% 表題   DCPAM5  放射
%
% 履歴 
%\Drireki{2010/04/14 高橋芳幸}
%\Drireki{2011/07/01 高橋芳幸}
%\Drireki{2012/05/04 高橋芳幸}
%
%  \Dchapterhead


\section{共通部分: 離散表現}

この節の内容のコードとの対応は確認していない.
符号が違うかも.
(コードの方を直していない.)

\subsection{加熱率}


放射加熱率は下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  Q_{k} &=& \frac{ g }{ C_p }
            \frac{ F_{k+\frac{1}{2}} - F_{k-\frac{1}{2}} }
                 { p_{k+\frac{1}{2}} - p_{k-\frac{1}{2}} }
\end{eqnarray}
%


\subsection{散乱を無視した場合の放射伝達方程式}
\Dseclab{radiation:disc:non-scat-rte}

長波放射フラックスは下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  F_{k+\frac{1}{2}} &=& F_{k+\frac{1}{2}}^+ - F_{k+\frac{1}{2}}^-
\\
  F_{k+\frac{1}{2}}^+
    &=& \pi B_s {\cal T}_{k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
        - \sum_{k'=1}^{k} 
            \pi B_{k'}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\\
  F_{k+\frac{1}{2}}^-
    &=&   \sum_{k'=k+1}^{k_{max}} 
            \pi B_{k'}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
\end{eqnarray}
%
ここで, $B$ は
%
\begin{eqnarray}
  \pi B_{k} &=& \pi \sum_i^N B_i \left( T_{k}  , k_i \right) w_i
\\
  \pi B_s   &=& \pi \sum_i^N B_i \left( T_{s,k}, i_i \right) w_i
\end{eqnarray}
%
ここでは, $w$ はガウス重みであり, 波数積分はガウス求積法で評価する. 
または, 灰色大気の場合には, 
%
\begin{eqnarray}
  \pi B_{k} &=& \sigma_{SB} T_{k}^4
\\
  \pi B_s   &=& \sigma_{SB} T_{s}^4
\end{eqnarray}
%
となる. 

また, 光学的厚さが与えられる場合の透過率は下のように離散化される. 
%
\begin{eqnarray}
  {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
    &=& \exp( - \alpha (   | \tau_{L,k+\frac{1}{2}} - \tau_{L,k'+\frac{1}{2}} | ) )
\end{eqnarray}


一方, 放射過程の一部は, 惑星表面の熱収支を通して鉛直拡散過程や惑星表面の
熱収支と関係しており, それらの方程式を連立して同時に解くことになる.
鉛直拡散過程や惑星表面の熱収支は陰解法で計算しているため, 放射伝達方程式の
一部について線型化し, 放射フラックスの温度に対する変化率を求めておく必要が
ある. 
放射フラックスの温度に対する変化率は, 
%
\begin{eqnarray}
  \DP{F^+_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} &=& \DP{\pi B_s}{T_s} {\cal T}_{k+\frac{1}{2},\frac{1}{2}}
\\
  \DP{F^-_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} &=& 0
\\
  \DP{F^+_{k+\frac{1}{2}}}{T_{k'}}
    &=& \left\{ 
        \begin{array}{ll}
          - \DP{\pi B_{k'}}{T_{k'}}
              \left(
                       {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                     - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
              \right)
        & k \ \ge \ k' \\
          0
        & k \ < \ k' \\
        \end{array}
        \right.
\\
  \DP{F^-_{k+\frac{1}{2}}}{T_{k'}}
    &=& \left\{
        \begin{array}{ll}
          0
        & k \ \ge \ k' \\
          \DP{\pi B_{k'}}{T_{k'}}
            \left(
                     {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'-\frac{1}{2}} 
                   - {\cal T}_{k+\frac{1}{2},k'+\frac{1}{2}}
            \right)
        & k \ < \ k'\\
        \end{array}
        \right.
\end{eqnarray}
%
となる. 
これらにより, 放射フラックスは, 
%
\begin{eqnarray}
  (F^+_{k+\frac{1}{2}})^{n+1} &=& (F^+_{k+\frac{1}{2}})^{n-1} 
    + \DP{F^+_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} \Delta T_s
    + \sum_{k'=1}^{k_{max}} \DP{F^+_{k+\frac{1}{2}}}{T_{k'}} \Delta T_{k'}
\\
  (F^-_{k+\frac{1}{2}})^{n+1} &=& (F^-_{k+\frac{1}{2}})^{n-1} 
    + \DP{F^-_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} \Delta T_s
    + \sum_{k'=1}^{k_{max}} \DP{F^-_{k+\frac{1}{2}}}{T_{k'}} \Delta T_{k'}
\\
  \Delta T_s &=& T_s^{n+1} - T_s^{n-1}
\\
  \Delta T_k &=& T_k^{n+1} - T_k^{n-1}
\end{eqnarray}
%
として求められる. 
ただし, 上記の式ではすべての層について和をとっているが, 実際は
最下層の寄与のみ考慮し, 
%
\begin{eqnarray}
  (F^+_{k+\frac{1}{2}})^{n+1} &=& (F^+_{k+\frac{1}{2}})^{n-1} 
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} \Delta T_s
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_{1}} \Delta T_{1}
\\
  (F^-_{k+\frac{1}{2}})^{n+1} &=& (F^-_{k+\frac{1}{2}})^{n-1} 
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_s} \Delta T_s
    + \DP{F_{k+\frac{1}{2}}}{T_{1}} \Delta T_{1}
\end{eqnarray}
%
とするのが現実的である
%
\footnote
{
  放射過程, 鉛直拡散過程, 惑星表面熱収支, 土壌中の熱収支の式をまとめて
  整理したものを三重対角行列にするためである.
}.




\subsection{散乱を考慮した二流近似した放射伝達方程式}

不均質大気に適用するために, 大気が多数の均質の大気層からなると考える. 
この時, $n$ 番目の均質大気層に対する一般化された二方向近似した放射伝達方程式の
解は下のように書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  F^+_n(\tau) &=& 
                  k_{1,n} \exp(  \lambda_n \tau ) 
       + \Gamma_n k_{2,n} \exp( -\lambda_n \tau ) + C^+_n(\tau)
\\
  F^-_n(\tau) &=& 
         \Gamma_n k_{1,n} \exp(  \lambda_n \tau ) 
                + k_{2,n} \exp( -\lambda_n \tau ) + C^-_n(\tau)
\\
  C^+_n(\tau) &=& \frac{ \varpi_{0,n} \pi F_s \exp\left( -\frac{\tau_{c,n} + \tau}{\mu_0} \right)
                       \left\{ \frac{\gamma_{1,n} - \frac{1}{\mu_0}}{\gamma_{3,n}} + \gamma_{4,n} \gamma_{2,n} \right\} }
                     {\lambda_n^2 - \frac{1}{\mu_0^2}}
\nonumber \\
            &+& 2 \mu_{1,n} 
                  \left\{ 
                      B_{0,n}
                    + B_{1,n} \left( \tau + \frac{1}{\gamma_{1,n} + \gamma_{2,n}} \right) 
                  \right\}
\\
  C^-_n(\tau) &=& \frac{ \varpi_{0,n} \pi F_s 
                           \exp \left( -\frac{\tau_{c,n} + \tau}{\mu_0} \right)
                       \left\{ \frac{\gamma_{1,n} + \frac{1}{\mu_0}}{\gamma_{4,n}} 
                                + \gamma_{2,n} \gamma_{3,n} \right\} }
                     {\lambda_n^2 - \frac{1}{\mu_0^2}}
\nonumber \\
            &+& 2 \mu_{1,n} 
                  \left\{ 
                      B_{0,n}
                    + B_{1,n} \left( \tau - \frac{1}{\gamma_{1,n} + \gamma_{2,n}} \right) 
                  \right\}
%\\
%  \lambda_n &=& \left( \gamma_{1,n}^2 - \gamma_{2,n}^2 \right)^{1/2}
%\\
%  \Gamma_n  &=& \frac{\gamma_{2,n}}{\gamma_{1,n} + \lambda_n}
\end{eqnarray}
%
ただし, $\tau$ は, $n$ 層目の上端から測った光学的厚さであり, 
$\displaystyle \tau_{c,n} = \sum_{k=n+1}^N \tau_k$ は $n$ 層目よりも
上空の光学的厚さである. また, ここで, $\tau_k$ は $k$ 番目の層全体の
光学的厚さである.
%
また, $B_0$, $B_1$ はプランク関数とその微分 (光学的厚さによる微分) に $\pi$ を
かけたものである. 

これらの方程式に対して, 下の境界条件を与える.
%
\begin{eqnarray}
  F^+_n(0) &=& F^+_{n+1}(\tau_n)
\\
  F^-_n(0) &=& F^-_{n+1}(\tau_n)
\\
  F^+_1(\tau_1) &=& A_{sfc} F^-_1(\tau_1) + S_{sfc}
\\
  F^-_N(0) &=& F^-_{TOA}
\\
  S_{sfc} &=&
      A_{sfc} \mu_0 \pi F_s \exp\left( - \frac{\tau_{c,1}}{\mu_0} \right) 
    + \epsilon \pi B_{sfc}
\end{eqnarray}
%
ここで, 一般に $F^-_{TOA} = 0$ である.

これらの境界条件を適用することで, 放射伝達方程式は, $k_{1,n}, k_{2,n}$ に
対する連立一次方程式となる. 
さらに, Toon et al. (1989) の方法に基づいて整理することで, 
下のように行列部分を三重対角行列にすることができる. 
%
\begin{eqnarray}
  A \Dvect{x} &=& \Dvect{d}
\end{eqnarray}
%
ここで, $A, \Dvect{x}, \Dvect{d}$ の要素はそれぞれ下のように書ける.
%
\begin{eqnarray}
  a_{1   ,1   } &=& e_{1,1} - A_{sfc} e_{3,1}
\\
  a_{1   ,2   } &=& - ( e_{2,1} - A_{sfc} e_{4,1} )
\\
  a_{2n  ,2n-1} &=& e_{1,n  } e_{2,n+1} - e_{3,n  } e_{4,n+1}
\\
  a_{2n  ,2n  } &=& e_{2,n  } e_{2,n+1} - e_{4,n  } e_{4,n+1}
\\
  a_{2n  ,2n+1} &=& e_{1,n+1} e_{4,n+1} - e_{2,n+1} e_{3,n+1}
\\
  a_{2n+1,2n  } &=& e_{2,n  } e_{3,n  } - e_{1,n  } e_{4,n  }
\\
  a_{2n+1,2n+1} &=& e_{1,n  } e_{1,n+1} - e_{3,n  } e_{3,n+1}
\\
  a_{2n+1,2n+2} &=& e_{3,n  } e_{4,n+1} - e_{1,n  } e_{2,n+1}
\\
  a_{2N  ,2N-1} &=& e_{1,N  }
\\
  a_{2N  ,2N  } &=& e_{2,N  }
\\
  a_{i,j\ne i-1, i, i+1} &=& 0
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
  x_{1  }   &=& Y_{1,1}
\\
  x_{2  }   &=& Y_{2,1}
\\
  ... \nonumber
\\
  x_{2n-1}   &=& Y_{1,n}
\\
  x_{2n  }   &=& Y_{2,n}
\\
  ... \nonumber
\\
  x_{2N-1}   &=& Y_{1,N}
\\
  x_{2N  }   &=& Y_{2,N}
\end{eqnarray}
%
\begin{eqnarray}
  d_{1}    &=& - C^+_1(\tau_1) + A_{sfc} C^-_1(\tau_1) + S_{sfc}
\\
  d_{2n}   &=&   e_{2,n+1} \{ - C^-_n(0) + C^-_{n+1}(\tau_{n+1}) \}
               - e_{4,n+1} \{ - C^+_n(0) + C^+_{n+1}(\tau_{n+1}) \}
\\
  d_{2n+1} &=&   e_{3,n  } \{ - C^-_n(0) + C^-_{n+1}(\tau_{n+1}) \}
               - e_{1,n  } \{ - C^+_n(0) + C^+_{n+1}(\tau_{n+1}) \}
\\
  d_{2N  } &=& - C^-_N(0) + F^-_s(0)
\end{eqnarray}
%
ここで $e_{1,n}, e_{2,n}, e_{3,n}, e_{4,n}$ は下のように書ける.
%
\begin{eqnarray}
  e_{1,n} &=& \Gamma_n \exp( -\lambda_n \tau_n ) + 1
\\
  e_{2,n} &=& \Gamma_n \exp( -\lambda_n \tau_n ) - 1
\\
  e_{3,n} &=& \exp( -\lambda_n \tau_n ) + \Gamma_n
\\
  e_{4,n} &=& \exp( -\lambda_n \tau_n ) - \Gamma_n
\end{eqnarray}
%
なお, 
%
\begin{eqnarray}
  Y_{1,n} = \frac{1}{2} \{ k_{1,n} \exp(\lambda_n\tau_n) + k_{2,n} \}
\\
  Y_{2,n} = \frac{1}{2} \{ k_{1,n} \exp(\lambda_n\tau_n) - k_{2,n} \}
\end{eqnarray}
%
であり, これらを用いると, フラックスは下のように書くことができる.
%
\begin{eqnarray}
  F^+_n(\tau) &=&
      Y_{1,n} [
                           \exp\{ - \lambda_n (\tau_n - \tau) \}
                + \Gamma_n \exp( - \lambda_n \tau ) 
              ]
\nonumber \\ & &
    + Y_{2,n} [
                           \exp\{ - \lambda_n (\tau_n - \tau) \}
                - \Gamma_n \exp( - \lambda_n \tau ) 
              ]
    + C^+_n(\tau)
\\
  F^-_n(\tau) &=&
      Y_{1,n} [
                  \Gamma_n \exp\{ - \lambda_n (\tau_n - \tau) \}
                +          \exp( - \lambda_n \tau ) 
              ]
\nonumber \\ & &
    + Y_{2,n} [
                  \Gamma_n \exp\{ - \lambda_n (\tau_n - \tau) \}
                -           \exp( - \lambda_n \tau ) 
              ]
    + C^-_n(\tau)
\end{eqnarray}
%
これより, 層の境界におけるフラックスは下のように書くことができる.
%
\begin{eqnarray}
  F^+_n(0)      &=& e_{3,n} Y_{1,n} + e_{4,n} Y_{2,n} + C^+_n(0)
\\
  F^+_n(\tau_n) &=& e_{1,n} Y_{1,n} - e_{2,n} Y_{2,n} + C^+_n(\tau_n)
\\
  F^-_n(0)      &=& e_{1,n} Y_{1,n} + e_{2,n} Y_{2,n} + C^-_n(0)
\\
  F^-_n(\tau_n) &=& e_{3,n} Y_{1,n} - e_{4,n} Y_{2,n} + C^-_n(\tau_n)
\end{eqnarray}

なお, 短波に対しては, 直達光成分を加えることで全フラックスを得る.
%
\begin{eqnarray}
  F^\pm_{tot,n}(\tau) &=& F^\pm_n(\tau) + F^\pm_{dir,n}(\tau)
\\
  F^+_{dir,n}(\tau) &=& 0
\\
  F^-_{dir,n}(\tau) &=& \mu_0 \pi F_s \exp\left( - \frac{\tau_{c,n} + \tau}{\mu_0} \right)
\end{eqnarray}

\subsubsection{放射源関数法による解}

ここでは, Toon et al. (1989) で紹介されている
放射源関数法 (source function technique) による解を示す.

放射源関数法を用いて求められるフラックスは下のように書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  F^{\pm}_n(\tau) &=& \int_0^1 \mu I^{\pm}(\tau,\mu) d\mu
\\
                  &\sim& \sum_i w_i \mu_i I^{\pm}(\tau,\mu_i)
\end{eqnarray}
%
ここで, フラックスを求めるときの角度積分は, 
ガウス求積法を用いて評価する. ここで, $w_i$ はガウス重みである.
なお, 短波に対しては, 下向きフラックスに直達光成分を加えることで
全フラックスを得る.
%
\begin{eqnarray}
  F^-_{tot,n}(\tau) &=& F^-_n(\tau) + F^-_{dir,n}(\tau)
\\
  F^-_{dir,n}(\tau) &=& \mu_0 \pi F_s \exp\left( - \frac{\tau_{c,n} + \tau}{\mu_0} \right)
\end{eqnarray}

また, 各 $\mu$ に対する, 方位角方向に積分した放射輝度 $I^\pm$ は, 
下のように書くことができる.
%
\begin{eqnarray}
  I^+_n(0,\mu) &=& I^+_n(\tau_n) \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
\nonumber \\ & &
    + \frac{G_n}{\lambda \mu - 1}
        \left\{ \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
              - \exp\left( - \tau_n \lambda \right) \right\}
\nonumber \\ & &
    + \frac{H_n}{\lambda \mu + 1}
        \left[ 1
              - \exp\left\{ - \tau_n \left( \lambda + \frac{1}{\mu} \right) \right\} \right]
\nonumber \\ & &
    + \alpha_{1,n} \left\{ 1 - \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
\nonumber \\ & &
    + \alpha_{2,n} \left\{ \mu - ( \tau_n + \mu ) \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
\\
  I^-_n(\tau_n,-\mu) &=& I^-_n(0) \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
\nonumber \\ & &
    + \frac{J_n}{\lambda \mu + 1}
        \left[ 1
              - \exp\left\{ - \tau_n \left( \lambda + \frac{1}{\mu} \right) \right\} \right]
\nonumber \\ & &
    + \frac{K_n}{\lambda \mu - 1}
        \left\{ \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
              - \exp\left( - \tau_n \lambda \right) \right\}
\nonumber \\ & &
    + \sigma_{1,n} \left\{ 1 - \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
\nonumber \\ & &
    + \sigma_{2,n} \left\{ \mu \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) + \tau_n - \mu \right\}
\end{eqnarray}
%
ここで, $G_n$, $H_n$, $J_n$, $K_n$, 
$\alpha_{1,n}$, $\alpha_{2,n}$, $\sigma_{1,n}$, $\sigma_{2,n}$ は
下のように与えられる.
%
\begin{eqnarray}
  G_n &=& ( Y_{1,n} + Y_{2,n} ) \left( \frac{1}{\mu_1} - \lambda \right)
\\
  H_n &=& ( Y_{1,n} - Y_{2,n} ) \Gamma \left( \lambda + \frac{1}{\mu_1} \right)
\\
  J_n &=& ( Y_{1,n} + Y_{2,n} ) \Gamma \left( \lambda + \frac{1}{\mu_1} \right)
\\
  K_n &=& ( Y_{1,n} - Y_{2,n} ) \left( \frac{1}{\mu_1} - \lambda \right)
\\
  \alpha_{1,n} &=& 
      2 \left\{ B_{0,n} 
    + B_{1,n} \left( \frac{1}{\gamma_1 + \gamma_2} - \mu_1 \right) \right\}
\\
  \alpha_{2,n} &=& 2 B_{1,n}
\\
  \sigma_{1,n} &=& 
      2 \left\{ B_{0,n} 
    - B_{1,n} \left( \frac{1}{\gamma_1 + \gamma_2} - \mu_1 \right) \right\}
\\
  \sigma_{2,n} &=& 2 B_{1,n}
\end{eqnarray}
%
境界条件は下のように与えられる.
%
\begin{eqnarray}
  I^+_1(\tau_n) &=& 2 \epsilon \pi B_{sfc} + A_{sfc} I^-_1(\tau_n) + 2 A_{sfc} F^-_{dir,1}(\tau_1)
\\
  I^-_N(0) &=& 0
\end{eqnarray}
%
である
\footnote{
  $I^+$ の最後の項に $2$ がかけられているのは, 等方的に反射された
  光の鉛直方向射影値の積分が, フラックスにアルベドをかけた値に等しく
  するため.
}.

なお, 
%
\begin{eqnarray}
  \DP{F^{\pm}_n(\tau)}{T}
                  &\sim& \sum_i w_i \mu_i \DP{I^{\pm}(\tau,\mu_i)}{T}
  \\
  \DP{I^+_n(0,\mu)}{T}
  &=& \DP{I^+_n(\tau_n)}{T} \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
\nonumber \\ & &
    + \DP{\alpha_{1,n}}{T} \left\{ 1 - \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
\nonumber \\ & &
    + \DP{\alpha_{2,n}}{T} \left\{ \mu - ( \tau_n + \mu ) \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
  \\
  \DP{I^-_n(\tau_n,-\mu)}{T}
  &=& \DP{I^-_n(0)}{T} \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
  \nonumber \\ & &
  + \DP{\sigma_{1,n}}{T} \left\{ 1 - \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
  \nonumber \\ & &
  + \DP{\sigma_{2,n}}{T} \left\{ \mu \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) + \tau_n - \mu \right\}
\end{eqnarray}
%
個々の $T$ に適用すると下のようになる.
%
\begin{eqnarray}
  \DP{I^+_n(0,\mu)}{T_s}
  &=& \DP{I^+_n(\tau_n)}{T_s} \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
\\
  \DP{I^+_1(\tau_n,\mu)}{T_s}
    &=& 2 \epsilon \pi \DP{B_{sfc}}{T_s}
  %
  \\
  \DP{I^+_n(0,\mu)}{T_{\frac{1}{2}}}
  &=& \DP{I^+_n(\tau_n)}{T_{\frac{1}{2}}} \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
  \nonumber \\ & &
  + \DP{\alpha_{1,n}}{T_{\frac{1}{2}}} \delta_{n,1} \left\{ 1 - \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
  \nonumber \\ & &
  + \DP{\alpha_{2,n}}{T_{\frac{1}{2}}} \delta_{n,1} \left\{ \mu - ( \tau_n + \mu ) \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
  %
  \\
  \DP{I^+_1(\tau_1,\mu)}{T_{\frac{1}{2}}}
  &\sim& 0
  %
  \\
  \DP{I^+_1(0,\mu)}{T_{1\frac{1}{2}}}
  &=& \DP{I^+_1(\tau_n)}{T_{1\frac{1}{2}}} \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
  \nonumber \\ & &
  + \DP{\alpha_{1,1}}{T_{1\frac{1}{2}}} \left\{ 1 - \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
  \nonumber \\ & &
  + \DP{\alpha_{2,1}}{T_{1\frac{1}{2}}} \left\{ \mu - ( \tau_n + \mu ) \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
  %
  \\
  \DP{I^+_n(0,\mu)}{T_{1\frac{1}{2}}}
  &=& \DP{I^+_n(\tau_n)}{T_{1\frac{1}{2}}} \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right)
  \nonumber \\ & &
  + \DP{\alpha_{1,n}}{T_{1\frac{1}{2}}} \delta_{n,2} \left\{ 1 - \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\}
  \nonumber \\ & &
  + \DP{\alpha_{2,n}}{T_{1\frac{1}{2}}} \delta_{n,2} \left\{ \mu - ( \tau_n + \mu ) \exp\left( - \frac{\tau_n}{\mu} \right) \right\} \ \ \ ( n \ge 2 )
  %
  \\
  \DP{I^-_n(\tau_n,-\mu)}{T_s} &=& 0
\\
  \DP{I^-_n(0,\mu)}{T_s} &=& 0
\\
  \DP{I^-_N(0,\mu)}{T} &=& 0
\\
  \DP{F^\pm_n(\tau)}{T_{\frac{1}{2}}}
                  &\sim& \sum_i w_i \mu_i \DP{I^\pm(\tau,\mu_i)}{T_{\frac{1}{2}}}
\end{eqnarray}
%
とする
\footnote{
  $\DP{I^+_n(0,\mu)}{T_s}$ をまとめると,
  \begin{align}
    \DP{I^+_n(0,\mu)}{T_s}
    &=& 2 \epsilon \pi \DP{B_{sfc}}{T_s}
    \prod_{k=1}^n \exp\left( - \frac{\tau_k}{\mu} \right)
  \end{align}
}
\footnote{
  $\DP{I^+_n(0,\mu)}{T_s}$ の定式化は, 正確ではない. あくまで近似. 
  また, もう少し考えると $\DP{F^{\pm}_n(\tau)}{T_1}$ は, 何かしら
  求められると思うが, とりあえずパス.
}
.


% 以下, コメントアウト.
\iffalse
以下, メモ.

\begin{eqnarray}
  \DP{F_n^+(\tau)}{\tau} &=& \gamma_{1,n} F_n^+(\tau) - \gamma_{2,n} F_n^-(\tau) - S_n^+
\\
  \DP{F_n^-(\tau)}{\tau} &=& \gamma_{2,n} F_n^+(\tau) - \gamma_{1,n} F_n^-(\tau) + S_n^+
\\
  S_n^+ &=& \gamma_{3,n} \pi F_s \varpi_0 \exp\left( -\frac{\tau_c + \tau}{\mu_0} \right)
          + 2 \left( 1 - \varpi_{0,n} \right) \pi B(\tau)
\\
  S_n^- &=& \gamma_{4,n} \pi F_s \varpi_0 \exp\left( -\frac{\tau_c + \tau}{\mu_0} \right)
          + 2 \left( 1 - \varpi_{0,n} \right) \pi B(\tau)
\end{eqnarray}
%
上記の式では, $\tau$ は $n$ 層目の上端からの光学的厚さであり, $\tau_c$ は, 
第 $n$ 層より上部にある層の光学的厚さの和である. つまり, 
%
\begin{eqnarray}
  \tau_c = \sum_{n+1}^{kmax} \tau_n
\end{eqnarray}
%
である.

このとき, 各層の方程式の境界条件は下のように書ける.
%
\begin{eqnarray}
\end{eqnarray}

\fi


