	% 表題   dcpam4  力学過程  水平離散化
%
% 履歴
%\Drireki{1993/03/18 沼口敦・保坂征宏}
%\Drireki{2008/06/15 森川靖大}
%

\section{水平離散化}

ここでは支配方程式を水平離散化する. 
水平方向の離散化はスペクトル変換法を用いる(Bourke, 1988).
経度, 緯度に関する微分の項は直交関数展開によって評価し,
一方, 非線型項は格子点上で計算する.
各方程式のスペクトル表現は以下のようになる.
詳しくは, \Dchapref{座標系・変換公式に関する解説}
を参照せよ. 

\subsection{連続の式}
\vspace*{-5ex}
\begin{align}
 \DP{\tilde{\pi}_n^m}{t}
   & = - \sum_{k=1}^{K} (\tilde{D}_n^m)_k \Delta  \sigma_k 
       + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
               Z_{ij} Y_n^{m *} ( \lambda_i, \mu_j ) w_j.
\end{align}
%
ここで,
\begin{align}
 Z \equiv - \sum_{k=1}^{K} \Dvect{v}_k \cdot \nabla \pi.
\end{align}

\subsection{運動方程式}
\vspace*{-5ex}
\begin{align}
 \Deqlab{渦度方程式の水平離散化}
 \begin{split}
   \DP{\tilde{\zeta}_n^m}{t} 
     & = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           im (v_A)_{ij}
           Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
          \frac{w_j}{a \cos \varphi_j} 
          \\
     & \quad + 
           \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           (u_A)_{ij} \cos \varphi_j
           \DP{}{\varphi}  Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
           \frac{w_j}{a \cos \varphi_j} 
          \\ 
     & \quad + 
         \tilde{\cal D}_{M,n}^m \tilde{\zeta}_n^m  ,
 \end{split} \\
%
 \Deqlab{発散方程式の水平離散化}
 \begin{split}
   \DP{\tilde{D}_n^m}{t} 
     & = \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           im (u_A)_{ij}
           Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
          \frac{w_j}{a \cos \varphi_j} 
          \\
     & \quad -
           \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           (v_A)_{ij}
           \cos \varphi_j 
           \DP{}{\varphi}  Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
           \frac{w_j}{a \cos \varphi_j} 
          \\
     & \quad -
          \frac{n(n+1)}{a^{2}} 
          \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
           (\mbox{\sl KE})_{ij}
           Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
           w_j
          \\ 
     & \quad +
           \frac{n(n+1)}{a^{2}} 
           ( \Phi_n^m + C_{p} \hat{\kappa}_k \bar{T}_k \pi_n^m ) 
           +  \tilde{\cal D}_{M,n}^m \tilde{D}_n^m .
 \end{split}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
 \tilde{\cal D}_{M,n}^m = - K_{HD} \left[ 
                            \left( \frac{-n(n+1)}{a^{2}} \right)^{N_D/2}
                            - \left( \frac{2}{a} \right)^{N_D}
                            \right]  .
\end{align}


\subsection{熱力学の式}
\vspace*{-5ex}
\begin{align}
 \begin{split}
   \DP{\tilde{T}_n^m}{t}
  & = - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
         im u_{ij} T'_{ij}
         Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
        \frac{w_j}{a \cos \varphi_j} 
        \\
  & \quad
      + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
         v_{ij} T'_{ij}
         \cos \varphi_j 
         \DP{}{\varphi}  Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
         \frac{w_j}{a \cos \varphi_j} 
        \\
  & \quad
      + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
         \left( \hat{H}_{ij} + \frac{Q_{ij}}{C_{p}} \right)
         Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
         w_j
        \\ 
  & \quad
      + \tilde{\cal D}_{H,n}^m \tilde{T}_n^m
        \\ 
  & \quad
      + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
         {\cal D}'_{ij}(\Dvect{v})
         Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
         w_j .
 \end{split}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
\tilde{\cal D}_{H,n}^m 
   = - K_{HD} \left( \frac{-n(n+1)}{a^{2}} \right)^{N_D/2} .
\end{align}


\subsection{水蒸気の式}
\vspace*{-5ex}
\begin{align}
 \begin{split}
   \DP{\tilde{q}_n^m}{t}
  & = - \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
        im u_{ij} q_{ij}
        Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
       \frac{w_j}{a \cos \varphi_j} 
       \\
  & \quad
      + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
        v_{ij} q_{ij}
        \cos \varphi_j 
        \DP{}{\varphi}  Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
        \frac{w_j}{a \cos \varphi_j} 
       \\
  & \quad
      + \frac{1}{I} \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
        \left( \hat{R}_{ij} + S_{q,ij} \right)
        Y_n^{m *} ( \lambda_i, \varphi_j )
        w_j
       \\ 
  & \quad
      + \tilde{\cal D}_{H,n}^m \tilde{q}_n^m .
 \end{split}
\end{align}


