\section{赤道波の固有モード}

この章は, \hcite{Matsuno66} で示された
赤道波の固有モードの導出を紹介する. 
また赤道波の固有モードを図示し, 特徴について議論する. 


\ref{分散節}節 では, 
\Deqref{無次元式１}, \Deqref{無次元式２}, \Deqref{無次元式３} 式 
に対して $x,t$ 方向に波動解を仮定して
変数分離を行い, $\hat{v}$ のみの式に整理する. 
次にこの式から分散関係式を求め, 
 解 $\hat{v}$ をエルミート多項式を用いてあらわす. 
\ref{振動数節}節 では, $\hat{v}$ のみの式から求まる
分散関係式の解である
3 つの振動数 $\omega_l$ ($l = 1,2,3$) に対し, 
エルミート多項式の次数 $n$ で場合分けを行う.
\ref{uvphi節}節 では, 
 $\omega_l$ に対する $\hat{u}_l,\hat{v}_l,\hat{\phi}_l$ を
\ref{振動数節}節 と同様に $n$ で場合分けを行う.
\ref{モード波図示節}節 では, 
赤道波の固有モードの特徴を \hcite{Matsuno66} に基づいて議論する. 

\subsection{分散関係式の導出}\label{分散節}
\Deqref{無次元式１}, \Deqref{無次元式２}, \Deqref{無次元式３}式 
の $u,v,\phi$ にかかる変数係数は
 $y$ のみであるから, 
$x ,t$ 方向に関しては $u,v,\phi$ のそれぞれついて, 
\begin{eqnarray*}
 u(x,y,t) &=& \hat{u}(y)e^{-i\omega t + ikx} ,\\
 v(x,y,t) &=& \hat{v}(y)e^{-i\omega t + ikx} ,\\
 \phi(x,y,t) &=& \hat{\phi}(y)e^{-i\omega t + ikx}
\end{eqnarray*}
とする. ここで $k$ は東西波数, $\omega$ は振動数である. 
この式を 
\Deqref{無次元式１}, \Deqref{無次元式２}, \Deqref{無次元式３}式 
 に代入すると  $y$ 依存性の式は,
\begin{eqnarray}
 -i\omega \hat{u} - y\hat{v} + ik\hat{\phi} &=& 0  ,\Deqlab{波動解仮定式１}\\ 
 -i\omega \hat{v} + y\hat{u} + \DP{\hat{\phi}}{y}
   &=& 0  ,\Deqlab{波動解仮定式２}\\ 
 -i\omega\hat{\phi} + ik\hat{u} + \DP{\hat{v}}{y}
   &=& 0 \Deqlab{波動解仮定式３} 
\end{eqnarray}
となる. 上式を整理し, $\hat{v}$ の式を求める: 
\begin{eqnarray}
 \DD[2]{\hat{v}}{y} 
  + \left(\chi  -y^2 \right)\hat{v} 
  = 0 ,\Deqlab{vの式}\\
\chi = \omega^2 - k^2 - \frac{k}{\omega}.\nonumber
\end{eqnarray}  
 ここで境界条件を
\begin{eqnarray}
 \hat{v} \rightarrow 0 \;\; (y \rightarrow \pm \infty)\Deqlab{境界条件式}
\end{eqnarray}
と定めると, \Deqref{vの式}式はスツルムリュービルの固有値問題である.  
この時, 固有値は離散的な値 
\begin{eqnarray}
 \chi = 2n+1 \;\; (n = 0,1,2,\cdots)\Deqlab{分散関係式}
\end{eqnarray}
をとる. 
 \Deqref{vの式}式 に対する解は, 
次のように与えられる:
\begin{eqnarray}
 \hat{v}(y) = C\sum^{\infty}_{n=0}
 e^{-\frac{1}{2}y^2}H_n(y) \quad(C=\rm{const}) .\Deqlab{vの解式}
\end{eqnarray}
ここで, $H_n(y)$ は $n$ 次のエルミート多項式である. 

\subsection{振動数の固有モード}\label{振動数節}

 \Deqref{分散関係式}式は次式に書き換えられる: 
\begin{eqnarray}
  \omega^3 - (k^2 + 2n + 1)\omega + k 
= 0  \;\;\; (n = 0,1,2,\cdots).\Deqlab{分散関係２式}
\end{eqnarray}
$n$ は $v$ の南北方向の節の数に対応しており, 
\Deqref{分散関係２式}式 は
 $\omega , k ,n$ の関係を示した分散関係式である.
この式は $\omega$ の 3 次式であり, 
 $\omega$ の解は 3 つ得られる. 
 \Deqref{分散関係２式}式 に対して, 
 $ k \geq |\omega | \; , \; k \gg \omega$ と近似する. 
これは, 中緯度において線形化された浅水方程式系に対して
分散関係式を求める場合に行う近似と同様である.  
その結果, 解は 
\begin{eqnarray}
 \omega_{1,2} &\sim&\pm \sqrt{k^2 + 2n +1}, \Deqlab{ω１２式} \\
 \omega_3 &\sim& -\frac{k}{k^2 + 2n +1}\Deqlab{ω３式}
\end{eqnarray}
となる. 
しかし $n = 0$ の場合には, \Deqref{ω３式}式 は成立しない. 
また, $v \equiv 0$ の場合にも分散関係式は求まる. 
そこで \Deqref{ω１２式}, \Deqref{ω３式}式 の
 $\omega_l \; (l =1,2,3 )$ に対する固有モードの性質を
 $n \geq 1 \; , \; n=0 \; , \; v \equiv 0 \; (n = -1)$ に場合分けをして
考える. 

\begin{enumerate}
\item $n \geq 1$ の波動

得られる $\omega$ は 3 つであり, 
\Deqref{ω１２式}, \Deqref{ω３式}式 である. 
中緯度で近似的に得られる分散関係式
と比較すると, 
式の形から中緯度における波動の振動数と対応づけられる.  
 $\omega_1$ であらわされる波動は東向き慣性重力波, 
 $\omega_2$ であらわされる波動は西向き慣性重力波, 
 $\omega_3$ であらわされる波動はロスビー波に他ならない. 

\pagebreak
\item $n = 0$ の波動

\Deqref{分散関係２式}式 で $n=0$ を代入すると, 
\begin{eqnarray*}
 (\omega + k)(\omega^2 + k\omega -1) = 0\Deqlab{１２式}
\end{eqnarray*}
である. $\omega$ は 3 つ得られるが,
$n \geq 1$ の時の 3 つの波動の振動数とは 1 対 1 に対応しない.
それは  \Deqref{波動解仮定式１}, \Deqref{波動解仮定式３}式 から,
 $\phi$ を消した $(u,v)$ の関係式
\begin{eqnarray*}
 \hat{u} = \frac{-\omega y\hat{v} + k\DD{\hat{v}}{y}}{i(\omega -k)(\omega + k)}
\end{eqnarray*}
により, $\omega = k$ はない事が分かるからである.
よって, 得られる $\omega$ は以下の 2 つになる:
\begin{eqnarray}
 \omega_1 &=& k/2
  +\sqrt{(k/2)^2 + 1} ,\Deqlab{ige0式}\\
  \omega_2 &=& k/2
  -\sqrt{(k/2)^2 + 1} .\Deqlab{mixed式}
\end{eqnarray}
\Deqref{ige0式}式 は, 東向き慣性重力波の振動数に対応する. 

\Deqref{mixed式}式 については, 
\Deqref{ω１２式}, \Deqref{ω３式}式 と比較をおこなう. 
       $k \ll 1/\sqrt{2}$ では, 慣性重力波の式  \Deqref{ω１２式} の形
      に近付く事から, 
      慣性重力波の性質を持つ.  
       $k \gg 1/\sqrt{2}$ では, ロスビー波の式  \Deqref{ω３式}  の形
      に近付く事から, 
       ロスビー波の性質を持つ(図 \ref{分散図}).
       この 2 つの性質は $k$ とともに連続的にかわる. 
よって, \Deqref{mixed式}式であらわされる波動を混合ロスビー重力波という. 


\item $v \equiv 0  \; (n = -1)$ の波動

今までは $\hat{v}$ の式 \Deqref{vの式} を考えた. 
しかし \Deqref{波動解仮定式１}, 
\Deqref{波動解仮定式２}, \Deqref{波動解仮定式３}式 で
 $\hat{v} \equiv 0 $ としたときの式
\begin{eqnarray}
-i\omega \hat{u} + ik \hat{\phi} &=& 0 ,\Deqlab{v0式１}\\
y \hat{u} + \DD{\hat{\phi}}{y} &=& 0 ,\Deqlab{v0式２}\\
-i\omega\hat{\phi} + ik\hat{u} &=& 0\Deqlab{v0式３}
\end{eqnarray}
からも分散関係式が得られる: 
\[
 (\omega + k)(\omega -k) = 0.
\]
上式から, 
\Deqref{v0式１}, \Deqref{v0式２}, \Deqref{v0式３}式 
      の $\hat{\phi} ,\hat{u}$ が求まる:
\begin{eqnarray}
 \hat{\phi} &=& \hat{u}=Ce^{-\frac{1}{2}y^2}\quad (\omega = k) ,\Deqlab{成立式}\\
 \hat{\phi} &=&-\hat{u}= Ce^{\frac{1}{2}y^2}\quad (\omega = -k)
\quad (C = \rm{const}).\Deqlab{不成立式}
\end{eqnarray}
この 2 式のうち境界条件 \Deqref{境界条件式}式  
を満たすのは, \Deqref{成立式}式 のみである. 
\Deqref{成立式}式 は \Deqref{分散関係２式}式 において,
 $n = -1$ とした時にも求まる.
\newline

振動数は $k = 0$ の時, 
他の東向きの波動が最小の値 $\omega = \sqrt{2n + 1}$ を
持っているのに対して,
\Deqref{成立式} 式 では $\omega = 0$ になる.
また, $\hat{u},\hat{\phi}$ は赤道に最大の振幅を持ち, 
赤道から離れるにつれ指数関数的に減少する事, 
進行方向に直交する成分 $\hat{v}$ を持たない事から, 
境界に沿って伝播するケルビン波の性質を持っている. 
よって, \Deqref{成立式}式 であらわされる波動を
赤道ケルビン波という. 
\end{enumerate}

\begin{figure}
  \begin{center}
   \Depsf[][18cm]{img/bunsan.eps}
   \begin{quotation}
    \caption[赤道波の固有モードの分散曲線]{{\footnotesize 
    赤道波の固有モード n= -1,0,1,2,3 の分散曲線. \\
    横軸は $k$, 縦軸は $\omega$ である. 
    それぞれ赤色は $n = -1$, 緑色は $n = 0$, 
    紫色は $n = 1$, 青色は $n=2$, 水色は $n =3$ の分散曲線である. 
    実線の $n = 0$ と $n = 1, 2, 3$ は東向き慣性重力波の分散曲線, 
    これに対称な破線の $n = 1, 2, 3$ は
    西向き慣性重力波の分散曲線, 
    $\omega = 0$ 近傍の破線 $1,2,3$ はロスビー波の分散曲線である.
    また, $n = 0$ の破線は混合ロスビー重力波の分散曲線, 
    $n = -1$ の実線はケルビン波の分散曲線である. 
    }} \label{分散図}
  \end{quotation}
\end{center}
\end{figure}

\pagebreak

\subsection{赤道波の固有モードの導出}\label{uvphi節}
 \Deqref{波動解仮定式１}, 
\Deqref{波動解仮定式２}, \Deqref{波動解仮定式３}式 
を整理すると
 $(\hat{u},\hat{v}) \; , \; (\hat{\phi},\hat{v})$ の関係式が求まる:
\begin{eqnarray*}
 \hat{u} &=& \frac{1}{i(\omega^2 - k^2)}
  (-\omega y\hat{v} + k\DD{\hat{v}}{y}),\nonumber\\
 \hat{\phi} &=& \frac{1}{-i(\omega^2 - k^2)}
  (ky\hat{v} - \omega\DD{\hat{v}}{y}).\Deqlab{１６式}
\end{eqnarray*} 
上式に $\omega_{l}$ を代入すると, 
 $\omega_{l}$ に対する $\hat{u}_l,\hat{v}_l,\hat{\phi}_l$ が求まる. 
さらにこの $\hat{u}_l,\hat{v}_l,\hat{\phi}_l$ に対して
 \Deqref{vの解式}式 を代入し, 
エルミート多項式の昇降関係式
\begin{eqnarray}
 \DD{H_n(y)}{y} &=& 2nH_{n-1}(y), \Deqlab{漸化式１}\\
 H_{n+1}(y) &=& 2y H_n(y) - 2nH_{n-1}(y)\Deqlab{漸化式２}
\end{eqnarray}
を用いて, 
 $\hat{u}_{nl},\hat{v}_{nl},\hat{\phi}_{nl}$ を導く.
ここで, 添字 $n$ はエルミート多項式の次数である. 

 $\psi_n = \exp(-1/2\, y^2)H_n(y)$ とし, 
 前節と同様に
$n \geq 1 \; , \; n=0 \; , \; v \equiv 0 \; (n = -1)$ に
場合分けをすると次式を得る:

\begin{enumerate}
 \item $n \geq 1$ の時

\begin{eqnarray}
 \left(
\begin{array}{lll}
\hat{v}_{nl}\\
\hat{u}_{nl}\\
\hat{\phi}_{nl}\\
\end{array}
\right)
 =\left(
\begin{array}{lll}
i(\omega_{nl}^2 - k^2)\psi_n\\
-\frac{1}{2}(\omega_{nl}+k)\psi_{n+1}+n(-\omega_{nl}+k)\psi_{n-1}\\
-\frac{1}{2}(\omega_{nl}+k)\psi_{n+1}-n(-\omega_{nl}+k)\psi_{n-1}\\
\end{array}
\right) \Deqlab{n1固有値式}
\end{eqnarray}

\item $n = 0$ の時
\begin{eqnarray}
 \left(
\begin{array}{lll}
\hat{v}_{0l}\\
\hat{u}_{0l}\\
\hat{\phi}_{0l}\\
\end{array}
\right)
 =\left(
\begin{array}{ccc}
2i(-\omega_{0l} + k)\psi_0\\
\psi_{1}\\
\psi_{1}\\
\end{array}
\right) \Deqlab{n0固有値式}
\end{eqnarray}

\item $v \equiv 0 \; (n = -1)$ の時
\begin{eqnarray}
 \left(
\begin{array}{lll}
\hat{v}_{-1}\\
\hat{u}_{-1}\\
\hat{\phi}_{-1}\\
\end{array}
\right)
 =\left(
\begin{array}{lll}
0\\
\psi_{0}\\
\psi_{0}\\
\end{array}
\right) \Deqlab{n-1固有値式}
\end{eqnarray}

\end{enumerate}


%\subsection{計算設定}\label{モード波計算節} 
% $\omega_{nl}$ を
% $n \geq 1 $ , $n = 0 $ , $ n = -1 $ のそれぞれについて, 
%\Deqref{ω１２式}, \Deqref{ω３式}, \Deqref{ige0式},
% \Deqref{mixed式}, \Deqref{成立式}式 
%に代入して求める. 
%この時, $k = 0.5$ とする. 

%次に求めた $\omega_{nl}$ を
%\Deqref{n1固有値式}, \Deqref{n0固有値式}, \Deqref{n-1固有値式}式 に
%代入して $(u,v,\phi)_{nl}$ を求める.  
%エルミート多項式の形は以下である.
%\begin{eqnarray}
% \left(
%\begin{array}{lllll}
% H_0\\
% H_1\\
% H_2\\
% H_3\\
% H_4\\
%\end{array}
%\right)
% =\left(
%\begin{array}{lllll}
%1\\
%2y\\
%4y^2-2\\
%8y^3-12y\\
%16y^4 -48y^2+12\\
%\end{array}
%\right) \Deqlab{Hermite多項式}
%\end{eqnarray}
