% 表題   DCPAM5  力学過程の支配方程式の導出 -- モデル支配方程式
%
% 履歴 
%\Drireki{2009/03/03 森川靖大}
%\Drireki{2008/06/16 森川靖大}
%\Drireki{2008/03/25 森川靖大・石渡正樹}
%\Drireki{1997/04/15 赤堀浩司}
%\Drireki{1994/04/13 石渡正樹}
%

\section{モデル支配方程式}
\Dseclab{モデル支配方程式}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{渦度方程式}

渦度の定義を再掲する. 
    \begin{align}
      \zeta \equiv  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
                  - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi).
    \end{align}


運動方程式の $u$ の式
\Deqref{運動方程式(東西)のσ座標プリミティブ}
に$\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \cos \varphi$ を 
作用し, $v$ の式
\Deqref{運動方程式(南北)のσ座標プリミティブ}
に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}$ を 
作用し, この両式の差をとって変形すれば次の渦度方程式を得る. 
    \begin{align}
      \Deqlab{渦度方程式初出}
          \DP{\zeta}{t}
      & = - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} 
            ( \zeta v \cos  \varphi )
          -  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} 
            ( \zeta u )                \nonumber \\
      & \quad
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
            \left[   \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
                   + \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\varphi}
                   - {\cal F}_{\varphi} + f u \right]  \nonumber \\
      & \quad
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
            \left[   - \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
                  - \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\lambda}
                  + {\cal F}_{\lambda} \cos \varphi + f v \cos \varphi \right].
    \end{align}

(証明) \hspace{1cm}
\Deqref{運動方程式(東西)のσ座標プリミティブ}, 
\Deqref{運動方程式(南北)のσ座標プリミティブ}のそれぞれ左辺第1項を,
\Deqref{ラグランジュ微分σ座標}, \Deqref{σドット定義}
を用いて展開すると以下のようになる.
    \begin{align}
      \Deqlab{運動方程式(東西)のσ座標ラグランジュ}
           \DP{u}{t}
         + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
         + \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi}
         + \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma}
         - fv
         - \frac{uv}{a} \tan \varphi
     & = - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda}
         - \frac{R^d T_v}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
         + {\cal F}_{\lambda} ,
     \\
      \Deqlab{運動方程式(南北)のσ座標ラグランジュ}
           \DP{v}{t}
         + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
         + \frac{v}{a}              \DP{v}{\varphi}
         + \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma}
         + fu
         + \frac{u^2}{a} \tan \varphi
     & = - \frac{1}{a}              \DP{\Phi}{\varphi}
         - \frac{R^d T_v}{a}  \DP{\pi}{\varphi}
         + {\cal F}_{\varphi}.
    \end{align}
\Deqref{運動方程式(南北)のσ座標ラグランジュ}
に $\DP{}{\lambda}$ を作用した式から
\Deqref{運動方程式(東西)のσ座標ラグランジュ}
に $\DP{}{\varphi} \cos \varphi$ を 
作用した式を引くことで,
    \begin{align}
     \Deqlab{渦度方程式導出の過程1}
      & \quad
           \DP{}{\lambda} \left( \DP{v}{t} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a}              \DP{v}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{5em}
         + \DP{}{\lambda} \left( fu \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u^2}{a} \tan \varphi \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{1}{a}              \DP{\Phi}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{R^d T_v}{a}  \DP{\pi}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( {\cal F}_{\varphi} \right)
      \nonumber \\
      & 
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{u}{t} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{u}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{5em}
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi fv \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \frac{uv}{a} \sin \varphi \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \frac{1}{a} \DP{\Phi}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi {\cal F}_{\lambda} \right)
      = 0 .
    \end{align}
\Deqref{渦度方程式導出の過程1}の$\Phi$に関する
項 (左辺第7項と第16項) は打ち消しあって消える.
その他の項は以下のように整理される.

時間微分の項 (第1項と第10項): 
    \begin{align}
     \Deqlab{渦度方程式導出の過程・時間微分の項の整理}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \DP{v}{t} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{u}{t} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{t} \left\{ \DP{v}{\lambda} \right\}
         - \DP{}{t} \left\{ \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right) \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{t}
             \left\{
                 \DP{v}{\lambda}
               - \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           a \cos \varphi \DP{\zeta}{t}. 
    \end{align}

速度の2階水平微分の項その1 (第3, 12, 15項):
    \begin{align}
     \Deqlab{渦度方程式導出の過程・速度の2階水平微分その1の整理}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a}              \DP{v}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \frac{uv}{a} \sin \varphi \right)
     \nonumber \\
     = &
           \frac{1}{a} \DP{v}{\lambda} \DP{v}{\varphi}
         + \frac{v}{a} \DP{{}^2 v}{\varphi \partial \lambda} 
         - \DP{}{\varphi}
             \left\{ \frac{v}{a} 
               \left(
                   \cos \varphi \DP{u}{\varphi}
                 + u            \DP{\cos \varphi}{\varphi}
               \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{v}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi}
             \left\{ \frac{v}{a}
               \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi}
             \left\{
               \left(
                   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
                 - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
               \right)
                 v \cos \varphi
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \zeta v \cos \varphi \right) .
    \end{align}


速度の2階水平微分の項その2 (第2, 6, 11項):
    \begin{align}
     \Deqlab{渦度方程式導出の過程・速度の2階水平微分その2の整理}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u^2}{a} \tan \varphi \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{u}{\lambda} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u^2}{a} \tan \varphi \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a} \DP{u}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda}
             \left\{
               \frac{u}{a \cos \varphi}
                 \left(
                     u \sin \varphi
                   - \cos \varphi  \DP{u}{\varphi}
                 \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda}
             \left\{
               \frac{u}{a \cos \varphi}
                 \left(
                   - u \DP{\cos \varphi}{\varphi}
                   - \cos \varphi  \DP{u}{\varphi}
                 \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\lambda}
             \left\{
               \frac{u}{a \cos \varphi}
                 \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda} \left( \zeta u \right) .
    \end{align}
ここで, 2 行目の第3項の変形には, 
\Deqref{渦度方程式導出の過程・速度の2階水平微分その1の整理}の
2, 3 行目で第1項に対して用いた変形を用いた. 

\Deqref{渦度方程式導出の過程1}を
\Deqref{渦度方程式導出の過程・時間微分の項の整理}, 
\Deqref{渦度方程式導出の過程・速度の2階水平微分その1の整理}, 
\Deqref{渦度方程式導出の過程・速度の2階水平微分その2の整理}
を用いて整理し, 両辺に $\frac{1}{a \cos \varphi}$ を掛けることで,
\Deqref{渦度方程式初出}が得られる. 

\hspace{12cm}
(証明終り)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{発散方程式}

発散の定義を再掲する. 
    \begin{align}
      D \equiv   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
               + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi).
    \end{align}

運動方程式の $u$ の式
\Deqref{運動方程式(東西)のσ座標プリミティブ}
に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}$ を作用し, $v$ の式
\Deqref{運動方程式(南北)のσ座標プリミティブ}
に $\frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \cos \varphi$ を作用し,
両式の和をとって変形すると次の発散方程式を得る. 
    \begin{align}
      \Deqlab{発散方程式初出}
          \DP{D}{t}
      & = \quad
            \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda} 
            ( \zeta v )
          -  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} 
            ( \zeta u \cos \varphi)                \nonumber \\
      & \quad
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
            \left[   \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
                   + \frac{R^d T_v}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
                   - {\cal F}_{\lambda} - f v \right]  \nonumber \\
      & \quad
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
            \left[    \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
                   + \frac{R^d T_v}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi}
                   - {\cal F}_{\varphi} \cos \varphi + f u \cos \varphi \right]
                                                  \nonumber \\
      & \quad
          - \nabla^2_{\sigma} ( \Phi + KE).
    \end{align}
ここで, 
    \begin{align}
           \nabla^2_{\sigma} 
      & =   \frac{1}{a^2 \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
          + \frac{1}{a^2 \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
              \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right),   \\
            KE 
      & = \frac{u^2 + v^2}{2}.
    \end{align}

(証明) \hspace{1cm}
\Deqref{運動方程式(東西)のσ座標ラグランジュ}
に $\DP{}{\lambda}$ を作用した式と
\Deqref{運動方程式(南北)のσ座標ラグランジュ}
に $\DP{}{\varphi} \cos \varphi$ を作用した式との和をとることで,
    \begin{align}
     \Deqlab{発散方程式導出の過程1}
      & \quad
           \DP{}{\lambda} \left( \DP{u}{t} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{5em}
         - \DP{}{\lambda} \left( fv \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{uv}{a} \tan \varphi \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\lambda} \left( \frac{R^d T_v}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( {\cal F}_{\lambda} \right)
     \nonumber \\
      &
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{v}{t} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{v}{a}              \DP{v}{\varphi} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{5em}
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi fu \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \sin \varphi \frac{u^2}{a} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{1}{a}              \DP{\Phi}{\varphi} \right)
      \nonumber \\
      & \hspace{10em}
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{R^d T_v}{a}  \DP{\pi}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi {\cal F}_{\varphi} \right)
     = 0 .
    \end{align}
この式は以下のように整理される. 

時間微分の項 (第1項と第10項):
    \begin{align}
     \Deqlab{発散方程式導出の過程・時間微分の項の整理}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \DP{u}{t} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{v}{t} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{t} \left\{ \DP{u}{\lambda} \right\}
         + \DP{}{t} \left\{ \DP{}{\varphi} \left( v \cos \varphi \right) \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{t}
             \left\{
                 \DP{u}{\lambda}
               + \DP{}{\varphi} \left( v \cos \varphi \right)
             \right\}
     \nonumber \\
     = &
           a \cos \varphi \DP{D}{t}. 
    \end{align}

$\Phi$に関する項 (第7項と第16項):
    \begin{align}
     \Deqlab{発散方程式導出の過程・Φの項の整理}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{\Phi}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{1}{a}              \DP{\Phi}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           a \cos \varphi
           \left\{
              \frac{1}{a^2 \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
            + \frac{1}{a^2 \cos \varphi} \DP{}{\varphi}
                \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right)
           \right\} \Phi
     \nonumber \\
     = &
         a \cos \varphi \ \nabla^2_{\sigma} \Phi .
    \end{align}

速度の2階水平微分の項その1 (第2, 12項):
    \begin{align}
     \Deqlab{発散方程式導出の過程・速度の2階水平微分その1の整理}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{v}{a} \DP{v}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \frac{1}{2 a \cos \varphi} \DP[2]{u^2}{\lambda}
         + \frac{1}{2a} \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \DP{v^2}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \left\{
              \frac{1}{a \cos \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
            + \frac{1}{a} \DP{}{\lambda} \left( \cos \varphi \DP{}{\lambda} \right)
           \right\}
           \left( \frac{u^2 + v^2}{2} \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{u}{a} \DP{u}{\varphi} \right)
     \nonumber \\
     = &
           a \cos \varphi \ \nabla^2_{\sigma} KE
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{u}{a} \DP{u}{\varphi} \right) .
    \end{align}
第2項と第3項については, これ以降の項の整理の際に再登場する. 

速度の2階水平微分の項その2 (第3, 6項,
\Deqref{発散方程式導出の過程・速度の2階水平微分その1の整理}の第2項):
    \begin{align}
     \Deqlab{発散方程式導出の過程・速度の2階水平微分その2の整理}
       & 
           \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a}              \DP{u}{\varphi} \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{uv}{a} \tan \varphi \right)
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\lambda}
           \left\{
               \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
           \right\}
         - \DP{}{\lambda} \left( \frac{v}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda} \right)
     \nonumber \\
     = &
         - \DP{}{\lambda}
           \left\{
               v
               \left(
                   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
                 - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
               \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
         - \DP{}{\lambda} (\zeta v) . 
    \end{align}

速度の2階水平微分の項その3 (第11, 15項,
\Deqref{発散方程式導出の過程・速度の2階水平微分その1の整理}の第3項):
    \begin{align}
     \Deqlab{発散方程式導出の過程・速度の2階水平微分その3の整理}
       & 
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi} \left( \sin \varphi \frac{u^2}{a} \right)
         - \DP{}{\varphi} \left( \cos \varphi \frac{u}{a} \DP{u}{\varphi} \right) 
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         + \DP{}{\varphi}
           \left\{
             \frac{u}{a}
             \left(
                 u \sin \varphi
               - \cos \varphi \DP{u}{\varphi}
             \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi}
           \left\{
             \frac{u}{a}
             \left(
                 u \DP{\cos \varphi}{\varphi}
               + \cos \varphi \DP{u}{\varphi}
             \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \frac{u}{a} \DP{v}{\lambda} \right)
         - \DP{}{\varphi}
           \left\{
             \frac{u}{a} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi}
           \left\{
             u \cos \varphi
             \left(
                 \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
               - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} \left( u \cos \varphi \right)
             \right)
           \right\}
     \nonumber \\
     = &
           \DP{}{\varphi} \left( \zeta u \cos \varphi \right) .
    \end{align}

\Deqref{発散方程式導出の過程1}を
\Deqref{発散方程式導出の過程・時間微分の項の整理}, 
\Deqref{発散方程式導出の過程・Φの項の整理}, 
\Deqref{発散方程式導出の過程・速度の2階水平微分その1の整理}, 
\Deqref{発散方程式導出の過程・速度の2階水平微分その2の整理}, 
\Deqref{発散方程式導出の過程・速度の2階水平微分その3の整理}
を用いて整理し, 両辺に $\frac{1}{a \cos \varphi}$ を掛けることで,
\Deqref{発散方程式初出}が得られる. 

\hspace{12cm}
(証明終り)

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{熱力学の式}
%\vspace{-5ex}

\Deqref{熱力学の式σ座標}より
%
\begin{align}
 \begin{split}
%   \DD{T}{t}
%    \ &= \
%            \frac{R^d T_v}{C_p^d}
%            \left\{   \DP{\pi}{t} 
%                    + \Dvect{v}_H \cdot \nabla_{\sigma} \pi
%                    + \frac{\dot{\sigma}}{\sigma}
%            \right\}
%          + \frac{Q^*}{C_p^d}, \\
   \DP{T}{t}
    \ &= \
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \DP{(u T)}{\lambda}
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \DP{(v T \cos \varphi)}{\varphi}
          + T D \\
    \ & \ \quad
       - \dot{\sigma} 
              \DP{T}{\sigma}
       + \kappa T_v
           \left(
                   \DP{\pi}{t}
                 + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
                 + \frac{v}{a} \DP{\pi}{\varphi}
                 + \frac{ \dot{\sigma} }{ \sigma } 
           \right)
       + \frac{Q^{*}}{C_p} .
 \end{split}
\end{align}
%
ここで,
%
\begin{align}
  \kappa = \frac{R^d}{C_p^d}
\end{align}
%
である. 

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{温度の基本場とずれの分離}

仮温度 $T_v$ を次のように $\sigma$ のみに依存する場 
$\overline{T}_v(\sigma)$ と, そこからのずれ成分 $T'_v$ にわけて記述する.

渦度方程式で $T_v$ を含む項は次のように変形される。
    \begin{align}
        & 
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
          + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d T_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \nonumber \\
      = &
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d \overline{T}_v}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
        \nonumber \\
        & 
          + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d \overline{T}_v}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
          + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \nonumber \\
      = &
        - \frac{1}{a \cos \varphi}
        \left\{
            \frac{R^d \overline{T}_v}{a} \DP{{}^2 \pi}{\lambda \partial \varphi}
          + \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
          - \frac{R^d \overline{T}_v}{a} \DP{{}^2\pi}{\varphi \partial \lambda}
          - \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \right\}
        \nonumber \\
      = &
        - \frac{1}{a \cos \varphi}
        \left\{
            \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\varphi} \right]
          - \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \right\} .
    \end{align}
%
発散方程式で $T_v$ を含む項は次のように変形される.
    \begin{align}
        & 
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d T_v}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d T_v}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right]
        \nonumber \\
      = &
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d \overline{T}_v}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \nonumber \\
        & 
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d \overline{T}_v}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right]
        \nonumber \\
      = &
          - \frac{1}{a^2 \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda}
              \left( R^d \overline{T}_v \pi \right)
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
        \nonumber \\
        & 
          - \frac{1}{a^2 \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \cos \varphi \DP{}{\varphi} \left( R^d \overline{T}_v \pi \right) \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right]
        \nonumber \\
      = &
          - \nabla_{\sigma}^2 \left( R^d \overline{T}_v \pi \right)
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\lambda}
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} \right]
          - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi}     
              \left[ \frac{R^d T_v^{\prime}}{a} \cos \varphi \DP{\pi}{\varphi} \right] .
    \end{align}
%
ここで
    \begin{align}
      \nabla_{\sigma}^{2}
            & \equiv 
                    \frac{1}{a^{2} \cos^2 \varphi} \DP[2]{}{\lambda} 
                  + \frac{1}{a^{2} \cos \varphi}
                     \DP{}{\varphi}
                       \left( \cos \varphi \DP{}{\varphi} \right)
    \end{align}
を用いた.

熱力学の式では, 温度 $T$ を $\sigma$ のみに依存する場 
$\overline{T}(\sigma)$ と, そこからのずれ成分 $T'$ にわけて記述する. 
すなわち, 右辺第1--3項は次のように変形される.
    \begin{align}
      & \quad
        - \Dinv{a \cos \varphi} \DP{(u T)}{\lambda}
        - \Dinv{a \cos \varphi} \DP{(v T \cos \varphi)}{\varphi}
        + T D
          \nonumber \\
      & =
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \left\{
                  \DP{(u \overline{T})}{\lambda}
                + \DP{(u T^{\prime})}{\lambda}
                + \DP{(v \overline{T} \cos \varphi)}{\varphi}
                + \DP{(v T^{\prime} \cos \varphi)}{\varphi}
              \right\}
          + \overline{T} D 
          + T^{\prime} D 
          \nonumber \\
      & =
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \left\{
                  \overline{T} \DP{u}{\lambda}
                + \DP{(u T^{\prime})}{\lambda}
                + \overline{T} \DP{(v \cos \varphi)}{\varphi}
                + \DP{(v T^{\prime} \cos \varphi)}{\varphi}
              \right\}
          \nonumber \\
      & \qquad \qquad
          + \overline{T}
              \left[
                  \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
                + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)
              \right]
          + T^{\prime} D 
          \nonumber \\
      & =
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \DP{(u T^{\prime})}{\lambda}
          - \Dinv{a \cos \varphi}
              \DP{(v T^{\prime} \cos \varphi)}{\varphi}
          + T^{\prime} D .
    \end{align}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{変数変換}

支配方程式系における変数を, モデル内部で用いている変数に変換する. まず,
$\mu \equiv \sin \varphi$ を導入する. また速度場 $u, v$ は$U \equiv u
\cos \varphi$, $V \equiv \cos \varphi$ に変換する.
このとき, 水平風の渦度 $\zeta$ と発散 $D$ は次のように
変換され, この表現をあらためて $\zeta$ および $D$ と定義する.
    \begin{align}
    \zeta & =   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{v}{\lambda}
         - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi)
       \nonumber \\
       & =   \frac{1}{a \cos^2 \varphi} \DP{v \cos \varphi}{\lambda}
           - \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( u \cos \varphi)
       \nonumber \\
       & =   \frac{1}{a ( 1- \mu^2 )} \DP{V}{\lambda}
           - \frac{1}{a} \DP{U}{\mu},
    \end{align}
    \begin{align}
    D & =   \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{u}{\lambda}
         + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)
       \nonumber \\
      & =   \frac{1}{a \cos^2 \varphi} \DP{u \cos \varphi}{\lambda}
         + \frac{1}{a \cos \varphi} \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi)
       \nonumber \\
      & =   \frac{1}{a ( 1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda}
         + \frac{1}{a} \DP{V}{\mu}.
    \end{align}
%
水平風による移流は次のように変換される.
%
    \begin{align}
     \Deqlab{ＵとＶを用いた移流の表現}
        \frac{u}{a \cos\varphi}\DP{\bullet}{\lambda}
        + \frac{v}{a} \DP{\bullet}{\varphi}
       & =  
          \frac{1}{a \cos^2 \varphi}
            \left\{ \DP{}{\lambda} (u \cos \varphi \bullet)
                 - \bullet \DP{}{\lambda} ( u \cos \varphi ) \right\}
          \nonumber \\
       & \quad
        + \frac{1}{a \cos \varphi}
            \left\{ \DP{}{\varphi} (v \cos \varphi \bullet)
                 - \bullet \DP{}{\varphi} ( v \cos \varphi ) \right\}
          \nonumber \\
       & =  
          \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda} (U\bullet)
         -\frac{\bullet}{a (1-\mu^2)} \DP{U}{\lambda}
         +\frac{1}{a} \DP{}{\mu} (V\bullet)
         -\frac{\bullet}{a} \DP{V}{\mu}
          \nonumber \\
       & =  
          \frac{1}{a (1-\mu^2)} \DP{}{\lambda} (U\bullet)
         +\frac{1}{a} \DP{}{\mu} (V\bullet)
         -\bullet D.
    \end{align}
水平風による移流のもうひとつの記述を連続の式の変換のために示す.
    \begin{align}
         \frac{u}{a \cos\varphi} \DP{\bullet}{\lambda}
        + \frac{v}{a} \DP{\bullet}{\varphi}
       & =  
          \frac{u \cos \varphi }{a \cos^2 \varphi}\DP{\bullet}{\lambda}
        + \frac{v \cos \varphi }{a \cos \varphi } \DP{\bullet}{\varphi}
          \nonumber \\
       & =  
          \frac{U}{a (1-\mu^2)} \DP{\bullet}{\lambda} 
        + \frac{V}{a} \DP{\bullet}{\mu}
          \nonumber \\
       & \equiv 
        \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \bullet.
    \end{align}
%

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\subsection{支配方程式の最終形}
\Dseclab{モデル支配方程式--支配方程式}

以上を用いて方程式系を記述すれば次のようになる.

連続の式
    \begin{align}
      \DP{\pi}{t} + \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \pi 
        = - D - \DP{\dot{\sigma}}{\sigma}.
    \end{align}
静水圧の式
    \begin{align}
      \DP{\Phi}{\sigma} = - \frac{R^d T_v}{\sigma}.
    \end{align}
運動方程式
    \begin{align}
      \DP{\zeta}{t} 
         \ &= \ \Dinv{a}
               \left( \Dinv{1-\mu^2} \DP{V_A}{\lambda} - \DP{U_A}{\mu} \right), \\
%      \DP{\zeta}{t} 
%         \ &= \ \Dinv{a \cos \varphi}
%               \left\{ \DP{v_A}{\lambda} - \DP{(u_A \cos \varphi)}{\varphi} \right\}, \\
      \DP{D}{t} 
         \ &= \ \Dinv{a}
               \left( \Dinv{1-\mu^2} \DP{U_A}{\lambda} + \DP{V_A}{\mu} \right)
              - \nabla^{2}_{\sigma}
               ( \Phi + R \overline{T} \pi + \mbox{\sl KE} ) .
%      \DP{D}{t} 
%         \ &= \ \Dinv{a \cos \varphi}
%               \left\{ \DP{u_A}{\lambda} + \DP{(v_A \cos \varphi)}{\varphi} \right\}
%              - \nabla^{2}_{\sigma}
%               ( \Phi + R \overline{T} \pi + \mbox{\sl KE} ) .
    \end{align}
ここで,
     \begin{align}
        U_A\ (\varphi, \lambda, \sigma)
                    & \equiv
                          ( \zeta + f ) V
                        - \dot{\sigma} \DP{U}{\sigma} 
                        - \frac{R T_v^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\lambda} 
                        + {\cal F}_{\lambda} \cos \varphi, \\
%        u_A\ (\varphi, \lambda, \sigma)
%                    & \equiv
%                          ( \zeta + f ) v 
%                        - \dot{\sigma} \DP{u}{\sigma} 
%                        - \frac{R T_v^{\prime}}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda} 
%                        + {\cal F}_{\lambda}, \\
%
        V_A\ (\varphi, \lambda, \sigma)
                    & \equiv
                        - ( \zeta + f ) U
                        - \dot{\sigma} \DP{V}{\sigma} 
                        - \frac{R T_v^{\prime}}{a} (1-\mu^2) \DP{\pi}{\mu} 
                        + {\cal F}_{\varphi} \cos \varphi .
%        v_A\ (\varphi, \lambda, \sigma)
%                    & \equiv
%                        - ( \zeta + f ) u 
%                        - \dot{\sigma} \DP{v}{\sigma} 
%                        - \frac{R T_v^{\prime}}{a} \DP{\pi}{\varphi} 
%                        + {\cal F}_{\varphi} .
     \end{align}
熱力学の式
    \begin{align}
      \begin{split}
        \DP{T}{t}
        \ &= \
              - \Dinv{a}
                 \left(  \Dinv{1-\mu^2} \DP{U T'}{\lambda}
                        + \DP{V T'}{\mu}
                 \right)
              + T^{\prime} D \\
%        \ &= \
%              - \Dinv{a \cos \varphi}
%                 \left\{  \DP{(u T')}{\lambda}
%                        + \DP{(v T' \cos \varphi)}{\varphi}
%                 \right\}
%              + T^{\prime} D \\
        \ & \ \quad
           - \dot{\sigma} 
                  \DP{T}{\sigma}
           + \kappa T_v
               \left(
                       \DP{\pi}{t}
                     + \Dvect{v}_H \cdot \Dgrad_{\sigma} \pi 
%                     + \frac{u}{a \cos \varphi} \DP{\pi}{\lambda}
%                     + \frac{v}{a} \DP{\pi}{\varphi}
                     + \frac{ \dot{\sigma} }{ \sigma } 
               \right)
           + \frac{Q^{*}}{C_p} .
      \end{split}     
    \end{align}
水蒸気の式
    \begin{align}
      \DP{q}{t}
        \ &= \
              - \Dinv{a \cos \varphi}
                 \left(   \Dinv{1-\mu^2} \DP{U q}{\lambda}
                        + \DP{V q}{\mu}
                 \right)
%              - \Dinv{a \cos \varphi}
%                 \left\{  \DP{(u q)}{\lambda}
%                        + \DP{(v q \cos \varphi)}{\varphi}
%                 \right\}
              + q D 
              - \dot{\sigma} \DP{q}{\sigma}
              + S_{q} .
    \end{align}
%    \begin{align}
%      \DP{q}{t}
%        = - \frac{1}{a(1-\mu^{2})} 
%                   \DP{Uq}{\lambda}
%              - \frac{1}{a}
%                   \DP{Vq}{\mu}
%              + q D 
%           - \dot{\sigma} \frac{\partial q }{\partial \sigma}
%              + S_{q}.
%    \end{align}

\Deqref{内部エネルギー}で導入した $Q^*$ から粘性による寄与 
$C_p \mathcal{D}(\Dvect{v})$ を再び分離し, 
$Q^*=Q+C_p \mathcal{D}(\Dvect{v})$ とする. 一般に粘
性は運動方程式において適当なパラメタリゼーションによって表現する. また, 
渦度, 発散, 温度, 水蒸気の式に対してそれぞれ水平拡散項 $\mathcal{D}(\zeta)$,
$\mathcal{D}(D)$, $\mathcal{D}(T)$, $\mathcal{D}(q)$ をつける. 
この項の付加は主に数値的安定性の要請
によるものであるが, 物理的には後で行なう離散化のスケール以下の運動を表
現していると解釈できる. 最後に, 乾燥大気の気体定数および定圧比熱 
$R^d$, $C_p^d$ をそれぞれ $R$, $C_p$ のようにあらためて置きなおせば,
\Dmodel の力学過程の支配方程式系を得る.

