% 表題   dcpam4 座標系 -- 座標系の離散化
%
% 履歴
%\Drireki{1991/10/31 保坂征宏}
%\Drireki{2008/06/11 森川靖大}
%\Dchapterhead

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section{鉛直レベル}
   
Arakawa and Suarez (1983) のスキームを用いる. 
とり方は以下のとおりである
    \footnote{
         このスキームは次のような特徴をもつ. 
         ( 2005/04/04 石渡: 始めの 4 つは不正確な表現かも )
         \begin{itemize}
             \item 全領域積分した質量を保存
             \item 全領域積分したエネルギーを保存
             \item 全領域積分の角運動量を保存
             \item 全質量積分した温位を保存
             \item 静水圧の式がlocalにきまる.
                   (下層の高度が上層の温度に依存しない)
             \item 水平方向に一定の, ある特定の温度分布について,
                   静水圧の式が正確になり, 気圧傾度力が0になる.
             \item 等温位大気はいつまでも等温位に留まる
         \end{itemize}      
         }. 
下の層から上へと層の番号をつける.
整数レベルと半整数レベルを定義する
    \footnote{
      物理量により, 整数レベルで定義されるものと, 
      半整数レベルで定義されるものがある.
    }.
半整数レベルでの $\sigma$ の値 
$\sigma_{k-1/2} \ (k=1,2,\cdots,K)$ を定義する.
ただし, レベル $\frac{1}{2}$ は下端($\sigma=1$),
レベル $K+\frac{1}{2}$ は上端($\sigma=0$)とする.
整数レベルの $\sigma$ の値
$\sigma_k \ (k=1,2,\ldots K)$
は次の式から求める.
%
\begin{align}
 \Deqlab{σ整数レベル定義}
  \sigma_k = \left\{ \frac{1}{1+\kappa}
                     \left( \frac{  \sigma^{\kappa +1}_{k-1/2}
                                  - \sigma^{\kappa +1}_{k+1/2}      }
                                  { \sigma_{k-1/2} - \sigma_{k+1/2} }
                     \right)
             \right\}^{1/\kappa}.
\end{align}
%
ただし, ${\displaystyle \kappa=\frac{R}{C_p} }$ である. 
ここで, $R$ は乾燥空気の気体定数, 
$C_p$ は乾燥空気の定圧比熱である
       \footnote{
             いずれも定数としている. }. 
また, レベル加重 $\Delta \sigma$は以下のように定義される.
%
\begin{align}
 \begin{split}
  \Deqlab{σレベル加重} 
  \Delta \sigma_k       &\equiv \sigma_{k-1/2} - \sigma_{k+1/2},
    \qquad ( 1 < k < K )   \\
  \Delta \sigma_{1/2}   &\equiv \sigma_{1/2} - \sigma_{1}
                         = 1 -\sigma_{1}, \\
  \Delta \sigma_{K+1/2} &\equiv \sigma_{K} - \sigma_{K+1/2}
                         = \sigma_{K}.
 \end{split}
\end{align}

%鉛直格子のとり方の図
\begin{center}
\begin{picture}(300,150)(50,10)
  \put(50,20){\line(1,0){220}}
  \put(50,40){\line(1,0){220}}
  \put(50,60){\line(1,0){220}}
  \put(50,120){\line(1,0){220}}
  \put(50,140){\line(1,0){220}}
  \multiput(50,30)(20,0){11}{\line(1,0){10}}
  \multiput(50,50)(20,0){11}{\line(1,0){10}}
  \multiput(50,130)(20,0){11}{\line(1,0){10}}
  \multiput(160,70)(0,15){3} {\shortstack{・}}
  \multiput(50,15)(10,0){22}  {\line(2,1){10}}
  \put(40,16){\shortstack{$\frac{1}{2}$}}
  \put(30,26){\shortstack{1}}
  \put(40,36){\shortstack{$\frac{3}{2}$}}
  \put(30,46){\shortstack{2}}
  \put(40,56){\shortstack{$\frac{5}{2}$}}
  \put(12,116){\shortstack{{\footnotesize $K-\frac{1}{2}$}}}
  \put(30,126){\shortstack{{\footnotesize $K$}}}
  \put(12,136){\shortstack{{\footnotesize $K+\frac{1}{2}$}}}
  \put(280,16){\shortstack{$\sigma=1$}}
  \put(280,136){\shortstack{$\sigma=0$}}
\end{picture}
\end{center}
