% 表題   DCPAM5  積雲パラメタリゼーション  湿潤対流調節
%
% 履歴 
%\Drireki{2006/10/27 石渡正樹}
%\Drireki{2008/03/27 森川靖大}
%\Drireki{2010/06/10 高橋芳幸}
%
%

\subsection{離散表現}
\Dseclab{moistconvadj}

%ここでは, 湿潤対流調節 (e.g., Manabe et al., 1965) の定式化について解説する. 
%なお, 乾燥対流調節の定式化は, 水蒸気がないという条件の下で, 湿潤対流調節の
%式から容易に導出できるため, ここに示す式は乾燥対流調節の解説にもなっている. 
%
%対流調節では, 連続した 2 つの層において, 次の条件が
%満たされる場合に調節を行う.
%%
%\begin{enumerate}
% \item 下層と上層の湿潤静的エネルギーの差が閾値より大きい (下層の湿潤静的エネルギーが上層のそれよりも大きい (温度減率が湿潤断熱減率よりも大きい)), 
%\footnote
%{
%  単純には, この閾値はゼロである. 
%  しかし, 実際にはモデル格子間隔内で温度・湿度の分布があることが考えられ, 
%  格子の平均エネルギー差がゼロ以上であっても, 格子内で混合が起こる
%  ことが想像される. 
%}. 
% \item 相対湿度が閾値以上
%\footnote
%{
%  単純には, 凝結が生じる相対湿度の閾値は 1 である. 
%  しかし, 実際にはモデル格子間隔内で湿度の分布があることが考えられ, 
%  格子の平均相対湿度が 1 以下であっても, 格子内で凝結が起こる
%  ことが想像される. 
%}. 
%\end{enumerate}
%%
%これらは, 離散化した式で表現すると下のように表わされる. 
%
離散化した式で表現すると下のように表わされる. 
%
\begin{eqnarray}
  C_p \hat{T}_{k} + L q^*(\hat{T}_{k}) + g \hat{z}_{k}
   - \left( C_p \hat{T}_{k+1} + L q^*(\hat{T}_{k+1}) + g \hat{z}_{k+1} \right) &>& C_p \Delta T_c,
\\
  \frac{ \hat{q}_{k  } }{ q^*(\hat{T}_{k  }, p_{k  }) } &\ge& r_c,
\\
  \frac{ \hat{q}_{k+1} }{ q^*(\hat{T}_{k+1}, p_{k+1}) } &\ge& r_c
\end{eqnarray}
%
ここで, $\hat{}$ は調節前の値を表す. 
また, $C_p \Delta T_c$ は不安定が起こる湿潤静的エネルギー差の閾値であり, 
$r_c$ は凝結が生じる相対湿度の閾値である. 

調節時に満たす条件は, 
%
\begin{eqnarray}
  \left\{ C_p \hat{T}_{k} + L \hat{q}_{k} \right\} 
    \Delta m_{k}
   + \left\{ C_p \hat{T}_{k+1} + L \hat{q}_{k+1} \right\} 
    \Delta m_{k+1} \nonumber
\\ 
  = 
  \left\{ C_p T_{k} + L q_{k} \right\} 
    \Delta m_{k}
   + \left\{ C_p T_{k+1} + L q_{k+1} \right\} 
    \Delta m_{k+1}
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
  \Delta m_k &=& \frac{\Delta p_k}{g}
\\
  \Delta p_k &=& p_{k-\frac{1}{2}} - p_{k+\frac{1}{2}}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
  C_p T_{k} + L q_{k} + g z_{k}
   = C_p T_{k+1} + L q_{k+1} + g z_{k+1}
  \label{eq:mca:neutralstrat}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
  q_{k  } &=& q^*(T_{k  }, p_{k  })
\\
  q_{k+1} &=& q^*(T_{k+1}, p_{k+1})
\end{eqnarray}
%
である. 

ここで, (\ref{eq:mca:neutralstrat}) を静水圧平衡の式を用いて整理すると, 
%
\begin{eqnarray}
  C_p ( T_{k} - T_{k+1} ) 
    + L ( q^*(T_{k}) - q^*(T_{k+1}) )
    - \frac{ R T_{k+\frac{1}{2}} } { p_{k+\frac{1}{2}} } \left( p_{k} - p_{k+1} \right)
    = 0
\end{eqnarray}
%
となる. 
したがって, ... のからなる連立一次方程式を解けば良い. 
%
なお, $T_{k+\frac{1}{2}}$ は
%
\begin{eqnarray}
  T_{k+\frac{1}{2}} = \frac{T_{k} + T_{k+1}}{2}
\end{eqnarray}
%
%もしくは, 
%%
%\begin{eqnarray}
%  T_{k+\frac{1}{2}} &=& \frac{\Delta p_{k} T_{k} + \Delta p_{k+1} T_{k+1}}{ \Delta p_{k} + \Delta p_{k+1} }
%\\
%  \Delta p_{k} &=& p_{k-\frac{1}{2}} - p_{k+\frac{1}{2}}
%\end{eqnarray}
%%
と表現することにする.

ここで, $q_{k}$, $q_{k+1}$ をテイラー展開し, 
%
\begin{eqnarray}
  q_{k} &=& q^*(T_{k}, p_{k})
%
      = q^*(\hat{T}_{k}, p_{k}) 
         + \left. \frac{\partial q^*}{\partial T}\right|_{T=\hat{T}_{k}} \Delta T_{k}
\\
  q_{k+1}   &=& q^*(T_{k+1}, p_{k+1})
%
      = q^*(\hat{T}_{k+1}, p_{k+1}) 
         + \left. \frac{\partial q^*}{\partial T}\right|_{T=\hat{T}_{k+1}} \Delta T_{k+1}
\\
  \Delta T_{k  } &=& T_{k  } - \hat{T}_{k  }
\\
  \Delta T_{k+1} &=& T_{k+1} - \hat{T}_{k+1}
\end{eqnarray}
%
として連立一次方程式を解くと, 下の解が得られる. 
%
\begin{eqnarray}
  \Delta T_{k} 
    &=&   \left\{ \Delta p_{k} \left( 1 + \gamma_{k} \right) \right\}^{-1}
          \left\{
            \frac{L}{C_p} \Delta Q
            - \Delta p_{k+1} \left( 1 + \gamma_{k+1} \right) \Delta T_{k+1}
          \right\}
\\
  \Delta T_{k+1} 
    &=& \left[
          F_{k+\frac{1}{2}}
            \left\{
                \Delta p_{k  } \left( 1 + \gamma_{k  } \right)
              - \Delta p_{k+1} \left( 1 + \gamma_{k+1} \right)
            \right\} 
         + \left( 1 + \gamma_{k} \right) \left( 1 + \gamma_{k+1} \right) 
              \left( \Delta p_{k} + \Delta p_{k+1} \right)
        \right]^{-1} \nonumber
\\
    & &
        \left[
          \Delta p_{k} \left( 1 + \gamma_{k} \right) S_{k+\frac{1}{2}}
          + \left\{
              1 + \gamma_{k} - F_{k+\frac{1}{2}}
            \right\}
            \frac{L}{C_p} \Delta Q
        \right]
\\
  F_{k+\frac{1}{2}}
    &=&   \frac{R}{C_p}\frac{p_{k} - p_{k+1}}{2 p_{k+\frac{1}{2}}}
\\
  S_{k+\frac{1}{2}} 
    &=&   \hat{T}_{k} - \hat{T}_{k+1}
        + \frac{L}{C_p} \left\{ q^*(\hat{T}_{k},p_{k}) - q^*(\hat{T}_{k+1},p_{k+1}) \right\}
        - F_{k+\frac{1}{2}} \left( \hat{T}_{k} + \hat{T}_{k+1} \right)
\\
  \Delta Q
    &=&       \Delta p_{k}
                \left\{ \hat{q}_{k  } - q^*(\hat{T}_{k  },p_{k  }) \right\} 
            + \Delta p_{k+1}
                \left\{ \hat{q}_{k+1} - q^*(\hat{T}_{k+1},p_{k+1}) \right\} 
\\
  \gamma_{k} &=& \frac{L}{C_p} \left.\frac{\partial q^*}{\partial T}\right|_{T=\hat{T}_{k}}
\end{eqnarray}
%

実際には, 上記の解は $q_{k}$, $q_{k+1}$ をテイラー展開して求めた近似解でしかなく, 
正確には ... を満たしていない. 
さらに, 上記の定式化は, $k$ 番目の層と $k+1$ 番目の層の混合を表記しているだけ
であるが, 実際には 3 層以上の層にわたる混合も起こりえる. 
そこで, 上記の調節を何度か繰り返し行うことで, 徐々に調節していく. 


なお, 降水量は, 
%
\begin{eqnarray}
  P &=& - \frac{1}{2 \Delta t}
            \sum_{k=k_{max}}^{1} 
              \Delta m_{k}
                \Delta q_{k} \nonumber
\\
  \Delta q_{k} &=& q_{k} - \hat{q}_{k}
\end{eqnarray}
%
である
\footnote
{
  ここで, 鉛直方向の和は上層から下層に向けて和を取ることにしている. 
  これは, 上層の方が凝結量が少ないためである. 
}.

以下は, 現段階では湿潤対流調節には実装していない
\footnote{各層の凝結量が負になる可能性が心配なため. また, 必要性を感じないため.}. 
乾燥対流調節には実装済み (yot, 2013/09/07).


ここで, 各層での凝結量, 運動量や水蒸気以外の物質の混合を評価することを
考える. そのために, 運動量, 水蒸気以外の物質は, 熱と同様に混合するする
ことを仮定し, 二層間の輸送質量を診断することにする
\footnote{
  実際には, 運動量と熱の混合の程度は異なると考えられるが, それぞれを
  異なる程度で混合する目安がないため, ここでは同様に混合すると仮定する.
  また, ここで診断する輸送質量は, 混合される質量の下限値に相当すると
  考えられる.
}.
%
調節を行う時間間隔における, $k$ 層と $k+1$ 層の間の
交換質量を $M_{k+\frac{1}{2}}$ とすると, 各層の
温度および水蒸気には下の式が成り立つ.
%
\begin{eqnarray}
  \Delta m_{k  } C_p T_{k  } 
    &=&   (\Delta m_{k  } - M_{k+\frac{1}{2}} ) C_p \hat{T}_{k  } 
        + M_{k+\frac{1}{2}} 
          \left\{ 
                    C_p \hat{T}_{k+1} 
                  + \frac{R \hat{T}_{k+\frac{1}{2}}}{p_{k+\frac{1}{2}}}
                      ( p_k - p_{k+1} )
          \right\} \nonumber \\
    & & + \Delta m_{k  } L (\Delta q_{k  })_c 
\\
  \Delta m_{k+1} C_p T_{k+1} 
    &=&   M_{k+\frac{1}{2}}
          \left\{ 
                    C_p \hat{T}_{k  } 
                  - \frac{R \hat{T}_{k+\frac{1}{2}}}{p_{k+\frac{1}{2}}}
                      ( p_k - p_{k+1} )
          \right\}
        + (\Delta m_{k+1} - M_{k+\frac{1}{2}} ) C_p \hat{T}_{k+1} \nonumber \\
    & & + \Delta m_{k+1} L (\Delta q_{k+1})_c 
\\
  \Delta m_{k  } q_{k  } 
    &=&   (\Delta m_{k  } - M_{k+\frac{1}{2}} ) \hat{q}_{k  } 
        + M_{k+\frac{1}{2}} \hat{q}_{k+1} 
        - \Delta m_{k  } (\Delta q_{k  })_c 
\\
  \Delta m_{k+1} q_{k+1} 
    &=&   M_{k+\frac{1}{2}} \hat{q}_{k  } 
        + (\Delta m_{k+1} - M_{k+\frac{1}{2}} ) \hat{q}_{k+1} 
        - \Delta m_{k+1} (\Delta q_{k+1})_c 
\end{eqnarray}
%
ここで, $(\Delta q_k)_c$ は $k$ 層における凝結量 
(凝結時に $(\Delta q_k)_c \ge 0$) である.
これらより $M_{k+\frac{1}{2}}$, $(\Delta q_k)_c$ を求めると, 
%
\begin{eqnarray}
  M_{k+\frac{1}{2}}
    &=& - \frac{ C_p \Delta T_{k} + L \Delta q_{k} }
             { C_p ( \hat{T}_{k} - \hat{T}_{k+1} ) + L ( \hat{q}_{k} - \hat{q}_{k+1} ) - \frac{R \hat{T}_{k+\frac{1}{2}}}{p_{k+\frac{1}{2}}} ( p_k - p_{k+1} ) }
        \Delta m_k
\\
  (\Delta q_{k  })_c
    &=&   ( \hat{q}_{k+1} - \hat{q}_{k} ) \frac{M_{k+\frac{1}{2}}}{\Delta m_{k  }} - \Delta q_{k  }
\\
  (\Delta q_{k+1})_c
    &=& - ( \hat{q}_{k+1} - \hat{q}_{k} ) \frac{M_{k+\frac{1}{2}}}{\Delta m_{k+1}} - \Delta q_{k+1}
\end{eqnarray}
%
となる.
しかし, この $M_{k+\frac{1}{2}}$ をそのまま用いると不安定になることがあるため, 
下のように上限を与える. 
%
\begin{eqnarray}
  M_{k+\frac{1}{2}} 
    \le \frac{\Delta m_k \Delta m_{k+1}}{\Delta m_k + \Delta m_{k+1}}
\end{eqnarray}
%
この上限は, 混合後に風速や混合比などの勾配がゼロになる値に対応する.
%
また, 計算の安定のために, $M_{k+\frac{1}{2}}$ の分母が閾値よりも小さい
場合には, $M_{k+\frac{1}{2}} = 0$ とすることにする
\footnote{
  現状では, 閾値は $1.0 \times 10^{-5} C_p$ としている. 
}. 
%
このようにして求めた $M_{k+\frac{1}{2}}$ を用いると, 調節後の風速, 水蒸気以外の
物質の混合比\footnote{ここでは $q$ と書くことにする.}は下のように
表される. 
%
\begin{eqnarray}
  \Dvect{U}_{k  }
    &=&   \hat{\Dvect{U}}_{k  }
        + ( \hat{\Dvect{U}}_{k+1} - \hat{\Dvect{U}}_{k  } ) \frac{M_{k+\frac{1}{2}}}{\Delta m_{k  }}
\\
  \Dvect{U}_{k+1}
    &=&   \hat{\Dvect{U}}_{k+1}
        - ( \hat{\Dvect{U}}_{k+1} - \hat{\Dvect{U}}_{k  } ) \frac{M_{k+\frac{1}{2}}}{\Delta m_{k+1}}
\\
  q_{k  }
    &=&   \hat{q}_{k  }
        + ( \hat{q}_{k+1} - \hat{q}_{k  } ) \frac{M_{k+\frac{1}{2}}}{\Delta m_{k  }}
\\
  q_{k+1}
    &=&   \hat{q}_{k+1}
        - ( \hat{q}_{k+1} - \hat{q}_{k  } ) \frac{M_{k+\frac{1}{2}}}{\Delta m_{k+1}}
\end{eqnarray}



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% 以下は昔の文書
% 今後の参考のために残しておく.

\iffalse

\subsection{はじめに}

連続した 2 つのレベルの間の層において, 次の条件が
満たされる場合に調節を行う.
%
\begin{enumerate}
 \item 温度減率が湿潤断熱減率よりも大きい. 
 \item 飽和もしくは過飽和. 
\end{enumerate}
%

\subsection{水蒸気が少ないという近似を行う場合}

上記の条件 (1) に関して, エントロピー $S$ の高度変化に関する条件
%
\begin{align}
 \DD{S}{z} < 0
\end{align}
%
を, 「水蒸気が少ない」という近似を用いて書きかえると
%
\begin{align}
 \DP{T}{z} - \frac{RT}{C_p p} \DP{p}{z} + \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{z} < 0
\end{align}
%
となる. 
ここで, $C_p$ は乾燥大気の定圧比熱, $L$は潜熱, $q^{*}$は
飽和比湿である. 

上記の条件 (2) はそのまま用いる. 

これらを用いて温度と比湿を調節するのがこのモデルでのデフォルトの
湿潤対流調節スキームである.
%
以下, スキームの定式化の説明を行う
\footnote{
 以下は差分法と混ざった話になってしまっているので, 
 あとで連続系の話と離散系の話とに分ける必要がある. 
}.

\subsection{温度と比湿の調節量の計算方法}

比湿と温度を, $(\hat{q}, \hat{T})$ から $(q, T)$ へ
調節するものとする.

条件式は以下の通りである.
\begin{align}
 q_{k-1} & = q^* (T_{k-1}, p_{k-1}), \\
 q_{k} & = q^{*} (T_{k}, p_{k}), 
\end{align}
%
\vspace*{-5ex}
%
\begin{align}
 \Deqlab{温度減率に関する条件式}
     T_{k-1} - T_{k} 
   + \frac{L}{C_p} 
       \left\{ q^{*} (T_{k-1}, p_{k-1})  - q^{*} (T_{k}, p_{k}) \right\}
   - \frac{R}{C_p} \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}}
       \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2}
 = 0, 
\end{align}
%
\vspace*{-5ex}
%
\begin{align}
 \Deqlab{調節前後での保存性}
    (C_p T_{k} + L q_{k}) \Delta p_{k}
  + (C_p T_{k-1} + L q_{k-1}) \Delta p_{k-1}
=   (C_p \hat{T}_{k} + L \hat{q}_{k}) \Delta p_{k}
  + (C_p \hat{T}_{k-1} + L \hat{q}_{k-1}) \Delta p_{k-1}. 
\end{align}
%
解は以下のようになる. 
%
\begin{itemize}
\item  $q_{k}$, $q_{k-1}$ ($q \ll 1$ は使っていない)

比湿に関しては, 過飽和の場合には以下のように飽和状態に調節する.
%
\begin{align}
 \Deqlab{層上端の比湿の調節}
 q_{k} &= q^{*} (\hat{T}_{k},p_{k}) 
  + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{\hat{T}_{k}}
    \Delta T_{k}, \\
 \Deqlab{層下端の比湿の調節}
 q_{k-1} &= q^{*} (\hat{T}_{k-1},p_{k-1}) 
  + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{\hat{T}_{k-1}}
    \Delta T_{k-1}. 
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
 \Deqlab{層上端のΔTの定義}
  \Delta T_{k}   &= T_{k}   - \hat{T}_{k}   , \\
 \Deqlab{層下端のΔTの定義}
  \Delta T_{k-1} &= T_{k-1} - \hat{T}_{k-1} 
\end{align}
%
である. 
これらの導出に関しては以下を参照のこと. 

\item $\Delta T_{k-1}$ ($q \ll 1$ は使っていない)

\Deqref{調節前後での保存性}, \Deqref{層上端の比湿の調節}, 
\Deqref{層下端の比湿の調節}より,
%
\begin{align}
 \Deqlab{層下端の温度変化を求めるための計算1}
      (C_p T_{k-1} + L q_{k-1}) \Delta p_{k-1}
    - (C_p \hat{T}_{k-1} + L \hat{q}_{k-1}) \Delta p_{k-1}
 &= - (C_p T_{k} + L q_{k}) \Delta p_{k}
    + (C_p \hat{T}_{k} + L \hat{q}_{k}) \Delta p_{k}, \nonumber \\
%
    \left\{ \Delta T_{k-1} 
      + \frac{L}{C_p} (q_{k-1} - \hat{q}_{k-1} ) \right\}
    \Delta p_{k-1}
 &= - \left\{ \Delta T_{k} + \frac{L}{C_p} (q_{k} - \hat{q}_{k}) \right\}
    \Delta p_{k}, \nonumber \\
%
    \left[   \Delta T_{k-1} 
           + \frac{L}{C_p} 
             \left\{   q^{*} (\hat{T}_{k-1} ) 
                     + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1}
                       \Delta T_{k-1}
                     - \hat{q}_{k-1}           
             \right\}
    \right] \Delta p_{k-1} \hspace{-7em} & \nonumber \\
 & \hspace{-7em} 
   = - \left[   \Delta T_{k} 
           + \frac{L}{C_p} 
             \left\{   q^{*} (T_{k}) 
                     + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k}
                       \Delta T_{k}
                     - \hat{q}_{k}
             \right\}
    \right] \Delta p_{k}, \nonumber \\
%
       \left\{  1+ 
                    \frac{L}{C_p}   \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1}
       \right\} 
       \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1}
     + \frac{L}{C_p} 
             \left\{   q^{*} (\hat{T}_{k-1} ) 
                     - \hat{q}_{k-1}           
             \right\} 
      \Delta p_{k-1}
      \hspace{-7em} & \nonumber \\
 & \hspace{-7em}
   = - \left[   1
           + \frac{L}{C_p} 
             \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k}
       \right] \Delta T_{k}  \Delta p_{k}
     - \frac{L}{C_p}
       \left\{  q^{*} (\hat{T}_{k}) 
                     - \hat{q}_{k}
       \right\}
       \Delta p_{k}
\end{align}
%
である. ここで
%
\begin{align}
 \gamma_{k} \equiv \frac{L}{C_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k}
\end{align}
%
とおくと, 
%
\begin{align}
 & \left\{  1 + \gamma_{k-1} \right\} 
    \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1}
     \nonumber \\
 & \hspace{3em} = 
     - \left(  1
           + \gamma_{k}
       \right) \Delta T_{k}  \Delta p_{k}
     + \frac{L}{C_p} 
       \left[
           \left\{ \hat{q}_{k-1} - q^{*} (\hat{T}_{k-1} ) \right\} 
           \Delta p_{k-1}
         + \left\{ \hat{q}_{k} - q^{*} (\hat{T}_{k}) \right\}
           \Delta p_{k}
       \right]
\end{align}
%
となる.
ここで,
%
\begin{align}
 \Delta \hat{Q} \equiv 
           \left\{ \hat{q}_{k-1} - q^{*} (\hat{T}_{k-1} ) \right\} 
           \Delta p_{k-1}
         + \left\{ \hat{q}_{k} - q^{*} (\hat{T}_{k}) \right\}
           \Delta p_{k}
\end{align}
%
とおき, $\Delta T_{k-1}$ について解けば, 
%
\begin{align}
 \Deqlab{層下端のΔTの結果}
       \left\{  1 + \gamma_{k-1} \right\} 
       \Delta T_{k-1} \Delta p_{k-1}
 &= 
     - \left(  1
           + \gamma_{k}
       \right) \Delta T_{k}  \Delta p_{k}
     + \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q}, \nonumber \\
%
       \Delta T_{k-1} 
 &= 
     - \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}}
       \Delta T_{k}
     + \frac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}
\end{align}
%
となる. 
$\Delta T_{k}$ の導出については以下を参照のこと. 

\item $\Delta T_{k}$

%断熱条件
%\begin{eqnarray}
% \DP{S}{z} = 0
%\end{eqnarray}
%の式より (最初の $q (T_{k-1}, p_{k-1})$ って
%$q^* (T_{k-1}, p_{k-1})$ とするのが正しい???),

\Deqref{温度減率に関する条件式}, 
\Deqref{層上端の比湿の調節}, \Deqref{層下端の比湿の調節}, 
\Deqref{層上端のΔTの定義}, \Deqref{層下端のΔTの定義} より, 
%
\begin{align}
 \Deqlab{温度減率に関する条件式の変形1}
&   T_{k-1} - T_{k} 
 + \frac{L}{C_p}
   \left\{ q^{*} (T_{k-1}, p_{k-1}) - q^{*} (T_{k}, p_{k}) \right\}
 - \frac{R}{C_p}
   \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}}
   \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2}
= 0,  \nonumber \\
%
&   \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} 
 - \left( \hat{T}_{k}  + \Delta T_{k} \right)
 + \frac{L}{C_p}
   \left\{   q^{*} (\hat{T}_{k-1})  
           + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1} \Delta T_{k-1}
           - q^{*} (\hat{T}_{k})  
           - \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k} \Delta T_{k}
    \right\}
     \nonumber \\
& \qquad
 - \frac{R}{C_p}
   \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}}
   \frac{\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k}}{2}
= 0,  \nonumber \\
%
&   \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k}
 + \frac{L}{C_p}
   \left\{   q^{*} (\hat{T}_{k-1})  
           - q^{*} (\hat{T}_{k})  
    \right\}
 - \frac{R}{C_p}
   \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}}
   \frac{\hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k} }{2}
     \nonumber \\
& \qquad
 + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}
 +  \frac{L}{C_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1} \Delta T_{k-1}
 - \frac{L}{C_p} \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k} \Delta T_{k}
 - \frac{R}{C_p}
   \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}}
   \frac{\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}}{2}
= 0.
\end{align}
%
ここで, 
%
\begin{align}
 \Deqlab{湿潤不安定の条件式1}
 S_{k-1/2} \equiv 
   \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k}
 + \frac{L}{C_p}
   \left\{   q^{*} (\hat{T}_{k-1})  
           - q^{*} (\hat{T}_{k})  
    \right\}
 - \frac{R}{C_p}
   \frac{\Delta p_{k-1/2}}{p_{k-1/2}}
   \frac{\hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k} }{2}
\end{align}
%
とおく. すると湿潤不安定の条件は
%
\begin{align}
 \Deqlab{湿潤不安定の条件式2}
 S_{k-1/2} > 0 
\end{align}
%
で表される.
\Deqref{湿潤不安定の条件式1} を用いて
\Deqref{温度減率に関する条件式の変形1} を変形すると, 
%
\begin{align}
& \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}
 + \gamma_{k-1} \Delta T_{k-1}
 - \gamma_{k} \Delta T_{k}
 - \frac{R}{C_p}
   \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
   \Delta T_{k-1} 
 - \frac{R}{C_p}
   \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
   \Delta T_{k} = - S_{k-1/2}, 
           \nonumber \\
%
& 
  \left( - 1 - \gamma_{k}  
         - \frac{R}{C_p}
           \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
  \right)
  \Delta T_{k}
 + \left(
       1 + \gamma_{k-1}
     - \frac{R}{C_p}
       \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
   \right)
   \Delta T_{k-1} 
= - S_{k-1/2}
\end{align}
%
となる. ここで\Deqref{層下端のΔTの結果}を用いると, 
%
\begin{align}
& 
  \left( - 1 - \gamma_{k}  
         - \frac{R}{C_p}
           \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
  \right)
  \Delta T_{k}
                 \nonumber \\
& \hspace{2em}
 + \left(
       1 + \gamma_{k-1}
     - \frac{R}{C_p}
       \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
   \right)
\left( 
     - \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}}
       \Delta T_{k}
     + \frac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}
\right)
                 \nonumber \\
& \hspace{4em}
= - S_{k-1/2} 
\end{align}
%
$\kappa = R/C_p$ を使うと
\footnote{もっと前から使うべき??  (コードとの対応によっては$\kappa$を
       使わない方がよいのかも)},
%
\begin{align}
& 
  \left( - 1 - \gamma_{k}  
         - \kappa
           \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
  \right)
  \Delta T_{k}
                 \nonumber \\
& \hspace{2em}
 + \left(
       1 + \gamma_{k-1}
     - \kappa
       \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
   \right)
\left( 
     - \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}}
       \Delta T_{k}
     + \frac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}
\right)
                 \nonumber \\
& \hspace{4em}
= - S_{k-1/2} 
\end{align}
%
となる. $\Delta T_{k}$に関する項を左辺にまとめると, 
%
\begin{align}
& 
  \left[
      \left( - 1 - \gamma_{k}  \right)
         - \kappa
           \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
     + 
       \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       \left( - \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} 
       \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}}
       \right) 
   \right]
   \Delta T_{k}
                 \nonumber \\
& \hspace{2em}
= - S_{k-1/2} 
  - \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       \frac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}
\end{align}
%
となる. $\Delta T_{k}$ について解くと, 
%
\begin{align}
& 
   \Delta T_{k}
                 \nonumber \\
&
= \frac{ \displaystyle
  - S_{k-1/2} 
  - \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       \frac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}
  }{ \displaystyle
      \left( - 1 - \gamma_{k}  \right)
         - \kappa
           \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
     + 
       \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       \left( - \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} 
       \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}}
       \right) 
  }
            \nonumber \\
%
&
= \frac{ \displaystyle
   S_{k-1/2} 
  + \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       \frac{1}{ 1 + \gamma_{k-1}}
       \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} \frac{1}{\Delta p_{k-1}}
  }{ \displaystyle
       \left( 1 + \gamma_{k}  \right)
     + \kappa
       \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
     + 
       \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       \frac{ 1 + \gamma_{k} }{ 1 + \gamma_{k-1}} 
       \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}}
  }
            \nonumber \\
%
&
= \frac{ \displaystyle
    (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} S_{k-1/2} 
  + \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} 
  }{ \displaystyle
       \left( 1 + \gamma_{k}  \right) (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1}
     + \kappa
       \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1}
     + 
       \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       (1 + \gamma_{k})
       \Delta p_{k}
  }
            \nonumber \\
%
&
= \frac{ \displaystyle
    (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1} S_{k-1/2} 
  + \left(
            1 + \gamma_{k-1}
          - \kappa
            \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \right)
       \frac{L}{C_p} \Delta \hat{Q} 
  }{ \displaystyle
       \left( 1 + \gamma_{k}  \right) (1 + \gamma_{k-1}) 
       (\Delta p_{k-1} + \Delta p_{k})
     + \kappa
       \frac{\Delta p_{k-1/2}}{2 p_{k-1/2}}
       \left\{
          (1 + \gamma_{k-1}) \Delta p_{k-1}
        -  (1 + \gamma_{k}) \Delta p_{k}
       \right\}
  }
\end{align}
%
が得られる. 
\end{itemize}

% \Dmodel では未導入のため, 導入されるまでコメントアウト 2008/03/25  森川靖大
%
%
%\subsection{水蒸気が少ないという近似をしない場合}
%
%$l$ が一定の場合,
%\begin{eqnarray}
%     \DD{s}{t}
%&=& - R_d \DD{}{t} (\ln p_d) 
%  + \left(1 + \frac{q}{1-q} \right) C_p
%    \DD{}{t} (\ln T) 
%  + l \DD{}{t} \frac{r}{T}
%                   \nonumber \\
%&=& - R_d \DD{}{t} \left\{ \ln (p (1-q)) \right\}
%  + \frac{1}{1-q} C_p
%    \DD{}{t} (\ln T) 
%  + l \DD{}{t} \left( \frac{1}{T} \frac{q}{1-q} \right)
%                   \nonumber \\
%\end{eqnarray}
%全部 $q$ を使って書き換えた.
%更に変形すると
%\begin{eqnarray}
%     \DD{s}{t}
%&=& - R_d   \frac{1}{p (1-q)} \DD{}{t} \left\{ p (1-q) \right\}
%  + \frac{1}{1-q} \frac{C_p}{T}
%    \DD{T}{t}
%  + l 
%    \left[
%           - \frac{1}{T^2} \DD{T}{t} \frac{q}{1-q}
%        +    \frac{1}{T} \DD{}{t} \left(  \frac{q}{1-q} \right)
%    \right]
%\end{eqnarray}
%これより, $\DD{S}{z} =0$ となる条件は
%\begin{eqnarray}
%  - \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\}
%  + \frac{1}{1-q} \frac{C_p}{T}
%    \DD{T}{z}
%  - \frac{l}{T^2} \frac{q}{1-q} \DD{T}{z} 
%  + \frac{l}{T} \DD{}{z} \left(  \frac{q}{1-q} \right)
%= 0
%\end{eqnarray}
%
%\vspace{5mm}
%
%$dS=0$ の式をどのような形にするのが best なのかは
%よくわからない.
%とりあえず, 扱いが容易かなと思った分母を全部払った
%形にしてみる.
%\begin{eqnarray}
%  - \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\}
%  + \frac{1}{1-q} \frac{C_p}{T}
%    \DD{T}{z}
%  - \frac{l}{T^2} \frac{q}{1-q} \DD{T}{z} 
%  + \frac{l}{T}
%    \frac{\DD{q}{z} (1-q) - q \DD{}{z}(1-q)}
%         {(1-q)^2} 
%= 0,
%                \nonumber \\
%  - \frac{R_d}{p (1-q)} \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\}
%  + \frac{1}{1-q} \frac{C_p}{T}
%    \DD{T}{z}
%  - \frac{l}{T^2} \frac{q}{1-q} \DD{T}{z} 
%  + \frac{l}{T} \frac{1}{(1-q)} \DD{q}{z}
%  + \frac{l}{T}  \frac{q}{(1-q)^2}  \DD{q}{z}
%= 0.
%\end{eqnarray}
%この式の両辺に $T^2(1-q)^2$ をかける.
%\begin{eqnarray}
%  - \frac{R_d}{p} T^2 (1-q)  \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\} 
%  + C_p T (1-q)
%    \DD{T}{z}
%  - l q (1-q)  \DD{T}{z} 
%  + l T (1-q) \DD{q}{z}
%  + l T q \DD{q}{z}
%= 0, 
%    \nonumber \\
%  - \frac{R_d}{p} T^2 (1-q)  \DD{}{z} \left\{ p (1-q) \right\} 
%  + C_p T (1-q)
%    \DD{T}{z}
%  - l q (1-q)  \DD{T}{z} 
%  + l T \DD{q}{z}
%= 0, 
%\end{eqnarray}
%更に $dz$ をかければ
%\begin{eqnarray}
%  - \frac{R_d}{p} T^2 (1-q)  d \left\{ p (1-q) \right\} 
%  + C_p T (1-q)
%    dT
%  - l q (1-q)  dT
%  + l T dq
%= 0, 
%\end{eqnarray}
%
%\vspace{5mm}
%
%近似をせずに, 分母を払った形の式をそのまま離散化する.
%
%\begin{eqnarray}
%&&  - \frac{R_d}{p_{k-1/2}} T_{k-1/2}^2 (1-q_{k-1/2}) 
%    \left[ p_{k-1} (1-q_{k-1}) - p_{k} (1-q_{k}) \right]
%  + C_p (1-q_{k-1/2}) T_{k-1/2} 
%    (T_{k-1} - T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%  - l q_{k-1/2} (1-q_{k-1/2})  (T_{k-1} - T_{k})
%  + l T_{k-1/2} (q_{k-1} - q_{k})
%= 0, 
%\end{eqnarray}
%ここで, 
%\begin{eqnarray}
%  T_{k-1/2}  &=& \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2}, \\
%  q_{k-1/2}  &=& \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2}
%\end{eqnarray}
%とすると(これ, 本当は良くないのだろう. $T_{k-1/2}$ については
%Arakawa and Suarez (1983) の正しい補間式を使うべきなような気がする.
%しかし, agcm5 時代に, サブルーチンの引数を変えるのが嫌だったので
%こうしている. \Dmodel ではサブルーチン内で $T_{k-1/2}$ を作る
%のでも良いかもしれない), 
%\begin{eqnarray}
%&&  - \frac{R_d}{p_{k-1/2}} 
%      \left( \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} \right)^2 
%      \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right) 
%      \left[ p_{k-1} (1-q_{k-1}) - p_{k} (1-q_{k}) \right]
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%  + C_p \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right)
%    \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2}
%    (T_{k-1} - T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%  - l \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} 
%    \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right)  (T_{k-1} - T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%  + l \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} (q_{k-1} - q_{k})
%= 0, 
%                 \nonumber \\
%%
%&&  - \frac{R_d}{C_p}  
%      \left( \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} \right)^2 
%      \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right) 
%      \left[   \frac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}}  (1-q_{k-1}) 
%             - \frac{p_{k}}{p_{k-1/2}}  (1-q_{k})
%      \right]
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%  + \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right)
%    \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2}
%    (T_{k-1} - T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%  - \frac{L}{C_p} \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} 
%    \left( 1 - \frac{q_{k-1} + q_{k}}{2} \right)  (T_{k-1} - T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%  + \frac{L}{C_p} \frac{T_{k-1} + T_{k}}{2} (q_{k-1} - q_{k})
%= 0
%\end{eqnarray}
%潜熱が大文字になっちゃった...
%最初から $L$ にしておくべき.
%
%$\Delta T_{k-1}$ などを使って書き換える.
%\begin{eqnarray}
%&&  - \frac{R_d}{C_p}  \frac{1}{4}
%      \left( 
%         \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k} 
%      \right)^2 
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%      \times
%      \left\{   1 
%         - \frac{1}{2} 
%           \left(   q^{*} (\hat{T}_{k-1}) 
%                  + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%                  + q^{*} (\hat{T}_{k}) 
%                  + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k} \Delta T_{k} \right)
%           \right\}
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%      \times
%      \left[ \frac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}} 
%             \left( 1 - q^{*} (\hat{T}_{k-1}) 
%                   - \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1} \Delta T_{k-1} \right) 
%             - \frac{p_{k}}{p_{k-1/2}}  \left( 1-q^{*} (\hat{T}_{k}) - \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k} \Delta T_{k} 
%              \right)
%      \right]
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  + \left\{ 1 - \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1} \Delta T_{k-1} + q^{*} (\hat{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k} \Delta T_{k} \right) \right\}
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%    \times
%    \frac{1}{2} \left( \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k} \right)
%    (\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \hat{T}_{k} - \Delta T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  - \frac{L}{C_p} \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1} \Delta T_{k-1} + q^{*} (\hat{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k} \Delta T_{k} \right)
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%    \times
%    \left\{  1 - \frac{1}{2} \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1} \Delta T_{k-1} + q^{*} (\hat{T}_{k}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k} \Delta T_{k} \right) \right\}  
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%    \times
%    (\hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} - \hat{T}_{k} - \Delta T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  + \frac{L}{C_p} 
%    \frac{1}{2}
%    \left( \hat{T}_{k-1} + \Delta T_{k-1} + \hat{T}_{k} + \Delta T_{k} \right)
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%    \times
%    \left( q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1} \Delta T_{k-1} - q^{*} (\hat{T}_{k}) - \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k} \Delta T_{k} \right)
%= 0
%\end{eqnarray}
%
%ここで, 以下の変数達を導入する.
%\begin{eqnarray}
%MM &\equiv& 
%  1  - \frac{1}{2} q^{*} (\hat{T}_{k-1}) 
%     - \frac{1}{2} q^{*} (\hat{T}_{k}), \\
%D_{k-1} &\equiv& \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k-1}, \\ 
%D_{k-1} &\equiv& \left. \DP{q^{*}}{T} \right|_{k}, \\
%TP &\equiv& \hat{T}_{k-1} + \hat{T}_{k}, \\
%TM &\equiv& \hat{T}_{k-1} - \hat{T}_{k}, \\
%M_{k-1} &\equiv& 1 - q^{*} (\hat{T}_{k-1}), \\ 
%M_{k} &\equiv& 1 - q^{*} (\hat{T}_{k}), \\ 
%F &\equiv& \frac{R_d}{C_p}, \\
%E &\equiv& \frac{L}{C_p}, \\
%QP &\equiv& q^{*} (\hat{T}_{k-1}) + q^{*} (\hat{T}_{k}), \\ 
%QM &\equiv& q^{*} (\hat{T}_{k-1}) - q^{*} (\hat{T}_{k}), \\ 
%P_{k-1} &\equiv& \frac{p_{k-1}}{p_{k-1/2}}, \\
%P_{k} &\equiv& \frac{p_{k}}{p_{k-1/2}}
%\end{eqnarray}
%
%これらの記号を用いて, 先程の式を書き換えると以下のように
%なる.
%\begin{eqnarray}
%&&  - \frac{F}{4}
%      \left( TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k} 
%      \right)^2 
%      \left\{   MM 
%              - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%              - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
%      \right\}
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%      \times
%      \left[   P_{k-1} \left( M_{k-1}  - D_{k-1} \Delta T_{k-1}  \right) 
%             - P_{k} \left( M_{k} - D_{k} \Delta T_{k} \right)
%      \right]
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  + \frac{1}{2}
%    \left\{ MM - \frac{1}{2} \left( D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%               + D_{k} \Delta T_{k} \right) 
%    \right\}
%    \left( TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k} \right)
%    (TM + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  - \frac{E}{2} 
%    \left( QP + D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} \right)
%    \left\{  MM - \frac{1}{2} \left( D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} \right) \right\}  
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%    \times
%    (TM + \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k})
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  + \frac{E}{2}
%    \left( TP + \Delta T_{k-1} + \Delta T_{k} \right)
%    \left( QM + D_{k-1} \Delta T_{k-1} - D_{k} \Delta T_{k} \right)
%= 0
%\end{eqnarray}
%この式をまともに解くことは大変なので, やむをえず近似する.
%$\Delta$ が 2 つ以上かかった項を無視することにする.
%おそらく「1 次近似」と言って良いのだろう, とは
%思っているが, この近似の妥当性に関して現段階ではまったく
%検討していない.
%
%式を展開しつつ「2 次以上の項」を順次無視していくと, 以下のようになる.
%\begin{eqnarray}
%&&  - \frac{F}{4}
%      \left\{ TP^2  + 2 TP \cdot (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) \right\}
%      \left(   MM 
%              - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%              - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
%      \right)
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%      \times
%      \left(   P_{k-1} M_{k-1}  - P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%             - P_{k} M_{k} + P_{k} D_{k} \Delta T_{k}
%      \right)
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  + \frac{1}{2}
%    \left( MM  - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%                - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
%    \right)
%    \left\{ TP \cdot TM  + (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM 
%           + ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP 
%    \right\}
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  - \frac{E}{2} 
%    \left( QP + D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} \right)
%                 \nonumber \\
%&& \qquad
%    \times
%    \left\{   MM \cdot TM 
%            + ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) MM
%            + \left(- \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}\right)TM  \right\}  
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%  + \frac{E}{2}
%    \left\{   TP \cdot QM 
%           +  \left(  D_{k-1} \Delta T_{k-1} - D_{k} \Delta T_{k} \right) TP
%           + (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) QM 
%    \right\}
%= 0
%\end{eqnarray}
%\begin{eqnarray}
%&&  - \frac{F}{4}
%      \left\{   TP^2 \cdot MM 
%              - \frac{1}{2} TP^2 
%                \left(    
%                     D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%                  +  D_{k} \Delta T_{k}
%                \right) 
%              + 2 TP \cdot MM (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) 
%      \right\}
%                 \nonumber \\
%&& \quad
%      \times
%      \left\{  \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)  
%              - P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%              + P_{k} D_{k} \Delta T_{k}
%      \right\}
%                 \nonumber \\
%&&
%  + \frac{1}{2}
%    \left\{  
%         MM \cdot TP \cdot TM  
%      + \left\{ 
%            (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM 
%          + ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP 
%        \right\} MM
%                  \right.     \nonumber \\
%&& \quad \left.
%      - TP \cdot TM
%        \left(   \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%               + \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} 
%        \right) 
%    \right\} 
%                 \nonumber \\
%&& 
%  - \frac{E}{2} 
%    \left\{   QP  \cdot MM \cdot TM 
%            + MM \cdot QP ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) 
%            + TM \cdot  QP
%              \left( - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%                     - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
%              \right)
%            \right.     \nonumber \\
%&& \quad \left.
%            + MM \cdot TM (D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} )
%    \right\}
%                 \nonumber \\
%&& 
%  + \frac{E}{2}
%    \left\{   TP \cdot QM 
%           + (  TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1}
%           + ( - TP \cdot D_{k}  + QM )  \Delta T_{k}
%    \right\}
%= 0
%\end{eqnarray}
%更に第 1 項を展開する.
%\begin{eqnarray}
%&&  - \frac{F}{4}
%      \left[   TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)  
%              + TP^2 \cdot MM
%                \left\{  
%                   - P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%                   + P_{k} D_{k} \Delta T_{k}
%                \right\}
%            \right.     \nonumber \\
%&& \qquad \left.
%              + \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)  
%                \left\{   - \frac{1}{2} TP^2 
%                \left(    
%                     D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%                  +  D_{k} \Delta T_{k}
%                \right) 
%              + 2 TP \cdot MM (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) 
%                \right\}
%      \right]
%                 \nonumber \\
%&&
%  + \frac{1}{2}
%    \left\{  MM \cdot TP \cdot TM  
%           + \left\{ 
%                  (\Delta T_{k-1} + \Delta T_{k}) TM 
%                + ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) TP 
%             \right\} MM
%            \right.     \nonumber \\
%&& \qquad \left.
%           - TP \cdot TM
%             \left(   \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%               + \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k} \right) 
%    \right\} 
%                 \nonumber \\
%&&
%  - \frac{E}{2} 
%    \left\{   QP  \cdot MM \cdot TM 
%            + MM \cdot QP ( \Delta T_{k-1} - \Delta T_{k}) 
%            + TM \cdot  QP
%              \left( - \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%                     - \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
%              \right)
%            \right.     \nonumber \\
%&& \qquad \left.
%            + MM \cdot TM (D_{k-1} \Delta T_{k-1} + D_{k} \Delta T_{k} )
%    \right\}
%                 \nonumber \\
%&&
%  + \frac{E}{2}
%    \left\{   TP \cdot QM 
%           + (  TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1}
%           + ( - TP \cdot D_{k}  + QM )  \Delta T_{k}
%    \right\}
%= 0
%\end{eqnarray}
%この式を $\Delta T_{k-1}$ の項と $\Delta T_{k}$ の項に
%まとめていく. まずばらす.
%\begin{eqnarray}
%&&  - \frac{F}{4}
%      \left[   TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)  
%             - TP^2 \cdot MM P_{k-1} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%             + TP^2 \cdot MM P_{k} D_{k} \Delta T_{k}
%            \right.     \nonumber \\
%&& \qquad \left.
%             - \frac{1}{2} \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)  TP^2 D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%             - \frac{1}{2} \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)  TP^2  D_{k} \Delta T_{k}
%            \right.     \nonumber \\
%&& \qquad \left.
%             + 2 \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)   TP \cdot MM \Delta T_{k-1} 
%             + 2 \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)   TP \cdot MM \Delta T_{k} 
%      \right]
%                 \nonumber \\
%&&
%  + \frac{1}{2}
%    \left\{   MM \cdot TP \cdot TM  
%            + TM \cdot MM \Delta T_{k-1} + TM \cdot MM \Delta T_{k} 
%            + TP \cdot MM \Delta T_{k-1} - TP \cdot MM \Delta T_{k} 
%            \right.     \nonumber \\
%&& \qquad \left.
%            - TP \cdot TM  \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%            - TP \cdot TM \frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
%    \right\} 
%                 \nonumber \\
%&&
%  - \frac{E}{2} 
%    \left\{   QP  \cdot MM \cdot TM 
%            + MM \cdot QP \Delta T_{k-1} 
%            - MM \cdot QP \Delta T_{k} 
%            - TM \cdot  QP \frac{1}{2} D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%            - TM \cdot  QP\frac{1}{2} D_{k} \Delta T_{k}
%            \right.     \nonumber \\
%&& \qquad \left.
%            + MM \cdot TM D_{k-1} \Delta T_{k-1} 
%            + MM \cdot TM D_{k} \Delta T_{k} 
%    \right\}
%                 \nonumber \\
%&&
%  + \frac{E}{2}
%    \left\{   TP \cdot QM 
%           + (  TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1}
%           + ( - TP \cdot D_{k}  + QM )  \Delta T_{k}
%    \right\}
%= 0
%\end{eqnarray}
%ついで, まとめる.
%\begin{eqnarray}
%&& - \frac{F}{4} TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)  
%              \nonumber \\
%&& - \frac{F}{4}
%     \left\{ 
%       - TP^2 \cdot MM \cdot P_{k-1} \cdot D_{k-1} 
%       + \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) 
%         \left(- \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k-1} + 2 TP \cdot MM \right) 
%     \right\} \Delta T_{k-1} 
%               \nonumber \\
%&& - \frac{F}{4}
%     \left\{
%         TP^2 \cdot MM \cdot P_{k} \cdot D_{k} 
%       + \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)
%         \left( - \frac{1}{2} TP^2 \cdot  D_{k} + 2 TP \cdot MM \right)
%      \right\} \Delta T_{k}
%                 \nonumber \\
%&& + \frac{1}{2} MM \cdot TP \cdot TM  
%              \nonumber \\
%&& + \frac{1}{2} 
%     \left\{ 
%         TM \cdot MM + TP \cdot MM 
%       - \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k-1} 
%     \right\} \Delta T_{k-1} 
%              \nonumber \\
%&& + \frac{1}{2} 
%     \left\{ 
%         TM \cdot MM - TP \cdot MM
%       - \frac{1}{2} TP \cdot TM  \cdot D_{k}
%     \right\} \Delta T_{k} 
%                 \nonumber \\
%&& - \frac{E}{2} QP  \cdot MM \cdot TM 
%                 \nonumber \\
%&& - \frac{E}{2}
%     \left( 
%         MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot D_{k-1}
%       + MM \cdot TM \cdot D_{k-1}
%     \right) \Delta T_{k-1} 
%                 \nonumber \\
%&& - \frac{E}{2}
%     \left( 
%       - MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot  QP \cdot D_{k}
%       + MM \cdot TM \cdot D_{k}
%     \right) \Delta T_{k} 
%                 \nonumber \\
%&& + \frac{E}{2} TP \cdot QM 
%   + \frac{E}{2} ( TP \cdot D_{k-1} + QM ) \Delta T_{k-1}
%   + \frac{E}{2} ( - TP \cdot D_{k} + QM ) \Delta T_{k}
%= 0
%\end{eqnarray}
%ここで, 以下のように変数をまとめる (前の $S_t$ とはちゃんと対応
%しているんだろうね???).
%\begin{eqnarray}
%S_t &\equiv& 
%      \frac{F}{4} TP^2 \cdot MM \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)  
%    - \frac{1}{2} MM \cdot TP \cdot TM  \nonumber \\
%&&    + \frac{E}{2} QP  \cdot MM \cdot TM 
%    - \frac{E}{2} TP \cdot QM                \\
%%
%B &\equiv& - \frac{F}{4}
%     \left\{ 
%       - TP^2 \cdot MM \cdot P_{k-1} \cdot D_{k-1} 
%       + \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right) 
%         \left(- \frac{1}{2} TP^2 \cdot D_{k-1} + 2 TP \cdot MM \right) 
%     \right\}
%               \nonumber \\
%&& + \frac{1}{2} 
%     \left\{ 
%         TM \cdot MM + TP \cdot MM 
%       - \frac{1}{2} TP \cdot TM \cdot D_{k-1} 
%     \right\}
%              \nonumber \\
%&& - \frac{E}{2}
%     \left( 
%         MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot QP \cdot D_{k-1}
%       + MM \cdot TM \cdot D_{k-1}
%     \right)
%   + \frac{E}{2} ( TP \cdot D_{k-1} + QM )
%                  \\
%C &\equiv& - \frac{F}{4}
%     \left\{
%         TP^2 \cdot MM \cdot P_{k} \cdot D_{k} 
%       + \left( P_{k-1} M_{k-1} - P_{k} M_{k} \right)
%         \left( - \frac{1}{2} TP^2 \cdot  D_{k} + 2 TP \cdot MM \right)
%      \right\}
%                 \nonumber \\
%&& + \frac{1}{2} 
%     \left\{ 
%         TM \cdot MM - TP \cdot MM
%       - \frac{1}{2} TP \cdot TM  \cdot D_{k}
%     \right\}
%                 \nonumber \\
%&& - \frac{E}{2}
%     \left( 
%       - MM \cdot QP - \frac{1}{2} TM \cdot  QP \cdot D_{k}
%       + MM \cdot TM \cdot D_{k}
%     \right)
%   + \frac{E}{2} ( - TP \cdot D_{k} + QM )
%\end{eqnarray}
%これより, 
%\begin{eqnarray}
% B \Delta T_{k-1} + C \Delta T_{k} = S_t
%\end{eqnarray}
%となる.
%ここで, $\sum h =0$ より得られる
%\begin{eqnarray}
%      \Delta T_{k-1} 
%&=& - \frac{1 + \gamma_{k}}{1+\gamma_{k-1}} 
%    \frac{\Delta p_{k}}{\Delta p_{k-1}} \Delta T_{k}
%  + \frac{1}{1+\gamma_{k-1}} 
%    \frac{L}{C_p}
%    \Delta \hat{Q}
%    \frac{1}{\Delta p_{k-1}} \\
%&\equiv& \alpha \Delta T_{k} + \beta
%\end{eqnarray}
%を代入すると
%\begin{eqnarray}
% B \left( \alpha \Delta T_{k} + \beta \right)  + C T_{k} = S_t
%\end{eqnarray}
%これを, $\Delta T_{k}$ について解けば
%\begin{eqnarray}
%   T_{k} = \frac{S_t - \beta B }{C + \alpha B}
%\end{eqnarray}

\fi
