% 表題   DCPAM5 第1部 物理過程 放射 数理モデル
%
% 履歴 
%\Drireki{93/03/18 沼口敦・保坂征宏}
%\Drireki{2010/04/14 高橋芳幸}
%\Drireki{2010/11/04 石渡正樹}
%\Drireki{2011/07/01 高橋芳幸}
%\Drireki{2012/05/04 高橋芳幸}
%

\section{共通部分: 数理表現}

\subsection{加熱率}

放射過程による加熱率は下のように表現される.
%
\begin{eqnarray}
  Q &=& - \frac{1}{C_p \rho} \DP{ F }{ z }
\\
    &=& \frac{ g }{ C_p } \DP{ F }{ p }
\\
  F &=& F_L + F_S
\end{eqnarray}
%
ここで, $F_L$, $F_S$ はそれぞれ長波放射フラックスと短波放射フラックスである.
%
このように, ほとんどの場合には長波放射と短波放射は別々に扱われる. 


\subsection{散乱を無視した場合の放射伝達方程式}
\Dseclab{radiation:math:non-scat-rte}

考える波数帯における透過率は別途何らかの方法で与えられるとすると, 
散乱を無視した場合の放射伝達方程式は下のように書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  F(\tau) &=& F^+(\tau) - F^-(\tau)
\\
  F(\tau)^+ &=& \pi B_s {\cal T}(\tau_s,\tau) 
    - \int_\tau^{\tau_s} \pi B(\tau') \DD{\cal T(\tau,\tau')}{\tau'} d\tau'
\\
  F(\tau)^- &=& 
      \int_0^{\tau} \pi B(\tau') \DD{\cal T(\tau,\tau')}{\tau'} d\tau'
\end{eqnarray}
%
ここで, $B$ はプランク関数, あるいはその積分値であり, $\cal T$ は透過率である. 
%
$B$ は, 
%
\begin{eqnarray}
  \pi B(\tau) &=& \pi \int_{k_{min}}^{k_{max}} B \left( T(\tau) \right) dk
\\
  \pi B_s     &=& \pi \int_{k_{min}}^{k_{max}} B \left( T_s \right) dk
\end{eqnarray}
%
である. ここで, $k$ は波数である
\footnote{$B$ の文字がかぶっている.}.
特に灰色大気を考える場合には, ステファン・ボルツマン定数 $\sigma_{SB}$ を用いて, 
%
\begin{eqnarray}
  \pi B(\tau) &=& \sigma_{SB} T^4(\tau)
\\
  \pi B_s &=& \sigma_{SB} T_s^4
\end{eqnarray}
%
となる. 
%

なお, 下部境界にフラックスの値を与える場合には, 与える
フラックスを $F_{LB}$ として, $\pi B_s = F_{LB}$ とすればよい. 


透過率 ${\cal T}(\tau,\tau')$ は, 例えば光学的厚さが与えられる場合, 
下のように表される. 
%
\begin{eqnarray}
  {\cal T}(\tau,\tau')
    &=& {\cal T}(\tau(p),\tau(p')) \nonumber
\\
    &=& \exp[ - \alpha \{   | \tau_L(p) - \tau_L(p') | ]
\end{eqnarray}
%
$\alpha$ は散光因子である. 
%
光学的厚さはどのように与えても良いが, 例えば Schneider and Liu (2009) では, 
下のように与えている.
%
\begin{eqnarray}
  \tau_{L}(p) &=& \tau_{L,0} \left( \frac{p}{p_{0}} \right)^2
\end{eqnarray}
%
ここで, $p_{0}$, $\tau_{L,0}$ はそれぞれ基準気圧とその気圧での光学的厚さである. 

一方, Numaguti et al. (1992) の放射モデルでは, (k 分布法に似せた記述を
していることを除くと) 下のように与えている. 
%
\begin{eqnarray}
  \tau_{L}(p)
    &=&   k_{L,wv} \int_{z(p)}^\infty \rho q_{wv} dz' 
        + k_{L,da} \int_{z(p)}^\infty \rho dz'
\\
    &=&   k_{L,wv} \frac{1}{g} \int_0^p q_{wv} dp'
        + k_{L,da} \frac{p}{g}
\end{eqnarray}
%
ここで, $k_{L,wv}$, $k_{L,da}$ はそれぞれ水蒸気と乾燥大気の吸収係数であり, 
$q_{wv}$ は比湿である.

一方, バンドモデルを用いる場合は, 別途異なる表現で与えられる. 


\subsection{散乱を考慮した二流近似した放射伝達方程式}

ここでは, 一般化された二方向近似した放射伝達方程式 (e.g., Liou, 2002; 
Toon et al., 1989) について述べる. 
特に, 以下に示す式の定式化は, Toon et al. (1989) に従う.

散乱特性上の均質大気, あるいは均質大気層, に対する, 一般化された
二方向近似した放射伝達方程式は下のように書くことができる. 
%
\begin{align}
  \frac{\partial F^+}{\partial \tau} &= \gamma_{1} F^+ - \gamma_{2} F^- - S^+
\\
  \frac{\partial F^-}{\partial \tau} &= \gamma_{2} F^+ - \gamma_{1} F^- + S^-
\end{align}
%
ここで, 
%
\begin{align}
  S^+ &= \gamma_{3} \pi F_s \varpi_0 \exp\left( - \frac{\tau_c + \tau}{\mu_0} \right) + 2 \pi ( 1 - \varpi_0 ) B
\\
  S^- &= \gamma_{4} \pi F_s \varpi_0 \exp\left( - \frac{\tau_c + \tau}{\mu_0} \right) + 2 \pi ( 1 - \varpi_0 ) B
\end{align}
%
である. 
$\gamma_1$, $\gamma_2$, $\gamma_3$, $\gamma_4$ は, 放射伝達方程式の近似
方法によって異なる係数であり, 
($\delta$-)Eddington 法, ($\delta$-)Hemispheric mean 法における係数を
\Dtabref{radiation-math:two-stream-appox. RTE coefficients} に示す.
$\varpi_0$ は一次散乱アルベド, $g$ は非対称因子, 
$\pi F_s$ は大気上端での下向き入射放射
フラックス, $\mu_0$ は太陽天頂角である. 

\begin{table}[tb]
  \centering
  \caption{二流近似における放射伝達方程式の定数}
  \Dtablab{radiation-math:two-stream-appox. RTE coefficients}
  \begin{tabular}{|l|c|c|c|c|} \hline
  近似法
  & $\gamma_1$
  & $\gamma_2$
  & $\gamma_3$
  & $\gamma_4$
  \\ \hline
  Eddington
  & $  \displaystyle \frac{7 - \varpi_0 ( 4 + 3 g )}{4}$
  & $- \displaystyle \frac{1 - \varpi_0 ( 4 - 3 g )}{4}$
  & $  \displaystyle \frac{2 - 3 g \mu_0}{4}$
  & $  1 - \gamma_3$
  \\ \hline
  Hemispheric mean
  & $  2 - \varpi_0 ( 1 + g )$
  & $  \varpi_0 ( 1 - g )$
  & $  \displaystyle \frac{2 - 3 g \mu_0}{4}$
  & $  1 - \gamma_3$
  \\ \hline
  \end{tabular}
  \\
  なお, Hemispheric mean 法は, 一般に太陽放射に対しては用いないため, 
  Toon et al. (1989) では $\gamma_3$, $\gamma_4$ の値は示されていない. 
  ここでは, 一般化のために示している.
  実際には, $\gamma_3$, $\gamma_4$ は, $\delta$-Eddington 法と Hemilspheric
  mean 法で同じと考えられる.
\end{table}


また, その解, $F^\pm_{tot}$, は下のように
書くことができる. 
%
\begin{eqnarray}
  F^\pm_{tot}(\tau) &=& F^\pm(\tau) + F^\pm_{dir}(\tau)
  \Deqlab{radiation:math:twostream:analsol:Ftot}
\\
  F^+(\tau) &=& k_1 \exp( \lambda \tau ) + \Gamma k_2 \exp( -\lambda \tau ) + C^+(\tau)
\\
  F^-(\tau) &=& \Gamma k_1 \exp( \lambda \tau ) + k_2 \exp( -\lambda \tau ) + C^-(\tau)
\\
  F^+_{dir,n}(\tau) &=& 0
\\
  F^-_{dir,n}(\tau) &=& \mu_0 \pi F_s \exp\left( - \frac{\tau}{\mu_0} \right)
\\
  C^+(\tau) &=& \frac{ \varpi_0 \pi F_s \exp\left( -\frac{\tau}{\mu_0} \right)
                       \left\{ \left( \gamma_1 - \frac{1}{\mu_0} \right) \gamma_3 + \gamma_4 \gamma_2 \right\} }
                     {\lambda^2 - \frac{1}{\mu_0^2}} 
%\nonumber \\
%            &+& 2 \pi \mu_1 
%                  \left\{ 
%                      B_0 
%                    + B_1 \left( \tau + \frac{1}{\gamma_1 + \gamma_2} \right) 
%                  \right\}
\nonumber \\
            &+& 2 \mu_1 
                  \left\{ 
                      B_0 
                    + B_1 \left( \tau + \frac{1}{\gamma_1 + \gamma_2} \right) 
                  \right\}
\\
  C^-(\tau) &=& \frac{ \varpi_0 \pi F_s \exp\left( -\frac{\tau}{\mu_0} \right)
                       \left\{ \left( \gamma_1 + \frac{1}{\mu_0} \right) \gamma_4 + \gamma_2 \gamma_3 \right\} }
                     {\lambda^2 - \frac{1}{\mu_0^2}}
%\nonumber \\
%            &+& 2 \pi \mu_1 
%                  \left\{ 
%                      B_0 
%                    + B_1 \left( \tau - \frac{1}{\gamma_1 + \gamma_2} \right) 
%                  \right\}
\nonumber \\
            &+& 2 \mu_1 
                  \left\{ 
                      B_0 
                    + B_1 \left( \tau - \frac{1}{\gamma_1 + \gamma_2} \right) 
                  \right\}
\\
  \lambda &=& \left( \gamma_1^2 - \gamma_2^2 \right)^{1/2}
\\
  \Gamma  &=& \frac{\gamma_2}{\gamma_1 + \lambda}
\\
%  B_0     &=& B(\tau=0)
%\\
  B_0     &=& \pi B(\tau=0)
\\
%  B_1     &=& \frac{ B(\tau=\tau_s) - B(\tau=0) }{\tau_s}
%\\
  B_1     &=& \frac{ \pi B(\tau=\tau_s) - \pi B(\tau=0) }{\tau_s}
\\
  \mu_1   &=& \frac{ 1 - \varpi_0 }{ \gamma_1 - \gamma_2 }
  \Deqlab{radiation:math:twostream:analsol:mu1}
\end{eqnarray}
%
ここで, $C^{+/-}$ を求める際には, 大気中のプランク関数が光学的厚さに
対して線形に依存することを仮定している.
また, $\tau_s$ は大気全体の光学的厚さ, あるいは, 考える均質大気層の
光学的厚さである.
$k_1$, $k_2$ は定数であり, 境界条件により決める. 

境界条件は下のように与える.
%
\begin{eqnarray}
  F^+(\tau_s) &=& A_{sfc} F^-(\tau_s) + S_{sfc}
  \Deqlab{radiation:math:twostream:bc:F+}
\\
  F^-(0) &=& F^-_{TOA}
\\
  S_{sfc} &=&
      A_{sfc} \mu_0 \pi F_s \exp\left( - \frac{\tau_s}{\mu_0} \right) 
    + \epsilon \pi B_{sfc}
  \Deqlab{radiation:math:twostream:bc:Ssfc}
\end{eqnarray}
%
ここで, $A_{sfc}$, $\pi F_s$, $\epsilon$, $B_{sfc}$ は, それぞれ
下部境界のアルベド, 短波入射フラックス, 下部境界の射出率, 
下部境界のプランク関数である. 
$F^-_{TOA}$ は大気上端における下向き拡散フラックスであり, 
一般に $F^-_{TOA} = 0$ である.


% commented out by yot (2012/05/07)
\iffalse
ここでは, $\delta$-Eddington 
近似の際に用いる係数を以下に示す.
%
\begin{eqnarray}
  \gamma_1 &=& \frac{7 - \varpi_0 ( 4 + 3 g )}{4}
\\
  \gamma_2 &=& - \frac{1 - \varpi_0 ( 4 - 3 g )}{4}
\\
  \gamma_3 &=& \frac{2 - 3 g \mu_0}{4}
\\
  \gamma_4 &=& 1 - \gamma_3
\end{eqnarray}
\fi


さらに, $\delta$-調整 ($\delta$-adjustment) を行うため, 
$\tau$, $\varpi_0$, $g$ は
元々の値... を用いて下のように求める. 


... いずれ...

% 以下, コメントアウト (yot, 2011/07/01).
\iffalse

%
\begin{eqnarray}
  \DP{F^+(\tau)}{\tau} &=& \gamma_1 F^+(\tau) - \gamma_2 F^-(\tau) - S^+
\\
  \DP{F^-(\tau)}{\tau} &=& \gamma_2 F^+(\tau) - \gamma_1 F^-(\tau) + S^+
\end{eqnarray}
%
ここで, $\gamma_1$, $\gamma_2$ は, 後述する係数である. 
また, $S^+$, $S^-$ は下のように書ける. 
%
\begin{eqnarray}
  S^+ &=& \gamma_3 \pi F_s \varpi_0 \exp\left( -\frac{\tau}{\mu_0} \right) 
%          + 2 \left( 1 - \varpi_0 \right) \pi B(\tau)
\\
  S^- &=& \gamma_4 \pi F_s \varpi_0 \exp\left( -\frac{\tau}{\mu_0} \right)
%          + 2 \left( 1 - \varpi_0 \right) \pi B(\tau)
\end{eqnarray}
%
ここで, $\gamma_3$, $\gamma_4$ は後述する係数であり, $\pi F_s$ は大気上端
での下向き入射フラックス, $\varpi_0$ は一次散乱アルベドである. 

\fi



\subsubsection{非射出均質大気における係数 $k_1$, $k_2$}

ここでは, 射出しない均質大気に対する, 係数 $k_1$, $k_2$ を示す
\footnote{
射出する大気に対してもここに示すように $k_1$, $k_2$ を求める
ことはできると思われるが, 
\Deqref{radiation:math:twostream:analsol:Ftot}--
\Deqref{radiation:math:twostream:analsol:mu1} を求めたときの条件, 
大気のプランク関数が光学的厚さに対して線型に変化する, ことは一般
には大気全体には成り立たないため, ここでは射出しない大気について
考える.
}
なお, このとき, 均質大気であるから, 一次散乱アルベド, 非対称因子は
鉛直方向に一様である. 

この時, 解は, \Deqref{radiation:math:twostream:analsol:Ftot}--
\Deqref{radiation:math:twostream:analsol:mu1} より, 下のように
なる. 
%
\begin{eqnarray}
  F^\pm_{tot}(\tau) &=& F^\pm(\tau) + F^\pm_{dir}(\tau)
\\
  F^+(\tau) &=& k_1 \exp( \lambda \tau ) + \Gamma k_2 \exp( -\lambda \tau ) + C^+(\tau)
\\
  F^-(\tau) &=& \Gamma k_1 \exp( \lambda \tau ) + k_2 \exp( -\lambda \tau ) + C^-(\tau)
\\
  F^+_{dir,n}(\tau) &=& 0
\\
  F^-_{dir,n}(\tau) &=& \mu_0 \pi F_s \exp\left( - \frac{\tau}{\mu_0} \right)
\\
  C^+(\tau) &=& \frac{ \varpi_0 \pi F_s \exp\left( -\frac{\tau}{\mu_0} \right)
                       \left\{ \left( \gamma_1 - \frac{1}{\mu_0} \right) \gamma_3 + \gamma_4 \gamma_2 \right\} }
                     {\lambda^2 - \frac{1}{\mu_0^2}} 
\\
  C^-(\tau) &=& \frac{ \varpi_0 \pi F_s \exp\left( -\frac{\tau}{\mu_0} \right)
                       \left\{ \left( \gamma_1 + \frac{1}{\mu_0} \right) \gamma_4 + \gamma_2 \gamma_3 \right\} }
                     {\lambda^2 - \frac{1}{\mu_0^2}}
\\
  \lambda &=& \left( \gamma_1^2 - \gamma_2^2 \right)^{1/2}
\\
  \Gamma  &=& \frac{\gamma_2}{\gamma_1 + \lambda}
\end{eqnarray}
%
また, 境界条件は, \Deqref{radiation:math:twostream:bc:F+}--
\Deqref{radiation:math:twostream:bc:Ssfc} より下のようになる.
%
\begin{eqnarray}
  F^+(\tau_s) &=& A_{sfc} F^-(\tau_s) + S_{sfc}
\\
  F^-(0) &=& F^-_{TOA}
\\
  S_{sfc} &=&
      A_{sfc} \mu_0 \pi F_s \exp\left( - \frac{\tau_s}{\mu_0} \right) 
\end{eqnarray}
%
以上の境界条件を適用することで, $k_1$, $k_2$ は下のように求められる.
%
\begin{align}
  k_1 &= \frac{ F_{TOA}^- - k_2 - C^-(0) }{\Gamma}
\\
  k_2 &= 
    \frac{   \left( A_{sfc} \Gamma - 1 \right) \left\{ F_{TOA}^- - C^-(0) \right\} \exp\left( \lambda \tau_s \right) 
           + \Gamma \left[ - C^+(\tau_s) + A_{sfc} \left\{ C^-(\tau_s) + \mu_0 \pi F_s \exp\left( - \frac{\tau_s}{\mu_0} \right) \right\} \right] }
         {    \left( A_{sfc} \Gamma - 1 \right) \exp\left( \lambda \tau_s \right) 
           -  \left( A_{sfc} - \Gamma \right) \Gamma \exp\left( - \lambda \tau_s \right) }
\end{align}


