%
% Chapter 4   Atmospheric Waves: Part II
%             4-4 SOME UNSTABLE PROFILES
%
% 2002/11/23  ���� ����   ����
% 2002/12/06  ���� ����   ����
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Subtitle, Date, Filename Setting     %%%%%%%%
\markboth{5-4 2�Ĥ��԰���ץ��ե�����}{5-4 2�Ĥ��԰���ץ��ե�����}
%\markright{4-4 2�Ĥ��԰���ץ��ե�����}
%\Ddate{2002/12/06}
%\Dfile{hw-04-04.tex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%
\setcounter{chapter}{5}
\setcounter{section}{3}
\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{20}
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Counter Output Format           %%%%%%%%
\def\thesection{\arabic{chapter}-\arabic{section}}
\def\thesubsection{\arabic{chapter}-\arabic{section}-\arabic{subsection}}
\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}}
\def\thefigure{\arabic{chapter}-\arabic{figure}}
\def\thetable{\arabic{chapter}-\arabic{table}}
%\def\thefootnote{\arabic{footnote})}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Text Start                %%%%%%%%

\section{2�Ĥ��԰���ץ��ե�����}

\begin{itembox}[l]{����}
 \Dparskip \vspace{-6mm}
 �����å�����������������2��������Υץ��ե�����ˤĤ���,
 �����԰�������ͻ�����.

 �ޤ�, ξ�������Υץ��ե�������ж����ؿ���Ϳ��, ������԰�������ɬ�׾��
 (5-14)���Ѥ��ƶ���Ū���԰���������Ƴ��.

 ����, ���ͷ׻��ˤ�ä�����줿, ̵���������줿����®��, �ȿ�, �����
 �԰������ĹΨ�δط��򼨤�������դ���, ����3�Ĥ��ͤδط���ͤ�,
 �԰������ˤĤ��ƹͻ�����.
 �����2���������ξ���ˤĤ��Ƥ����ʤ�.

 ���θ�, �簵�԰����Ȥι�¤��Ĵ�٤�. 2�������$y$���Ф���
 ����, �����(5-20)����, ����2��������Υץ��ե�����Ͼ����
 �������뤳�Ȥ��狼��.
\end{itembox}

%
% �ж����ؿ��ˤĤ��Ƥ�
%     http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_1/expfunc2.html
% �򻲾ȤΤ���
%

������Ǥ�, �����絤�����δ��ܾ����Ū��ɽ���Ƥ���褦��
2�������®�ץ��ե�����ΰ������ˤĤ��ƹͤ���.
�����åȤΥץ��ե�����ϰʲ��Τ褦��Ϳ������
\footnote{
 $\sech$��{\bf �ж�������ؿ�}({\it hyperbolic second funcdion\/})��
 �ƤФ��ؿ��ǰʲ��Τ褦����������.
 %
 \begin{eqnarray}
  \sech x= 2/ (e^x + e^{-x}).
   \nonumber
 \end{eqnarray}
 %
}.
%
\begin{eqnarray}
 U = U_0 \sech^2 (y/y_0).
\end{eqnarray}
%
�������Υ����Υץ��ե�����ϰʲ��μ���Ϳ������
\footnote{
 $\tanh$��{\bfseries �ж������ܴؿ�}({\itshape hyperbolic tangent})��
 �ƤФ��ؿ��ǰʲ��Τ褦����������.
 %
 \begin{eqnarray}
  \tanh x = (e^x - e^{-x})/(e^x + e^{-x}).
   \nonumber
 \end{eqnarray}
 %
 ;�̤ʤ���$\sinh${\bfseries �ж��������ؿ�}({\itshape hyperbolic sine})
 ��$\cosh${\bfseries �ж���;���ؿ�}({\itshape hyperbolic cosine})
 ������⵭�Ҥ��Ƥ���.
 %
 \begin{eqnarray}
  \sinh x = (e^x - e^{-x})/2,
   \nonumber \\
  \cosh x = (e^x + e^{-x})/2.
   \nonumber
 \end{eqnarray}
}.
%
\begin{eqnarray}
 U = U_0 \tanh (y/y_0).
\end{eqnarray}
%
�����åȤΥץ��ե�����(5-21)��{\bfseries �ӥ��졼�����å�}
({\itshape Bickley jet})�Ȥ����Τ��Ƥ���.
���������Ͽ�5-1, 4-2�˼�����Ƥ���.
%
\begin{figure}[htb]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/hwfig-04-01_02.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize $U=U_0 \sech^2 y/y_0$.  \hspace{20mm}}
  ��5-2: {\footnotesize $U=U_0 \tanh y/y_0$.}
  }
  \Dfiglab{hwfig-04-01_02}
 \end{quote} 
\end{figure}
%
\setcounter{figure}{2}
%
(5-21)�Τ褦��������᤯�����å�($U_0 > 0$)�ϤۤȤ�ɤ��Ĥ�����پ����
¸�ߤ��Ƥ���.
�줫��᤯�����å�($U_0 < 0$)��1ǯ�Τ����Τ�������λ�����Ǯ�ӤǸ�����.
(5-22)�Τ褦���������Υ�����Ǯ�Ӽ�«�ӤǸ�����.

$\beta = 0$�Ǥ�����, ��5-1, 4-2�ζ�Ψ�������Ѳ�����
(�Ĥޤ�, ��Ψ$d^2 U/dy^2$���Ѷ���$d^2 U/dy^2 = 0$�����) �Τ�,
����ξ������®�ץ��ե���������餫���԰����ɬ�׾��(5-14)��������
\footnote{
 ���ʤߤ˥����åȤΥץ��ե�����$U = U_0 \sech^2 (y/y_0)$��
 $\tanh (y/y_0) = \pm \sqrt{1/3}$��������$y$���Ѷ��������,
 �����������Υץ��ե�����$U = U_0 \tanh^2 (y/y_0)$��$y=0$��
 �Ѷ��������.
 �ܤ�����{\bfseries 5-4-A}���ȤΤ���.
}.
����Ū�ˤ�, �԰����ɬ�׾��ϰʲ��Τ褦�˵��ҤǤ���.
%
\begin{eqnarray}
 \left( \DD[2]{U}{y} \right)_{\textrm{max}} > \beta.
\end{eqnarray}
%
���ξ���, �ץ��ե�����(5-21), (5-22)��3����ʬ�򥼥��Ȥ���
($d^3 U / dy^3 = 0$), $(d^2 U /dy^2)_{\textrm{max}}$�˴ؤ���
�򤯤��Ȥ����뤳�Ȥ������
\footnote{
 �ܺ٤�{\bfseries 5-4-B}����.
}.
�ӥ��졼�����åȤˤ�����, �԰����ɬ�פʾ���
%
\begin{eqnarray}
 -2 < b < 2/3
\end{eqnarray}
%
�Ǥ���. $b$��
%
\begin{eqnarray}
 b = \beta {y_0}^2 / U_0
\end{eqnarray}
%
�Ǥ���. �������������Υץ��ե�����ˤ��������
%
\begin{eqnarray}
 |b| < 4/(3 \sqrt{3})
\end{eqnarray}
%
�Ǥ���.
$b$�����$\mu y_0$�Τ����ͤ˴ؤ�����Ω�򤬸��Ĥ��äƤ����������Ƥ�,
��ͭ������(5-5)��(5-21)��(5-22)�˴ؤ��Ʋ���Ū�ˤϲ򤱤ʤ�.
Kuo(1973)
��, (5-5)�����Ū����ʬ���뤳�Ȥ�, ���θ�ͭ�������(5-21), (5-22)��
�ؤ��Ʋ򤤤�.
������, �������(5-6)��������$c$���᤿.

��5-3��,
������̵�±�˰�ư����($d \rightarrow \infty$)�褦�ʥӥ��졼�����å�(5-21)
�˴ؤ���Kuo(1973)
����᤿
̵�����θ�ͭ��$c_r/U_0$��$\delta = \mu y_0 c_i / U_0$
\footnote{
 4-2��ˤƾ������ư��$e^{i \mu (x - ct)}$���֤�,
 4-3��ˤ��԰����ͤ��뤿���$c = c_r + i c_i$�Ȥ���.
 ����ˤ����ư���$e^{i \mu (x - ct)} = \exp\{i \mu (x -c_r t)\}
 \exp \{- \mu c_i t\}$�Ȥʤ�.
 ��ä��԰����Ȥΰ���®�٤�$c_r$��, �԰������ĹΨ��$\mu c_i$�ˤʤ�.
 ������̵�����������, ���줾��$c_r / U_0$, $\mu y_0 c_i / U_0$
 �Ȥʤ�. 
}
�򼨤��Ƥ���.
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/hwfig-04-03.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize $U = U_0 \sech^2 (y/y_0)$�θ�ͭ��.
  (a) $\mu y_0$��$c_r/U_0$�δؿ�$b$. 
  (b) $b$�����̵�����ȿ�$\mu y_0$�δؿ��Ǥ�����ĹΨ$\delta$.
  (From H.L. Kuo, {\itshape Dynamics of Quasi-geostrophic Flows.}
  Academic Press, 1973).
  �ʤ�, ���οޤ�
  Haltiner, G. J., and Williams, R. T., 1979:
	Numerical Prediction and Dynamic Meteorology.
	{\itshape John Wiley \& Sons,} 477pp���ž��.}
  }
  \Dfiglab{hwfig-04-03}
 \end{quote}
\end{figure}
%
���ʤߤ�$b > 0$�������Ǥ���, ����$b < 0$�������Ǥ���
\footnote{$\beta>0$, ${y_0}^2 > 0$�ʤΤ�, $b$��$U_0$������ϰ��פ���.}.
��5-3a��, �����Υ����å�($b>0$)�˴ؤ��Ƥ�,
�԰����Ȥΰ���®�٤�
�����å����κ���®�٤�50�ѡ�����Ȱʲ���®�٤����,
������Ǥ��뤳�Ȥ򼨤��Ƥ���
\footnote{
 ��5-3a��$b>0$�����򸫤��, $c_r/U_0 < 0.5$�Ǥ���.
 �����å����κ���®�٤�(5-21), (5-22)���$U_0$�ʤΤ�,
 ���Τ��Ȥ��ְ���®�٤ϥ����å����κ���®�٤�50�ѡ�����Ȱʲ��פǤ��뤳
 �Ȥ򼨤��Ƥ���.
 �ޤ�, $b>0$���$U_0>0$�Ǥ��뤿��, $c_r/U_0>0$����$c_r>0$�Ǥ��뤳�Ȥ�
 �狼��. ���Τ��Ȥ��ְ���®�٤�������Ǥ���פ��Ȥ򼨤��Ƥ���.
}.
�����Υ����åȤξ��ˤ�, ����®�٤������å����κ���®�٤�2.5
�ܤ��������®�٤����Τ⤢��.
����ϥ����ӡ��ȸ��̤Ǥ���[(5-9)����],
$b,$����ꤷ����Ĺ���礭�����Ƥ���(�ȿ��ǹͤ����$\mu \rightarrow0$)
��, $c_r$��������˶��ޤäƤ���
\footnote{
 ��5-3a�򸫤��, $\mu \rightarrow 0$�Ȥ��Ƥ�����$c_r / U_0$���礭���ʤ�
 �Ƥ��� ($U_0 < 0$ �ξ��).
 ���ʤߤ˵դ�$\mu \rightarrow \infty$�Ȥ��Ƥ�����$c_r / U_0$��
 1�˶��դ�.
 
 �����(5-9)�ˤ�����$\mu \rightarrow \infty$�Ȥ����$c \rightarrow U$
 �Ȥʤ�, $\mu \rightarrow 0$�Ȥ����$c \rightarrow - \infty$
 �Ȥʤ뤳�Ȥ��б�����.
}.
��5-3b��, ͽ���̤��԰����ΰ��$-2<b< \sfrac{2}{3}$������¤���Ƥ��뤳��
�򼨤��Ƥ���.
�ºݤ�, �����Υ����å�����$\beta$��¸�ߤˤ�äƤ���԰���ˤʤ�.
������, $\beta$���̤�($b$���̤���)��ʬ���礭����,
��ư�ϰ��ꤹ��
\footnote{
 (5-10)��Ȥä�$\delta$�˴ؤ��뼰�����,
 $\delta = \mu y_0 - b/(\mu y_0)$�Ǥ���.
 ������$b$����ʬ���礭��(�Ĥޤ��$\beta$����ʬ���礭��)��
 $\delta$������������礭���ʤ�.
 ���η��, �԰������Ĺ�����˸��ꤷ, ��ư�ϰ���ˤʤ�.
}.
���οޤ�, �����Ǥ��������Ǥ���, �Ǥ��԰������Ĺ��$|b|$�����ä���ˤĤ�
�������뤳�Ȥ򼨤��Ƥ���
\footnote{
 ��$\delta$���ɤ���, $|b|$�����ä���ˤĤ���Ĺ�����ä���
 (�դ��ȿ�$\mu$�ϸ�������)���Ȥ��狼��.
}.

��5-4��, ��������(5-22)�ˤ�����̵������ͭ��
�ˤ�äƤ�Ȥ��줿��Τ�޼�������ΤǤ���.
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/hwfig-04-04.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize $U = U_0 \tanh (y/y_0)$�θ�ͭ��.
  (a) $b$��$\mu y_0$�δؿ�$c_r/U_0$. 
  (b) $b$�����$\mu y_0$�δؿ��Ǥ�����ĹΨ$\delta$.
  (From H.L. Kuo, {\itshape Dynamics of Quasi-geostrophic Flows.}
  Academic Press, 1973)
  �ʤ�, ���οޤ�
  Haltiner, G. J., and Williams, R. T., 1979:
	Numerical Prediction and Dynamic Meteorology.
	{\itshape John Wiley \& Sons,} 477pp ���ž��.}
  }
 \Dfiglab{hwfig-04-04}
 \end{quote}
\end{figure}
%
���Υץ��ե�����Ǥ�, (5-26)����⼨�������褦��, ����®�٤���ĹΨ��
���ܾ�������˰�¸���ʤ�.
��5-4a��, �԰����Ȥ�, $b=0$�Ĥޤ��$c_r = 0$�Ǥ����������Ƥ�,
���������������¤��뤳�Ȥ򼨤��Ƥ���.
�ޤ򸫤��, $|c_r|$�κ����ͤϤ��褽������®��90�ѡ�����ȤǤ��뤳�Ȥ�
�狼��.
�ޤ�, �����᤯�����, $b$����ꤹ���$|c_r|$����Ĺ�ȶ������ä���
���Ȥ��狼��.
��5-4b��, �Ǥ��԰�����Ȥ�$b=0$ ($\mu y_0 \simeq 0.45$)�ˤ���ĹΨ��
�����ͤ����, $b$�����ä���ˤĤ���ĹΨ�ϸ�����, $b=4/(3\sqrt{3})$�ˤ�
0�Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤��Ƥ���.
�Ǥ��԰������Ĺ��, $b$�����ä���ˤĤ츺�����Ƥ���.
����ϥӥ��졼�����åȤˤ����Ƥ���������ȤǤ���
\footnote{
 ��5-3b��$b>0$����ʬ�Ͽ�5-4b�˻��Ƥ���.
}.
�����᤯���԰����ΰ�����餫��$\beta$�ˤ���ΤǤ���.

�簵�԰����Ȥι�¤��Ĵ�٤뤳�Ȥϰʸ����Ω��.
���η�̤�, 1971ǯ�� Williams �餬
$U_0 > 0, \ b=0, \ d=5y_0$�˴ؤ��Ʒ׻�
�������餫�ˤ���.
��5-5��, �ӥ��졼�����åȤˤ�����Ǥ��԰������($\mu y_0 = 0.9$)�˴ؤ���
�����Ȱ���Ǥ���.
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/hwfig-04-05.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize �ӥ��졼�����åȤ˴ؤ���Ǥ��԰���ʲ�ι�¤.
  (a) ���� $P$;
  (b) ���� $\theta$ [��($^{\circ}$)ɽ��]
  (Haltiner, G. J., and Williams, R. T., 1979:
      Numerical Prediction and Dynamic Meteorology.
      {\itshape John Wiley \& Sons,} 477pp)}
  }
  \Dfiglab{hwfig-04-05}
 \end{quote}
\end{figure}
%
���β��$\psi = P(y) \cos [\mu (x - c_r t) - \theta (y)]$�ȵ��Ҥ����.
�ʤ�$P(y)$�Ͽ����ι�¤, $\theta$�ϰ�����٤Ǥ���.
���οޤǤ�, $y=0$�ˤ����ƿ���������Ȥʤ�, �����ǤϿ����ϳ�餫�˸��ꤷ
�ƥ����ˤʤ�.
����˴ؤ��Ƥ�, �Ȥϥ����ȵ������˷���.
(5-20)��, ������Ĺ����ˤϤ��ΰ���δط���ɬ�פǤ��뤳�Ȥ�ɽ���Ƥ���.
���ΰ���Ū�ʰ����, ���Ƥν簵Ū���԰��ꥸ���å����˴ؤ��ƴ��Ԥɤ����
����򤹤�.

��5-6��, $U_0 > 0, b=0$�ˤ����ƺǤ��԰������($\mu y_0 = 0.45$)�˴ؤ���
�����Ȱ���򼨤��Ƥ���.
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/hwfig-04-06.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize �����ؤΥץ��ե�����(5-22)���Ѥ������Ȱʳ��Ͽ�5-5��Ʊ��.
  (Haltiner, G. J., and Williams, R. T., 1979:
      Numerical Prediction and Dynamic Meteorology.
      {\itshape John Wiley \& Sons,} 477pp)}
  }
  \Dfiglab{hwfig-04-06}
 \end{quote}
\end{figure}
%
���οޤǤ�, $y= \pm y_0$�ˤ����ƿ���������ˤʤ�,
$y=0$�ˤ����ƶ˾��ˤʤ뤳�Ȥ�������Ƥ���.
����η����ϥ�����ȿ�ФǤ���.
�����֤��ˤʤ뤬, ����Ͼ�����Ĺ���뤿���ɬ�פʾ��Ǥ���.


%\begin{center}
% {\bf 
% --------------------------------------
% ��ʸ�����ޤ�
% --------------------------------------
% } 
%\end{center}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             �ʲ���Appendix             %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%   Appendix �Ѥ� Counter, OutputFormat ������   %%%%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%   Set Counter (chapter, section etc. ) %%%%%%%%
%\setcounter{chapter}{2}
%\setcounter{section}{0}
%\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}
\setcounter{figure}{0}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Counter Output Format           %%%%%%%%
\def\theequation{A-\arabic{equation}}
%\def\thesection{\arabic{chapter}-\arabic{section}}
%\def\thesubsection{\arabic{chapter}-\arabic{section}-\arabic{subsection}}
\def\thefigure{A-\arabic{figure}}
\def\thetable{A-\arabic{table}}

\clearpage

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      5-4-A      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{5-4-A\qquad �԰�����(5-14)��$\beta = 0$�ξ�������
����뤳�Ȥγ�ǧ}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}
\def\theequation{5-4-A-\arabic{equation}}
\def\thefigure{5-4-A-\arabic{figure}}

��ʸ�Ǥϡ�$\beta=0$�ʤ�Х����å���(5-21), ������(5-22)���԰�����
(5-14)���������פȤ��ä����ƤΤ��Ȥ����Ҥ���Ƥ��뤬,
���줬�����ʤΤ���ǧ����.


\subsubsection*{5-4-A-a \quad �����������ˤĤ���}

�����������Υץ��ե�����ϰʲ���(5-22)��ɽ�����.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-����������}
  U = U_0 \tanh (y/y_0)
  = U_0 \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}.
\end{eqnarray}
%
�����1, 2����ʬ�����,
%
\begin{eqnarray}
 \DD{U}{y} &=& \frac{U_0}{y_0}
  \left\{
   1 - \left( \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}\right)^2
  \right\}
  \nonumber \\
 \Deqlab{hw-04-04-������������1����ʬ}
  &=& \frac{U_0}{y_0} \left( \frac{2}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}} \right)^2
  \qquad \left( = \sech^2 (y/y_0) \right).
  \\
 \Deqlab{hw-04-04-������������2����ʬ}
  \DD[2]{U}{y}
  &=& - \frac{2 U_0}{{y_0}^2}
  \left(
   \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{2}
  \right)
  \left(
   \frac{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}{2}
  \right)^{-3}.
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. $U_0 > 0$�Ȳ��ꤷ, ��ñ��ɽ�ˤ����,
%
\vspace{-7mm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|}
  $y$            & $-$ &  0  & $+$ \\ \hline
  $\DD{U}{y}$    & $+$ & $+$ & $+$ \\ \hline
  $\DD[2]{U}{y}$ & $+$ & $0$ & $-$ \\ 
 \end{tabular}
\end{center}
\vspace{-7mm}
%
�Ȥʤ�.
ɽ�����ʬ�����̤�, $d^2U/dy^2$��0�Ȥʤ�$y$�����.
�Ĥޤ�, �����������Υץ��ե������$\beta = 0$�Ǥ�����,
������԰�����(5-14)����������.
�����$U_0 < 0$�ξ���Ʊ�ͤǤ���.


\subsubsection*{5-4-A-b \quad �����å����ˤĤ���}
%
�����å����Υץ��ե�����ϰʲ���(5-21)��ɽ�����.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-�����å���}
  U = U_0 \sinh^2 (y/y_0)
  = U_0 \left( \frac{2}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}} \right)^2.
\end{eqnarray}
%
�����1, 2����ʬ�����,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-�����å�����1����ʬ}
  \DD{U}{y}
  &=& - \frac{2 U_0}{y_0}
  \left(
   \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{2}
  \right)
  \left(
   \frac{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}{2}
  \right)^{-3}
  \\
 \Deqlab{hw-04-04-�����å�����2����ʬ}
  \DD[2]{U}{y}
  &=& \frac{U_0}{{y_0}^2}
  \left(
   \frac{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}{2}
  \right)^{-2}
  \left\{
   -2 + 6
   \left( \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}\right)^2
  \right\}
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. $U_0 > 0$�Ȳ��ꤷ, ��ñ��ɽ�ˤ����,
%
\vspace{-7mm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  $y$            &     & $-\alpha$ &     &  0  &     & $\alpha$ &     \\ \hline
  $\DD{U}{y}$    & $+$ &   $+$     & $+$ &     & $-$ & $-$      & $-$ \\ \hline
  $\DD[2]{U}{y}$ & $+$ &   $0$     & $-$ & $-$ & $-$ & $0$      & $+$ \\ 
 \end{tabular}
\end{center}
\vspace{-7mm}
%
�Ȥʤ�. $\alpha$��$\tanh (\pm \alpha)= \pm 1/ \sqrt{3}$�Ȥʤ��ͤǤ���.
ɽ�����ʬ�����̤�, $d^2U/dy^2$��0�Ȥʤ�$y$�����.
�Ĥޤ�, �����å����Υץ��ե������$\beta = 0$�Ǥ�����,
������԰�����(5-14)����������.
�����$U_0 < 0$�ξ���Ʊ�ͤǤ���.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      5-4-B      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{5-4-B\qquad �����������ȥ����å������԰������Ƴ��}
\setcounter{equation}{0}
\setcounter{figure}{0}
\def\theequation{5-4-B-\arabic{equation}}
\def\thefigure{5-4-B-\arabic{figure}}

����������(5-22)�ȥ����å���(5-21)�ΰ���Ū���԰�����(5-23)��
���줾����԰�����(5-26), (5-24)��Ƴ�Ф���.


\subsubsection*{5-4-B-a  \quad ����������������Ū���԰�����(4-23)�ˤ������԰���ˤʤ뤫�ɤ����γ�ǧ}

����������(5-22)�ȥ����å���(5-21)������Ū���԰�����(5-23)�ˤ�����
�԰���ˤʤ뤫�ɤ����γ�ǧ��, 
���줾�����®�ץ��ե�����Ǥ��԰�����(5-26), (5-24)��Ƴ�Ф���.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-������������3����ʬ}
  \DD[3]{U}{y} &=& \frac{U_0}{{y_0}^3}
  \left(
   \frac{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}{2}
  \right)^{-2}
  \left\{
   -2 + 6
   \left( \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}\right)^2
  \right\}
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. $\tanh (y/y_0) = \pm 1/\sqrt{3}$�Ȥʤ����$y$��$y= \pm\alpha$�Ȥ����,
$(d^3U/dy^3)_{y = \pm \alpha} = 0$�Ǥ���.
�ʲ����ж����ؿ��δط���
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-�ж����ؿ������}
  \begin{array}{l}
   \cosh^2 x - \sinh^2 x = 1  \\
   \tanh x = \dfrac{\sinh x}{\cosh x}
  \end{array}
\end{eqnarray}
%
���, $\sinh (\pm \alpha / y_0) = \pm \sqrt{1/2}$,
$\cosh (\pm \alpha / y_0) = \sqrt{3/2}$�Ȥʤ�.
�������ͤ��Ѥ�, $y = \pm \alpha$�Ȥ���
\Deqref{hw-04-04-������������2����ʬ}��򤯤�,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-������������2����ʬ�β�}
  \DD[2]{U}{y} =
  \left\{
  \begin{array}{r}
   - \dfrac{4}{3 \sqrt{3}} \dfrac{U_0}{{y_0}^2}  \qquad (y =  \alpha) \\
   \\
   \dfrac{4}{3 \sqrt{3}} \dfrac{U_0}{{y_0}^2}  \qquad (y = - \alpha) \\
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. $U_0 > 0$�Ȳ��ꤷ�ƴ�ñ��ɽ��񤯤�,
%
\vspace{-7mm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  $y$            & $- \infty $ &     &
  $-\alpha$ &     &  0  &     & $\alpha$ &  & $\infty$  \\ \hline
  $\DD[2]{U}{y}$ & $ +0 $ & $+$ & 
  $  \frac{4}{3 \sqrt{3}} \frac{U_0}{{y_0}^2}$    & $+$ & 0 & $-$ &
  $- \frac{4}{3 \sqrt{3}} \frac{U_0}{{y_0}^2}$    & $-$ & $-0$ \\ \hline
  $\DD[3]{U}{y}$ &  & $+$ &   $0$     & $-$ & $-$ & $-$ & $0$      & $+$
  & \\ 
 \end{tabular}
\end{center}
\vspace{-7mm}
%
�Ȥʤ�. ��ñ�ʿޤ�\Dfigref{hw-04-04-����������2����ʬ}�˼���.
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/tanh.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize ����������$d^2 U / dy^2$ \quad ($U_0 > 0$)}
  }
  \Dfiglab{hw-04-04-����������2����ʬ}
 \end{quote}
\end{figure}
%
���οޤ��鸫��ʬ����褦��, $d^2U/dy^2 - \beta$�������Ȥʤ�������Ĥ���
�ˤ�$\beta$��$d^2U/dy^2$�κ����ͤ��⾮�����ʤ���Фʤ�ʤ�
\footnote{
 $\beta = df/dy$�Ǥ���, $f = 2 \Omega \sin \varphi$�ʤΤ�
 $\beta > 0$�Ǥ��뤳�Ȥ�����.
}.
�Ĥޤ�, ���η�̤�(5-23)�Ǥ���.



\subsubsection*{5-4-B-b  \quad �������������԰�����(5-26)��Ƴ��}

�������������԰�����(5-26)��Ƴ�Ф���.
����Ū���԰�����(5-23)�ڤ�
\Deqref{hw-04-04-������������2����ʬ�β�}����,
�������������԰������
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-�������������԰�����1}
  \frac{4}{3\sqrt{3}} \frac{U_0}{{y_0}^2} &>& \beta \qquad
  (U_0 > 0)
  \\
 \Deqlab{hw-04-04-�������������԰�����2}
  - \frac{4}{3\sqrt{3}} \frac{U_0}{{y_0}^2} &>& \beta \qquad
  (U_0 < 0)
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. (5-25)���$b = \beta {y_0}^2 / U_0$�����Ѥ�,
\Deqref{hw-04-04-�������������԰�����1}��
\Deqref{hw-04-04-�������������԰�����2}��ޤȤ���,
�ʲ���(5-26)��Ƴ�ФǤ���.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-�������������԰�����3}
  |b| < 4 /(3 \sqrt{3}).
\end{eqnarray}




\subsubsection*{5-4-B-c  \quad �����å���������Ū���԰�����(4-23)�ˤ������԰���ˤʤ뤫�ɤ����γ�ǧ}
%
�����å����Υץ��ե�����\Deqref{hw-04-04-�����å���}��
3����ʬ��\Deqref{hw-04-04-�����å�����2����ʬ}���,
%
\begin{eqnarray}
 \DD[3]{U}{y} &=&
  \frac{U_0}{{y_0}^3}
  \Bigg[
   -2 \left( \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{2} \right)
   \left( \frac{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}{2} \right)^{-3}
   \left\{
    -2 + 6
    \left( \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}} \right)^2
   \right\}
   \nonumber \\
 & & \hspace{10mm}
   + \left( \frac{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}}{2} \right)^{-2}
   \left\{
    12 \left( \frac{e^{y/y_0} - e^{-y/y_0}}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}} \right)
    \left( \frac{2}{e^{y/y_0} + e^{-y/y_0}} \right)^{2}
   \right\}
  \Bigg]
  \nonumber \\
 &=& \frac{U_0}{{y_0}^3}
  \bigg[
   -2 \sinh (y/y_0) \cosh^{-3} (y/y_0)
   \left\{
    -2 + 6 \tanh^2 (y/y_0)
   \right\}
   \nonumber \\
 & & \hspace{10mm}
   +  \cosh^{-2} (y/y_0)
   \left\{
    12 \tanh (y/y_0) \cosh^{-2} (y/y_0)
   \right\}
  \bigg]
  \nonumber \\
 &=& \frac{U_0}{{y_0}^3}
  \bigg[
   4 \tanh (y/y_0) \cosh^{-2} (y/y_0)
   - 12 \tanh^3 (y/y_0) \cosh^{-2} (y/y_0)
   \nonumber \\
 & & \hspace{70mm}
   + 12 \tanh (y/y_0) \cosh^{-4} (y/y_0)
  \bigg]
  \nonumber \\
 &=& \frac{4 U_0}{{y_0}^3}
  \cosh^{-2} (y/y_0)
  \left[
   \tanh (y/y_0)
   - 3 \tanh^3 (y/y_0)
   + 3 \tanh (y/y_0) \cosh^{-2} (y/y_0)
  \right]
  \nonumber \\
 &=& \frac{4 U_0}{{y_0}^3}
  \cosh^{-2} (y/y_0)
  \left[
   4 \tanh (y/y_0)
   - 6 \tanh^3 (y/y_0)
  \right]
  \nonumber \\
 \Deqlab{hw-04-04-�����å�����3����ʬ}
  &=& \frac{8 U_0}{{y_0}^3}
  \cosh^{-2} (y/y_0)
  \tanh (y/y_0)
  \left[
   2 - 3 \tanh^2 (y/y_0)
  \right]
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. �ʤ�, \Deqref{hw-04-04-�ж����ؿ������}����������
�ط���$\cosh^{-2} x= 1 - \tanh^2 x$��׻�����������Ѥ���.
\Deqref{hw-04-04-�����å�����3����ʬ}���, 
$\tanh (\pm \alpha / y_0) = \pm \sqrt{2/3}$��������
$\alpha$�򤪤���, $d^3U/dy^3 = 0$�Ȥʤ�Τ�
$y = 0, \pm \alpha$�λ��Ǥ���.
\Deqref{hw-04-04-�ж����ؿ������}���,
$\sinh (\pm \alpha / y_0) = \pm \sqrt{2}$,
$\cosh (\pm \alpha / y_0) = \sqrt{3}$�Ȥʤ�.
�������ͤ��Ѥ�, $y = 0, \pm \alpha$�Ȥ���
\Deqref{hw-04-04-�����å�����2����ʬ}��򤯤�,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-�����å�����2����ʬ�β�}
  \DD[2]{U}{y} =
  \left\{
  \begin{array}{r}
   - \dfrac{2 U_0}{{y_0}^2}  \qquad \quad (y = 0) \\
   \\
   \dfrac{2}{3} \dfrac{U_0}{{y_0}^2}  \qquad (y = \pm \alpha) \\
  \end{array}
  \right.
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. $U_0 > 0$�ξ��δ�ñ��ɽ��񤯤�,
%
\vspace{-7mm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  $y$            & $- \infty $ &     &
  $-\alpha$ &     &  0  &     & $\alpha$ &  & $\infty$  \\ \hline
  $\DD[2]{U}{y}$ & $ +0 $ &    & 
  $  \frac{2}{3} \frac{U_0}{{y_0}^2}$    &    & $- \frac{2U_0}{{y_0}^2}$
  &  &
  $  \frac{2}{3} \frac{U_0}{{y_0}^2}$    &    & $+0$ \\ \hline
  $\DD[3]{U}{y}$ &  & $+$ &   $0$     & $-$ & $0$ & $+$ & $0$      & $-$
  & \\ 
 \end{tabular}
\end{center}
\vspace{-7mm}
%
�Ȥʤ�. ��ñ�ʿޤ�\Dfigref{hw-04-04-�����å�����2����ʬ-U>0}�˼���.
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/sech1.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize �����å�����$d^2 U / dy^2$ \quad ($U_0 > 0$)}
  }
  \Dfiglab{hw-04-04-�����å�����2����ʬ-U>0}
 \end{quote}
\end{figure}
%
���οޤ��鸫��ʬ����褦��, $d^2U/dy^2 - \beta$�������Ȥʤ�������Ĥ���
�ˤ�$\beta$��$d^2U/dy^2$�κ����ͤ���
�������ʤ���Фʤ�ʤ�.
�Ĥޤ�, ���η�̤�(5-23)�Ǥ���.

����$U_0 < 0$�ξ��δ�ñ��ɽ��񤯤�,
%
\vspace{-7mm}
\begin{center}
 \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
  $y$            & $- \infty $ &     &
  $-\alpha$ &     &  0  &     & $\alpha$ &  & $\infty$  \\ \hline
  $\DD[2]{U}{y}$ & $ -0 $ &    & 
  $  \frac{2}{3} \frac{U_0}{{y_0}^2}$    &    & $- \frac{2U_0}{{y_0}^2}$
  &  &
  $  \frac{2}{3} \frac{U_0}{{y_0}^2}$    &    & $-0$ \\ \hline
  $\DD[3]{U}{y}$ &  & $-$ &   $0$     & $+$ & $0$ & $-$ & $0$      & $+$
  & \\ 
 \end{tabular}
\end{center}
\vspace{-7mm}
%
�Ȥʤ�. ��ñ�ʿޤ�\Dfigref{hw-04-04-�����å�����2����ʬ-U<0}�˼���.
%
\begin{figure}[htbp]
 \begin{center}
  \Depsf[][]{./eps/sech2.eps}
 \end{center}
 \begin{quote}
  \caption{
  {\footnotesize �����å�����$d^2 U / dy^2$ \quad ($U_0 < 0$)}
  }
  \Dfiglab{hw-04-04-�����å�����2����ʬ-U<0}
 \end{quote}
\end{figure}
%
���οޤ��鸫��ʬ����褦��, $d^2U/dy^2 - \beta$�������Ȥʤ�������Ĥ���
�ˤ�$\beta$��$d^2U/dy^2$�κ����ͤ���
�������ʤ���Фʤ�ʤ�.
���η�̤�ޤ�(5-23)�Ȥʤ�.




\subsubsection*{5-4-B-d  \quad �����å������԰�����(5-24)��Ƴ��}

�����å������԰�����(5-24)��Ƴ�Ф���.
����Ū���԰�����(5-23)�ڤ�
\Deqref{hw-04-04-�����å�����2����ʬ�β�},
\Dfigref{hw-04-04-�����å�����2����ʬ-U>0},
\Dfigref{hw-04-04-�����å�����2����ʬ-U<0}����,
�����å������԰������
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-�����å������԰�����1}
  \frac{2}{3} \frac{U_0}{{y_0}^2} &>& \beta \qquad
  (U_0 > 0)
  \\
 \Deqlab{hw-04-04-�����å������԰�����2}
  - \frac{2 U_0}{{y_0}^2} &>& \beta \qquad
  (U_0 < 0)
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. (5-25)���$b = \beta {y_0}^2 / U_0$�����Ѥ�,
\Deqref{hw-04-04-�����å������԰�����1}��
\Deqref{hw-04-04-�����å������԰�����2}��ޤȤ���,
�ʲ���(5-24)��Ƴ�ФǤ���.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-04-04-�����å������԰�����3}
  -2 < b < 2/3.
\end{eqnarray}












%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      Appendix        %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\subsection*{Appendix \qquad }

%\subsubsection*{}


%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
