\section{����ȯŸ�ο��ͥ�ǥ�}
���ξϤǤ�, ���ڥ��ȥ�ˡ���Ѥ���
\Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}, \Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}, \Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}�� 
�λ���ȯŸ�ˤĤ��ƿ��ͷ׻���Ԥ�����μ�ˡ��Ҥ٤�. 
�׻���, ����Ѱ̤�Ϳ��������
Ǯ����Ϳ�����ݤˤĤ��ƹԤ�.

\ref{�ؿ�Ÿ����} ��Ǥ�, 
���������˴ؿ�Ÿ���򤹤�. 
 $x$ �����˥ա��ꥨ�Ѵ���,
 $y$ �����˥���ߡ���¿�༰��Ÿ������. 
\ref{��ͭ�ʹط�����} ��Ǥ�, 
Ÿ������
 $u_{k,n},v_{k,n},\phi_{k,n}$ �δط��������.
\ref{������} ��Ǥ�, 
���ͷ׻��򤹤뤿��Υѥ�᡼��������, 
Ϳ����Ǯ�������Ѱ̤�����ˤĤ��ƽҤ٤�. 

\subsection{�ؿ�Ÿ��}\label{�ؿ�Ÿ����}
\ref{ʬ����}�� ���, 
\Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}, \Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}, \Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}�� 
�� $(u,v,\phi)$ �Ϥ��줾�켡���ͤ�Ÿ���Ǥ���: 
\begin{eqnarray}
 u(x,y,t) = \sum^{\infty}_{k=0}e^{i\pi kx/L}
  \sum^{\infty}_{n=0}e^{-\frac{1}{2}y^2}H_n(y)u_{k,n}(t),\Deqlab{Ÿ������}\\
 v(x,y,t) = \sum^{\infty}_{k=0}e^{i\pi kx/L}
  \sum^{\infty}_{n=0}e^{-\frac{1}{2}y^2}H_n(y)v_{k,n}(t),\Deqlab{Ÿ������}\\
 \phi(x,y,t) = \sum^{\infty}_{k=0}e^{i\pi kx/L}
  \sum^{\infty}_{n=0}e^{-\frac{1}{2}y^2}H_n(y)\phi_{k,n}(t).\Deqlab{Ÿ������}
\end{eqnarray}
������, $L$ �� $x$ �������ΰ����Ǥ���, $-L \le x \le L$ �Ǥ���. 
��������, $x$ �����ˤϼ�������, $y$ �����ˤ�
$ u,v,\phi \rightarrow 0 \;\; (y \rightarrow \pm \infty)$ �Ǥ���. 

 $u_{k,n}, v_{k,n},\phi_{k,n}$ ��, 
 $e^{ikx} , e^{-\frac{1}{2}y^2}H_n(y)$ 
��ľ�������Ѥ��Ƶ�����. 
�ޤ�$u$ �ˤĤ���,  $x$ �����˥ա��ꥨ�Ѵ���Ԥ�.  
���λ�, ľ����
\begin{eqnarray*}
 \int^{L}_{-L}e^{-i\pi kx/L}
e^{i\pi lx/L}dx
  = \delta_{kl}2L
\end{eqnarray*}
���Ѥ���. 
 Ÿ���������ϰʲ��Ǥ���:
\begin{eqnarray*}
 u_k(y,t) =  \frac{1}{2L}\int^{L}_{-L}e^{i\pi kx/L}u(x,y,t) \; dx .
\end{eqnarray*}
����� $y$ ������Ʊ�ͤˤ���, 
����ߡ���¿�༰��Ÿ������. ���λ�, ľ����
\begin{eqnarray*}
 \int^{\infty}_{-\infty}e^{-y^2}H_n(y)H_m(y)dy
  = \delta_{nm}2^n n! \sqrt{\pi}
\end{eqnarray*}
���Ѥ���. 
Ÿ���������ϰʲ��Ǥ���:
\begin{eqnarray*}
u_{k,n}(t) = 
\int ^{\infty}_{-\infty}\frac{1}{2^n n! \sqrt{\pi}}
 e^{-\frac{1}{2}y^2}H_n(y)u_k(y,t) \; dx dy .
\end{eqnarray*}
����� $v,\phi$ ���Ф��Ƥ�Ʊ�ͤ˹Ԥ�. 

\subsection{Ÿ�������δط���}\label{��ͭ�ʹط�����}
\Deqref{Ÿ������}, \Deqref{Ÿ������}, \Deqref{Ÿ������}�� ��
\Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}, \Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}, \Deqref{���ͥ�ǥ뼰��}�� 
����������. 
����ߡ���¿�༰�ξ��ߴط��� \Deqref{��������}, \Deqref{��������}
���Ѥ�����������ȼ����Ȥʤ�:
\begin{eqnarray*}
 \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{n=0}
\DD{}{t}u_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2} & = &
 \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{n=0}
\left(
 -\varepsilon u_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}
\right.\\ 
&\;& + n v_{k,n}H_{n-1} e^{ikx-\frac{1}{2}y^2} 
 + \frac{1}{2}v_{k,n}H_{n+1} e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}\\
&\;& \left.
 -ik\phi_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}
\right) ,\\
 \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{n=0}
\DD{}{t}v_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2} & = & 
 \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{n=0}
\left(
 -\varepsilon v_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}
\right. \\
&\;& - n u_{k,n}H_{n-1} e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}
 - \frac{1}{2}u_{k,n}H_{n+1} e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}\\ 
&\;& \left.
- n\phi_{k,n}H_{n-1} e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}
 +\frac{1}{2}\phi_{k,n}H_{n+1} e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}
\right) ,\\
 \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{n=0}
\DD{}{t}\phi_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2} & = &
 \sum^{\infty}_{k=0}\sum^{\infty}_{n=0}
\left(
 -\varepsilon\phi_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2} 
\right.\\
&\;&- iku_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}\\
&\;& - n v_{k,n}H_{n-1} e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}
 + \frac{1}{2}v_{k,n}H_{n+1} e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}\\
&\;& \left.
+ Q_{k,n}H_n e^{ikx-\frac{1}{2}y^2}\right).
\end{eqnarray*}
����˾弰�ˤĤ��� $n =0 , n \geq 1$ �˾��ʬ���򤹤��,  
Ÿ������ $u_{k,n}, v_{k,n}, \phi_{k,n}$ �δط�����, 
\begin{eqnarray}
\left.
\begin{array}{lll}
du_{k,n}/dt & = &  -\varepsilon u_{k,n} 
               + (n+1)v_{k,n+1} + \frac{1}{2}v_{k,n-1}-ik\phi_{k,n}\\
dv_{k,n}/dt & = & -\varepsilon v_{k,n} 
               - (n+1)u_{k,n+1} - \frac{1}{2}u_{k,n-1}
               - (n+1)\phi_{k,n+1} +\frac{1}{2}\phi_{k,n-1}\\
d\phi_{k,n}/dt & = & -\varepsilon\phi_{k,n} - iku_{k,n}
                     - (n+1)v_{k,n+1} + \frac{1}{2}v_{k,n-1} + Q_{k,n}\\
\end{array}
\right\} \; (n\geq 1), \Deqlab{��ͭ�ͼ�n1} 
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
 \left.
\begin{array}{lll}
du_{k,0}/dt & = & -\varepsilon u_{k,0} 
               + v_{k,1} -ik\phi_{k,0}\\
dv_{k,0}/dt & = &-\varepsilon v_{k,0} 
               - u_{k,1} - \phi_{k,1} \\
d\phi_{k,n}/dt & =  & -\varepsilon\phi_{k,0}
 - iku_{k,0} - v_{k,1} + Q_{k,1}\\
\end{array}
\right\} \; (n = 0)\Deqlab{��ͭ�ͼ�n0}
\end{eqnarray}
�Ȥʤ�. 

\pagebreak
\subsection{�׻�����}\label{������}
�׻���Ǯ����Ϳ��������
����Ѱ̤�Ϳ�������ˤĤ��ƹԤä�.
���줾���Ϳ�����Ѱ̤�, ��ƻ���Ф����о�, ȿ�оΤξ��� 2 �ĤǤ���. 

�ա��ꥨ�Ѵ��ˤ� \hcite{ispack} �� ispack-0.5 ���Ѥ���. 
�����ȿ��� 10 �Ȥ���. 
����ߡ���¿�༰�� 4 ���ι�ޤǤȤä�. 

 $t$ �����˴ؤ��Ƥ�, 
�Υ��ޥ�ΰ��������Ϥ˴�Ť���, 
�����ˤ����ʺ�ʬ, ��ή��ˤ��濴��ʬ��Ȥ�. 
�ޤ�, �濴��ʬ�Ϸ׻�����ζ������ܤȴ�����ܤ�
 2 �Ĥ���Ω�ʲ򤬵�ޤ����������뤿��, 
10 ��׻����뤴�Ȥ����ʺ�ʬ�򤪤��ʤäƤ������򤹤�. 

�׻��ΰ����ƻ�оΤǤ���, 
�ʻ������� $x$ ������ 40,  $y$ ������ 20 �Ȥ���. 
�ʻ����ֳ֤�̵�������� $dx$ �� $18/40$ , $dy$ �� $9/20$ �Ǥ���.  
���ֳִ֤�, ̵�������� $1/20$ �Ǥ���. 

\subsubsection{Ǯ����Ϳ�������λ���ȯŸ}\label{Q������}
 $t = 0$ ���� Ǯ����Ϳ����. 
Ǯ�� $Q$ �ϰʲ��Τ褦��Ϳ����(�� \ref{���ʬ�ۿ�}):
       \begin{eqnarray*}
\textrm{��ƻ�о�}\qquad
	Q(x,y) &=&
	 \exp(-\frac{1}{2}y^2)\cos(ax) \;\;\; (|x| < A).\\
\textrm{��ƻȿ�о�}\qquad
	Q(x,y) &=&
	 y\exp(-\frac{1}{2}y^2) \cos(ax) \;\;\; (|x| < A).
       \end{eqnarray*}
������, $a =\pi/(2A)$ �Ǥ���, 
 $A$ �ϲ�Ǯ�ΰ�����Ǥ���. 
����Ψ $\varepsilon$ �� 0 �� 0.1 �ξ��ˤĤ��Ƥ��줾��׻�����.  

\subsubsection{����Ѱ̤�Ϳ�������λ���ȯŸ}
�׻����뼰��, \Deqref{��ͭ�ͼ�n1}�� ���Ф���
 $\varepsilon$, $Q$ �� 0 �Ȥ�����ΤǤ���.  
����Ѱ̤Ȥ��� $\phi(x,y,t=0)$ ��
\ref{Q������}�� $Q$ ��Ʊ�ͤ��ͤ�Ϳ����(�� \ref{���ʬ�ۿ�}):
       \begin{eqnarray*}
\textrm{��ƻ�о�}\qquad
	\phi(x,y,0) &=&
	 \exp(-\frac{1}{2}y^2)\cos(ax) \;\;\; (|x| < A),\\
\textrm{��ƻȿ�о�}\qquad
	\phi(x,y,0) &=&
	 y\exp(-\frac{1}{2}y^2)\cos(ax) \;\;\; (|x| < A).
       \end{eqnarray*}
\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/syminit-00.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asyminit-00.eps}
\begin{quotation}
 \caption[Ǯ�� $Q$, ����Ѱ� $\phi(x,y,t=0)$ ��ʬ��]
{{\footnotesize 
Ǯ�� $Q$, ����� $\phi(x,y,0)$ ��ʬ�� ~~
��: ��ƻ�о� ��: ��ƻȿ�о�\\
�ޤ��������� $\phi(x,y,t=0)$ �򼨤�.
��������, $-2.1$ ���� $2.1$ �ޤǼ���, 
�������ֳ֤� $0.1$ �Ǥ���. ������, $0.0$ ���������Ͽ޼����Ƥ��ʤ�.
 $x$ �����β�Ǯ�ΰ������, $|A| < 2$ �Ǥ���. 
 }} \label{���ʬ�ۿ�}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}












