<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">% 表題   AGCM5 第1部 数理モデル 
%
% 履歴 
\Drireki{94/04/13 石渡正樹}
\Drireki{97/04/15 赤堀浩司}
%

\section{$\sigma$-座標プリミティブ方程式}

静力学平衡のもとでは, 気圧 $p$ は鉛直座標 $z$ に対し単調減少する関数で
ある. そこで, 鉛直座標を $z$ から, 地表面気圧 $p_s$ で規格化した気圧座
標,
\begin{equation}
  \sigma \equiv \frac{p}{p_s},
  \label{シグマ}
\end{equation}
に変換する. $\sigma$ と $z$ の関係は, 静力学平衡の式を変形して得られる. 
\begin{equation} 
  \DP{\sigma}{z} = - \frac{g \sigma}{R^d T_v}.
  \label{シグマ静力学}
\end{equation} 

\subsection{$\sigma$-座標変換公式}

$z$- 座標から $\sigma$- 座標への変換公式を示す. 

鉛直微分
\begin{eqnarray}
  \DP{\bullet}{z} 
 &amp; = &amp; \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma} \nonumber \\
 &amp; = &amp; - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}.
\end{eqnarray}
水平微分
\begin{eqnarray}
  \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_z
 &amp; = &amp; \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
 - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}  \nonumber \\
 &amp; = &amp; \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
 + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma},
   \label{ラムダ微分}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
  \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_z
 &amp; = &amp; \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
 - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}  \nonumber \\
 &amp; = &amp; \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
 + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}.
   \label{ファイ微分}
\end{eqnarray}
時間微分
\begin{eqnarray}
  \left( \DP{\bullet}{t} \right)_z
 &amp; = &amp; \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
 - \DP{\sigma}{z} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}  \nonumber  \\
 &amp; = &amp; \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
 + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{\bullet}{\sigma}
   \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}.
\end{eqnarray}
ラグランジュ微分はこれらを用いて,
\begin{eqnarray}
  \left( \DD{\bullet}{t} \right)_z
 &amp; = &amp; \left( \DP{\bullet}{t} \right)_z
  + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_z
  + \frac{v}{a} \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_z
  + w \left( \DP{\bullet}{z} \right)_z \nonumber \\
 &amp; = &amp; \left( \DP{\bullet}{t} \right)_{\sigma}
  + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{\bullet}{\lambda} \right)_{\sigma}
  + \frac{v}{a} \left( \DP{\bullet}{\varphi} \right)_{\sigma}
  + w \left( \DP{\bullet}{z} \right)_{\sigma} \nonumber \\
 &amp;  &amp; + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left\{ 
    \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}
   + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}
   + \frac{v}{a} \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}
   -w \right\} \DP{\bullet}{\sigma} \nonumber \\
 &amp; = &amp; \left( \DD{\bullet}{t} \right)_{\sigma}.
\end{eqnarray}
ここで, $\sigma$-座標鉛直速度 $\dot{\sigma}$ を定義する. 
\begin{equation}
  \dot{\sigma} \equiv
    \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left\{ 
    \left( \DP{z}{t} \right)_{\sigma}
   + \frac{u}{a \cos \varphi} \left( \DP{z}{\lambda} \right)_{\sigma}
   + \frac{v}{a} \left( \DP{z}{\varphi} \right)_{\sigma}
   -w \right\}.
\end{equation}

\subsection{$\sigma$-座標プリミティブ方程式系}

\subsubsection{静力学平衡の式}

式 (\ref{シグマ静力学}) を重力ポテンシャル $\Phi=gz$ を用いて書けば,
\begin{equation}
  \DP{\Phi}{\sigma}=-\frac{R^d T_v}{\sigma}.
\end{equation}

\subsubsection{運動方程式}

水平の圧力勾配は, 式(\ref{ラムダ微分})および式(\ref{ファイ微分}) を 
$p$ に対して適用し, 式(\ref{シグマ}) を用いれば次のように変換される. 
\begin{eqnarray}
  \frac{1}{\rho} \left( \DP{p}{\lambda} \right)_z
 &amp; = &amp; \frac{1}{\rho} \left\{ \DP[][\sigma]{p}{\lambda}
   + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{p}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
   \right\} \nonumber \\
 &amp; = &amp; \frac{R^d T_v}{p_s} \DP{p_s}{\lambda}
   + \frac{R^d T_v}{p} \frac{g \sigma}{R^d T_v} p_s \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
    \nonumber \\
 &amp; = &amp; R^d T_v \DP[][\sigma]{\pi}{\lambda} + \DP{\Phi}{\lambda},
\end{eqnarray}
\begin{equation}
  \frac{1}{\rho} \left( \DP{p}{\varphi} \right)_z
 = R^d T_v \DP[][\sigma]{\pi}{\varphi} + \DP{\Phi}{\varphi}.
\end{equation}
ここで $\pi \equiv \ln p_s$ である. したがって, 運動方程式の水平成分は,
      \begin{equation}
               \DD{u}{t}  -f v - \frac{uv}{a} \tan \varphi
           = - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda}
             - \frac{R^d T_v}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
             + F_{\lambda},
      \end{equation}
      \begin{equation}
               \DD{v}{t} + fu + \frac{u^2}{a} \tan \varphi
           = - \frac{1}{a}  \DP{\Phi}{\varphi}
             - \frac{R^d T_v}{a}  \DP{\pi}{\varphi}
             + F_{\varphi}.
      \end{equation}

\subsubsection{連続の式}

速度の発散は,
\begin{eqnarray}
     \left( \Ddiv \Dvect{v} \right)_z
%   &amp;=&amp;   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
%       + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} (\cos \varphi v)
%       + \DP{w}{z}            \nonumber \\
   &amp;=&amp;   \frac{1}{a \cos \varphi} 
         \left[   \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
                + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{u}{\sigma}
                \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]   \nonumber \\
   &amp;  &amp;+ \frac{1}{a \cos \varphi} 
         \left[   \left( \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi) \right)_{\sigma}
        + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} ( v \cos \varphi) 
                \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]
       - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} \left( \DD{z}{t}
         \right)_{\sigma}
         \nonumber \\
   &amp;=&amp;   \frac{1}{a \cos \varphi} 
         \left[   \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
                + \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{u}{\sigma} 
                \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]           \nonumber \\
   &amp; &amp; + \frac{1}{a \cos \varphi} 
         \left[  \left( \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi) \right)_{\sigma}
                + \frac{g \sigma}{R^d T_v}\DP{}{\sigma} ( v \cos \varphi)
                \DP[][\sigma]{z}{\lambda} \right]          \nonumber \\
   &amp; &amp; - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \DP{}{\sigma} \left[
          \DP[][\sigma]{z}{t} + \frac{u}{a \cos \varphi}
          \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
         + \frac{v}{a} \DP[][\sigma]{z}{\varphi}
         + \dot{\sigma} \DP{z}{\sigma}
         \right]     \nonumber \\
   &amp;=&amp;  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP[][\sigma]{u}{\lambda}
       + \frac{1}{a \cos \varphi} \left( \DP{}{\varphi} (v \cos
         \varphi) \right)_{\sigma} 
       + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}              \nonumber \\
   &amp; &amp; - \frac{g \sigma}{R^d T_v} \left[ \DP{}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{t}
       + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\sigma}
         \DP[][\sigma]{z}{\lambda}
       + \frac{v}{a} \DP{}{\sigma} \DP[][\sigma]{z}{\varphi} 
       + \dot{\sigma} \DP{}{\sigma} \DP[][]{z}{\sigma} \right]
       \nonumber \\
%   &amp;=&amp;  ( \Ddiv{\Dvect{v}})_{\sigma} 
%       + \DP{\sigma}{z}
%         \left[ \left( \DP{}{t}
%       + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
%       +   \frac{v}{a} \DP{}{\varphi}
%       + \dot{\sigma} \DP{}{\sigma} \right)_{\sigma} \DP{z}{\sigma} \right]
%       \nonumber \\
   &amp;=&amp;  ( \Ddiv{\Dvect{v}_H})_{\sigma} + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma} 
       + \DP{\sigma}{z}
         \left( \DD{}{t} \DP{z}{\sigma} \right)_{\sigma}.
\end{eqnarray}
ここで, 
\begin{equation}
   \Ddiv{\Dvect{v}_H} 
     \equiv \frac{1}{a \cos \varphi}
           \DP[][\sigma]{u}{\lambda} 
         + \frac{1}{a \cos \varphi} \left( \DP{}{\varphi} (v \cos
           \varphi ) \right)_{\sigma}.
\end{equation}
ゆえに, $z$- 座標連続の式は次のように変換される. 
\begin{eqnarray}
 \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_z
   + \left( \Ddiv{\Dvect{v}} \right)_z
 &amp; = &amp;  \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_{\sigma}
   + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
   + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
   + \DP{\sigma}{z} \left( \DD{}{t} \DP{z}{\sigma} \right)_{\sigma}
   \nonumber \\
 &amp; = &amp; \frac{1}{\rho} \left( \DD{\rho}{t} \right)_{\sigma}
   + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
   + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
   + \frac{\rho}{p_s} \left( \DD{}{t} \frac{p_s}{\rho} \right)_{\sigma}
   \nonumber \\
 &amp; = &amp; \left( \DD{\ln p_s}{t} \right)_{\sigma} 
   + \left( \Ddiv{\Dvect{v}_H} \right)_{\sigma}
   + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}. 
\end{eqnarray}
したがって $\pi \equiv \ln p_s$ を用いて記述すれば次のようになる. 
      \begin{equation}
      \label{連続の式}
            \DD{\pi}{t}
          + \Ddiv{\Dvect{v}_H} 
          + \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}
        = 0.
      \end{equation} 

\subsubsection{熱力学の式}

式 ( \ref{z熱力} ) の右辺第1項は次のように変換される. 
      \begin{eqnarray}
     \frac{1}{c_p^d \rho} \DD{p}{t} 
        &amp; = &amp;   \frac{1}{c_p^d \rho} \left\{ \DP{p}{t}
              + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} p 
              + \dot{\sigma}  \DP{p}{\sigma} \right\}
                                             \nonumber \\
       &amp; = &amp;    \frac{1}{c_p^d \rho} \left\{ \sigma \DP{p_s}{t}
              + \sigma \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} p_s 
              + \dot{\sigma}  p_s \right\}
                                              \nonumber \\
       &amp; = &amp;    \frac{R^d T_v}{c_p^d} \left\{   \DP{\pi}{t} 
              + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} \pi
              + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma} \right\}.
      \end{eqnarray}
      ここで,
      \begin{equation}
            \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} 
        =   \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
          + \frac{v}{a} \DP{}{\varphi}.
      \end{equation}
したがって, 熱力学の式はつぎのようになる. 
      \begin{equation}
                \DD{T}{t} 
        =     \frac{R^d T_v}{c_p^d}
                \left\{   \DP{\pi}{t} 
                        + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} \pi
                        + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma} \right\}
                        + \frac{Q^*}{c_p^d}.
      \end{equation}

\subsection{境界条件}

ここで, $\sigma$ 座標における境界条件について述べる. 

\subsubsection{地表面高度}
\begin{equation}
  \Phi = \Phi_s (\lambda, \varphi)   \ \ \ \ {\rm at} \ \ \sigma=1.
\end{equation}
すなわち, $\Phi_s$ は表面地形を表す. この境界条件を用いて, 静力学平衡
の式を鉛直積分することで, 任意の $\sigma$ における高度 $\Phi$ を求める
ことができる. 
%
\subsubsection{$\sigma$ 座標鉛直速度}
\begin{equation}
  \dot{\sigma} = 0  \ \ \ at \ \ \sigma = 0, \ 1.
\end{equation}
%
\subsubsection{水平流および熱力学変数}
ここでは述べない.

\subsection{傾向方程式}

連続の式を鉛直方向に $\sigma=0$ から $\sigma=1$ まで積分し,
$\dot{\sigma}$ に関する境界条件を用いれば, 傾向方程式とよばれる $\pi$ 
の時間変化に関する式が得られる.
\begin{equation}
   \frac{\partial \pi}{\partial t}
   = - \int_{0}^{1} \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma
     - \int_{0}^{1} D  d \sigma.
\end{equation}
この式を用いれば, $\dot{\sigma}$ の情報がなくても地表面気圧の時間変化
を求めることができる. なお, ここでは後のことを考えて 
$\Ddiv{\Dvect{v}_H}$ を $D$ と表現している. $D$ については次節で改めて
定義する.

鉛直速度$\dot{\sigma}$は, 連続の式を鉛直方向に $\sigma=0$ から 
$\sigma=\sigma$ まで積分することで診断的に得られる. 
\begin{equation}
   \dot{\sigma} 
   = - \sigma 
     \frac{\partial \pi}{\partial t}
     - \int_{0}^{\sigma} D d \sigma
     - \int_{0}^{\sigma} 
         \Dvect{v}_{H} \cdot \nabla_{\sigma} \pi d \sigma.
\end{equation}
</pre></body></html>