% 表題   DCPAM5  大規模凝結
%
% 履歴
%\Drireki{1993/03/18 沼口敦・保坂征宏}
%\Drireki{2010/04/14 高橋芳幸}
%
%\Dchapterhead
%  \chapter{大規模凝結}
\section{Manabe et al. (1965) の非対流性凝結 (大規模凝結)}
%\Dchaplab{lscond}


格子点の相対湿度が閾値を超えた場合に
非対流性凝結 (以後, 大規模凝結と呼ぶ) が生じると考える
\footnote
{
  単純には, 凝結が生じる相対湿度の閾値は 1 である. 
  しかし, 実際にはモデル格子間隔内で湿度の分布があることが考えられ, 
  格子の平均相対湿度が 1 以下であっても, 格子内で凝結が起こる
  ことが想像される. 
}. 
凝結した水は速やかに降水となって落下し, 
雨水の蒸発は考えない.

大規模凝結は下の条件が成り立つときに生じる.
%
\begin{eqnarray}
  \frac{ \hat{q}_{k} }{ q^*(\hat{T}_{k}, p_{k}) } &\ge& r_c
\end{eqnarray}
%
ここで, $\hat{}$ は調節前の値を表し, $r_c$ は凝結が生じる相対湿度の閾値である. 


\subsection{数理表現}

大規模凝結時に満たす条件は, 
%
\begin{eqnarray}
  \DP{}{t} \int \rho \left( C_p T + L q \right) dz = 0
\\
  \DP{}{t} \int \rho q dz = 0
\end{eqnarray}
%
である. 

また, 凝結終了時刻 $t=t_e$ において, 
%
\begin{eqnarray}
  q(t_e) &=& r_c q^*(T(t_e), p)
\end{eqnarray}
%
である. 


\subsection{離散表現}

上記の式は下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  C_p \hat{T}_{k} + L \hat{q}_{k} &=& C_p T_{k} + L q_{k}
\\
  q_{k} &=& r_c q^*(T_{k}, p_{k})
\end{eqnarray}

$q_{k}$ を, テイラー展開して一次の項までとると, 
%
\begin{eqnarray}
  q_{k} &=& q^*(T_{k}, p_{k})
%
      = q^*(\hat{T}_{k}, p_{k}) 
         + \left. \frac{\partial q^*}{\partial T}\right|_{T=\hat{T_{k}}} \Delta T_{k}
  \Deqlab{lscond_qsat_taylor}
\end{eqnarray}
%
となることを用いて整理すると, 
%
%
\iffalse
\begin{eqnarray}
  C_p \Delta T_{k} 
    &=& - L \left( 
                q^*(\hat{T}_{k}, p_{k})
              + \left. \frac{\partial q^*}{\partial T}\right|_{T=\hat{T_{k}}} \Delta T_{k}
              - \hat{q}_{k} 
            \right)
\\
  \left( 
    C_p
    + L \left. \frac{\partial q^*}{\partial T}\right|_{T=\hat{T_{k}}} 
  \right) \Delta T_{k}
  &=& L \left( \hat{q}_{k} - q^*(\hat{T}_{k}, p_{k}) \right)
\end{eqnarray}
\fi
%
\begin{eqnarray}
  T_{k} &=& \hat{T}_{k} + \Delta T_{k}
\\
    &=&   \hat{T}_{k}
        + \frac{ L \left\{ \hat{q}_{k} - r_c q^*(\hat{T}_{k}, p_{k}) \right\} }
               { C_p + L r_c \left. \frac{\partial q^*}{\partial T}\right|_{T=\hat{T}_{k}} }
\\
  q_k &=& \hat{q}_{k} + \Delta q_{k}
\\
    &=& r_c \left\{ q^*(\hat{T}_{k}, p_{k}) 
         + \left. \frac{\partial q^*}{\partial T}\right|_{T=\hat{T_{k}}} \Delta T_{k} \right\}
\end{eqnarray}
%
となる. 

ただし, \Deqref{lscond_qsat_taylor} で $q_k$ をテイラー展開で近似しているため, 上記の結果は
近似値である. 
したがって, 上記の計算を繰り返し行い, 繰り返しの回数を $l$ とすると, 値を
%
\begin{eqnarray}
  (T_{k})_{l+1} &=& (T_{k})_l + \Delta T_{k}
\\
  (q_{k})_{l+1} &=& (q_{k})_l + \Delta q_{k}
\end{eqnarray}
%
のように更新しながらより正しい結果に近付ける. 

なお, この時, 降水量は, 
%
\begin{eqnarray}
  P &=& - \frac{1}{2 \Delta t}
            \sum_{k=k_{max}}^{1} 
              \frac{ p_{k-\frac{1}{2}} - p_{k+\frac{1}{2}} }{ g } 
                \Delta q_{k} \nonumber
\\
    &=& - \frac{1}{2 \Delta t}
            \sum_{k=k_{max}}^{1} 
              \frac{ p_{k-\frac{1}{2}} - p_{k+\frac{1}{2}} }{ g } 
                \left\{ \left( q_{k} \right)_{l_{max}+1} - \hat{q}_{k} \right\}
\end{eqnarray}
%
である
\footnote
{
  ここで, 鉛直方向の和は上層から下層に向けて和を取ることにしている. 
  これは, 上層の方が凝結量が少ないためである. 
}.

% 以下は前の版の文章
% 参考のために残しておく.

\iffalse

\subsection{大規模凝結}

各格子点において, 
比湿が飽和比湿よりも大きい場合には,
大規模凝結が起こって飽和状態に調節される.
凝結した水は速やかに降水となって落下し, 
雨水の蒸発は考えない.
%
この大規模凝結は, 時間積分の後, 
調節として積雲対流のパラメタリゼーションに引き続いて行なわれる.

大規模凝結の起こる条件は,
%
\begin{equation}
\hat{q} > q^*(\hat{T},p)
\end{equation}
%
である. 
ここで, $\hat{T}, \hat{q}$ は
時間積分してまだ調節の完全に済んでいない温度, 比湿である.

調節は,
%
\begin{equation}
 q = q^*( T,p )
\end{equation}
%
を満たし, かつ
\begin{equation}
 C_p T + L q = C_p \hat{T} + L \hat{q}
\end{equation}
%
となるように行なう.

Newton 法によって,
\begin{equation}
T = \hat{T} + \frac{L}{C_p} \frac{ \hat{q} - q^*(\hat{T},p)        }
                                 {\displaystyle 
                                   1 + \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T} }
\end{equation}
%
\begin{equation}
q = \hat{q} - \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T}
                            \frac{ \hat{q} - q^*(\hat{T},p)        }
                                 {\displaystyle 
                                   1 + \frac{L}{C_p} \DP{q^*}{T} } .
\end{equation}
%
また, このときの降水量$P$は,
%
\begin{equation}
P = \frac{\Delta p}{g} ( \hat{q} - q ) .
\end{equation}

標準的には, これで求められた $T,q$ を $\hat{T},\hat{q}$ と
読み換え, さらに2回の逐次近似を行なう.

\fi
