% 表題   DCPAM5 第1部 物理過程 放射 地球大気放射モデル 数理/離散モデル
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% 履歴 
%\Drireki{2011/09/15 高橋芳幸}
%\Drireki{2013/02/27 高橋芳幸}
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\section{地球放射モデル: 数理/離散表現}

\subsection{概要}

ここでは, \Dmodel で用いている地球大気放射モデルの概要を説明する. 
ここでは, 数理モデルと離散モデルを分けずに示す.
本節では, 波長分割範囲や, それぞれの波長範囲において考慮する吸収物質, 
および計算方法について述べる (予定である). 
しかし, 現状, 本節では長波放射の透過率の計算方法について述べることにとどめる. 


\subsection{長波放射: 概要}

長波放射モデルでは, Chou et al. (2001) の方法に従って透過率を計算し, 
それを用いて散乱のない放射伝達方程式を解く. 
以下では, 波長分割範囲, 透過率の計算方法について述べる. 
計算に用いる散乱のない放射伝達方程式については, 
\Dsecref{radiation:math:non-scat-rte}, 
\Dsecref{radiation:disc:non-scat-rte} を参照すること. 


\subsection{長波放射: 波長の分割}

本モデルでは, 長波放射を \Dtabref{radiation:Earth:banddivision} のように波長分割する
\footnote{
  現在の版では, Chou et al. (2001) で用いられているすべてを吸収物質を考慮
  しているわけではない. 
}. 

\begin{table}
  \caption{長波放射における波長の分割}
  \Dtablab{radiation:Earth:banddivision}
  \begin{center}
  \begin{tabular}{llll}
  バンド番号 & 波数範囲 (cm$^{-1}$) & 吸収物質         & 透過率計算方法             \\
  \hline
  1          &  0--340              & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
  2          &  340--540            & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
  3a         &  540--620            & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
             &                      & H$_2$O continuum & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & CO$_2$           & k 分布法 or 表参照法       \\
  3b         &  620--720            & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
             &                      & H$_2$O continuum & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & CO$_2$           & k 分布法 or 表参照法       \\
  3c         &  720--800            & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
             &                      & H$_2$O continuum & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & CO$_2$           & k 分布法 or 表参照法       \\
  4          &  800--980            & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
             &                      & H$_2$O continuum & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & CO$_2$           & 1 パラメータスケーリング法 \\
  5          &  980--1100           & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
             &                      & H$_2$O continuum & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & CO$_2$           & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & O$_3$            & 表参照法                   \\
  6          & 1100--1215           & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
             &                      & H$_2$O continuum & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & N$_2$O           & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & CH$_4$           & 1 パラメータスケーリング法 \\
  7          & 1215--1380           & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
             &                      & H$_2$O continuum & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & N$_2$O           & 1 パラメータスケーリング法 \\
             &                      & CH$_4$           & 1 パラメータスケーリング法 \\
  8          & 1380--1900           & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
  9          & 1900--3000           & H$_2$O line      & k 分布法                   \\
  \hline
  \end{tabular}
  \end{center}
\end{table}


\subsection{長波放射: 透過率の計算}

\subsubsection{概要}

Chou et al. (2001) では, 透過率の計算において, 吸収気体に応じて適した方法を
以下の 3 種類から選んで用いている. 
%
\begin{itemize}
\item k 分布法
\item 表参照法
\item 1 パラメータスケーリング法
\end{itemize}
%
また, 雲の吸収については上記とは別の方法を用いて透過率を評価する. 
以下では, 気体の吸収に伴う 3 種類の透過率計算法について述べる. 

なお, あるバンド内に複数の物質による吸収が生じる場合には, 特に述べない場合, 
以下のように, それぞれの物質による透過率の積として全体の透過率を評価している. 
%
\begin{align}
  {\cal T} &= {\cal \bar{T}}_1 {\cal \bar{T}}_2
\end{align}
%
ここで, ${\cal \bar{T}_1}$, ${\cal \bar{T}_2}$ はそれぞれ, 吸収物質 1, 2 による
バンドの平均透過率である.


\subsubsection{k 分布法}

Chou et al. (2001) では, 計算コストを減らすことを目指して工夫した k 分布法を考案した. 
この方法を用いる場合, 透過率は下のように計算する. 
%
\begin{align}
  {\cal T}(w) &= \sum_{n=1}^N \exp( -\frac{ k_n w }{\bar{\mu}} ) \Delta g_n
\\
  w(z_1, z_2) &= \int_{z_1}^{z_2} q(z) \rho(z) \left( \frac{p(z)}{p_r} \right)^m h(T(z), T_r) dz
\\
              &= \frac{1}{g} \int_{p_2}^{p_1} q(p) \left( \frac{p}{p_r} \right)^m h(T(p), T_r) dp
\\
  h(T,T_r)    &= 1 + \alpha ( T - T_r ) + \beta ( T - T_r )^2
\end{align}
%
ここで, $N$ は積算確率関数の分割数であり, $k_n$ は $n$ 番目のビンの吸収係数, 
$\Delta g_n$ は $n$ 番目のビンの重み, $\bar{\mu}$ は拡散率 ($\bar{\mu}=1.66$) である. 

また, Chou et al. (2001) では, 計算を高速に行うために, 吸収係数を以下のように
選択している. 
%
\begin{align}
  k_n &= \eta k_{n-1}
\end{align}
%
ここで, $\eta$ は正の整数である. 
このように選ぶことで, 指数関数の計算回数を減らすことができる. 

用いているパラメータについては, Chou et al. (2001) の Table 3, 4 を参照すること. 


\subsubsection{表参照法}

Chou and Kouvaris (1991), Chou et al. (2001) による表参照法を用いる場合, 
透過率は下のように計算する. 
%
\begin{align}
  {\cal T} &= 1 - A(p_{eff}, w, T_{eff})
\\
           &= 1 - A_0(p_{eff}, w, 250) \{ 1 + \alpha(p_{eff}, w) ( T_{eff} - 250 ) 
                                            + \beta(p_{eff}, w) ( T_{eff} - 250 )^2 \}
\\
  p_{eff} &= \frac{ \int p dw }{ \int dw }
\\
  T_{eff} &= \frac{ \int T dw }{ \int dw }
\\
  dw &= q \rho dz
\end{align}
%
ここで, $A_0(p_{eff}, w, 250)$, $\alpha(p_{eff}, w)$, $\beta(p_{eff}, w)$ は
基準気圧, 温度における様々な光路長に対して予め計算された吸収率と係数の表から
値を内挿して求める. 


\subsubsection{1 パラメータスケーリング法}

Chou et al. (2001) による 1 パラメータスケーリング法を用いる場合, 
透過率は下のように計算する. 
%
\begin{align}
  {\cal T} &= \exp \left( -\frac{k^c w^c}{\bar{\mu}} \right)
\\
  w^c(p_e, T) &= \int_{z_1}^{z_2} 
                     q \rho \left( \frac{p_e}{p_0} \right) 
                     \exp\left\{ 1800 \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_r} \right) \right\} dz
\\
              &= \frac{1}{g} \int_{p_2}^{p_1} 
                     q \left( \frac{p_e}{p_0} \right) 
                     \exp\left\{ 1800 \left( \frac{1}{T} - \frac{1}{T_r} \right) \right\} dp
\end{align}
%
ここで, $p_e$ は水蒸気分圧, $p_0 = 1013$ hPa, $T_r = 296$ である. 

$\displaystyle \frac{k^c}{\bar{\mu}}$ の値は, Chou et al. (2001) の Table 9 を
参照すること.

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