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% An Introduction to Atmospheric Gravity Waves (2002) 
% 1st edition
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\begin{document}
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%\def\thesection{付録\Alph{section}}
%\def\theequation{\Alph{section}.\arabic{equation}}
\chapter{大循環}

広い意味で, 大気大循環はしばしば全球規模の大気の流れで特徴づけられる
運動全体を含めて考えられる.
つまり, 大循環の研究は気候力学 --- 
すなわち風, 気温, 湿度, 降水, その他の気象学的な変数を
仮平均した構造に関係している.
大循環はすなわち
個々の気象システムに関わるランダムな変化を取り除く程度には十分長いが,
ひと月や季節の変化は保っている程度には短い周期で時間平均された
流れから成ると考えられるだろう.

昔は大循環についての研究は観測的なものも理論的なものも
東西平均流についての研究に注力していた.
しかし時間平均した循環に関しては, 山岳地形や陸海の温度差による
経度方向の非対称な強制によって経度に大きく依存する.
大循環における経度依存の成分は,
時間で僅かに変化する\textbf{準停滞循環},
季節で反転する\textbf{モンスーン循環},
\textbf{低振動数の変化}を占める様々な季節や経年の成分
に分けることができるだろう.
大循環の物理的な基礎を完璧な理解には東西平均循環だけでなく,
経度方向と時間変化の成分についても解釈が必要である.

しかしながら, 大循環の研究を紹介するため,
東西平均流(すなわち, 緯度方向の円周で平均した流れ)を維持する
これらの過程を分離することは有益である.
このアプローチは当然前の章の線形波動の研究に従い,
流れの場は東西平均と経度依存の渦成分に分けられる.
しかしこの章では渦の発達や運動ではなく, 東西平均循環の構造への
渦の影響に集中する.
東西平均に注目することによって我々は
陸地に依存していない, すなわちすべての熱によって駆動される
回転流体の系に共通の循環の特徴で分類することができる.
特に東西平均流における角運動量とエネルギー収支について議論する.
また平均子午面循環
(すなわち鉛直速度と子午面速度の東西平均からなる循環)が,
非断熱の加熱や渦熱や運動量フラックスで決まる強制があっても,
6.5節の鉛直運動方程式と相似形の診断型方程式を満たすことを示す.

東西平均循環についての我々の議論に従うと,
経度方向の変化は時間平均循環だと考えられる.
この章では最初の重要点は非熱帯の循環面に置く;
これらは準地衡流理論の枠組みで議論できるからである.
熱帯の大循環に関しては11章で考察する.

\section{問題の本質}

大循環についての理論的な思索は非常に長い歴史をもつ.
この主題についての最も重要な初期の研究は18世紀のイギリス人,
George Hadley によるものである.
Hadley は貿易風循環の原因を探している時に,
赤道域と極域の間の太陽による加熱の差で引き起こされる
熱対流によってこの循環が形成されることに気づいた.
彼は加熱された赤道上の大気が上昇し極側へ流れて,
そこで冷やされて沈み, また赤道側へ流れるといった
東西方向に対称な循環を考えた.
同時にコリオリ力は上層で極側へ運動する空気を
東へ偏らせ, 表面近くで赤道方向へ運動する空気を
西へ偏らせる.
もちろん後者は北半球で北東方向に,
南半球で南東方向に風が吹くという
貿易風域の地表付近の風の観測結果と整合的である. 
この種類の循環は今日では\textbf{ハドレー循環}や
\textbf{ハドレーセル}と呼ばれる.

それぞれの半球で赤道から極までハドレーセルが広がっているような循環は,
物理法則に反しないという意味では数学的には可能であるが,
観測されるハドレー循環は赤道域にとどまっている.
多くの研究による証拠は地球上の大気の状態について,
対称な半球の幅を持つハドレー循環は傾圧不安定であることを示唆している.
もしこのような循環が何らかのメカニズムによって形成されたとしても,
この循環は,東西平均循環の熱フラックスと運動量フラックスを通して
発達,緩和させられた傾圧渦として熱帯の外側で壊れる.

観測された大循環は, 東西対称な過程という点からは純粋に理解できていない.
むしろ, これは放射や力学の過程の中の3次元相互作用を通して発達するとして
定性的に理解されうる.
大気と地球に吸収される正味の太陽エネルギーは
惑星によって宇宙へ放出される赤外エネルギーと等しくなければならない.
太陽加熱の年平均は, 緯度に強く依存しており,
赤道域で最大, 極域で最小である.
しかし出て行く赤外放射は弱い緯度依存しかない.
すなわち赤道地域での正味の放射のあまりと, 極域での不足分がある.

この異なる加熱が高緯度と比べて赤道域の大気を暖め,
極から赤道への温度勾配を作る.
したがって, この加熱の違いが東西平均有効位置エネルギーの貯蓄を増やす.
いくつかの点において西向きの温度風
(これは極-赤道の温度勾配が存在するときに
運動が地衡流的に釣り合うならば発達する)は傾圧不安定となる.
8章で示したように, 結果的に生じる傾圧波動は熱を極側へ輸送する.
これらの波は, (プラネタリー波と海流による熱輸送とともに)
波の熱輸送が極域で不足している放射と釣り合うのに十分で,
極-赤道の温度勾配の成長が止まるまでの間は強くなる.
同時にこれらの摂動はポテンシャルエネルギーから運動エネルギーに変換され,
それによって摩擦消失の効果に逆らって大気の運動エネルギーを維持する.

熱力学の観点からは, 大気は
熱帯の比較的温度の高いところで正味の熱を
(主に海面からの蒸発による潜熱の形で)吸収し,
比較的冷たい非熱帯で熱を放出する
「熱機関」とみなすことができるだろう.
このように正味の放射は有効位置エネルギーを発生させ,
このエネルギーが次々と部分的に運動エネルギーに変換され,
摩擦による消失に逆らって循環を維持する働きをする.
入ってくるたった少しの太陽のエネルギーが
運動エネルギーに変換されるのだ.
すなわち技術者の視点から見ると,
大気はむしろ非効率的な熱機関である.
しかし, 多くの強制が大気の運動に作用していることを十分に考慮すれば,
実際には大気は力学的に可能な範囲で効果的に
運動エネルギーを生成しているとわかるだろう.

前述の定性的な議論は熱帯の外の大循環の大雑把な特徴が
準地衡流理論の基礎から理解することができ,
我々が見てきたように, 傾圧不安定は
準地衡流の枠組みに含まれている.
この事実から, また可能な限り方程式系を簡単なままにしておくならば,
熱帯の外側の循環についての
東西平均した成分と, 経度方向に変化する成分に対する我々の議論は,
中緯度$ \beta $平面上の準地衡流方程式へ定性的に
置き換えられるような状況に集中されるだろう.

準地衡流モデルが完全な大循環理論を導けないことは認めなければならない.
なぜなら準地衡流理論においてはかなり多くの仮定が
運動に関するスケールで決められ,
それが先験的に可能な解の種類を限定するからである.
大循環の定量的なモデリングには球面座標系における
プリミティブ方程式系をもとにした複雑な数値モデルが必要である.
これらのモデリングに努力する根本的な目的は
外部パラメータ(例えば二酸化炭素の大気濃度)
のいろいろな変化による気候の結果を正確に予測できるよう
大循環を忠実にシミュレーションするためである.
現代のモデルは現在の気候と
外部状態の変化に対しての気候システムの応答に対しての
もっともらしい予測を
それなりに正確にシミュレーションすることができる.
しかしながら, 多くの物理的な過程の表現において不確実なこと,
特に雲と降水については, このようなモデルを元にした定量的な
気候変動予測の信頼性を限定する.

\section{東西平均循環}

二つの至の季節における経度方向に平均した東西風の
全世界での観測結果は図6.1に示されている.
これには重要な半球間の違いがあるが,
両方の半球にある流れは緯度約$ 30^\circ $から$ 35^\circ $の
対流圏界面付近で最大の東西速度となる西向きジェット
で特徴づけられる.
これらの西風は, 特に北半球では経度で変化するが(図6.2を参照せよ),
重要な帯状の対称な要素があり,
これを\textbf{平均東西風}と呼んで参照する.

帯状対称な時間平均流の出発は大循環の面から,
特に北半球で重要であるが,
これは3次元の時間平均循環を調べる前の,
帯状対称な要素の力学についての理解をまずは得るのに有益である.
この節では帯状対称な運動の力学を,
準地衡流理論と7章で紹介した対数圧力座標系を用いて調べ,
軸対称渦が傾圧波動における二次の発散の循環と力学的に
類似していることに関係付けられる子午面循環を示す.

対数圧力座標系において,
$ x,\ y $成分の運動量方程式, 静水圧平衡, 連続の式,
熱力学エネルギー方程式は
\begin{align}
	\frac{Du}{Dt}-fv+\DP{\Phi}{x}=X, \label{eq10.1}
	\\
	\frac{Dv}{Dt}-fu+\DP{\Phi}{y}=Y, \label{eq10.2}
	\\
	\DP{\Phi}{z}=\frac{R}{H}T, \label{eq10.3}
	\\
	\DP{u}{x}+\DP{v}{y}+\frac{1}{\rho_0}\DP{\rho_0 w}{z}=0, 
	\label{eq10.4}
	\\
	\frac{DT}{Dt}+\frac{\kappa T}{H}w=\frac{J}{c_p} \label{eq10.5}
\end{align}
と書ける. ここで
\begin{equation*}
	\frac{D}{Dt}
	\equiv
	\DP{}{t}+u\DP{}{x}+v\DP{}{y}+w\DP{}{z}
\end{equation*}
であり, $ X,\ Y $は東西方向と子午面方向の
小スケールの渦による抵抗である.

ここやあとの章での利便性のため,
7章で用いた幾何学的高度から対数圧力座標系を区別するための
アスタリスクの表記を落とすことにする.
すなわちここでは$ z $は7.4.1節で定義した対数圧力変数を指す.

東西平均循環の解析には経度方向に平均した流れ
(平均流と呼ばれ, 上線月の量で表される)
と経度変化する擾乱(渦と呼ばれ, プライム付きの量で表される)
の相互作用について調べる必要がある.
すなわちある変数$ A $は$ A=\bar{A}+A' $という形で展開される.
この種類の平均は\textbf{オイラー平均}といい,
固定された緯度, 高さ, 時間で評価される.
オイラー平均方程式系は\eqref{eq10.1}から\eqref{eq10.5}を
東西平均することで得られる.
この平均はフラックス形式で
\eqref{eq10.4}を用いてある変数$ A $について物質微分を展開することで
以下のように簡単にできる:
\begin{align}\label{eq10.6}
	 \rho_0\frac{DA}{Dt}
	&=\rho_0\left(\DP{}{t}+\vb*{V}\cdot\nabla+w\DP{}{z}\right)A
	  +A\left[\nabla\cdot(\rho_0\vb*{V})+\DP{}{z}(\rho_0 w)\right]
	\notag \\
	&=\DP{}{t}(\rho_0\bar{A})+\DP{}{x}(\rho_0\bar{A}u)
	  \DP{}{y}(\rho_0\bar{A}v)\DP{}{z}(\rho_0\bar{A}w),
\end{align}
ここで$ \rho_0=\rho_0(z) $であることを思い出そう.

東西平均演算子を適応すると
\begin{equation}\label{eq10.7}
	 \rho_0\frac{\overline{DA}}{Dt}
	=\DP{}{t}\left(\rho_0\bar{A}\right)
	 +\DP{}{y}\left[\rho_0\left(
		 \bar{A}\bar{v}+\overline{A'v'}
		\right)\right]
	 *\DP{}{z}\left[\rho_0\left(
	 \bar{A}\bar{w}+\overline{A'w'}
	 \right)\right]
\end{equation}
を得る.
ここで上線付きの量は$ x $に対して独立であることから
$ \partial\overline{(\ )}/\partial x=0 $であることを用いた.
またある変数$ a,\ b $について,
$ \bar{a},\ \bar{b} $が$ x $に対して独立であること,
$ \bar{a'}=\bar{b'}=0 $であることから,
例えば$ \overline{\bar{a}b'}=\bar{a}\bar{b'}=0 $
であるので,
\begin{equation*}
	 \overline{ab}
	=\overline{(\bar{a}+a')(\bar{b}+b')}
	=\overline{\bar{a}\bar{b}}+\overline{\bar{a}b'}
	 +\overline{a'\bar{b}}+\overline{a'b'}
	=\bar{a}\bar{b}+\overline{a'b'}
\end{equation*}
となることを用いた.

\eqref{eq10.7}の右辺で$ (\bar{v},\bar{w}) $を必要とする項は
\eqref{eq10.4}の東西平均を用いることで移流形式で再び書かれ
\begin{equation}\label{eq10.8}
	\DP{\bar{v}}{y}
	+\frac{1}{\rho_0}\DP{\rho_0\bar{w}}{z}
	=0
\end{equation}
である.
微分の連鎖律を\eqref{eq10.7}の右辺の平均の項に用い,
\eqref{eq10.8}から置き換えることで,
\eqref{eq10.7}は
\begin{equation}\label{eq10.9}
	 \rho_0\frac{\overline{DQ}}{Dt}
	=\rho_0\frac{\overline{D}}{Dt}\left(\bar{A}\right)
	+\DP{}{y}\left[\rho_0\left(\overline{A'v'}\right)\right]
	+\DP{}{z}\left[\rho_0\left(\overline{A'w'}\right)\right]
\end{equation}
と再び書かれる.
ここで
\begin{equation}\label{eq10.10}
	\frac{\overline{D}}{Dt}
	\equiv
	\DP{}{t}+\bar{v}\DP{}{y}+\bar{w}\DP{}{z}
\end{equation}
は平均子午面運動$ (\bar{v},\bar{w}) $を
追いかける変化率である.

\subsection{通常のオイラー平均}

平均スキーム\eqref{eq10.9}を\eqref{eq10.1}と\eqref{eq10.5}
に適応すると, 中緯度$ \beta $平面上の順地交流運動の
東西平均した東西運動量と熱力学エネルギー方程式を得る:
\begin{align}
	 \DP{\bar{u}}{t}-f_0\bar{v}
	=-\DP{}{y}\left(\overline{u'v'}\right)+\bar{X}
	\label{eq10.11}
	\\
	 \DP{\bar{T}}{t}+\frac{N^2 H}{R}\bar{w}
	=-DP{}{y}\left(\overline{v'T'}\right)+\frac{\bar{J}}{c_p}
	\label{eq10.12}
\end{align}
ここで$ N $は浮力振動数で
\begin{equation*}
	N^2 \equiv
	\frac{R}{H}\left(\frac{\kappa T_0}{H}+\frac{dT_0}{dz}\right)
\end{equation*}
で定義される.
\eqref{eq10.11}, \eqref{eq10.12}において,
準地衡流のスケーリングとの整合性から,
非地衡流平均子午面循環と鉛直渦フラックスの発散による移流を無視する.
これは準地衡流のスケールにおいて, これらの項が
保持されている項と比べて小さいことから簡単に確認できる
(問題10.4を見よ).
(重力波のような)解明されていない渦による応力は
境界層だけでなく上部対流圏や中層大気でも重要になるので,
\eqref{eq10.11}には東西平均した乱流抵抗を含んでいる.

似たようなスケーリングは
子午面運動量方程式\eqref{eq10.2}の東西平均が
地衡流バランスによって正確に近似されることを示す:
\begin{equation*}
	f_0 \bar{u}=-\DP{\bar{\Phi}}{y}.
\end{equation*}
これは静水圧近似\eqref{eq10.3}と組み合わせることで
温度風の関係
\begin{equation}\label{eq10.13}
	f_0 \DP{\bar{u}}{z}+\frac{R}{H}\DP{\bar{T}}{y}=0
\end{equation}
を与える.

この東西平均風と温位の分布との関係は
非地衡流平均子午面循環$ (\bar{v},\bar{w}) $に強い制約を課す.
平均子午面循環が存在しない場合には,
渦運動フラックスの発散\eqref{eq10.11}と
渦熱フラックスの発散\eqref{eq10.12}は
別々に平均東西風と温度場を変化させ,
温度風バランスを壊すだろう.
しかしながら, 地衡流バランスからの平均東西風の
小さな逸脱の結果生じる圧力傾度力は,
平均子午面循環を駆動し, 平均東西風と温度を調節するので,
\eqref{eq10.13}は有効なままである.
多くの場合, この補正は大きな渦熱フラックスや
運動力フラックスが存在していたとしても
平均東西風が変化しないことを許す.
すなわち平均子午面循環は東西平均循環において,
二次の発散循環が総観スケールの準地衡流系において
果たす役割と, 正確に同じ役割を果たす.
実際, 定常な平均流の条件では,
$ (\bar{v},\ \bar{w}) $の循環はちょうど渦強制と
非断熱加熱の和と釣り合い,
\eqref{eq10.11}, \eqref{eq10.12}における釣り合いは
次のとおりである:
\begin{itemize}
	\item
		コリオリ力$ (f_0\bar{v}) \approx $
		渦運動量フラックスの発散
	\item
		断熱冷却$ \approx $
		非断熱加熱と渦熱フラックスの収束の和
\end{itemize}
観測結果の解析から, 熱帯の外側ではこれらの釣り合いは
境界層より上では近似的に正しいとみなされる.
すなわち, 東西平均流の変化は強制の項と平均子午面循環との
小さなアンバランスから生じる.

オイラー平均子午面循環は, 6.4節のオメガ方程式に似た
方程式による強制の項で決まる.
この方程式を導く前に, 平均子午面質量輸送循環が子午面において
発散しないことを見ておくことは有益である.
すなわち, これは子午面物質輸送の流線関数で表され,
\begin{equation}\label{eq10.14}
	\rho_0\bar{v}=-\DP{\bar{\chi}}{z};
	\;\;\;
	\rho_0\bar{w}=\DP{\bar{\chi}}{y}
\end{equation}
とすることで連続の式(10.8)を寸分違わず満たす.
流線関数$ \bar{\chi} $の符号と平均子午面循環の意味との
関係は模式的に図10.1に表される.

$ \bar{\chi} $の診断方程式はまず
\begin{equation*}
	f_0\DP{}{z}(10.11)+\frac{R}{H}\DP{}{y}(10.12)
\end{equation*}
を取り, (10.13)を用いて時間微分の項を消去し,
(10.14)を用いて $ \bar{\chi} $に関する
平均子午面循環を表現することで導かれる.
その結果の楕円形方程式は次の形式である:
\begin{align}\label{eq10.15}
	 &\DP[2]{\bar{\chi}}{y}
	 +\frac{f_0^2}{N^2}\rho_0\DP{}{z}
	 \left(\frac{1}{\rho_0}\DP{\bar{\chi}}{z}\right)
	 \notag \\
	=&\frac{\rho_0}{N^2}\left[
		\DP{}{y}\left(
			\frac{\kappa\bar{J}}{H}
			-\frac{R}{H}\DP{}{y}\left(\overline{v'T'}\right)
		\right)
		-f_0\left(
			\frac{\partial^2}{\partial z\partial y}
			\left(\overline{u'v'}\right)
			-\DP{\bar{\chi}}{z}
			\right)
	\right]
\end{align}

\eqref{eq10.15}は定性的な平均子午面循環の診断に利用される.
$ \bar{\chi} $が境界上で必ず消えるので,
$ \bar{\chi} $は$ y $と$ z $における
二重フーリエ変換によって表現される.
すなわち\eqref{eq10.15}の左辺の楕円型作用素は近似的に
$ -\bar{\chi} $に比例し,
\eqref{eq10.15}は定性的に
\begin{align*}
\bar{\chi}\propto
&-\DP{}{y}(\text{非断熱加熱})
+\DP[2]{}{y}(\text{大スケールの渦熱フラックス})
\\
&+\frac{\partial^2}{\partial y \partial z}
(\text{大スケールの渦運動フラックス})
+\DP{}{z}(\text{東西抵抗力})
\end{align*}
であることを表す.
いま, 北半球の非断熱加熱が$ y $が増加するにつれて減少するとしよう.
すなわち右辺のはじめの項は正であり,
$ \bar{\chi}>0 $の平均子午面セルを強制する.
これは\textbf{熱的直接}セルとして知られ,
暖かい空気は上昇し冷たい空気は沈む.
この過程こそが図10.2で表される熱帯のハドレー循環の第一の記述である.
渦の起源が存在しないような理想的なハドレーセルでは,
非断熱加熱の微分は赤道近くの断熱冷却と
より高緯度の断熱加熱によってのみ釣り合う.

北半球の熱帯の外では, 一時的な総観スケールの渦と
定常的な惑星波動による極側の渦熱フラックスは
熱を極側へ輸送し, 図10.3のように
極側の熱フラックス$ \overline{v'T'} $の最大値を
対流圏下層の緯度約$\SI{50}{^\circ}$に作る.
$ \bar{\chi} $は$ \overline{v'T'} $の二階微分と比例しているので, 
$ \overline{v'T'}>0 $では負でなければならない.
この項は中緯度対流圏下層に
$ \bar{\chi}<0 $が中心の平均子午面セルを作る.
すなわち渦熱フラックスは間接子午面循環を作る.

この間接子午面循環の存在は
地衡流平衡と静水圧平衡を維持する必要性という意味から理解できる.
$ \overline{v'T'} $が最大になる緯度の北では,
渦熱フラックスの集中があり,
その緯度の赤道側は発散になっている.
すなわち渦熱輸送は極-赤道平均温度勾配を小さくする傾向がある.
平均東西流れが地衡流のままならば,
温度風は減少しなければならない.
渦運動輸送が無いとき,
温度風におけるこの減少は図10.4のような平均子午面循環による
コリオリのトルクによって作られる.
同時に, 連続性から要求される鉛直運動が,
渦熱フラックスの発散領域における断熱加熱や
渦熱フラックスの収束領域における断熱冷却によって
生じる渦熱フラックスと関係する温度の傾向に反することがわかるが,
これは驚くべきことではない.

\eqref{eq10.15}の最後の強制項の隣は水平渦運動フラックスの収束の鉛直勾配
と比例する.
しかし, これは
\begin{equation*}
	-\frac{\partial^2}{\partial z\partial y}
	\left(\overline{u'v'}\right)
	=
	+\DP{}{z}\left(\overline{v'\zeta'}\right)
\end{equation*}
と表される(問題10.5を見よ).
すなわちこの項は子午面渦度フラックスの鉛直微分と比例する.
この渦強制を物理的に解釈するため,
図10.5で示すような, 運動量フラックスの収束
(又は渦度フラックス)が正で高さとともに増加する場合を考える.
これは北半球の対流圏の, ジェット気流の中心から極側において正しく,
図10.6で示すように$ \overline{u'v'} $は極向きになり,
約$ 30^\circ $(平均的なジェット気流の中心あたり)付近で
最大値に到達する.
この運動量フラックスの状態では, 
中緯度の対流圏では
$ \partial^2\overline{u'v'}/\partial y\partial z <0 $
であり, これは再び平均子午面セルを$ \bar{\chi}<0 $で駆動する.
\eqref{eq10.11}から
この誘発された間接子午面循環のコリオリ力は
運動量フラックスの収束による加速と釣り合うことを
要求されるのは明らかであり,
そうでなければ平均東西風の鉛直シアーを増やし温度風バランスを壊す.

すなわち渦熱フラックスと渦運動フラックスをあわせた分布は
$ 45^\circ $よりも極側の上昇運動と
$ 45^\circ $より赤道側の下降運動を伴って
それぞれの半球で平均子午面セルを駆動する.
この渦強制は中緯度の直接断熱駆動を補っており,
観測されている熱的間接な\textbf{フェレル循環}の原因である.

結果として生じるオイラー平均子午面循環の観測された気候は
図10.7に示している.
これははじめの非断熱加熱で駆動される熱帯のハドレーセルと,
渦で駆動される中緯度のフェレルセルと整合的である.
また弱い熱的直接セルが極付近にある.
冬季の子午面循環は夏季のものよりも強く, 特に北半球で顕著である.
これは\eqref{eq10.15}の非断熱項と
渦フラックスの強制項の季節変動を表す.

フェレルセルは難問を与えてくる.
個々の傾圧渦によって作られた鉛直循環は熱的に直接的であり,
暖かい空気は上昇し, 冷たい空気は沈む.
さらにこれらの循環をすべて平均したオイラー平均子午面循環は
熱的に間接的な循環を示す.
この難問は等エントロピー座標(図	10.8)で
子午面循環を考えることで解決でき,
これはハドレーセルと熱帯以外における
熱的に直接な循環について明らかにする.
これはフェレルセルがオイラー平均の過程による人工的なものであり,
エントロピーの渦フラックスが
平均循環とくらべて大きいことを示す.

東西運動量は熱帯の対流圏上部で釣り合い,
中緯度のセルは平均子午面流によるコリオリ力と
渦運動フラックスの収束
の間の釣り合いによって維持される.
熱の釣り合いは熱帯での非断熱加熱や
高緯度での渦熱フラックスの収束と釣り合う上昇流(断熱冷却)と,
亜熱帯での渦熱フラックスの発散と釣り合う沈降流(断熱加熱)によって
維持される.

渦フラックスの項が平均運動量方程式と
平均熱力学エネルギー方程式に現れること,
渦と平均流の過程がほぼ打ち消し合うことから,
通常のオイラー平均から正味の平均流の渦強制を診断することを
試みることは役に立たない.
似たような渦や平均流の補填はオイラー平均した
長命なトレーサーの連続の式でも起こり,
トレーサーの輸送の循環についても
この形は役に立たない.

\subsection{変形オイラー平均}

より明瞭な渦強制の診断を導き,
子午面においてより直接的な輸送過程の見方を導く,
東西平均循環を解析する代わりの方法が\textbf{変形オイラー平均}(TEM)
の形式で, Andrews and McIntyre (1976)で発表された.
この変形は\eqref{eq10.12}において
渦熱フラックスの収束と非断熱冷却が強く打ち消し合うことを考慮しており, 
断熱加熱の項は小さな残差である.
この平均では, パーセルの温位が断熱加熱で増加する場合のみ
空気のパーセルはより高い平衡高度へ上昇する.
これは直接的に平均子午面質量流と関係する,
断熱過程を伴う\textbf{残差子午面循環}である.

TEM方程式系は次のように定義される残差循環
$ (\bar{v}^*,\bar{w}^*) $
を定義することで\eqref{eq10.11}, \eqref{eq10.12}から得られる:
\begin{subequations}
	\begin{align}
		 \bar{v}^*
		&=\bar{v}-\frac{1}{\rho_0}\frac{R}{H}
		 \DP{}{z}\left(\rho_0\frac{\overline{v'T'}}{N^2}\right),
		 \label{eq10.16a}
		 \\
		 \bar{w}^*
		&=\bar{w}+\frac{R}{H}
		 \DP{}{y}\left(\frac{\overline{v'T'}}{N^2}\right).
		 \label{eq10.16b}
	\end{align}
\end{subequations}
この方法で定義された残差鉛直速度は明らかに
渦熱フラックスの発散で打ち消されない, 断熱温度変化
への寄与を伴った平均鉛直速度を表す.

\eqref{eq10.16a}を\eqref{eq10.11}と\eqref{eq10.12}に代入し,
$ (\bar{v},\bar{w}) $を消去すると
TEM方程式系
\begin{equation}\label{eq10.17}
	\DP{\bar{u}}{t}-f_0\bar{v}^*
	=+\frac{1}{\rho_0}\nabla\cdot\vb*{F}+\bar{X}
	\equiv \bar{G}
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{eq10.18}
	\DP{\bar{T}}{t}+\frac{N^2H}{R}\bar{w}^*
	=\frac{\bar{J}}{c_p}
\end{equation}
%
\begin{equation}\label{eq10.19}
	\DP{\bar{v}^*}{y}
	+\frac{1}{\rho_0}\DP{}{z}\left(\rho_0\bar{w}^*\right)
	=0
\end{equation}
が得られる.
ここで$ \vb*{F}\equiv\vb*{j}F_y+\vb*{k}F_z $であり,
\textbf{Eliassen-Palmフラックス(EPフラックス)}は
子午面$ (y,z) $上のベクトルで,
大スケールの準地衡流渦において
\begin{equation}\label{eq10.20}
	F_y=-\rho_0\overline{u'v'},
	\;\;\;\;
	F_z=\frac{\rho_0 f_0 R}{N^2 H}\overline{v'T'}
\end{equation}
の成分を持つ.
また\eqref{eq10.17}の$ \bar{G} $は
大スケールと小スケール両方の渦によるトータルの東西方向の力を表す.

TEMの定式化は渦熱フラックスと運動量フラックスは
東西平均循環において変化を駆動するとき, 別々に作用するのではなく,
EPフラックスの発散によって与えられる組み合わせで作用することを
明確に表している.
すなわちこれらの渦の基本的な役割は東西方向の力を働かせることである.
この東西平均流における渦による強制は$ \vb*{F} $の場をマッピングし
$ \vb*{F} $の発散の等値線を描くことで便利に表すことができる.
基本場の密度によって適切にスケールされているとき,
これらの等値線は準地衡流の渦によって働く
単位質量あたりの東西方向の力を与える.
冬の北半球における平均全球EPフラックスの発散の図は
図10.9に示している.
ほどんどの熱帯以外の対流圏では, EPフラックスは収束しており,
大気において渦は西向きの東西方向の力として働くことに注意しよう.
季節の時間スケールでは, \eqref{eq10.17}のEPフラックスの発散による
東西方向の力は残差平均子午面循環の,
東向きのコリオリ力によってほぼ釣り合う.
このバランスについては次の副節で議論する.

残差平均子午面循環の構造は残差流線関数を定義することで決まる:
\begin{equation*}
	\bar{\chi}^*
	\equiv
	\bar{\chi}+\rho_0\frac{R}{H}\frac{\overline{v'T'}}{N^2}.
\end{equation*}
これを\eqref{eq10.14}と\eqref{eq10.15}に代入することで
\begin{equation*}
	\rho_0\bar{v}^*=-\DP{\bar{\chi}^*}{z};
	\;\;\;\;
	\rho_0\bar{w}^*=\DP{\bar{\chi}^*}{y}
\end{equation*}
と
\begin{equation}\label{eq10.21}
	\DP[2]{\bar{\chi}^*}{y}
	+\rho_0\frac{f_0^2}{N^2}\DP{}{z}
		\left(\frac{1}{\rho_0}\DP{\bar{\chi}}{z}\right)
	=\frac{\rho_0}{N^2}
		\left[
			\DP{}{y}\left(\frac{\kappa \bar{J}}{H}\right)
			+f_0\DP{\bar{G}}{z}
		\right]
\end{equation}
が示される.
\eqref{eq10.21}の右辺のソース項への,
断熱フラックスやEPフラックスの寄与の大きさは,
一般的に夏半球よりも冬半球のほうが大きい.
北半球の対流圏では, これらは一般的に負であり,
一方で南半球では一般的に正である.
これは図10.10で示すように, 冬半球に最も強いセルを伴って,
$ \bar{\chi}^* $自身が
北半球では正, 南半球では負になり,
残差子午面循環はそれぞれの半球における単一の熱的に直接な
循環と一致することを示唆している.

通常のオイラー平均と異なり, 時間平均した残差平均鉛直運動は
断熱加熱率と比例する.
これは近似的に子午面における\textbf{断熱循環}を表す
---
すなわち
パーセルの温位が局所的な環境に順応して,
パーセルが上昇するような循環では断熱的に加熱され,
沈むような循環では断熱的に冷却される.
時間平均された残差平均子午面循環はすなわち
大気のパーセルの平均運動に近似でき,
通常のオイラー平均と違って,
トレーサー物質の平均的な移流輸送の近似を与える.

\end{document}

