%
% An Introduction to Atmospheric Gravity Waves (2002) 
% 1st edition
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             Style  Setting             %%%%%%%%
% フォント: 12point (最大), 片面印刷
\documentclass[a4j,12pt,oneside]{ltjreport}

\input{preemble}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             Text Start                 %%%%%%%%
\begin{document}
%\appendix
%\setcounter{chapter}{0}
%\setcounter{section}{0}
%\setcounter{equation}{0}
%\def\thesection{付録\Alph{section}}
%\def\theequation{\Alph{section}.\arabic{equation}}
\chapter{結果: シアー流が存在する場合}
\section{対流と内部重力波の発生}

\begin{figure}[tbp]
		\centering
			\includegraphics[width=12cm]
			{./mthesis_fig/conv_theta.png}
		\begin{quote}
			\caption{\label{conv_theta.fig}
				上から,
				$ t=\SI{24200}{s},\ \SI{25200}{s},\ \SI{25800}{s} $,
				高度$ 0\sim\SI{5}{km} $における
				温位$ \theta\ (\si{K}) $の等値線のスナップショット.}
		\end{quote}
		
\end{figure}
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=12cm]
	{./mthesis_fig/conv_u.png}
	\begin{quote}
		\caption{\label{conv_u.fig}
		高度$ 0\sim\SI{10}{km} $における
		水平速度の基本場からの摂動$ \delta u\ (\si{m.s^{-1}}) $.
		時刻は図\ref{conv_theta.fig}と同様.}
	\end{quote}
\end{figure}
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=12cm]
	{./mthesis_fig/conv_w.png}
	\begin{quote}
		\caption{\label{conv_w.fig}
		図\ref{conv_u.fig}と同様.ただし
		鉛直速度$ w\ (\si{m.s^{-1}}) $.}
	\end{quote}
\end{figure}
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=14cm]
	{./mthesis_fig/1stwave.png}
	\begin{quote}
		\caption{\label{1stwave.fig}図\ref{conv_w.fig}と同様.
		ただし$ z=0\sim\SI{30}{km} $の範囲において,
		$ t=\SI{24200}{s}$(左上), $\SI{25000}{s}$(左中央),
		$ \SI{25800}{s} $(左下), $ \SI{27500}{s}$(右上),
		$\SI{28000}{s}$(右中央),$\SI{28500}{s} $(右下).}
	\end{quote}
\end{figure}
%
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[height=6.5cm]
	{./mthesis_fig/1st_st_t24000.png}
	\begin{quote}
	\caption{\label{1st_st_t24000.fig}
		$ z=\SI{12}{km},t=\SI{24000}{s}\sim\SI{26000}{s} $
		における鉛直速度の時空間スペクトル}
	\end{quote}
\vspace{-5mm}
	\includegraphics[height=6cm]
	{./mthesis_fig/spectz_z8-15km_t28000.png}
	\begin{quote}
	\caption{\label{1st_spectz_t28000.fig}
		$t=\SI{28000}{s} $, $ z=8\sim\SI{15}{km}$における
		鉛直速度の鉛直スペクトル}
	\end{quote}
\vspace{-5mm}
	\includegraphics[height=6.5cm]{./mthesis_fig/1st_st_t27000.png}
	\begin{quote}
	\caption{\label{1st_st_t27000.fig}
		$ z=\SI{12}{km},t=\SI{27000}{s}\sim\SI{29000}{s} $
		における鉛直速度の時空間スペクトル}
	\end{quote}
\end{figure}

図\ref{conv_theta.fig}, 図\ref{conv_u.fig}, 図\ref{conv_w.fig}
にそれぞれ
%$ t=\SI{24,200}{s},\ \SI{25,200}{s},\ \SI{25,800}{s} $の
対流圏における温位$ \theta $, 
水平速度の摂動$ \delta u $, 
鉛直速度$ w $を示す.
時間とともに幾つかの対流セルが成長しながら背景風によって
東に流されていることがわかる.
温位の擾乱と, 水平速度の摂動, 鉛直速度の強い部分が一致している.
鉛直速度で見ると, $ t=25000,\ 25800\ \si{s} $において
9から10 個のセルが見られる.
そこでセルの水平サイズは$ \SI{3}{km} $程度である.
これらの時刻においてセルは高度$ 3\sim \SI{4}{km} $に
達しているので, 対流セルのアスペクト比は
いわゆる乾燥対流のセルのアスペクト比と同じ程度になっている.
また鉛直速度の最大値が$ \SI{4}{m.s^{-1}} $を超える
強いものが3個見られる.
%対流はセルの鉛直速度の最大値が$ \SI{4}{m.s^{-1}} $を超える
%大きさのものが3個, それ以下の小さなものがいくつか発生している.

図\ref{1stwave.fig}は図\ref{conv_w.fig}について$ \SI{30}{km} $
までの高度で見たものである.
対流は時間とともに強くなり, そこから波が発生していることがわかる. 
波は水平波長が約$ \SI{10}{km} $で位相線は西に傾いている.
この波について$ z=\SI{12}{km} $において
$ t=\SI{24000}{s}\sim\SI{26000}{s} $
の範囲でスペクトル解析を行うと(図\ref{1st_st_t24000.fig}),
水平波長が$ \SI{10}{km} $
(水平波数$ k \sim 0.6\times 10^{-4}\ \si{m^{-1}} $),
周期が約$ \SI{33}{min} $
(振動数$ \omega\sim 3.0\times 10^{-3}\ \si{s^{-1}} $),
水平位相速度が$ c=\SI{5}{m.s^{-1}} $の波が見られる.
ここで固有振動数
\begin{equation}\label{int_freq.eq}
	|\hat{\omega}| 
	= |\omega-\bar{U}k| \sim 1.5\times 10^{-2}\ \si{s^{-1}}
\end{equation}
から固有周期を見積もると,
固有周期が約$ \SI{7}{min} $であることがわかる.
また固有位相速度は$ \hat{c}= c-\bar{U} =-\SI{25}{m.s^{-1}} $
であることから西進する波である.
図\ref{1st_spectz_t28000.fig}は$t=\SI{28000}{s} $において
$ z=8\sim\SI{15}{km}$の範囲で
鉛直スペクトルを調べた結果である. ここから
鉛直波長は約$ \SI{7}{km} $
(鉛直波数$ m=\SI{0.9e-3}{m^{-1}} $)であることがわかる.
これらのパラメータは内部重力波の分散関係\eqref{d_relation.eq}
%\begin{equation}\label{d_relation.eq}
%	\hat{\omega}^2=\frac{N^2k^2}{k^2+m^2+1/(4H^2)}
%\end{equation}
を満たすことから内部重力波であると考えられる.

$ z=\SI{12}{km} $において$ t=\SI{27000}{s}\sim\SI{29000}{s} $
の範囲でスペクトル解析を行うと(図\ref{1st_st_t27000.fig}),
図\ref{1st_st_t24000.fig}よりも振動数, 水平波数の大きな
東進する波が存在する.
この波の水平波数のピークは$ \SI{0.8e-3}{m^{-1}} $と
$ \SI{1.1e-3}{m^{-1}} $に存在し, どちらも
内部重力波の分散関係\eqref{d_relation.eq}を満たすことから
内部重力波である.
この波の位相速度は約$ \SI{12}{m.s^{-1}} $で,
これは高度$ 3\sim\SI{4}{km} $の対流圏上部の水平風の
基本場の速度と概ね一致する.
%ここから対流発生域の水平風の基本場は内部重力波の位相速度を
%決めると考えられる.
この図\ref{1st_st_t27000.fig}で見られる
内部重力波について以下の表にまとめておく.
\begin{table}[htb]
	\centering
	\begin{quote}
	\caption{図\ref{1st_st_t27000.fig}で見られる
		主な水平波数に対応する波の水平波長, 周期, 水平位相速度,
		鉛直群速度.}
	\end{quote}
\vspace{-8mm}
	\scalebox{0.85}{
		\begin{tabular}{ccccc}
			\hline 
			水平波数$(\si{m^{-1}})$ & 水平波長$(\si{km})$ & 
			周期$(\si{min})$ & 
			水平位相速度$(\si{m.s^{-1}})$ &  
			鉛直群速度$(\si{m.s^{-1}})$  \\ 
			\hline 
			$ 0.6\times10^{-3} $& 10 & 33 & 5 & 2 \\ 
			$ 0.8\times10^{-3} $& 8 & 10 & 12 & 6 \\ 
			$ 1.1\times10^{-3} $& 5 & 8 & 12 & 6 \\ 
			\hline 
		\end{tabular}
	} 
\end{table}

\section{内部重力波のクリティカルレベルにおける吸収}
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=10cm]{./mthesis_fig/CL_1D_t24200.png}
	\begin{quote}
	\caption{\label{CL_1D.fig}
		$ x= \SI{0}{km},\
		z=5\sim\SI{35}{km},\ 
		t=\SI{24200}{s} $における鉛直速度.}
	\end{quote}
\end{figure}
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=14cm]
	{./mthesis_fig/2ndwave.png}
	\begin{quote}
	\caption{\label{2ndwave.fig}$ t=\SI{31000}{s},\ \SI{31800}{s},
		\ \SI{32600}{s} $,$ z=0\sim\SI{60}{km} $における鉛直速度.}
	\end{quote}
\end{figure}
%
図\ref{CL_1D.fig}は$ x=\SI{0}{km},\ z=5\sim\SI{35}{km},\ 
t=\SI{24200}{s} $における鉛直速度のプロファイルである.
図\ref{1stwave.fig}, 図\ref{CL_1D.fig}から,
高度$ \SI{20}{km} $付近で鉛直波長が小さくなり, 位相線が
水平に近づいており, $ z=\SI{22}{km} $付近で
鉛直速度の振幅がゼロになっていることがわかる.
この付近が対流から発生した内部重力波のクリティカルレベルであると
考えられる.
図\ref{2ndwave.fig}は$ t=\SI{31000}{s},\ \SI{31800}{s},
\ \SI{32600}{s} $,$ z=0\sim\SI{60}{km} $における鉛直速度である.
これから対流圏で発生した重力波がクリティカルレベルである
高度$ \SI{20}{km} $付近で不安定を起こしており, 
そから新たに位相線が東に傾いた二次的な波が発生していることがわかる.
これは\cite{booker1967critical}の結果と整合的である.

\begin{figure}[tbp]
	\centering
			\includegraphics[width=10cm]
		{./mthesis_fig/CL_flux.png}
		\begin{quote}
		\caption{\label{CL_flux.fig}クリティカルレベル
			$ z=16\sim\SI{24}{km} $における
			(a)水平速度の基本場$ U_B(z) $
			からのずれ,(b)運動量フラックス, (c)運動量フラックスの
			鉛直微分の逆符号. 点線, 破線, 一点鎖線はそれぞれ
			$ t=\SI{10000}{s},\ \SI{31000}{s},\  
			\SI{32600}{s}$における値を表し, 実線は
			$ t= 31000\sim\SI{32600}{s} $の時間平均を表す.}
		\end{quote}
\end{figure}

図\ref{CL_flux.fig}は高度$ 16\sim\SI{24}{km} $の
水平速度の摂動(a), 
運動量フラックス(b),
運動量フラックスの発散(c)である.
図\ref{CL_flux.fig}(c)の値はブシネスク近似のもとでの
平均風$ \bar{U}(z,t) $と運動量フラックスの関係
\begin{equation}\label{flux_div.eq}
	\pdv{\bar{U}(z,t)}{t}
	\approx
	\frac{-1}{\rho_B(z)}\pdv{(\rho_B\overline{u'w'})}{z}
\end{equation}
の右辺である.
図\ref{CL_flux.fig}(a)を見ると$ z=\SI{18}{km} $
付近で平均風が減速されていることがわかる.
$ t=\SI{31000}{s} $と$ t=\SI{32600}{s} $を比較すると,
1600秒間で約$ \SI{3}{m.s^{-1}} $減速していることがわかる.
図\ref{CL_flux.fig}(b)からは高度$ 18\sim\SI{22}{km} $で
運動量フラックスが減少していることがわかる.
図\ref{CL_flux.fig}(c)は運動量フラックスの発散を表し,
$ t=31000\sim\SI{32600}{s} $の平均のピークの値は
$ \SI{3.0e-3}{m.s^{-2}} $である.
この値を用いて\eqref{flux_div.eq}から平均風の減速を見積もると
平均風の減速は$ \SI{1600}{s} $で$ \SI{4.8}{m.s^{-1}} $となり,
図\ref{CL_flux.fig}(a)で見られた減速と概ね一致する.

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=12cm]
	{./mthesis_fig/CL_theta.png}
	\caption{\label{CL_theta.fig}$ t=\SI{10000}{s},\ 
		\SI{31000}{s},\ \SI{32600}{s}$における温位の等値線(\si{K}).}
\end{figure}

図\ref{CL_theta.fig}は$ 16\sim\SI{24}{km} $における温位の等値線である.
等温位線の逆転が見られ, 不安定を起こしていることがわかる.
これがクリティカルレベル付近の高度のランダムなパターンを作り,
次節に見るような二次的な波を放射する.

\section{二次的な内部重力波の放射}\label{2nd_wave.sec}

\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=12cm]
	{./mthesis_fig/2nd_st_t31000.png}
	\caption{\label{2nd_st.fig}$ z=\SI{30}{km},\ t=31000\sim
		\SI{32600}{s} $における鉛直速度の時空間スペクトル.}
\end{figure}
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=12cm]
	{./mthesis_fig/2nd_stz_t31000.png}
	\caption{\label{2nd_stz.fig}$ z=25\sim\SI{45}{km},\ t=31000\sim
		\SI{32600}{s} $における鉛直速度の時空間スペクトル.}
\end{figure}
図\ref{2nd_st.fig}は$ z=\SI{30}{km}$,
$t=31000\sim\SI{32600}{s} $における鉛直速度の
時空間スペクトル解析である.
$ k=\SI{1.0e-3}{m^{-1}}(\text{水平波長約}\SI{6}{km}),\ 
\omega=\SI{1.5e-2}{s^{-1}}(\text{周期約}\SI{6.7}{min}) $と
$ k=\SI{1.7e-3}{m^{-1}}(\text{水平波長約}\SI{3.5}{km})
,\ \omega=\SI{2.0e-2}{s^{-1}}(\text{周期約}\SI{5}{min}) $に
大きなスペクトルのピークが見られる.
また$ k=\SI{0.2e-3}{m^{-1}}(\text{水平波長約}\SI{30}{km}),\ 
\omega=\SI{1.0e-2}{s^{-1}}(\text{周期約}\SI{10}{min}) $にも
小さなピークが見られる.
鉛直方向の時空間スペクトル解析の結果である図\ref{2nd_stz.fig}
から, 大きなピークに対応する鉛直波数は約$ \SI{6.0e-4}{m^{-1}} $,
小さなピークに対応する鉛直波数は約$ \SI{4.0e-4}{m^{-1}} $
であると考えられる.
これらの内部重力波について表\ref{2nd_wave.table}にまとめておく.

\begin{table}[htb]
	\centering
	\begin{quote}
		\caption{\label{2nd_wave.table}図\ref{2nd_st.fig}で見られる
			主な水平波数に対応する波の水平波長, 周期, 水平位相速度,
			鉛直群速度.}
	\end{quote}
	\vspace{-8mm}
	\scalebox{0.85}{
		\begin{tabular}{ccccc}
			\hline 
			水平波数$(\si{m^{-1}})$ & 水平波長$(\si{km})$ & 
			周期$(\si{min})$ & 
			水平位相速度$(\si{m.s^{-1}})$ &  
			鉛直群速度$(\si{m.s^{-1}})$  \\ 
			\hline 
			$ 1.0\times10^{-3} $& 6 & 6.7 & 15 & 7 \\ 
			$ 1.7\times10^{-3} $& 3.5 & 5 & 11 & 3.4 \\ 
			$0.2\times10^{-3}$& $ 30 $ & 10 & 50 & 20 \\ 
			\hline 
		\end{tabular}
	}
\end{table}

これらの値はそれぞれ分散関係式\eqref{d_relation.eq}を
満たしていることから内部重力波であると考えられる.
また大きなピークの水平位相速度はクリティカルレベルにおける
東西平均流の速度と概ね一致しており, 波源での平均流の速度が
位相速度を決めると考えられる.

一方小さなピークを持つ波は水平波長が$ \SI{30}{km} $と長く,
位相速度もかなり大きい.
この波は Goya and Miyahara (1999) でも見られ,
波長$ 5\sim\SI{6}{km} $程度の重力波どうしの非線形相互作用である
可能性が言及されていた.
しかし Goya and Miyahara(1999) では詳しい議論がなされていないこと,
水平波長が水平領域の大きさと一致していることから,
水平領域を$ \SI{90}{km} $に広げた場合についても計算を行った.
図\ref{2nd_st_wide.fig}は水平領域を$ \SI{90}{km} $に広げた場合の
水平方向の時空間スペクトルである.
水平領域が$ \SI{30}{km} $の場合と同様に水平波数
$ 1\times10^{-3}\sim\SI{1.8e-3}{m^{-1}} $の範囲に
大きなピークを持ち,
水平波数$ 0.1\times10^{-3}\sim\SI{0.5e-3}{m^{-1}} $
の範囲に小さなピークを持つことがわかる.
この小さなピークに対応する波長は$ 10\sim\SI{40}{km} $であり,
波長$ 5\sim\SI{6}{km} $の波が非線形相互作用を起こした場合に
発生すると考えられる波長と一致する.
このことから, 水平領域が$ \SI{30}{km} $の場合の波長$ \SI{30}{km} $
の波は, 領域によって波長が制限されている可能性はあるが, 
非線形相互作用によって発生した波であると考えられる.
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=12cm]
	{./mthesis_fig/2nd_st_wide.png}
	\caption{\label{2nd_st_wide.fig}水平領域を$ \SI{90}{km} $
		に広げた場合の, $ z=\SI{30}{km},\ t=32000\sim
		\SI{34000}{s} $における鉛直速度の時空間スペクトル.}
\end{figure}


\section{高高度領域における砕波}
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=14cm]{./mthesis_fig/break_dw.png}
	\begin{quote}
		\caption{\label{break_dw.fig}
		$ t= \SI{38000}{s},\ \SI{39000}{s},\ \SI{40000}{s} $,
		高度$ 60\sim\SI{120}{km} $における
		鉛直速度}
	\end{quote}
	\includegraphics[width=14cm]
	{./mthesis_fig/break_theta.png}
	\begin{quote}
	\caption{\label{break_theta.fig}図\ref{break_dw.fig}
		と同じ時刻, 領域における温位の等値線.}
	\end{quote}
\vspace{-5mm}
\end{figure}
\subsection{砕波による平均流加速}
図\ref{break_dw.fig}, \ref{break_theta.fig}はそれぞれ
$ z=60\sim\SI{120}{km},\ 
t=\SI{38000}{s},\ \SI{39000}{s},\ \SI{40000}{s} $における
鉛直速度と温位である.
位相線が東へ傾いている波であることから,
クリティカルレベルから発生した二次的な内部重力波が
さらに高高度へ伝播し, 
高度約$ 80\sim\SI{110}{km} $付近で振幅が増大し
砕波していることがわかる.
また砕波領域は時間とともに高度が下がっている.
\begin{figure}[tbp]
	\centering
	\includegraphics[width=14cm]
	{./mthesis_fig/break_flux.png}
	\begin{quote}
		\caption{\label{break_flux.fig}
		$ z=60\sim\SI{120}{km} $における
		(a)水平速度の基本場$ U_B(z) $
		からのずれ,(b)運動量フラックス, (c)運動量フラックスの
		鉛直微分の逆符号. 点線, 破線はそれぞれ
		$ t=\SI{37000}{s},\ \SI{39000}{s} $における値を表し, 
		実線は$ t= 39000\sim\SI{41000}{s} $の時間平均を表す.}
	\end{quote}
\vspace{-5mm}
\end{figure}
図\ref{break_flux.fig}は高度$ 60\sim\SI{120}{km} $の
水平速度の摂動(a), 
運動量フラックス(b),
運動量フラックスの発散(c)である.
ここから内部重力波の砕波によって東向きの風が誘発されていることがわかる.
運動量フラックスは高度とともに減少し, 上部中間圏から下部熱圏にかけて
東向きの加速が起きている.
クリティカルレベルにおける平均流加速の考察と同様に,
図\ref{break_flux.fig}(a), (c)から平均流の加速を見積もる.
図\ref{break_flux.fig}(a)からは$ \SI{2000}{s} $あたり
$ \SI{10}{m.s^{-1}} $の水平風の加速が起きていることがわかる.
また図\ref{break_flux.fig}(c)から
$ t=39000\sim\SI{41000}{s} $の平均のピークの値は
$ \SI{2.0e-2}{m.s^{-2}} $と見積もられ, 
これらの値から$ \SI{2000}{s} $
あたりの加速は$ \SI{40}{m.s^{-1}} $となる.
したがって図\ref{break_flux.fig}(a)から見積もられる値と
オーダーは一致している.

\subsection{砕波高度についての考察}

\ref{2nd_wave.sec}節で得られた二次的な内部重力波のパラメータを用いて
砕波高度を見積もり, 計算結果との比較を行う.

線形理論における砕波高度\eqref{eq4.6.9}と
偏波関係式\eqref{eq4.6.3c}より,
$ w $の振幅から見積もられる砕波高度は
\begin{equation}\label{break_w.eq}
z_b=2H \ln\qty|\frac{\omega}{m\hat{w}}|.
\end{equation}
ここで$ \hat{w} $は鉛直速度の振幅である.
スケールハイトを$ H=\SI{7}{km} $とし, 図\ref{2nd_stz.fig}から
$ \omega=\SI{0.02}{s^{-1}},\ 
m=\SI{0.6e-3}{m^{-1}},\ 
\hat{w}=\SI{0.06}{m.s^{-1}} $を\eqref{break_w.eq}代入すると,
$ z_b\sim\SI{80}{km} $となる.
これは計算結果と概ね一致している.

また$ t=\SI{31000}{s},\ z=\SI{30}{km} $において
鉛直群速度が$ \SI{7}{m.s^{-1}} $であることから,
砕波高度$ \SI{80}{km} $に到達する時刻は
約$ t=\SI{39000}{s} $であると見積もられる.
これも砕波が始まる時刻と整合的である.
これらの結果から計算結果と Lindzen (1981) の線形理論は
整合的であるといえる.


\end{document}


