\section{��ǥ�}\label{��ǥ�}
\ref{������}�� �Ǥ�, \hcite{Matsuno66} ���Ѥ����Ƥ���
���������줿�����������Ϥ򵭤�. 
\ref{������}�� �Ǥ�, 
�絤�����ؤ�ͤ����Ȥ����������� 
��ľ�����α�ư�򤢤�魯��������������������ʬΥ��, 
���������ñ������.
\ref{̵������}��Ǥ�, 
��ľ�����ξ��֤��ꤷ, 
������Ф���������������̵��������, 
����ʹߤ��Ѥ�����������Ƴ��. 
\ref{������}�� �Ǥ�, ���Ϲ���໤, ����ब�Ĥꤢ�ä�
�����֤�Ĵ�ᤵ���ޤǤ���������ɽ��. 

\subsection{������������}\label{������}


�ϵ���絤���Τα�ư�����,  
��ʿĹ���������뤬���������������ٽ�ʬ���礭��
Ĺ��Ĺ�α�ư��ͤ��뤳�Ȥ�����Ȥ���. 
�ϵ��絤���絬�ϥ���������ͤȤ���
��¬����Ƥ�����ɽŪ���ͤϰʲ��Ǥ���(\cite{pei-oort}):
\begin{eqnarray*}
\textrm{��ʿĹ����������}& \; L & \approx  \qquad 10^{6} \;\rm{m} \\
\textrm{������������} & \;  D   & \approx  \qquad 10^{4} \;\rm{m}  \\
\textrm{��ʿ®�٥�������}& \; U & \approx  \qquad 10 \; \rm{ms^{-1}}  \\
\textrm{��ľ®�٥�������}& \; W & \approx  \qquad 10^{-2} \; \rm{ms^{-1}} \\
\textrm{��ľ���ϥ�������}& \; \Delta P & \approx \qquad 10 \; \rm{mb} = 10^{3}
 \; \rm{Pa}  \\
\textrm{���֥�������}& \; \tau = L/U & \approx  \qquad 10^{5} \; \rm{s}  
\end{eqnarray*}
�ޤ����Τ�, �絤����٤ƿ�ʿĹ������������Ф���
������������Ϥ���˾���������, 
���줫��Ԥ�����ϳ��Τ��絬�ϥ�������α�ư�ˤĤ��Ƥ�Ŭ�ѤǤ���. 

��ž�Ϥ��󰵽�, ��Ǵ���ν簵ή�Τ�
��ư�������ȼ�����¸§���Ф�, 
���ϳ�ʿ��, �ɽ�ľ���ɸ�Ϥ��ꤹ��. 
�ޤ�, ή��ɽ�̤ϼ�ͳ�˱�ư�Ǥ����ΤȤ���. 
 2 ���������̤����, ��������Ԥ��ȼ���������:
\begin{eqnarray}
 \DP{u}{t} - fv + g\DP{h}{x} = 0 ,\Deqlab{������}\\
 \DP{v}{t} + fu + g\DP{h}{y} = 0 ,\Deqlab{������}\\ 
\DP{h}{t} + H\left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right) = 0 .\Deqlab{������}
\end{eqnarray}
������, $(u,v)$ �Ϥ��줾�� $(x,y)$ ������ή®, $t$ �ϻ���, 
 $h$ ��ʿ�Ѥο��� $H$ ���Ф���ɽ�̤�����夬���������, 
 $f$ �ϥ��ꥪ��ѥ�᡼��, $g$ �Ͻ��ϲ�®�٤Ǥ���. 
���줬 \hcite{Matsuno66} ���Ѥ����Ƥ���
�����������ϤǤ���. 

 $h$ ������, 
 �����ݥƥ󥷥�� $\phi$ ��Ƴ������. 
 $\phi$ �ϼ�������������:
\begin{eqnarray*}
 \Dgrad \phi = \Dvect{g}.
\end{eqnarray*}
�����ˤ�� \Deqref{������}, \Deqref{������}, \Deqref{������}�� ��, 
\begin{eqnarray}
\DP{u}{t} - fv + \DP{\phi}{x} &=& 0 , \Deqlab{�����ܼ���}\\
\DP{v}{t} + fu + \DP{\phi}{y} &=& 0  ,\Deqlab{�����ܼ���}\\
\DP{\phi}{t} + c^2 \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right) &=& 0\Deqlab{�����ܼ���}
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�. ������, $c = \sqrt{gH}$ �Ͻ����Ȥ�®�٤Ǥ���. 

�����������Ϥ������̴֤�ή�α�ư�򵭽Ҥ��Ƥ���, 
�����ݥƥ󥷥����ؤθ�����ɽ��. 

\subsection{��������ή�Τ���������}\label{������}
 \Deqref{������}, \Deqref{������}, \Deqref{������}�� ��,  
 1 �ؤο�ʿ������ή�α�ư�򤢤�魯�������ϤǤ���.  
������Ф�, �����Ǥ�
��ľ������̩�����ؤ�ͤ��������������Ϥ򼨤�.

��ž�Ϥ��󰵽�, ��Ǵ��ή�Τ��Ф�, 
���ϳ�ʿ��, �ɽ�ľ���ɸ�Ϥ��ꤹ��. 
�ޤ�, ��ʿ�̤ˤ�̩�٤ϰ���Ǥ���, 
̩���Ѳ��αƶ������Ϥι�����ˤ������Ȥ���. 
���ζ���ϥ֥��ͥ�������Ȥ���. 
���ζ���ϲ��Ȥϼ�����, ���������Ȥϰ������Ȥ��Ǥ��뤳�Ȥ���, 
�ºݤε��ݸ��ݤ�ͤ�����ͭ�Ѥʶ���Ǥ���. 
�ޤ�ή®��, ʿ�Ѿ�� 0 �Ȥ�, ���������������ư�򤢤�魯�Ȥ���. 

�����β��꤫��Ƴ��������������줿�������Ϥ�ʲ��˵���. 

��ư������:
\begin{eqnarray}
 \DP{u}{t} - fv = -\frac{1}{\bar{\rho}_0}\DP{p}{x} \Deqlab{������}\\
 \DP{v}{t} + fu = -\frac{1}{\bar{\rho}_0}\DP{p}{y} \Deqlab{������}
\end{eqnarray}
������¸§:
\begin{eqnarray}
 \DP{u}{x} + \DP{v}{y} + \DP{w}{z} = 0 \Deqlab{������}
\end{eqnarray}
Ǯ�ϳؤμ�:
\begin{eqnarray}
 \DP{\rho}{t} + w\DP{\bar{\rho}(z)}{z} = Q \Deqlab{������}
\end{eqnarray}
�ſ尵ʿ�դμ�:
\begin{eqnarray}
 \DP{p}{z}  = - \rho g \Deqlab{������}
\end{eqnarray}

������, 
 $\bar{\rho}(z)$ �� $z$ �ˤ�����̩��, 
 $\bar{\rho}_0$ ������ʿ�Ѥ�̩��, 
 $\rho$ �� $\bar{\rho}_0$ ����������Ѱ̤Ȥ���. 
�ޤ��絤�β�Ǯ��ͤ�, Ǯ�� $Q$ ���������. 

\Deqref{������}, \Deqref{������}, \Deqref{������}�� �����������, 
\begin{eqnarray}
 \DP{}{t}
 \left[\DP{}{z}\left(\frac{1}{g\bar{\rho}_z}\DP{p}{z}\right)\right]
 + \DP{u}{x} + \DP{v}{y} 
= - \DP{}{z}\left(\frac{Q}{\bar{\rho}_z}\right)\Deqlab{������}
\end{eqnarray}
��������.  
������, $\bar{\rho}_z = \partial \bar{\rho} /\partial z$ �Ǥ���. 
 �ޤ�, 
\[
 \DP{}{z}\left(\frac{1}{g\bar{\rho}_z}\DP{p}{z}\right)
 \propto -\frac{p}{\bar{\rho}_0}
\]
�Ǥ���Ȥ���.  
\Deqref{������}�� �� \Deqref{������}�� �Ȥ��б���ͤ�, 
��������Ȥ��� $ 1/gH_*$ �����֤�
\begin{eqnarray}
 \DP{}{z}\left(\frac{1}{g\bar{\rho}_z}\DP{p}{z}\right)
 =- \frac{1}{gH_*} \frac{p}{\bar{\rho}_0}\Deqlab{������} 
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�. ��äƾ弰�� \Deqref{������}�� �����������
\begin{eqnarray}
 \DP{}{t}\left(\frac{p}{\bar{\rho}_0}\right)
 + gH_*\left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right) = -Q\Deqlab{������}
\end{eqnarray}
������. ������, \Deqref{������}�� ���դβ�Ǯ
  $\partial /\partial z(Q /\bar{\rho}_z)$ ��
 $Q$ ���֤�ľ����. 

 $H_*$ �ϼ��ζ������ˤ�ä���������:
\begin{eqnarray*}
 w = 0  \;\;\; &\rm{at}& \;\; z = 0 ,\\
 w = \DD{h}{t} \approx
 \DP{h}{t} \;\; &\rm{at}& \;\;z = H . 
\end{eqnarray*}
���ζ������ϼ��Τ褦���ѷ��Ǥ���.
\begin{eqnarray*}
 \DP{p}{z} &=& 0  \;\;\; \rm{at} \;\; z = 0\nonumber\\
 H_*p(z = H) &=& \int^H_0 p(z) dz\Deqlab{������}
\end{eqnarray*}
���ζ������ˤ��, 
\Deqref{������}�� �ϸ�ͭ�������ʤ�. 
���λ� $H_*$ �ϸ�ͭ�ͤǤ���, ��ͭ�ؿ��ϴ���ľ���������. 


 \Deqref{������},\Deqref{������},\Deqref{������}�� �η���
 \Deqref{������},\Deqref{������},\Deqref{������}�� �η���Ʊ���Ǥ���. 
��ä�, \Deqref{������},\Deqref{������},\Deqref{������}�� ��, 
$H_*$ ���Ф��������������ϤǤ���. �ޤ�, 
\Deqref{������}�� ����ľ������ή�α�ư�򤢤�魯������, 
���ʤ����ľ��¤�������Ȥ����Τ��Ф�, 
\Deqref{������},\Deqref{������},\Deqref{������}�� ��
��ʿ��¤�������Ȥ⤤��.  
\Deqref{������}, \Deqref{������}, \Deqref{������}, 
\Deqref{������}, \Deqref{������}�� ��, 
���� 2 ���������Ϥ�ʬΥ�Ǥ���. 
����ξ�Ԥ����������ӤĤ��뷸���� $H_*$ �Ǥ���, 
�������٤Ȥ���. 
��ä�, ��ľ��¤�������Υ⡼�ɤ��Ф����ͭ�� $H_*$ ������, 
�򤯤٤��������� $H_*$ ���Ф���
�����������Ϥ����Ȥʤ�, �������ϴ�ñ�������. 


�ޤ�, Ǯ�� $Q$ ��Ϳ���뤳�Ȥ�,  
\Deqref{������}�� �ˤ�����
���̤�ȴ�����Ȥ���������. 


\subsection{��ƻ�絤�η�����ǥ�}\label{̵������}
\Deqref{�����ܼ���}, \Deqref{�����ܼ���}, \Deqref{�����ܼ���}�� ��
���ꥪ��ѥ�᡼���ΰ����Ѳ��򼡤Τ褦�˶������:
\begin{eqnarray*}
f = f_0 +\beta y.
\end{eqnarray*}
������ $f_0 = 2\Omega \sin \theta$ , 
 $\beta = (2\Omega /r) \cos \theta $ �Ǥ���, 
 $r$ ���ϵ��Ⱦ�¤Ǥ���. 
����� $\beta$ �̶���Ȥ���.    
��ƻ�Ǥ� $f = 0$ �Ǥ��뤫��, 
��ƻ�ն�ǤΤ��ζ���� $f = \beta y$ �Ȥʤ�.
�������ƻ $\beta$ �̶���Ȥ���. 

����ˤ��
 \Deqref{�����ܼ���}, \Deqref{�����ܼ���}, \Deqref{�����ܼ���}�� ��, 
\begin{eqnarray}
\DP{u}{t} - \beta yv + \DP{\phi}{x} &=& 0 , \Deqlab{�����ܼ���}\\
\DP{v}{t} + \beta yu + \DP{\phi}{y} &=& 0  ,\Deqlab{�����ܼ���}\\
\DP{\phi}{t} + c^2 \left(\DP{u}{x} + \DP{v}{y}\right) &=& -Q\Deqlab{�����ܼ���}
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�. 

\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][5cm]{img/model.eps}
\begin{quotation}
 \caption[������ǥ�]
{{\footnotesize 
������ǥ� \\
 $z$ �������Ф�,  $w,Q$ �� $\sin(\pi z/H)$ ����ư��, 
 $u,v,p$ �� $\cos(\pi z/H)$ ����ư����. 
 $H$ ��ή�Τθ����Ǥ���.
  }}\label{������}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}

 \Deqref{�����ܼ���}, \Deqref{�����ܼ���}, \Deqref{�����ܼ���}�� 
��̵����������. 
̵���������Ѥ��륹������ζ���Ū���ͤ���뤿���, 
��ľ��¤���ꤷ�� $H_*$ ����,
����� $H_*$ ���Ф������������Ȥ�®�٤����. 
\hcite{Matsuno66}, \hcite{Gill80} �Ǥ�\
$z$ �������Ф�, $w,Q$ �� $\sin(\pi z/H)$ ����ư��, 
$u,v,p$ �� $\cos(\pi z/H)$ ����ư���뤳�Ȥ��ꤷ�Ƥ���
(�� \ref{������}).
 $p(x,y,z,t) = \hat{p}(x,y,t)\cos(\pi z/H)$ 
�� \Deqref{������}�� �����������,  
\begin{eqnarray}
  c_* = \sqrt{gH_*} = \frac{H}{\pi}
\left(\frac{g\bar{\rho}_z}{\bar{\rho}_0}\right)^{\frac{1}{2}} 
= \frac{HN}{\pi}
\end{eqnarray}
��������. 
������, $N$ �ϥ֥��ȥХ����鿶ư���ȸƤФ�뷸���Ǥ���, 
��ή���Ǥ��ͤ� $N \sim 1.16 \times 10^{-2} \; \rm{s^{-1}}$ �Ǥ���
(\cite{tsuron}).�ޤ� $H$ ����ή���θ����Ȥ�, 
 \ref{������}�� �Ǽ����������������� $D$ �Ȥ���.


̵���������Ѥ��륹�������, ��ή�������ꤷ�����ζ���Ū���ͤ򵭤�.   
\begin{eqnarray*}
\begin{array}{llll}
\textrm{®�٥�������}&\textrm{���������Ȥ�®��} 
  & c_* = \sqrt{gH_*} & \quad \sim 30 \;\rm{m/s}  \sim  2600 \;\rm{km/day}\\
\textrm{Ĺ����������}\; &\textrm{��ƻ�����ӡ��ѷ�Ⱦ��}
\quad & \lambda = \sqrt{c/\beta} & \quad \sim 1100 \;\rm{km}\\ 
\end{array}
\end{eqnarray*}

����ˤ��̵�����������������Ϥ�,
\begin{eqnarray}
\DP{u}{t} - yv + \DP{\phi}{x} &=& 0 , \Deqlab{̵��������}\\
\DP{v}{t} + yu + \DP{\phi}{y} &=& 0 ,\Deqlab{̵��������}\\ 
\DP{\phi}{t} + \DP{u}{x} + \DP{v}{y} &=& -Q\Deqlab{̵��������}
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�.  
 2 �ϤǤ� $Q=0$ �Ȥ��Ƥ��μ����Ѥ���.

\pagebreak
\subsection{���Ϥ�Ϳ�������λ���ȯŸ������}\label{������}
\Deqref{̵��������}, \Deqref{̵��������}, \Deqref{̵��������}�� ��
�໤, ������ä�������, ���Ϲ�ȤĤꤢ�ä� 
�����֤�Ĵ�ᤵ���ޤǤα�ư��ͤ���. 

�໤,����ˤĤ��Ƥ�,�쥤�꡼�໤,
\footnote{
ʪ�Τ����ͤˤ�äƼ���Ǯ�̤� 
����ʪ�Τμ��ϤȤβ��٤κ������㤹�� (\cite{iwanami}) 
}
�˥塼�ȥ����
\footnote{
ʪ�Τ�ή®���໤�ˤ�ä�
ή®�����㤷�Ƹ��ꤹ��
}
�ˤ���,
���֤��Ф��� 1 ���θ���򤹤�. 
��äƸ���Ψ�� $\varepsilon$ �Ȥ����, 
 $\partial / \partial t$ ��
 $\partial /\partial t + \varepsilon$ ���֤���������. 
����� 2 �Ĥ�ˡ§�Ϸи�§�Ǥ���, �����Ǥ�
 $0.1$ ����Ѥ���. 
���ΤȤ�, 
 \ref{̵������}�� �ǵ���������ή�������ꤷ�����˲� $u,v,\phi$ ��
������ $e^{-1}$ �ˤʤ�ޤǤλ��֤�
�� 100 ���֤Ǥ���. 



 \Deqref{̵��������}, \Deqref{̵��������}, \Deqref{̵��������}�� ��
�໤, ������ä���������������, 
\begin{eqnarray}
\DP{u}{t} + \varepsilon u  - yv + \DP{\phi}{x} &=& 0 ,\Deqlab{���ͥ�ǥ뼰��}\\
\DP{v}{t} + \varepsilon v  + yu + \DP{\phi}{y} &=& 0 ,\Deqlab{���ͥ�ǥ뼰��}\\
\DP{\phi}{t} +\varepsilon \phi 
+ \DP{u}{x} + \DP{v}{y} &=& -Q\Deqlab{���ͥ�ǥ뼰��}
\end{eqnarray}
�Ǥ���. ������������, 4 �ϤǹԤ����ͷ׻��κݤ��Ѥ���. 


























