\section{結果と考察}
数値計算の結果の図を示し, 特徴を議論する. 

\ref{熱源節}節 では, 熱源を与えた時の時間発展を議論する. 
議論は熱源を赤道対称, 赤道反対称に与えた時について行い,  
このそれぞれに対して
 $\varepsilon = 0$, $\varepsilon = 0.1$ の場合を議論する. 
\ref{初期値節}節 では, 初期変位を与えた時の時間発展を議論する. 
議論は初期変位を赤道対称, 赤道反対称に与えた時について行う.  
また $\phi$ は, 圧力 $p$ とみなして議論している. 

図の距離と時間は無次元数であり, 
 \ref{無次元節}節 で議論した対流圏を想定した値は,  
無次元距離 1 あたり約 1100 km であり, 
無次元時間 1 あたり約 10 時間である. 

\subsection{熱源を与えた時の時間発展}\label{熱源節}
\subsubsection{赤道対称}\label{対称強制節}
赤道対称の熱源を与えた時に
現れる応答は大きく分けて
東向きの波動と西向きの波動の 2 つである. 
この 2 つの波の特徴を
 $\varepsilon = 0$ と  $\varepsilon = 0.1$ の時に
ついてそれぞれ議論する.  
\begin{itemize}
 \item  $\varepsilon = 0$
 
 $\varepsilon = 0$ の時の時間発展の図を 
図 \ref{対称強制0-1図}, \ref{対称強制0-2図} に示す.  

この図に示される
東向きの波動は一定の速さで進み,  
波動の先端部の通過後には定常な流れが残る. 
流速は東西成分だけを持っている. 
また, 流速と圧力はともに赤道で最大の振幅を持っている. 
これらの特徴は, ケルビン波の特徴である. 

西向きの波動も東向きと同様に一定の速さで進み, 
波動の先端部の通過後には定常な流れが残る. 
流速は赤道で最大の振幅を持っており, 
流速と圧力場の間にはほぼ地衡流平衡が成り立っている. 
また圧力の最大の振幅は, 
赤道から離れて南北対称に存在する.  
これらの特徴は, $n = 1$ のロスビー波の特徴である. 

 $n = 1$ のロスビー波とケルビン波の速度の関係は, 
それぞれの波動の分散関係から明らかである. 
ケルビン波の分散関係は, \Deqref{成立式}式より
 $\omega_{-1} = k$ であり, 
 $n = 1$ のロスビー波の分散関係は \Deqref{ω３式}式より, 
\[
 \omega_{13} \sim -\frac{k}{k^2 + 3} \sim -\frac{1}{3}k
\qquad(  k \sim a/L \sim 2/9 \ll 3)
\]
である.  
このことから, 
 $n = 1$ のロスビー波の伝播速度は
ケルビン波の約 1/3 であることが分かる. 

\item $\varepsilon = 0.1$ 

 $\varepsilon = 0.1$ の時の時間発展の図を 
図 \ref{対称強制1-1図}, \ref{対称強制1-2図} に示す. 

この図に示される
東向きのケルビン波は一定の速さで直進する. 
その速さは $\varepsilon = 0$ の時と同じである. 
また, 流速の向きも同じである. 
しかし, 振幅は
伝播距離に対して減衰している. 

西向きの $n = 1$ のロスビー波も
一定の速さで進み,  
その速さは $\varepsilon = 0$ の時と同じである. 
また, 流速の向きも同じである. 
しかし, 振幅は
伝播距離に対して減衰している. 
 $n = 1$ のロスビー波は, 
ケルビン波の伝播速度の約 1/3 であることから, 
伝播距離に対してケルビン波の約 3 倍で減衰している. 
\end{itemize}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e0-10.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e0-20.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e0-30.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0$ 時間 $t= 2 ,4 ,6$]
{{\footnotesize 
赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0$  ~~時間 上: $t= 2$, 
中: $t = 4$, 下: $t = 6$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す.
等値線は, $-7.5$ から $7.5$ まで示し, 
等値線間隔は $0.5$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.    
  }} \label{対称強制0-1図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e0-40.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e0-50.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0$ 時間 $t= 8 ,10$]
{{\footnotesize 
赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0$  ~~時間 上: $t= 8$, 
 下: $t = 10$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す. 
等値線は, $-7.5$ から $7.5$ まで示し, 
等値線間隔は $0.5$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.    
  }} \label{対称強制0-2図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e1-10.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e1-20.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e1-30.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0.1$ 時間 $t= 2 ,4 ,6$ ]
{{\footnotesize 
赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0.1$  ~~時間 上: $t= 2$, 
中: $t = 4$, 下: $t = 6$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す.  
等値線は, $-7.5$ から $7.5$ まで示し, 
等値線間隔は $0.5$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.    
  }} \label{対称強制1-1図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e1-40.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e1-50.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/symforce-e1-60.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0.1$ 時間 $t= 8 ,10 ,12$]
{{\footnotesize 
赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0.1$  ~~時間 上: $t= 8$, 
中: $t = 10$, 下: $t = 12$\\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す. 
等値線は, $-7.5$ から $7.5$ まで示し, 
等値線間隔は $0.5$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.    
  }} \label{対称強制1-2図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}

\pagebreak
\subsubsection{赤道反対称}\label{反対称強制節}

赤道反対称の熱源を与えた時に現れる応答として,  
大きな振幅を持つものは西向きの波動である. 
また, 小さな振幅を持つ東向きの波動も見られる.  
これらの波動に対して,
 $\varepsilon = 0$ と  $\varepsilon = 0.1$ の時に
ついてそれぞれ議論する.  
\begin{itemize}
 \item  $\varepsilon = 0$
 
 $\varepsilon = 0$ の時の時間発展の図を 
図 \ref{反対称強制0-1図}, \ref{反対称強制0-2図} に示す.  

この図に示される
西向きの波動は, 一定の速さで進み, 
波動の先端部の通過後には定常な流れが残る. 
流速と圧力場の間はほぼ地衡流平衡が成り立っている.  
また, 圧力の最大の振幅は, 
赤道から離れてに赤道反対称に存在する.   
これらの特徴は, $n = 2$ のロスビー波の特徴である.

東向きには振幅の小さい擾乱が進む.  
$v$ は赤道対称であり, $u, \phi$ は赤道反対称の分布をしている. 
この波動は, $n = 1$ の慣性重力波である. 

\item $\varepsilon = 0.1$ 

 $\varepsilon = 0.1$ の時の時間発展の図を 
図 \ref{反対称強制1-1図}, \ref{反対称強制1-2図} に示す. 

この図に示される
西向きの $n = 2$ のロスビー波は一定の速さで直進する. 
その速さは $\varepsilon = 0$ の時と同じである. 
また, 流速の向きも変わらない. 
しかし流速, 圧力の振幅は, 
伝播距離に対して減衰する.    


また, 振幅の小さい東向きの慣性重力波は,   
減衰を受けて消えてしまう. 
\end{itemize}

\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e0-10.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e0-20.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e0-30.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道反対称に熱源を与えた時の時間発展
 $\varepsilon = 0$ 時間 $t= 2 ,4 ,6$]
 {{\footnotesize 赤道反対称に熱源を与えた時の時間発展 
$\varepsilon = 0$   ~~時間 上: $t= 2$, 
中: $t = 4$, 下: $t = 6$\\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す. 
等値線は, $-7.5$ から $7.5$ まで示し, 
等値線間隔は $0.5$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.   
}} \label{反対称強制0-1図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e0-40.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e0-50.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e0-60.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道反対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0$ 時間 $t= 8, 10, 12$]
{{\footnotesize 
赤道反対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0$  ~~時間 上: $t= 8$, 
中: $t = 10$, 下: $t = 12$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す.  
等値線は, $-7.5$ から $7.5$ まで示し, 
等値線間隔は $0.5$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.    
  }} \label{反対称強制0-2図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e1-10.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e1-20.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e1-30.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道反対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0.1$ 時間 $t= 2 ,4 ,6$ ]
{{\footnotesize 
赤道反対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0.1$  ~~時間 上: $t= 2$, 
中: $t = 4$, 下: $t = 6$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す. 
等値線は, $-7.5$ から $7.5$ まで示し, 
等値線間隔は $0.5$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.  
  }} \label{反対称強制1-1図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e1-40.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e1-50.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asymforce-e1-60.eps}
\begin{quotation}
 \caption[反赤道対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0.1$ 時間 $t= 8 ,10 ,12$]
{{\footnotesize 
赤道反対称に熱源を与えた時の
時間発展 $\varepsilon = 0$ 時間 上: $t= 8$, 
中: $t = 10$, 下: $t = 12$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す. 
等値線は, $-7.5$ から $7.5$ まで示し, 
等値線間隔は $0.5$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.    
  }} \label{反対称強制1-2図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}
\pagebreak

\subsection{初期変位を与えた時の時間発展}\label{初期値節} 
議論は赤道対称, 赤道反対称について行い,  
このそれぞれに対して, 
 $\varepsilon = 0$, $\varepsilon = 0.1$ の場合を議論する. 

\subsubsection{赤道対称}
赤道対称の初期変位を与えた時の時間発展は
図 \ref{対称初期値-1図}, \ref{対称初期値-2図} に示す.  

現れる応答は
東向きの擾乱と西向きの擾乱がある. 
これらの波動は, それぞれ \ref{対称強制節} で議論した
ケルビン波, $n = 1$ のロスビー波の特徴を持っている. 

またこれら 2 つの波動に加えて, 
これらの波動の通過後, $x = 0$ 付近に
定在して振幅する重力波が残る. 


\subsubsection{赤道反対称}

赤道反対称の初期変位を与えた時の時間発展は 
図 \ref{反対称初期値-1図}, \ref{反対称初期値-2図} に示す.  

現れる応答は
東向きの擾乱と西向きの擾乱の 2 つである. 
これらの波動は, それぞれ \ref{対称強制節} で議論した
 $n = 0$ の東向き慣性重力波 , 
 $n = 2$ のロスビー波の特徴と同じである. 
 
また, \ref{対称強制節} と異なる点として, 
東向きの慣性重力波が次々に生まれ, 
伝播していく様子が見られる. 


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/syminit-10.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/syminit-20.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/syminit-30.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道対称に初期変位を与えた時の時間発展 時間 $t= 2 ,4 ,6$]
{{\footnotesize 
赤道対称に初期変位を与えた時の時間発展  ~~時間 上: $t= 2$, 
中: $t = 4$, 下: $t = 6$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す. 
等値線は, $-2.1$ から $2.1$ まで示し, 
等値線間隔は $0.1$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.   
  }} \label{対称初期値-1図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/syminit-40.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/syminit-50.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道対称に初期変位を与えた時の時間発展 時間 $t= 8 ,10 $]
{{\footnotesize 
赤道対称に初期変位を与えた時の時間発展  ~~時間 上: $t= 8$, 
下: $t = 10$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す. 
等値線は, $-2.1$ から $2.1$ まで示し, 
等値線間隔は $0.1$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.   
  }} \label{対称初期値-2図}
\end{quotation}
 \end{center}
\end{figure}


\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/asyminit-10.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asyminit-20.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asyminit-30.eps}
\begin{quotation}
 \caption[赤道反対称に初期変位を与えた時の時間発展 時間 $t= 2 ,4 ,6$]
{{\footnotesize 
 赤道反対称に初期変位を与えた時の時間発展  ~~時間 上: $t= 2$, 
中: $t = 4$, 下: $t = 6$ \\
図の等値線は $\phi$ ,
矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す. 
等値線は, $-2.1$ から $2.1$ まで示し, 
等値線間隔は $0.1$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.   
  }} \label{反対称初期値-1図}
\end{quotation}
\end{center}
\end{figure}

\begin{figure}
 \begin{center}
  \Depsf[][6cm]{img/asyminit-40.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asyminit-50.eps}
  \Depsf[][6cm]{img/asyminit-60.eps}
  \begin{quotation}
   \caption[赤道反対称に初期変位を与えた時の時間発展 時間 $t= 8, 10,12$]
   {{\footnotesize 
   赤道反対称に初期変位を与えた時の時間発展  ~~時間 上: $t= 8$, 
中: $t = 10$, 下: $t = 12$ \\
   図の等値線は $\phi$ ,
   矢羽は流速 $(u,v)$ の向きと大きさを示す.  
   等値線は, $-2.1$ から $2.1$ まで示し, 
   等値線間隔は $0.1$ である. ただし, $0.0$ の等値線は図示していない.    
   }} \label{反対称初期値-2図}
 \end{quotation}
\end{center}
\end{figure}

























