% 表題   DCPAM5  座標系・変換公式に関する解説 -- スペクトルの係数と格子点値とのやり取り
%
% 履歴
%\Drireki{1991/12/04 保坂征宏}
%\Drireki{2008/06/16 森川靖大}

\section{スペクトルの係数と格子点値とのやり取り}

ここではスペクトルの係数と格子点値との変換法について述べる. 
実際の GCM 計算において必要になるのは
\begin{itemize}
  \item スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り
  \item 速度の格子点値の発散 $D$ ・渦度 $\zeta$ の
        スペクトルの係数への変換
  \item 速度ポテンシャル$\chi$, 流線関数 $\psi$（もとは 発散, 渦度） 
        のスペクトルの係数から速度の格子点値の作成
\end{itemize}
である. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り}

スカラー関数 $A(\lambda,\varphi)$ の
格子点値とスペクトルの係数とのやり取りは
以下のとおりである. 
ただし, 
格子点値は $A_{ij} \; (i=1,2,\cdots,I, \; j=1,2,\cdots,J)$ , 
スペクトルの係数は $\tilde{A}_n^m \;
(m=-M,-M+1, \cdots,M, \; n=|m|,|m|+1,\cdots,N(m))$ 
とする.  
%
 \begin{align}
  \Deqlab{単純sg}
   A_{ij} 
   &\equiv  \sum_{m=-M}^{M} \sum_{n=|m|}^{N} 
         \tilde{A}_n^m 
        Y_n^m (\lambda_i,\varphi_j) , \\
  \Deqlab{単純gs}
   \tilde{A}_n^m 
         & =    \frac{1}{I}
                \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J}  
                A_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i,\varphi_j) w_j ,\\
    w_j &=  \frac{(2J-1)(1-\sin^2 \varphi_j)}
                      {(J P_{J-1}(\sin \varphi_j))^2 } .
 \end{align}
%
以後この文書では簡単のために, 
${\displaystyle \sum_{m=-M}^{M} \sum_{n=|m|}^{N} }$ を
${\displaystyle \sum_{m,n} }$ と, 
${\displaystyle \sum_{i=1}^{I} \sum_{j=1}^{J} }$ を
${\displaystyle \sum_{i,j} }$ と表記する.  

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り〜東西微分編}

まず, 
\begin{align*}
    g &\equiv  \DP{f}{\lambda}
\end{align*}
を考える.  

東西微分（$\lambda$ 微分）は次式で評価する. 
\begin{align}
 \Deqlab{ラムダ微分定義}
   g_{ij} 
   &\equiv   
     \left[
        \DP{}{\lambda} \left(
        \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m Y_n^m (\lambda, \varphi)
        \right)                           
        \right]_{ij} .
\end{align}
すなわち, 
\begin{align}
   g_{ij} 
   &=   \sum_{m,n} im \tilde{f}_n^m 
        Y_n^m (\lambda_i,\varphi_j)  \Deqlab{ラムダsg}
\end{align}
である. 
変換公式 \Deqref{単純gs}で $A$ を $g$ とみなしたものと 
\Deqref{ラムダsg} とを比較すれば明らかに
       \footnote{
             より正確には, 
             ${\displaystyle (g_{ij}=) 
                   \sum_{m,n} im \tilde{f}_n^m Y_n^m
                   = \sum_{m,n} \tilde{g}_n^m Y_n^m }$
             の両辺に左から
             ${\displaystyle \sum_{i,j} Y_n^{m*}(\lambda_i,\varphi_j)w_j}$
             を演算すれば, $im' \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                              = \tilde{g}_{n'}^{m'} $ として
             得られる. } , 
%             
\begin{align}
 \Deqlab{fg}
     \tilde{g}_n^m 
         & =   im \tilde{f}_n^m .
\end{align}
よって, 
\begin{align}
 \Deqlab{ラムダgs}
   \tilde{g}_n^m 
         & =    \frac{1}{I}
                \sum_{i,j} im f_{ij} Y_n^{m*} (\lambda_i, \varphi_j) w_j
\end{align}
である. 

次に, 
\begin{align*}
 h  \equiv \frac{g}{r \cos^2 \varphi}
    =      \frac{1}{r \cos^2 \varphi} \DP{f}{\lambda}
           \ \     \left[ = 
                    \DP{}{x} \left( \frac{f}{\cos \varphi} \right) 
                  \right]                                          
\end{align*}
とする. $f$ と $h$ とのやり取りを考える. 
\Deqref{ラムダ微分定義} より明らかに, 
%
\begin{align*}
      h_{ij} &=  \frac{1}{r \cos^2 \varphi_i} g_{ij}  \\
  ∴\ h_{ij} &= 
            \frac{1}{r \cos^2 \varphi_j}
            \sum_{m,n} im \tilde{f}_n^m Y_n^m (\lambda_i, \varphi_j) .
\end{align*}

一方, \Deqref{fg} より
\begin{align}
 \Deqlab{ラムダ微分1gs}
  \tilde{h}_n^m  
     &=  \widetilde{
         \left[ 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{f}{r \cos^2 \varphi} \right)
         \right]_n^m 
         }
      = im \widetilde{ \left( \frac{f}{r \cos^2 \varphi} \right)_n^m }
             \nonumber        \\
     &=  \frac{1}{I} 
             \sum_{i,j} 
                im
                \left( \frac{f}{r \cos^2 \varphi} \right)_{ij}
                Y_n^{m*} (\lambda_i, \varphi_j) w_j   \nonumber    \\
     &=  \frac{1}{I} 
             \sum_{i,j} im f_{ij}
                Y_n^{m*} (\lambda_i \varphi_j) 
                \frac{w_j}{r \cos^2 \varphi_j} .
\end{align}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{スペクトルの係数と格子点値との値のやり取り〜南北微分編}

まず, 
\begin{align*}
       p \equiv \DP{f}{\varphi}
\end{align*}
を考える. 

南北微分（$\varphi$微分）は次式で評価する. 
\begin{align}
 \Deqlab{ミュー微分定義}
  p_{ij} \equiv \left[ \DP{}{\varphi} 
                       \left( \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m Y_n^m \right)
                \right]_{ij} .
\end{align}
すなわち, 
\begin{align}
 \Deqlab{ミュー微分fg}
  p_{ij} = \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m 
                   \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_j 
                   \exp(im \lambda_i) 
\end{align}
である. よって, 
\begin{align*}
  p_n^m &=  \frac{1}{I} \sum_{i,j} p_{ij} Y_n^{m*} w_j \\
        &=  \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
               \left( 
                     \sum_{m',n'} \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                     \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\varphi} \right|_j
                     \exp(i m' \lambda_i)
               \right)
              P_n^m(\varphi_j) \exp(-im \lambda_i) w_j       \\
        &=  - \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              \left( 
                     \sum_{m',n'} \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                     P_{n'}^{m'}(\varphi_j)
                     \exp(i m' \lambda_i)
              \right)
             \left. \DD{P_n^m}{\varphi}\right|_j 
             \exp(-im \lambda_i) w_j   \\
        &=  - \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              f_{ij} 
             \left. \DD{P_n^m}{\varphi}\right|_j 
             \exp(-im \lambda_i) w_j
\end{align*}
となる. 
ここで, 2行目から 3行目の等号では, 
  \begin{align}
      & \qquad
           \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J
           f_{n'}^{m'}
           P_{n}^{m}(\varphi_j)  \exp(im \lambda_i)
           \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\varphi}\right|_j 
           \exp(-im' \lambda_i)
           w_j  \nonumber \\
      &=  - \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J
           f_{n'}^{m'}
           \left. \DD{P_{n}^{m}}{\varphi}\right|_j 
           \exp(-im \lambda_i)
           P_{n'}^{m'}(\varphi_j)  \exp(im' \lambda_i)
           w_j                            \Deqlab{公式あ}
\end{align}
を用いた
       \footnote{
             この証明は以下のとおりである. 
           \begin{align*}
                & \quad
		    \sum_{i} \sum_{j}
                    f_{n'}^{m'}
                    P_{n}^{m}(\varphi_j)  \exp(im \lambda_i)
                    \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\varphi}\right|_j 
                    \exp(-im' \lambda_i)
                    w_j  \\
               &=  I \sum_{j} 
                  f_{n'}^{m'} 
                  P_{n}^{m}(\varphi_j) 
                  \left.\DD{P_{n'}^{m'}}{\varphi}\right|_j
                  w_j \delta_{m m'} 
                = I \sum_{j} 
                  f_{n'}^{m} 
                  P_{n}^{m}(\varphi_j) 
                  \left.\DD{P_{n'}^{m}}{\varphi}\right|_j 
                  w_j \delta_{m m'} \\
               &=  \frac{I}{2} 
                   \int_{-1}^{1} 
                   f_{n'}^{m}
                   P_{n}^{m}(\varphi) 
                   \DD{P_{n'}^m}{\varphi}  d \varphi \delta_{m m'} .
           \end{align*}
           ここで, 部分積分すると
           \begin{align*}
                & \quad
		    \sum_{i} \sum_{j}
                    f_{n'}^{m'}
                    P_{n}^{m}(\varphi_j)  \exp(im \lambda_i)
                    \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\varphi}\right|_j 
                    \exp(-im' \lambda_i)
                    w_j  \\
                &= - \frac{I}{2} 
                   \int_{-1}^{1} 
                   f_{n'}^{m}
                   P_{n'}^{m}(\varphi) 
                   \DD{P_n^m}{\varphi}  d \varphi \delta_{m m'}
                     \\
               &=  - I \sum_{j} 
                  f_{n'}^{m} 
                  P_{n'}^{m}(\varphi_j) 
                  \left.\DD{P_{n}^{m}}{\varphi}\right|_j 
                  w_j  \delta_{mm'} \\
               &=  - \sum_{i} \sum_{j}
                    f_{n'}^{m'}
                    P_{n'}^{m'}(\varphi_j)  \exp(im' \lambda_i)
                    \left. \DD{P_{n}^{m}}{\varphi}\right|_j 
                    \exp(-im \lambda_i)
                    w_j .
           \end{align*}
           }. 

次に, 
\begin{align*}
       q \equiv \cos^2\varphi \DP{f}{\varphi} = \cos^2\varphi\  p
\end{align*}
とする. 

\Deqref{ミュー微分定義} より明らかに, 
\begin{align*}
  q_{ij} = \cos^2\varphi_j \sum_{m,n} \tilde{f}_n^m 
                         \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_j 
                         \exp(im \lambda_i)
\end{align*}
である. 
一方, 
\begin{align*}
  \tilde{q}_n^m &=  \frac{1}{I} \sum_{i,j} q_{ij} Y_n^{m*} w_j \\
        &=  \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              \left( 
                     \cos^2\varphi_j
                      \sum_{m',n'} \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                     \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\varphi} \right|_j
                     \exp(i m' \lambda_i)
              \right)
              P_n^m(\varphi_j) \exp(-im \lambda_i) w_j       \\
        &=  - \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              \left( 
                     \sum_{m',n'} \tilde{f}_{n'}^{m'} 
                     P_{n'}^{m'}(\varphi_j)
                     \exp(i m' \lambda_i)
              \right)                             \\
        & \quad
	     \hspace{1.5cm} \times
             \left. \DD{}{\varphi} 
                        \left( \cos^2\varphi P_n^m \right) \right|_j 
             \exp(-im \lambda_i) w_j   \\
        &=  - \frac{1}{I} \sum_{i,j} 
              f_{ij} 
             \left. \DD{}{\varphi} \left( \cos^2\varphi P_n^m \right) \right|_j
             \exp(-im \lambda_i) w_j   
\end{align*}
が成り立つ. ここで, 2 行目から 3 行目において, 
 \begin{align*}
  & \quad
      \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J
      f_{n'}^{m'} \cos^2\varphi_j
      P_{n}^{m}(\varphi_j)  \exp(im \lambda_i)
      \left. \DD{P_{n'}^{m'}}{\varphi}\right|_j 
      \exp(-im' \lambda_i)
      w_j  \\
 &=  - \sum_{i=1}^I \sum_{j=1}^J
      f_{n'}^{m'}
      \left. \DD{}{\varphi} 
      \left(\cos^2\varphi P_n^m \right) \right|_j 
      \exp(-im \lambda_i)
      P_{n'}^{m'}(\varphi_j)  \exp(im' \lambda_i)
      w_j  
 \end{align*}
を用いた
       \footnote{
             この証明は \Deqref{公式あ}の証明と同様である. } . 


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\subsection{速度の格子点値から発散・渦度のスペクトルの係数への変換}
%              
%   速度場を
%   \begin{align}
%     (u,v) = \left( \frac{U}{\cos \varphi}, \frac{V}{\cos \varphi} \right) 
%   \end{align}
%   とする. ここでは, $(U_{ij},V_{ij})$ から 
%   $\tilde{D}_n^m, \;  \tilde{\zeta}_n^m$ を求める
%                 \footnote{
%                         この項の計算については
%                         後ろの補遺
%                         「$\varphi$ 微分についての補助計算」
%                         を参照せよ.}.
%   
%   まず, 
%   \begin{align}
%     D  =  \frac{1}{r\cos^2\varphi} \DP{U}{\lambda}
%         + \frac{1}{r}             \DP{V}{\varphi}
%   \end{align}
%   より, 
%   
%   \begin{align}
%     \tilde{D}_n^m 
%      & =     \frac{1}{I} 
%              \sum_{ij}
%              \left(
%                  \frac{im}{r \cos^2 \varphi_j} U_{ij} P_n^m
%                - \frac{1}{r} V_{ij} \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_j 
%              \right) 
%              \exp(- im \lambda_i) w_j          \nonumber       \\
%      & =     \frac{1}{I} 
%              \sum_{ij}
%              \left(
%                  im U_{ij} P_n^m
%                -  V_{ij} 
%                     \cos^2 \varphi_j  \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_j 
%              \right) 
%              \exp(- im \lambda_i) 
%              \frac{w_j}{r \cos^2 \varphi_j}  
%   \end{align}
%   
%   同様に, 
%   \begin{align}
%    \zeta  =  \frac{1}{r\cos^2\varphi} \DP{V}{\lambda}
%            - \frac{1}{r}              \DP{U}{\varphi}
%   \end{align}
%   より, 
%   
%   \begin{align}
%     \tilde{\zeta}_n^m 
%      & =     \frac{1}{I} 
%              \sum_{ij}
%              \left(
%                  \frac{im}{\cos^2 \varphi}  V_{ij} P_n^m
%                + \frac{1}{r} U_{ij} \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_j
%              \right) 
%              \exp(- im \lambda_i) w_j  \nonumber \\
%      & =     \frac{1}{I} 
%              \sum_{ij}
%              \left(
%                  im  V_{ij} P_n^m
%                + U_{ij} 
%                \cos^2 \varphi_j \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_j
%              \right) 
%              \exp(- im \lambda_i) 
%              \frac{w_j}{r \cos^2 \varphi_j}  
%   \end{align}
%
   
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{$\chi,\psi$ のスペクトルの係数から速度の格子点値への変換}

ここでは$\chi_n^m,\psi_n^m$ から $u_{ij},v_{ij}$
%$U_{ij},V_{ij}$
を求める方法を記す. 

まず, 
   \begin{align}
     u  = - \frac{1}{r}            \DP{\psi}{\varphi}
          + \frac{1}{r\cos\varphi} \DP{\chi}{\lambda}
%     U  = - \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\psi}{\mu}
%          + \frac{1}{r}             \DP{\chi}{\lambda}
   \end{align}
より, 
   \begin{align}
     u_{ij} 
       &=  \sum_{m,n}
            \left(
               - \frac{1}{r} \tilde{\psi}_n^m  
                        \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_j
               + \frac{1}{r\cos\varphi_j} im \tilde{\chi}_n^m P_n^m(\sin \varphi_j)
            \right)
            \exp(im \lambda_i) .
%     U_{ij} 
%       &=  \sum_{m,n}
%            \left(
%               - \frac{\cos^2 \varphi_j}{r} \tilde{\psi}_n^m  
%                        \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j
%               + \frac{1}{r} im \tilde{\chi}_n^m P_n^m(\sin \varphi_j)
%            \right)
%            \exp(im \lambda_i) \nonumber  \\
%       &=  \sum_{m,n}
%            \left(
%               - \frac{1}{r} \tilde{\psi}_n^m  
%                    \cos^2 \varphi_j \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_j
%               + \frac{1}{r} im \tilde{\chi}_n^m P_n^m(\sin \varphi_j)
%            \right)
%            \exp(im \lambda_i)
   \end{align}
である. 同様に, 
   \begin{align}
     v  =  \frac{1}{r\cos\varphi} \DP{\psi}{\lambda}
         + \frac{1}{r}            \DP{\chi}{\varphi}
%     V  =  \frac{1}{r}             \DP{\psi}{\lambda}
%         + \frac{1-\mu^2}{r}   \DP{\chi}{\mu}
   \end{align}
より, 
   \begin{align}
     v_{ij} 
       &= \sum_{m,n}
            \left(
                \frac{1}{r\cos\varphi_j} im \tilde{\psi}_n^m P_n^m (\sin \varphi_j)
              + \frac{1}{r} \tilde{\chi}_n^m  
                 \left. \DD{P_n^m}{\varphi} \right|_{j}
            \right)
            \exp(im \lambda_i) .
%     V_{ij} 
%       &= \sum_{m,n}
%            \left(
%                \frac{1}{r}  im \tilde{\psi}_n^m P_n^m (\sin \varphi_j)
%              + \frac{\cos^2 \varphi_j}{r} \tilde{\chi}_n^m  
%                 \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_{j}
%            \right)
%            \exp(im \lambda_i)    \nonumber  \\
%       &= \sum_{m,n}
%            \left(
%                \frac{1}{r}  im \tilde{\psi}_n^m P_n^m (\sin \varphi_j)
%              + \frac{1}{r} \tilde{\chi}_n^m  
%                  \cos^2 \varphi_j \left. \DD{P_n^m}{\mu} \right|_{j}
%            \right)
%            \exp(im \lambda_i)
   \end{align}
である. 

