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% An Introduction to Atmospheric Gravity Waves (2002) 
% 1st edition
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%%%%%%%%             Style  Setting             %%%%%%%%
% フォント: 12point (最大), 片面印刷
\documentclass[a4j,12pt,oneside]{ltjreport}

\input{preemble}
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\begin{document}
%%\appendix
%\setcounter{chapter}{0}
%\setcounter{section}{0}
%\setcounter{equation}{0}
%\def\thesection{付録\Alph{section}}
%\def\theequation{\Alph{section}.\arabic{equation}}


\section{平均流中の内部重力波}

\subsection{非粘性の場合}

鉛直シアーを持つ水平方向の平均流$ \bar{U}(z) $
が存在する非粘性, 非圧縮鉛直２次元 Boussinesq 流体を考える.
物理変数の摂動成分を$ ' $つきの量で表す.
このとき線形化された運動方程式の$ x,\ z $成分はそれぞれ
\begin{subequations}\label{boussinesqliner.eq}
	\begin{align}
	\pdv{u'}{t}&+\bar{U}\pdv{u'}{x}+w'\dv{\bar{U}}{z}
	=-\pdv{\phi'}{x},
	\label{miyahara_emx.eq}
	\\
	\pdv{w'}{t}&+\bar{U}\pdv{w'}{x}
	=-\pdv{\phi'}{z}-q',
	\label{miyahara_emz.eq}
	\end{align}
であり, 連続の式と熱力学方程式は
	\begin{align}
	&\pdv{u'}{x}+\pdv{w'}{z}=0,
	\label{miyahara_cont1.eq}
	\\
	&\pdv{q'}{t}+\bar{U}\pdv{q'}{x}-N^2w'=0,
	\label{miyahara_cont2.eq}
	\end{align}
\end{subequations}
である.
ここで$ \phi'=p'/\rho_0,\ q'=\rho'g/\rho_0 $であり,
$ N $は浮力振動数で定数であると仮定する.
摂動成分について以下のように波型の解を仮定する:
\begin{align*}
	u'(x,z,t)&=U'(z)e^{i(kx-\omega t)},
	\\
	w'(x,z,t)&=W'(z)e^{i(kx-\omega t)},
	\\
	q'(x,z,t)&=Q'(z)e^{i(kx-\omega t)},
	\\
	\phi'(x,z,t)&=\Phi'(z)e^{i(kx-\omega t)}.
\end{align*}
これを\eqref{boussinesqliner.eq}に代入すると,
%\begin{subequations}
%	\label{bousinesqliner2.eq}
	\begin{align}
	&ik(\bar{U}-c)U'+W'\dv{\bar{U}}{z}=-ik\Phi',
	\tag{\ref{miyahara_emx.eq}'}
	\label{miyahara_emx2.eq}
	\\
	&ik(\bar{U}-c)W'=-\dv{\Phi'}{z}-Q',
	\tag{\ref{miyahara_emz.eq}'}
	\label{miyahara_emz2.eq}
	\\
	&ikU'+\dv{W'}{z}=0,
	\tag{\ref{miyahara_cont1.eq}'}
	\label{miyahara_cont12.eq}
	\\
	&ik(\bar{U}-c)Q'-N^2W'=0
	\tag{\ref{miyahara_cont2.eq}'}
	\label{miyahara_cont22.eq}
	\end{align}
%\end{subequations}
となる.
ここで$ \omega=kc $であり, $ c $は位相速度である.
\eqref{miyahara_emx2.eq}と\eqref{miyahara_cont12.eq}より,
\begin{equation*}
	-(\bar{U}-c)\dv{W'}{z}+W'\dv{\bar{U}}{z}=-ik\Phi'.
\end{equation*}
これを$ z $で微分して整理すると,
\begin{equation}
	-(\bar{U}-c)\dv[2]{W'}{z}+W'\dv[2]{\bar{U}}{z}
	=-ik\dv{\Phi'}{z}
\end{equation}
となる.
\eqref{miyahara_emz2.eq}, \eqref{miyahara_cont22.eq}を用いて
$ \dv*{\Phi'}{z},\ Q' $を消去すると
$ W' $についての式
\begin{equation}\label{W'eq.eq}
	\dv[2]{W'}{z}
	+\qty[\frac{N^2}{(\bar{U}-c)^2}
		-\frac{1}{\bar{U}-c}\dv[2]{\bar{U}}{z}-k^2]W'
	=0
\end{equation}
を得る.
$ W' $の係数を$ F(z) $と置くと, $ W' $は
$ F(z)>0 $のとき$ z $方向について波型の解を持ち,
$ F(z)<0 $のとき指数関数的な解を持つ.
$ \bar{U}-c=0 $のとき$ F(z) $は特異点となる.

ここで WKB 近似を行い, $ \dv*[2]{\bar{U}}{z}\simeq 0 $と仮定する.
$ W' $が波型の解$ \hat{W}e^{imz} $を持つとすると,
\eqref{W'eq.eq}から分散関係式
\begin{equation}\label{dispersion.eq}
	-m^2+\qty[\frac{N^2k^2}{(\omega-k\bar{U})^2}-k^2]=0
\end{equation}
または
\begin{equation}\label{dispersion_m.eq}
	m^2=\frac{(N^2-\hat{\omega}^2)k^2}{\hat{\omega}^2}
\end{equation}
を得る. ここで$ \hat{\omega}= \omega-k\bar{U}=k(c-\bar{U})$は
固有振動数である.
$ \bar{U}=c $であるときを考えると, 
$ \hat{\omega}\rightarrow 0 $となることから,
\eqref{dispersion_m.eq}より$ m^2\rightarrow\infty $となる.
また鉛直群速度
\begin{equation*}
	C_{gz}
	=\pdv{\hat{\omega}}{m}
	=-\frac{m}{N^2k^2}\hat{\omega}^3
\end{equation*}
は$ C_{gz}\rightarrow 0 $となる. つまり $ \bar{U}=c $
となる高度よりも上へは波は伝播しない.

$ \bar{U}(z_c)=c $となるようなクリティカルレベル$ z_c $付近の解を考える.
考える高度を$ z=z_c+\Delta z $と表し,$ \bar{U}(z) $の Taylor 展開を
行うと,
\begin{equation*}
	\bar{U}(z)=\bar{U}(z_c)+\dv{\bar{U}}{z}\Delta z +\cdots
\end{equation*}
となる. ここで二次以上の項は無視し, $ z_c $を鉛直座標の原点に取ると,
平均流は
\begin{equation}\label{u_bar_c.eq}
	\bar{U}(z)=c+\Lambda z
\end{equation}
と表すことができる. ここで$ \Lambda=\dv*{\bar{U}}{z} $である.
これを用いて\eqref{W'eq.eq}を書き換えると,
\begin{equation}\label{W'eq_lamda.eq}
	\dv[2]{W'}{z}+\qty[\frac{N^2}{\Lambda^2 z^2}-k^2]W'=0
\end{equation}
となる. また Richerdoson 数$ Ri=N^2/\Lambda^2 $を用いると
\begin{equation}\label{W'eq_Ri.eq}
\dv[2]{W'}{z}+\qty[\frac{Ri^2}{z^2}-k^2]W'=0
\end{equation}
と書ける.
ここで \eqref{W'eq_Ri.eq}は$ z=0 $が確定特異点であることから,
\begin{equation*}
	W'=\sum_{l=0}^{\infty}C_lz^{\lambda+l}
\end{equation*}
と置く%
\footnote{
$ n $階の微分方程式
\begin{equation*}
	y^{(n)}(x)+P_1(x)y^{(n-1)}(x)+\cdots+P_{n-1}(x)y'(x)+P_ny(x)=0
\end{equation*}
の特異点$ x=a $において,
\begin{equation*}
	(x-a)P_1(x),\ (x-a)^2 P_2(x),\ \cdots,\ (x-a)^n P_n(x)
\end{equation*}
がすべて解析的であるとき, $ a $を与えられた微分方程式の
\textbf{確定特異点}という.
確定特異点$ a $を持つ微分方程式は
\begin{equation*}
	y=\sum_{n=0}^{\infty}C_n(x-a)^{\lambda+n}
\end{equation*}
の形式の解を持つことが知られている.
}.
これを\eqref{W'eq_Ri.eq}に代入すると
\begin{equation*}
	\sum_{l=0}^{\infty}C_l(\lambda+l)(\lambda+l-1)z^{l+\lambda-2}
	+C_l Ri z^{l+\lambda-2}
	-C_l k^2z^{l+\lambda}
	=0
\end{equation*}
となる.
$ l=0 $に対応する, $ z^{\lambda-2} $の係数について考えると
\begin{equation*}
	C_0\lambda(\lambda-1)+C_0 Ri=0
\end{equation*}
であることから, 
\begin{equation}\label{lambda.eq}
	\lambda
	=\frac{1}{2}\pm\sqrt{\frac{1}{4}-Ri}
	=\frac{1}{2}\pm i\sqrt{Ri-\frac{1}{4}}
\end{equation}
となる.
よって$ Ri<1/4 $のときシアー不安定が発生する.
$ Ri>1/4 $のとき, $ z\sim0 $における$ W' $の解は
\begin{equation}\label{WKB_W'solution.eq}
	W'=Az^{\frac{1}{2}+i\sqrt{Ri-1/4}}+Bz^{\frac{1}{2}-i\sqrt{Ri-1/4}}
\end{equation}
である.
以下, $ Ri>1/4 $である場合を考える.

\subsection{粘性を考える場合}

次に水平速度の摂動に比例する Newton damping がある場合を考える.
このとき\eqref{miyahara_emx2.eq}の$ U' $の係数は
$ ik(\bar{U}-c-i\alpha/k) $となる.
\eqref{u_bar_c.eq}より
$ \bar{U}-c-i\alpha/k=\Lambda(z-i\alpha/\Lambda k) $
であることを用いると$ W' $についての微分方程式\eqref{W'eq_lamda.eq}は
\begin{equation}\label{W'_dissipation.eq}
	\dv[2]{W'}{t}\qty[\frac{Ri}{(z-ic_i/\Lambda)^2}-k^2]W'=0
\end{equation}
と変更され, 解は
\begin{equation}\label{W'_dissipation_sol.eq}
	W'=A\qty(z-\frac{ic_i}{\Lambda})^{\frac{1}{2}+i\sqrt{Ri-1/4}}
		+B\qty(z-\frac{ic_i}{\Lambda})^{\frac{1}{2}-i\sqrt{Ri-1/4}}
\end{equation}
となる. ここで$ c_i=\alpha/k $である.
%これは$ z $を複素数と考えた場合の虚部にあたる.
このことは粘性を含む一般の場合には非粘性の解\eqref{WKB_W'solution.eq}
における$ z $を複素数と考えれば良いことを示している.
そこで以下では複素数$ z $を持つ\eqref{WKB_W'solution.eq}の
解を考えていくことにする.


$ c_i\rightarrow0 $($ \alpha\rightarrow0 $)の極限を考えると,
$ z>0 $のとき$ z=|z| $となる.
このとき微分方程式の解は
\begin{align}
	W
	&=A|z|^{\frac{1}{2}+i\mu}+B|z|^{\frac{1}{2}-i\mu}
	\notag
	\\
	&=A|z|^{\frac{1}{2}}e^{i\mu\ln|z|}
	+B|z|^{\frac{1}{2}}e^{-i\mu\ln|z|}
	\label{W'dis_sol_uegawa.eq}
\end{align}
となる.
ここで$ \mu\equiv\sqrt{Ri-1/4} $である.
振幅$ A,\ B $に対応する局所鉛直波数をそれぞれ$ m_A,\ m_B $
とすると
\begin{subequations}
	\begin{align}
		m_A&=\pdv{z}\qty(\mu\ln|z|)
		    =\pdv{|z|}\qty(\mu\ln|z|)=\frac{\mu}{|z|}>0,
		\label{m_A_uegawa.eq}
		\\
		m_B&=\pdv{|z|}\qty(-\mu\ln|z|)=-\frac{\mu}{|z|}<0
		\label{m_B_uegawa.eq}
	\end{align}
\end{subequations}
となる.
一方$ z<0 $の場合は, 
$ \dv*{\bar{U}}{z}>0 $,すなわち
$ \Lambda>0 $のとき$ z=|z|e^{-\pi i} $,
$ \dv*{\bar{U}}{z}<0 $,すなわち
$ \Lambda<0 $のとき$ z=|z|e^{\pi i} $である.
$ \Lambda>0 $のとき微分方程式の解は
\begin{align}
	W
	&=A\qty(|z|e^{-i\pi})^{\frac{1}{2}+i\mu}
		+B\qty(|z|e^{-i\pi})^{\frac{1}{2}-i\mu}
	\notag
	\\
	&=-iA|z|^{\frac{1}{2}}e^{i\mu\ln|z|}e^{\mu\pi}
	  -iB|z|^{\frac{1}{2}}e^{-i\mu\ln|z|}e^{-\mu\pi},
	\label{W'dis_sol_shitagawa_plus.eq}
\end{align}
$ \Lambda<0 $のとき微分方程式の解は
\begin{align}
W
&=A\qty(|z|e^{i\pi})^{\frac{1}{2}+i\mu}
+B\qty(|z|e^{i\pi})^{\frac{1}{2}-i\mu}
\notag
\\
&=iA|z|^{\frac{1}{2}}e^{i\mu\ln|z|}e^{-\mu\pi}
+iB|z|^{\frac{1}{2}}e^{-i\mu\ln|z|}e^{\mu\pi},
\label{W'dis_sol_shitagawa_minus.eq}
\end{align}
となる.
局所鉛直波数は
\begin{subequations}
	\begin{align}
	m_A&=\pdv{z}\qty(\mu\ln|z|)
	    =-\pdv{|z|}\qty(\mu\ln|z|)=-\frac{\mu}{|z|}<0,
	\label{m_A_shitagawa.eq}
	\\
	m_B&=-\pdv{|z|}\qty(-\mu\ln|z|)=\frac{\mu}{|z|}>0
	\label{m_B_shitagawa.eq}
	\end{align}
\end{subequations}
となる.
すなわち$ z>0 $と$ z<0 $では$ e^{\pm\mu\pi} $だけ振幅が異なる.

次に一周期分の平均運動量フラックスを考える.
\begin{align*}
	u'=&\frac{1}{2}\qty[U'e^{i(kx-\omega t)}+U'^* e^{-i(kx-\omega t)}],
	\\
	w'=&\frac{1}{2}\qty[W'e^{i(kx-\omega t)}+W'^* e^{-i(kx-\omega t)}]
\end{align*}
より,
\begin{align}
	\overline{u'w'}
	&=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}u'w'dx
	\notag
	\\
	&=\frac{1}{4L}\int_{0}^{L}(U'W'^*+U'^*W')dx
	\notag
	\\
	&=\frac{1}{2}\Re(U'W'^*)
	\notag
	\\
	&=\frac{1}{2}\Re\qty(\frac{i}{k}\dv{W'}{z}W'^*)
\end{align}
となる.
ここで\eqref{miyahara_cont12.eq}より
\begin{equation*}
U'=\frac{i}{k}\dv{W'}{z}
\end{equation*}
であることを用いた.
$ z>0 $のとき
\eqref{W'dis_sol_uegawa.eq}から
\begin{align*}
	\dv{W'}{z}&
	=A\qty(\frac{1}{2}+i\mu) |z|^{-\frac{1}{2}+i\mu}
	+B\qty(\frac{1}{2}-i\mu) |z|^{-\frac{1}{2}-i\mu},
	\\
	W'^*&=A^*|z|^{\frac{1}{2}-i\mu}+B^*|z|^{\frac{1}{2}+i\mu}
\end{align*}
なので, 
\begin{align}
	\frac{i}{k}\dv{W'}{z}W'^*
	=&\frac{i}{k}
	\left[
		\qty(\frac{1}{2}+i\mu) |A|^2+\qty(\frac{1}{2}-i\mu) |B|^2
	\right.
	\notag
	\\
	&\;\;\;\;\;
	\left.
		+\qty(\frac{1}{2}+i\mu)AB^* e^{2i\mu}
		+\qty(\frac{1}{2}-i\mu)A^*B e^{-2i\mu}
	\right]
	\notag
	\\
	=&\frac{i}{k}
	\left[
	\qty(\frac{1}{2}+i\mu) |A|^2+\qty(\frac{1}{2}-i\mu) |B|^2
	+2\Re\left\{\qty(\frac{1}{2}+i\mu) AB^* e^{2i\mu}\right\}
	\right]
\end{align}
となる. よって
\begin{equation}\label{uw_uegawa.eq}
	\overline{u'w'}
	=\frac{1}{2}\Re\qty(\frac{i}{k}\dv{W'}{z}W'^*)
	=-\frac{\mu}{2k}\qty( |A|^2-|B|^2 )
\end{equation}
となる.
$ z<0 $での平均運動量フラックスは,
$ \dv*{z}=-\dv*{|z|} $であることに注意して
\eqref{uw_uegawa.eq}の$ A,\ B $を
$ \Lambda>0 $の場合は
$ A \rightarrow -iAe^{\mu\pi} $,
$ B \rightarrow -iBe^{-\mu\pi} $に,
$ \Lambda<0 $の場合は
$ A \rightarrow iAe^{-\mu\pi} $,
$ B \rightarrow iBe^{\mu\pi} $に,
置き換えることで得られる.
$ \Lambda>0 $のとき,
\begin{equation}\label{uw_shitawa_plus.eq}
\overline{u'w'}
=\frac{\mu}{2k}\qty( |A|^2e^{2\mu\pi}-|B|^2e^{-2\mu\pi} ),
\end{equation}
$ \Lambda<0 $のとき
\begin{equation}\label{uw_shitawa_minus.eq}
\overline{u'w'}
=\frac{\mu}{2k}\qty( |A|^2e^{-2\mu\pi}-|B|^2e^{2\mu\pi} )
\end{equation}
となる.
\eqref{uw_uegawa.eq}と
\eqref{uw_shitawa_plus.eq},
\eqref{uw_shitawa_minus.eq}を比較すると,
クリティカルレベルを境にして$ e^{\pm 2\mu\pi} $のファクターで
運動量フラックスの収束・発散があり,
平均流を加速することがわかる.

位相速度について, $ A $に比例する波と$ B $に比例する波
を個別に考える.
水平波数$ k>0 $であると仮定する.
このとき固有振動数は$ \hat{\omega}=-k\Lambda z $であることから,
$ \Lambda>0 $の場合,
\begin{align*}
	z>0 \text{のとき} &\hat{\omega}<0,\ c_x=\hat{\omega}/k<0,
	\\
	z<0 \text{のとき} &\hat{\omega}>0,\ c_x=\hat{\omega}/k>0
\end{align*}
である.
$ A $に比例する波について, 鉛直位相速度$ c_z $は$ z $の符号に関係なく
\eqref{m_A_uegawa.eq}, \eqref{m_A_shitagawa.eq}より
$ c_z<0 $となる.
一方$ B $に比例する波について
\eqref{m_B_uegawa.eq}, \eqref{m_B_shitagawa.eq}より
$ c_z>0 $となる.

$ \Lambda<0 $の場合,
\begin{align*}
z>0 \text{のとき} &\hat{\omega}>0,\ c_x=\hat{\omega}/k>0,
\\
z<0 \text{のとき} &\hat{\omega}<0,\ c_x=\hat{\omega}/k<0
\end{align*}
である.
$ A $に比例する波について, 鉛直位相速度$ c_z $は
\eqref{m_A_uegawa.eq}, \eqref{m_A_shitagawa.eq}より
$ c_z>0 $となる.
一方$ B $に比例する波について
\eqref{m_B_uegawa.eq}, \eqref{m_B_shitagawa.eq}より
$ c_z<0 $となる.
これらの結果を表にまとめると以下のとおりである.


\begin{table}[htb]
	\centering
	\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline
		シアー&対応する振幅& $ z $ & 位相速度 & 振幅 & フラックス
		& 伝播方向 \\ \hline\hline
		$ \Lambda>0 $ & A & $ z>z_c $ & $ \swarrow $ & $ |A| $&
		$ -\frac{\mu}{2k}|A|^2 $  & 上向き\\ \cline{3-6}
		 & &  $ z<z_c $ & $ \searrow $ & $ |A|e^{\mu \pi} $ &
		$ +\frac{\mu}{2k}|A|^2e^{2\mu\pi} $ & \\ \cline{2-7}
		 % % % % % % % % %
		& B & $ z>z_c $ & $ \nwarrow $ & $ |B| $&
		$ +\frac{\mu}{2k}|B|^2 $  & 下向き\\ \cline{3-6}
		& &  $ z<z_c $ & $ \nearrow $ & $ |B|e^{-\mu \pi} $ &
		$ -\frac{\mu}{2k}|B|^2e^{-2\mu\pi} $  & \\
		\hline \hline
		% % % % %
		% % % % %
		$ \Lambda<0 $ & A &
		 $ z>z_c $ & $ \nearrow $ & $ |A| $&
		$ -\frac{\mu}{2k}|A|^2 $  & 下向き\\ \cline{3-6}
		& &  $ z<z_c $ & $ \nwarrow $ & $ |A|e^{-\mu \pi} $ &
		$ +\frac{\mu}{2k}|A|^2e^{-2\mu\pi} $  & \\ \cline{2-7}
		% % % % % 
		& B & $ z>z_c $ & $ \searrow $ & $ |B| $&
		$ +\frac{\mu}{2k}|B|^2 $  & 上向き\\ \cline{3-6}
		& &  $ z<z_c $ & $ \swarrow $ & $ |B|e^{\mu \pi} $ &
		$ -\frac{\mu}{2k}|B|^2e^{2\mu\pi} $  & \\ \hline
	\end{tabular}
\end{table}


\end{document}


