D. 湿潤飽和調節法の定式化

湿潤飽和調節を用いる段階では, 潜熱の開放による温位の変化を考えるので, 熱力学第一法則の非断熱項は無視する.

$$d\theta + \gamma dq_{v} = 0.$$ (D.1)

ただし $\gamma = L_{v}/(c_{p} \Pi)$ である. 相変化の効果を除いた予報方程 式を解くことで得られ た値を $[\theta]^{*}$, $[q_{v}]^{*}$, $[q_{c}]^{*}$, $[q_{r}]^{*}$ とし, 相変化の効果も含めたより真に近い値を $[\theta]^{t + \Delta t}$, $[q_{v}]^{t + \Delta t}$, $[q_{c}]^{t + \Delta t}$, $[q_{r}]^{t + \Delta t}$ する. この時, (D.1) 式は,

$$([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) = \gamma ([q_{v}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t})$$ (D.2)

となる. ここで過飽和を許さないので,

$$[q_{v}]^{t + \Delta t} = q_{sw}([\theta]^{t + \Delta t})$$

と表すことができる. ここで $q_{vsw}$ は飽和蒸気圧である. $q_{vsw}([\theta]^{t + \Delta t})$ を $[\theta]^{*}$ の回りで テーラー展開して 2 次の微小項以下を無視すると,

$$q_{sw}([\theta]^{t + \Delta t}) = q_{sw}([\theta]^{*}) + \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta} ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*})$$ (D.3)

となる. (D.3) 式を (D.2) 式に代入することに よって (3.52) 式が得られる.

$$([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) = \gamma \left( [q_{v}]^... ...q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta} ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) \right)$$

$$\left( 1 + \gamma \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta} \right) ([\t... ...a t} - [\theta]^{*}) = \gamma \left( [q_{v}]^{*} - q_{sw}([\theta]^{*}) \right)$$

$$[\theta]^{t + \Delta t} = [\theta]^{*} + \gamma \frac{[q_{v}]^{*} - q_{vsw}([\theta]^{*})} { 1 + \gamma \DP{q_{vsw}([\theta]^{*})}{\theta}}.$$ (D.4)

(3.53) 式は (D.2) 式から直接得ることがで きる.

$$([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) = \gamma ([q_{v}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t}) ,$$

$$[q_{v}]^{t + \Delta t} = [q_{v}]^{*} - ([\theta]^{t + \Delta t} - [\theta]^{*}) / \gamma.$$

(3.54) 式は水蒸気と雲水量の和が常に等しいという 条件から容易に得られる.

$$([q_{v}]^{*} + [q_{c}]^{*}) = ([q_{v}]^{t + \Delta t} + [q_{c}]^{t + \Delta t}) ,$$

$$[q_{c}]^{t + \Delta t} = [q_{v}]^{*} + [q_{c}]^{*} - [q_{v}]^{t + \Delta t} .$$ (D.5)