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% An Introduction to Atmospheric Gravity Waves (2002) 
% 1st edition
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\begin{document}
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\section{重力波}

4.1節で述べたが, 純粋な内部重力波は浮力を復元力として存在し,
慣性重力波は浮力とコリオリ力の効果の組み合わせによる.
図4.2a,b に見られる, 主に伝播性の潮汐的に励起されたモードを含む
「重力モード」は, 厳密に言えば慣性重力波の例ある.
なぜなら一般的に地球の自転の影響を受けるからである.
この節では, 単純な重力波のうち比較的小さなスケール
(水平波長が数十～数百キロメートル程度)
に興味を絞って考えるので, 球面の幾何の効果は無視できる.

このスケールの重力波は上部中間圏では普遍的に存在しており,
レーダーやその他の機器で観測されている.
例えば図4.15はこの領域における内部重力波のレーダー観測の
結果を示している.
この種類の波の周期は典型的には数分から一時間程度で,
鉛直波長は$ 5\mathrm{から}\SI{15}{km} $である.
直接的な観測は難しいが, この波の最大水平波長は約$ 100-200\ \si{km} $で
水平位相速度は最大$ \SI{80}{m.s^{-1}} $である.
周期が局所的な「慣性周期」$ 2\pi f^{-1} $に近づく,
鉛直波長がオーダー$ \SI{10}{km} $の慣性重力波が上部中間圏と
下部成層圏で観測され,
これらは千キロメートルを超える水平波長を持つ:
いくつかの観測が図4.16に示されている.
内部重力波は下部中間圏と成層圏でも普遍的であるようだが,
これらの領域での観測は現在はまだまばらである.


\subsection{純粋な内部重力波}

まず静止した基本場の小さな波の擾乱について考える.
振動数は局所的な慣性振動数$ f=2\Omega\sin\phi $よりも大きいとする.
したがって式(4.2.1)において$ f=0 $とおくことで地球の自転の効果を無視し, 
$ X'=Y'=J'=0 $と置き, $ x $座標と$ y $座標にデカルト座標系を採用する.
すると
\begin{subequations}\label{eq4.6.1}
	\begin{align}
		u'_t+\Phi'_x=0,\label{eq4.6.1a}
		\\
		v'_t+\Phi'_y=0,\label{eq4.6.1b}
		\\
		u'_x+v'_y+\rho_0^{-1}(\rho_0 w')_z=0,\label{eq4.6.1c}
		\\
		\Phi'_{zt}+N^2w'=0\label{eq4.6.1d}
	\end{align}
\end{subequations}
を得る.
簡単のため$ N $を定数とし,
\begin{equation}\label{eq4.6.2}
	  (u',v',w',\Phi')
	= e^{z/2H}
	  \Re\left[
		  (\hat{u},\hat{v},\hat{w},\hat{\Phi})
		  \exp\ i(kx+ly+mz-\omega t)
		  \right]
\end{equation}
を\eqref{eq4.6.1}に代入する.
ここで$ \hat{u} $などは定数であり,
以下の式を得る:
\begin{subequations}\label{eq4.6.3}
	\begin{align}
		\hat{u}&=\frac{k}{\omega}\hat{\Phi},\label{eq4.6.3a}
		\\
		\hat{v}&=\frac{l}{\omega}\hat{\Phi},\label{eq4.6.3b}
		\\
		\hat{w}&=-\frac{\omega}{N^2}
		\left(
			m-\frac{i}{2H}
		\right)\hat{\Phi}.\label{eq4.6.3c}
	\end{align}
\end{subequations}
また分散関係式は
\begin{equation}\label{eq4.6.4}
	\omega^2=\frac{N^2(k^2+l^2)}{m^2+1/4H^2}
\end{equation}
である.

等価深度$ h $を用いると, この式は(4.5.19)を使って
$ \omega^2=gh(k^2+l^2) $と書けることに注意しよう;
これは$ k^2+l^2 $を球面上で等価な
$ n_G(n_G+1)a^{-2} $と置き換えた場合,
(4.2.14a)
\footnote{
	\begin{equation}\label{eq4.2.14a}
		2\Omega\sigma
		\sim
		\pm\left[n_G(n_G+1)gh\right]^{1/2}a^{-1}
		\tag{4.2.14a}
	\end{equation}
}
で与えられる重力波の「非回転の」極限
$ \gamma^{-1/2}\rightarrow\infty $と整合的である.

4.5.3節と似た方法を用いると,
流体粒子が水平ベクトル$ (-l,k,0) $と垂直な鉛直平面内の
(軸が傾いた)楕円軌道上を運動することがわかる.

\eqref{eq4.6.2}と\eqref{eq4.6.3}から,
\begin{align*}
	\rho_0\overline{u'w'}
	&=\frac{1}{2}\rho_0\Re(e^{z/H}\hat{u}\hat{w}^*)
	 =\frac{1}{2}\rho_s
	  \Re\left[\
		  \frac{k}{\omega}
		  \hat{\Phi}\left(\frac{-\omega}{N^2}\right)
		  \left(m+\frac{i}{2H}\right)\hat{\Phi}^*
		 \right]
		 \\
	&=-\frac{1}{2}\rho_s\frac{mk}{N^2}|\hat{\Phi}|^2
\end{align*}
であることに注意しよう.
ここでアスタリスクは複素共役を表す.
すなわち$ \rho_0\overline{u'w'} $は$ z $には依存しておらず,
\begin{equation*}
	\rho_0^{-1}(\rho_0\overline{u'w'})_z=0
\end{equation*}
となる. これは定常で, 保存した, 線形の場合の
Eliassen-Palmの定理[3.6.1]であり,
ここでは$ \vb{F}=(0,-\rho_0\overline{v'u'},-\rho_0\overline{w'u'})$
[(3.5.3)を参照]から, $ z $にのみ依存する.

先に述べたように中層大気で観測される小スケールの重力波は
$ \SI{15}{km} $よりも小さい鉛直波長を持ち,
$ H=\SI{7}{km} $ならば$ 4H^2m^2\gtrsim34 $であるので,
すなわち$ m^2\gg1/4H^2 $である.
よって\eqref{eq4.6.4}において,
$ m^2 $と比較して$ 1/4H^2 $を無視することは合理的である;
これは「Boussinesq近似」を行うことと等価であり,
$ \omega^2=N^2(k^2+l^2)/m^2 $を与える.
正の鉛直群速度$ c_g^{(z)}\equiv\pdv*{\omega}{m} $を持つ解は
\begin{equation}\label{eq4.6.5}
	\omega=-N(k^2+l^2)^{1/2}/m
\end{equation}
である.

多数の他の内部重力波の特徴は一般的な教科書で与えられる.
特に$ \omega $は常に浮力振動数$ N $よりも小さい絶対値になる;
実際に, (3.1.3c)の静水圧近似のもとでは,
例えばGill(1982, 6.14節)で示されるように$ |\omega|\ll N $であり,
すなわち周期は$ 2\pi N $(中層大気で$ \approx 5 $分)よりもかなり大きい.
同じ不等式は, \eqref{eq4.6.5}から, 
水平波長$ 2\pi(k^2+l^2)^{-1/2} $が鉛直波長$ 2\pi|m|^{-1} $
よりも十分大きくなければならないことを示唆する.
他の興味深い特徴としては, 
$ i/2H $が\eqref{eq4.6.3c}で無視できるならば,
---$ 2H|m|\geqslant5.8 $の鉛直波長が
$ \SI{15}{km} $よりも小さい波に適当な近似である---
\eqref{eq4.6.3}と\eqref{eq4.6.5}は
$ (\hat{u},\hat{v},\hat{w})\cdot(k,l,m)\approx0 $を与え,
速度$ (u',v',w') $は波数ベクトル$ \vb{k}\equiv(k,l,m) $と直交し,
定位相$ kx+ly+mz=\mathrm{constant} $の面の上に存在する.
この場合, パーセルの軌道は直線となり, 波数ベクトルと直交する.

水平軸を$ \vb{k}=(k,0,m),\ l=0 $となるように選ぶと便利である:
ここでは静止した基本場を考えているので特別な水平方向は無いからである.
よって\eqref{eq4.6.3b}より$ \hat{v}=0 $であり,
\eqref{eq4.6.5}は慣例的に$ k>0 $が与えられて
\begin{equation}\label{eq4.6.5'}
	\omega=-Nk/m
	\tag{\ref{eq4.6.5}'}
\end{equation}
となる.
このとき群速度ベクトルは
\begin{equation}\label{eq4.6.6}
	\vb{c}_g=\qty(\pdv{\omega}{k},0,\pdv{\omega}{m})
	=\frac{N}{m^2}(-m,0,k)
\end{equation}
であり, その水平面と作る角度のタンジェントは
\begin{equation*}
	\qty|c_g^{(z)}/c_g^{(x)}|=|k/m|=|\omega/N|
\end{equation*}
の大きさを持つ.

上記の理論は基本流$ [\bar{u}(z),\bar{v}(z),0] $や
浮力振動数$ N(z) $が高度によって変化する場合
(この場合は一般的に軸を$ l=0 $となるように選ぶことができないが)
にも拡張できる.
これらの大きさが鉛直波長よりも大きいスケールで
高さによってのみ変化するとき,
付録4Aと4.5.4節での方法と似たWKBJ法を使うことができ,
波線追跡を行うことができる.
$ \omega=k\bar{u}+l\bar{v} $となるクリティカルレベルについては,
再び特別な注意を必要とする.


\subsection{重力波砕波の簡単なモデル}

\eqref{eq4.6.2}において, $ \rho_0^{-1/2} $と比例する
$ e^{z/2H} $の因子の存在によって,
4.6.1節の線形, 非散逸の理論は速度とジオポテンシャルの擾乱が
高度とともに成長することを予測する;
ある高さで無視されていた非線形項が重要になり,
線形理論は破綻する.

砕波の物理的な描像はいろいろなレベルにおける
一組の物質面について考えることで得られ,
それらを通って内部重力波が鉛直方向に伝播することで物質面が波打つ;
図4.17はこのような状況の模式図である.
下部中間圏では物質面(a)は線形理論で予言されたように
緩やかな正弦波的な変化をする.
一日よりも十分短い周期を持つ重力波では
放射緩和の効果は小さく,
その他の非断熱過程が存在しなければ等温位線
(一定の$ \theta $の表面)を物質面(a)として用いることができる.
中部中間圏では物質面は(b)は依然として正弦波的だが,
(a)に比べて大きな振幅を持つ;
線形理論は依然として成立しており,
(b)はまだ等温位線を用いることができる.
しかし上部中間圏では, 非線形の効果が重要になり,
(c)のような速く不可逆に崩れた等値線を作る.
その後乱流や小スケールの混合, 散逸を引き起こす.
非断熱の効果の励起によって
等温位線はもはや物質面ではなくなる.

個々で述べた過程は\textbf{重力波の砕波}として知られ,
海面の波が遠浅の浜でひっくり返ったり壊れたりするのに似ている.
5.2.3節で述べるが, これはまたプラネタリー波の砕波現象と共通点を持つ.
これは$ e^{z/2H} $で高さとともに成長する重力波の振幅を制限し,
下で見るように中層大気における大スケールの流れに対して重要な結論を持つ.

この砕波の過程についての単純なモデルは Lindzen (1981) によって
提案された.
彼は基本東西流$ \bar{u}(z) $の線形化した擾乱を考え,
WKBJ法を用いて\eqref{eq4.6.2}の解を一般化した.
そして等温位面が最初に縦になる$ \pdv*{\theta}{z}=0 $となる高度,
すなわち静的安定性を失い, 乱流と混合が始まることが示唆される
高度を\textbf{砕波高度}$ z_b $として定義した.
(3.2.13), (3.4.2c)より,
\begin{equation}\label{eq4.6.7}
	 \theta_z
	=\bar{\theta}_z+\theta'_z
	=HR^{-1}e^{\kappa z/H}
	 \qty[N^2+\Phi'_{zz}+\kappa H^{^-1}\Phi'_z]
\end{equation}
であり, 線形理論から計算された$ \Phi' $が
$ z $に関して指数関数的に成長することから[\eqref{eq4.6.2}],
$ -(\Phi'_{zz}+\kappa H^{-1}\Phi'_z) $は十分な高度において,
いくつかの$ x,\ y,\ t $の値を持つ波の「峰」で
$ N^2 $を打ち消す大きさになると考えられる. 
この点から$ \theta_z=0 $となり砕波が起こるというのが Lindzen の考えだ.
この取り組みは厳密には矛盾している.
なぜなら線形な解はそのような高度に到達する前に壊れてしまうからである;
にも関わらずこれは完全な非線形の振る舞いに対する定性的な雰囲気を与える.

$ \bar{u}=0 $の特別な場合に, Lindzen の取り組みを説明するために
4.6.1節の線形理論を用いることができる.
軸を$ l=0 $, すなわち$ v'=0 $となるように選び,
ある低高度で$ \Phi'=\Phi_0\cos k(x-ct) $であると仮定する.
この高度は適当に$ p_s $を選ぶことで$ z=0 $と取ることができる.
すなわち\eqref{eq4.6.2}の解を当てはめ,
\eqref{eq4.6.3}において$ l=0,\ \hat{\Phi}=\Phi_0 $(実数)
を仮定し, $ \omega= ck $とする;特に
\begin{equation}\label{eq4.6.8}
	\Phi'=\Phi_0 e^{z/2H}\cos [k(x-ct)+mz]
\end{equation}
である.
今一度鉛直波長が十分小さく,$ |m|\gg 1/2H $であることを保証すると,
\begin{equation*}
	\Phi'_{zz}+\kappa H^{-1}\Phi'_z
	\approx
	-m^2\Phi'
	=
	-m^2\Phi_0e^{z/2H}\cos [k(x-ct)+mz]
\end{equation*}
を得る.
砕波高度$ z_b $は
$ \{\mathrm{max}|\Phi'_{zz}+\kappa H^{-1}\Phi'_z|\}_{z=z_b}=N^2 $
で定義され, \eqref{eq4.6.8}と\eqref{eq4.6.5'}と$ c=\omega/k $より
\begin{equation}\label{eq4.6.9}
	z_b
	\approx
	2H\ln \qty|\frac{N^2}{m^2\Phi_0}|
	=2H\ln |c^2\Phi_0^{-1}|
\end{equation}
である.
$ z_b $は波の位相速度$ c $と初期のジオポテンシャルの振幅$ \Phi_0 $
に依存することに気をつけよう;
小さい振幅の波は, 壊れるのに十分なほど大きな振幅に成長する前に
より高高度を通る必要があるため,
砕波高度は$ \Phi_0 $が小さくなると大きくなる.

次のステップは砕波高度より上では何が起こるかを説明することである.
おそらく, できはじめた乱流は熱と運動量の拡散を引き起こし,
この拡散をパラメタリゼーションする粗い方法を(4.6.1a,d)に適応すると
\begin{subequations}\label{eq4.6.10}
	\begin{align}
	&u'_t+\Phi'_x=Ku'_{zz},
	\label{eq4.6.10a}
	\\
	&\Phi'_{zt}+N^2 w'=K\Phi'_{zzz},
	\label{eq4.6.10b}
	\\
	&z>z_b,\notag
	\end{align}
\end{subequations}
ここで$ K $は一定の拡散係数である;
$ z_b $より上の高度では連続の式\eqref{eq4.6.1c}が依然として成立する.
\begin{equation*}
	\Phi'=e^{z/2H}\Re[\Phi_1 \exp i(kx+m_1z-kct)]
\end{equation*}
の形式の解を$ z_b $より上で探し,
$ z_b $において\eqref{eq4.6.8}と合うものを選ぶと,
\begin{equation}\label{eq4.6.11}
	\omega+im^2_1 K=-Nk/m_1
\end{equation}
という\eqref{eq4.6.5'}と似た解が見つかる.
ここで$ k>0 $の慣習は保持されている.
すなわち
\begin{equation}\label{eq4.6.12}
	m^2K\ll |\omega|
\end{equation}
となるちいさな$ K $が選ばれているならば,
これは当然
\begin{equation*}
	m_1
	\approx
	-\frac{Nk}{\omega}+\frac{iKN^3k^3}{\omega^4}
	=m+\frac{iKN^3}{c^4k}
\end{equation*}
となることから,
\begin{equation}\label{eq4.6.13}
	\Phi'=\Phi_0\exp\qty[\frac{z}{2H}-\frac{KN^3}{c^4k}(z-z_b)]
		  \cos [k(x-ct)+mz],
	\;\;\;\;
	z>z_b
\end{equation}
となり$ z_b $において\eqref{eq4.6.8}との連続性を満たす.
$ K $を伴う余分の指数関数の因子は砕波による波の拡散減衰を仮定した
結果によるものである.
Lindzen は$ z_b $より上では波は飽和しているか
砕波の縁にあるかであると仮定した;
すなわちすべての$ z\geqslant z_b $で
$ \mathrm{max}|\Phi'_{zz}+\kappa H^{-1}\Phi'_z|=N^2 $
となる.
ゆえに拡散による減衰は陽に$ e^{z/2H} $の成長と釣り合わなくてはならず,
$ K $は\eqref{eq4.6.13}の指数関数の項の$ z $の係数を消去するように
選ばれ
\begin{equation}\label{eq4.6.14}
	K=c^4k/2HN^3
\end{equation}
である.
これは\eqref{eq4.6.5'}から
\begin{equation*}
	 m^2K
	=\frac{N^2k^2}{\omega^2}\qty(\frac{c^4k}{2HN^3})
	=\frac{c^2k}{2HN}
	=\qty|\frac{\omega}{2Hm}|
\end{equation*}
が示唆され,
すなわち\eqref{eq4.6.12}は我々がはじめに仮定した
$ |m|\gg 1/2H $と整合的である.
\eqref{eq4.6.14}を\eqref{eq4.6.13}に代入すると
小さなパラメータ$ m^2K/\omega $のリーディングオーダーにおいて
\begin{equation}\label{eq4.6.15a}
	z\geqslant z_b
	\;\;\;\;\;
	\mathrm{に対して}
	\;\;\;\;\;
	\Phi'=\Phi_0e^{z_b/2H}\cos [k(x-ct)+mz]
	\tag{4.6.15a}
\end{equation}
を得, \eqref{eq4.6.10}から
\begin{equation}\label{eq4.6.15bc}
	z\geqslant z_b
	\;\;\;\;\;
	\mathrm{に対して}
	\;\;\;\;\;
	(u',w')
	=(1,-k/m)c^{-1}\Phi_0e^{z_b/2H}\cos [k(x-ct)+mz]
	\tag{4.6.15b,c}
\end{equation}
\setcounter{equation}{15}
を得る.
すなわち Lindzen の飽和仮説は$ z_b $よりも上では
それ以上波の振幅は成長しないことを示唆している:
これは大雑把には中間圏で観測された重力波の振幅と整合的である.
ついでに, \eqref{eq4.6.15bc}と\eqref{eq4.6.9}から,
$ z\geqslant z_b $に対して
$ \mathrm{max}|u'|=|c| $であることに注意しよう.

今, \eqref{eq4.6.15bc}, \eqref{eq4.6.9},
\eqref{eq4.6.5'}, \eqref{eq4.6.14}
を用いて
\begin{equation}\label{eq4.6.16}
	\bar{X}_1\equiv-\rho_0^{-1}(\rho_0\overline{u'w'})_z;
\end{equation}
の大きさを見積もると
\begin{equation}\label{eq4.6.17}
	z > z_b
	\;\;\;\;\;
	\mathrm{に対して}
	\;\;\;\;\;
	\bar{X}_1=c^3k/2NH=\frac{N^2K}{c}
\end{equation}
であり, 一般的にゼロでない定数である.
すなわち$ c>0 $ならば砕波高度より上に($ c<0 $ならば逆になる)
東西平均した波の鉛直運動量フラックスの
収束か Eliassen-Palm フラックスの発散が存在し,
これは東西平均流の波が誘発する強制への寄与を示唆する.
また Lindzen は重力波に対しても
$ K $で表される東西平均流へ働く運動量と熱拡散を仮定した.

上でも述べたが, Lindzen の方法はここで与えられたものよりも一般的で,
ゆっくりと変化する平均流$ [\bar{u}(z),0,0] $と,
ゼロでない子午面方向の波数$ l $を含む.
一般化した\eqref{eq4.6.17}は
\begin{equation}\label{eq4.6.18ab}
	\bar{X}_1
	=\frac{(c-\bar{u})^3k}{2N}
	 \qty[\frac{1}{H}+\frac{3\dv*{\bar{u}}{z}}{c-\bar{u}}]
	=\frac{N^2K}{c-\bar{u}},
	\tag{4.6.18a,b}
\end{equation}
\setcounter{equation}{18}
ここで$ l=0 $だが$ \bar{u}\neq0 $である.
4.6節のはじめで与えられたような
特徴的な波のパラメータをこの式に代入すると,
Lindzen の重力波の砕波によるありそうな摩擦の効果の
パラメタリゼーションは上部中間圏の東西平均循環の強い強制を示唆し,
観測に従うと, $ \bar{X}_1 $は数十$ \si{m.s^{-1}.day^{-1}} $
のオーダーを持つことを示す(図4.18を見よ).
この話題については7.3節と8.5節で議論する.

また, 上の理論では重力波の放射減衰を許すことができる.
減衰は上に伝播する波の振幅を小さくし,
砕波高度は上昇する傾向にあるからである;
実際, 十分に小さな固有位相速度の波はすべての高度で砕波しない.
しかしながら, これらが砕波するならば
放射減衰は$ \bar{X}_1 $の値に少ししか影響していない.

Lindzen のモデルはかなり単純化されており,
本質的には単色の重力波の線形理論が元になっていることを強調しておく.
モデルの妥当性を調べ,重力波砕波
(の「砕波振幅」は「砕波高度」よりもより適当である)の複素スペクトルの
詳細な非線形の力学とこれらの平均流への効果を理解するには
より多くの観測的・理論的な研究が必要である.


\end{document}


