ñ�Τ���, $F=1$�Ȥ��Ƥ���.
��ʸ�Ǥν��Ϲ�ή��������Ƴ�ФκݤΥ�������󥰤�Ʊ�ͤ�
$R_1 = R_O$�Ȥ����, $R_O \ll 1$���$R_1 \ll 1$�ʤΤ�,
\Deqref{hw-03-02-�ݥƥ󥷥�뱲�٤μ��Υ��������}��
��3��������.
��̤Ȥ�����ʸ������줿(4-28)��Ʊ�����Ϲ�ή�ݥƥ󥷥�뱲����������
����줿.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-03-02-���Ϲ�ή�ݥƥ󥷥�뱲��������}
  \left( \DP{}{t} + \Dvect{V}_{\Psi} \cdot \nabla \right)
  \left( \zeta - (f/ \overline{\phi}) \phi' \right) = 0. 
\end{eqnarray}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      Appendix        %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\subsection*{Appendix \qquad }

%\subsubsection*{}


%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
