% 表題   DCPAM5  コード解説 -- 力学過程 -- 格子点データからスペクトルデータへ
%
% 履歴
%\Drireki{2009/07/11  森川 靖大}
%\Drireki{2009/02/24  森川 靖大}

\section{格子点値からスペクトル値への変換}

地形, $t-\Delta t$の予報変数 $\Iarray{xy\_*B},
\Iarray{xyz\_*B}$,
および
物理過程の時間変化項 $\Iarray{xy\_D*DtPhy}, \Iarray{xyz\_D*DtPhy}$
の格子点値から, スペクトル値を算出する.
この節でも\ref{subsec:スペクトル時間変化項の計算}節と同様に, 
$\widetilde{[ \hspace{0.5cm} ]}^{m}_{n}$と記載されるべき
表記を, 変数名を記載する関係からチルダを省略して
$[ \hspace{0.5cm} ]^{m}_{n}$と記載する. 

\subsection{地形}
%
\vspace{-3ex}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-sptend:地形の格子点値をスペクトル値に}
  \underbrace{ \Phi^{m}_{s,n} }_{\Oarray{w\_SurfGeoPot}}
   =  \overbrace{
           \bigl[ \!\!
              \underbrace{ g }_{\!\!\!\!\!\!\!\Carray{Grav}}
              \underbrace{ z_{s,ij} }_{\Iarray{xy\_SurfHeight} \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}
           \!\! \bigr]^{m}_{n}.
      }^{\Farray{w\_xy}}
\end{align}
%

\subsection{$t-\Delta t$の予報変数}
%
この節の変数はすべて時間ステップ $t-\Delta t$ の値である.
簡単化のため $(t-\Delta t)$ の表記を省略する. 
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-sptend:渦度の格子点値をスペクトル値に}
 \begin{split}
  \underbrace{
     \tilde{\zeta}^{m}_{k,n}
  }_{\Oarray{wz\_VorB}}
   &=
            \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}}
            \biggl(
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \Dinv{1-\mu^2}
                        \DP{\overbrace{{V}_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Warray{xyz\_VCosLatB}
                              \!\!\!\!\!}}{\lambda}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}}
                - \underbrace{
                    \biggl[
                        \DP{\overbrace{{U}_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Warray{xyz\_UCosLatB}
                              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}}
            \biggr),
 \end{split}
\end{align}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-sptend:発散の格子点値をスペクトル値に}
 \begin{split}
  \underbrace{
     \tilde{D}^{m}_{k,n}
  }_{\Oarray{wz\_DivB}}
   &=
            \Dinv{a}
            \biggl(
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \Dinv{1-\mu^2}
                        \DP{\overbrace{U_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Warray{xyz\_UCosLatB}
                              \!\!\!\!\!}}{\lambda}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}}
                + \underbrace{
                    \biggl[
                        \DP{\overbrace{V_{ijk}}^{\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
                              \Warray{xyz\_VCosLatB}
                              \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!}}{\mu}
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}}
            \biggr)  , 
 \end{split}
\end{align}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-sptend:t-Δt温度の格子点値をスペクトル値に}
  \underbrace{ T^{m}_{k,n} }_{\Oarray{wz\_TempB}}
   & = \overbrace{
             \bigl[ \!\!
                \underbrace{ T_{ijk} }_{\Iarray{xyz\_TempB}}
             \!\! \bigr]^{m}_{n},
       }^{\Farray{wa\_xya}}
 \\
  \Deqlab{code-sptend:t-Δt比湿の格子点値をスペクトル値に}
  \underbrace{ q^{m}_{k,n} }_{\Oarray{wz\_QVapB}}
   & = \overbrace{
             \bigl[ \!\!
                \underbrace{ q_{ijk} }_{\Iarray{xyz\_QVapB}}
             \!\! \bigr]^{m}_{n},
       }^{\Farray{wa\_xya}}
 \\
  \Deqlab{code-sptend:t-Δt地表面気圧の格子点値をスペクトル値に}
  \underbrace{ \pi^{m}_{n} }_{\Oarray{wz\_PiB}}
   & = \overbrace{
             \bigl[ 
                \ln \!\! \underbrace{ p_{s,ijk} }_{\Iarray{xy\_PsB}}
             \!\! \bigr]^{m}_{n}.
       }^{\Farray{w\_xy}}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-sptend:Ｕの定義}
  \underbrace{U_{ijk}}_{\Warray{xyz\_UCosLatB}}
    & = \overbrace{u_{ijk}}^{\Iarray{xyz\_UB}}
        \underbrace{\cos \varphi,}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_CosLat}\!\!\!\!\!\!}
\end{align}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-sptend:Ｖの定義}
  \underbrace{V_{ijk}}_{\Warray{xyz\_VCosLatB}}
    & = \overbrace{v_{ijk}}^{\Iarray{xyz\_VB}}
        \underbrace{\cos \varphi}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_CosLat}\!\!\!\!\!\!}
\end{align}
%
である. 

\subsection{物理過程の時間変化項}
%
外力として与えられた物理過程の時間変化項 $\Iarray{xyz\_D*DtPhy}$
をスペクトル値に変換し, 
\ref{subsec:スペクトル時間変化項の計算}節で得られた非重力波項
と足し合わせる.
以下の式の左辺$\left(\hspace{1em} \right)^{\rm phy}$に対応する変数は
無く, 非重力波項との和が$\Oarray{wz\_D*DtN}$に上書きされる. 
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-sptend:物理過程の渦度時間変化の格子点値をスペクトル値に}
 \begin{split}
    \biggl( \DP{\tilde{\zeta}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm phy}
   &=       \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}}
            \biggl(
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \Dinv{1-\mu^2}
                        \DP{}{\lambda}
                        \!\!\!\!\!\!
                        \overbrace{
                          \biggl( \DP{V_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}
                        }^{\Warray{xyz\_DVDtPhyCosLat}}
                        \!\!\!\!\!\!
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}}
                - \underbrace{
                    \biggl[
                        \DP{}{\mu}
                        \!\!\!\!\!\!
                        \overbrace{
                          \biggl( \DP{U_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}
                        }^{\Warray{xyz\_DUDtPhyCosLat}}
                        \!\!\!\!\!\!
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}}
            \biggr),
 \end{split}
\end{align}
%
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-sptend:物理過程の発散時間変化の格子点値をスペクトル値に}
 \begin{split}
  \biggl( \DP{\tilde{D}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm phy}
   &=       \underbrace{\Dinv{a}}_{\Carray{RPlanet}}
            \biggl(
                  \underbrace{
                    \biggl[
                        \Dinv{1-\mu^2}
                        \DP{}{\lambda}
                        \!\!\!\!\!\!
                        \overbrace{
                          \biggl( \DP{U_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}
                        }^{\Warray{xyz\_DUDtPhyCosLat}}
                        \!\!\!\!\!\!
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivLambda\_xya}}
                + \underbrace{
                    \biggl[
                        \DP{}{\mu}
                        \!\!\!\!\!\!
                        \overbrace{
                          \biggl( \DP{V_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}
                        }^{\Warray{xyz\_DVDtPhyCosLat}}
                        \!\!\!\!\!\!
                    \biggr]^{m}_{n}
                  }_{\Farray{wa\_DivMu\_xya}}
            \biggr),
 \end{split}
\end{align}
%
\begin{align}
  \Deqlab{code-sptend:物理過程の温度時間変化の格子点値をスペクトル値に}
  \biggl( \DP{\tilde{T}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm phy}
   & =
     \overbrace{
             \biggl[ \!\!
                \underbrace{
                    \biggl( \DP{T_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}
                }_{\Iarray{xyz\_DTempDtPhy}}
             \!\! \biggr]^{m}_{n},
       }^{\Farray{wa\_xya}}
 \\
  \Deqlab{code-sptend:物理過程の比湿時間変化の格子点値をスペクトル値に}
  \biggl( \DP{\tilde{q}^{m}_{k,n}}{t} \biggr)^{\rm phy}
   & =
     \overbrace{
             \biggl[ \!\!
                \underbrace{
                    \biggl( \DP{q_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}
                }_{\Iarray{xyz\_DQVapDtPhy}}
             \!\! \biggr]^{m}_{n}.
       }^{\Farray{wa\_xya}}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-sptend:物理過程のdＵ/dtの定義}
   \underbrace{
     \biggl( \DP{U_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}
   }_{\Warray{xyz\_DUDtPhyCosLat}}
    & =      
        \overbrace{\biggl( \DP{u_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}}^{\Iarray{xyz\_DUDtPhy}}
        \underbrace{\cos \varphi,}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_CosLat}\!\!\!\!\!\!}
\end{align}
%
\begin{align}
 \Deqlab{code-sptend:物理過程のdＶ/dtの定義}
   \underbrace{
     \biggl( \DP{V_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}
   }_{\Warray{xyz\_DVDtPhyCosLat}}
    & =      
        \overbrace{\biggl( \DP{u_{ijk}}{t} \biggr)^{\rm phy}}^{\Iarray{xyz\_DVDtPhy}}
        \underbrace{\cos \varphi,}_{\!\!\!\!\!\!\Carray{xy\_CosLat}\!\!\!\!\!\!}
\end{align}
%
である. 

