%
% Chapter 1  The Governing Equations
%            1-11 AVAILABLE POTENTIAL ENERGY
%
% 2002/06/21 ���� ����   ����
% 2002/06/24 ���� ����   ����
% 2002/08/31 ���� ����   ����
% 2002/09/01 ���� ����   ����
% 2002/09/12 ���� ����   ����
% 2002/09/21 ���� ����   p' �Ȧ�' �δط����˴ؤ����ɵ�
%                        K �� A �� TPE �����Ƴ�Ф˴ؤ����ɵ�
%                        
% 2002/09/24 ���� ����   ʿ���ͤȰ������ؾ��֤��ͤζ���
%
%%%% title and date setting %%%%
\markboth{2-11 ͭ�����֥��ͥ륮��}{2-11 ͭ�����֥��ͥ륮��}
%\markright{1-11 ͭ�����֥��ͥ륮��}
%\Ddate{2002/09/24}
%\Dfile{hw-01-11.tex}

%%%% page and section setting %%%%
\setcounter{chapter}{2}
\setcounter{section}{10}
\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{92}
%\setcounter{page}{0}
%\setcounter{figure}{0}


%%%% text start %%%%

\section{ͭ�����֥��ͥ륮��}

�������ǤϤ褯���뤳�Ȥ���,
�͡��ʼ���ΰ��֥��ͥ륮����ñ��¸�ߤ�������Ǥ�
����餬¾�η��֤Υ��ͥ륮�����Ѵ��Ǥ�����Ȥϸ¤�ʤ�.
�絤���Ѥ˴ؤ�����֤����Τˤ��뤿���,
Lorenz(1955)
��{\bf ͭ�����֥��ͥ륮��}
({\it available potential energy\/})
�Ȥ����̤��������.
�����̤Ϥ�����֤ˤ�������줿�絤�������֥��ͥ륮����
���β��پ����ǮŪ�˺����֤��ư������ؾ��֤ˤ����Ȳ��ꤷ��
����줿���۾��֤������֥��ͥ륮���κ��Ǥ���.
�ʤ�, �������ؾ��֤Ǥ�$p$-�̤�$T$-��, �����$\theta$-�̤�
���פ���.

�����Ǥޤ�, Lorenz�β���Ū�������ؾ��֤Ǥϰ��֥��ͥ륮������
��ư���ͥ륮���ؤΥ��ͥ륮���Ѵ��Ϥ����ʤ��ʤ����Ȥ��ǧ����.
(2-82)���, �Ĥ����ΰ���ǰ��֥��ͥ륮������ư���ͥ륮����
�Ѵ������®�٤���ʬ
$-(R/g) \Dtint (T \omega /p) dxdydp$
��������\footnote{
$\rho \ dxdydz = - dxdydp/g$ ������
}.
����������̾��$T$��$\omega$�ζ�ʬ��
\footnote{
�����̤�, $T$��$\omega$���Ѥ������̾�($x$-$y$�̾�)�Ǥ�ʿ���ͤǤ���.
}
$\overline{T \omega}$
�α�ľ��������ʬ�����㤹��
(��ʬ����$\overline{T \omega} = \overline{T' \omega '}
+ \overline{T} \overline{\omega}$���ѷ��Ǥ���
\footnote{
��ʬ�����ѷ��˴ؤ��Ƥ�{\bfseries 2-11-C} �򻲾ȤΤ���.
}).
�Ĥޤ�, $\overline{T \omega} = 0$�Ȥʤ�Ф���ʾ奨�ͥ륮�����Ѵ���
�����ʤ��ʤ����Ȥˤʤ�.
�ʲ��Ǥ������̾��$\overline{T \omega} = 0$�Ȥʤ뤳�Ȥ򼨤�.
Lorenz���絤�β���Ū�ʰ������ؾ��֤Ǥϲ��٤������̾�ǰ���Ǥ���
\footnote{
$p$-�̤�$T$-�̤����פ��뤳�Ȥ����Ҥ���.
}.
�Ĥޤ������̾�Ǥ�$T' = 0$�Ǥ���Τ�����,
$\overline{T \omega} = \overline{T} \overline{\omega}$�Ȥʤ�.
����, ��ľ��������ʬ����$p$-��ɸ�Ϥˤ�����Ϣ³�μ�(2-61)��
��������������Ȥ�.
(2-61)���ʿ����������ʬ�����,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{\omega} \Ddint dx dy
 =
 \Ddint \omega dx dy
 =
 - \Dtint^{p}_{0} \nabla_{p} \cdot \Dvect{V} dx dy dp
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
$\overline{\omega}$��$\omega$�ο�ʿ�̤Ǥ�ʿ���ͤ�ɽ��.
}.
���μ��κǸ�ι��,
�̤��Ĥ��Ƥ���(��ʿ�̤ζ�����̵��)��礫, �⤷����
�����̤ˤ�����®��$V_n$(�����������鳰������®��)
��̵�����˥����Ȥʤ�
\footnote{
(2-89)���ˤ�������2�ब���Τޤޥ����Ȥʤ�ʤ��ä��Τ�
$(K+E+\phi)$�Ȥ����ѿ����ޤޤ�Ƥ�������Ǥ���.
}.
���Τ��Ȥ����Ĥ���줿�����̾�Ǥ�
$\Ddint \nabla_{p} \cdot \Dvect{V} dx dy = 0$
�Ȥʤ�, �Ĥޤ�
$\overline{\omega} = 0$�Ȥʤ�.
�Ĥޤ�, �絤������ǮŪ�˺����֤������۾��֤Ǥ�
$\overline{T \omega} = \overline{T} \overline{\omega} = 0$
�Ȥʤ�.
���Τ��Ȥ�
{\bf �⤦����ʾ���֥��ͥ륮������ư���ͥ륮�����Ѵ�����뤳�Ȥ�̵��}
���Ȥ�������.

����Ǥ�դξ��֤��絤�ΰ��֥��ͥ륮��������Ū�ʲ��۾��֤�
�絤�ΰ��֥��ͥ륮���Ȥκ���{\bf ͭ�����֥��ͥ륮��}��
�Ƥ֤��Ȥ����Ҥ���.
��Ԥؤ�����ǮŪ��ã��, ����ʾ�α�ư���ͥ륮�����Ѵ��Ϥ������ʤ�
���Ȥ���,
���Υ��ͥ륮���κ��ϱ�ư���ͥ륮�����Ѵ���ǽ�������֥��ͥ륮����
�����Ǥ���,
{\bf ͭ�����֥��ͥ륮��}�Ȥ���̾�����¤ˤդ��路����Τ���
�狼�������
\footnote{
�ִ����֡פϤ����餫Ǥ�����������ä���Τˤʤ�.
�ʤ��ʤ�, �����β����ˤ����Ƥ����ã����Ȥ���
�ݾڤ�̵������Ǥ���.
}.

ͭ�����֥��ͥ륮��$A$�ο���Ū�ʼ���Ƴ��.
��ñ���Τ���, �Ϸ�����̵�뤷����ɽ�̰��Ϥ�
$p_s = 1000$mb �Ȥ�,
����$\theta = T (p_s / p)^{\kappa}$��Ƴ������.
�����֥��ͥ륮���μ�(2-85)�˲��̤�Ƴ�������,
{\bf �����֥��ͥ륮��}
({\it {\bf T}otal {\bf P}otential {\bf E}nergy\/})
$TPE$��
%
\begin{eqnarray*}
 TPE = (c_p/g)
     \int^{p_s}_{0} T \ dp
     + g^{-1} \phi _{s} p_s
     = g^{-1} c_p p_s ^{- \kappa}
     \int^{p_s}_{0} \theta p^{\kappa} \ dp
     + \phi_s p_s /g
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�.
�����Ǥ�$\kappa = R/c_p$�Ǥ���.
������ʬ��ʬ�򤪤��ʤ��Ȱʲ��μ���������
\footnote{
�����Ǥ���ɽ��($p=p_s$)�Ǥ�$\theta = \theta_S$,
�絤��ü($p=0$)�Ǥ�$\theta = \theta_T$
�Ǥ���.
}.
%
\begin{eqnarray*}
 TPE
 =
 \frac{c_p p_s ^{- \kappa}}{g(1+ \kappa)}
 \left[
  (\theta p^{1+ \kappa})^{p_s}_{0}
  + \int^{\theta _T}_{\theta _S} p^{1+ \kappa} \ d\theta
 \right]
 + \phi _s p_s / g
\end{eqnarray*}
%
������̵�뤷
\footnote{
 ��Ҥ��뤬, ͭ�����֥��ͥ륮����
 ������֤Ǥΰ��֥��ͥ륮��������Ū�ʰ������ؾ��֤Ǥ�
 ���֥��ͥ륮����{\bf ��}�ˤ�äƵ���Τ�
 �����Ͼʤ��ƹͤ���.
}
,
�絤�������֥��ͥ륮�����ΰ���Ǥ�ʿ�Ѥ�Ȥ�
\footnote{
 �����ޤǤ�$TPE$��ñ�����Ѥ���ɽ�����絤��ü�ޤǤ�
 �⤵����ı�����������֥��ͥ륮����ͤ��Ƥ���.
 �����Ǥ��ΰ���Ǥ�ʿ�ѤȤ�, �絤�������Ѥ�ʿ�Ѥ��̣����.
}
.
�ΰ���Ǥ�ʿ�Ѥ�С���ɽ����,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{TPE}
 =
 \frac{c_p p_s ^{- \kappa}}{g(1+ \kappa)}
 \int \overline{p ^{1 + \kappa}} \ d \theta
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
�����Ǥϱ�ľ��ɸ�˲��̤��Ѥ��Ƥ���.
����Lorenz�β���Ū�ʰ������ؾ��֤�ͤ���.
�絤��Lorenz�β��۾��֤˺����֤���Ƥ������
�������̾�ΰ��Ϥ�$\tilde{p}$�Ȥ���
\footnote{
 �����Ǥϲ��۰������ؾ��֤��絤��ʪ���̤ϥ����( $\tilde{}$ )��,
 ʿ���ͤϾ���( $\bar{}$ )��ɽ�����Ȥˤ���.
}.
�ʤ�, ���ΰ���$\tilde{p}$�Ͻ���ΰ���ʬ�ۤ�ʿ����$\overline{p}$
��������.
�ΰ����ͭ�����֥��ͥ륮����(2-94)�Ȳ��۾��֤ˤ�����
$\overline{TPE}$�Ȥκ��ʤΤ�,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{A}
 &=&
 \frac{c_p p_s ^{- \kappa}}{g (1+ \kappa)}
 \int
  \left(
   \overline{p^{1+ \kappa}} - \tilde{p}^{1+ \kappa}
  \right)
  \ d\theta
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
$\overline{p^{1+ \kappa}}$��$\overline{p}^{1+ \kappa}
(= \tilde{p}^{1+ \kappa} )$�Ȥΰ㤤
�˴ؤ��Ƥ�{\bf 2-11-A}����.
}.

�����Ȥ��䤹�����ˤ��뤿���,
$p=\tilde{p} + p'$�Ȥ�,
$p^{1+\kappa}$����������Ÿ�������,
%
\begin{eqnarray*}
 p^{1+\kappa}
 =
 (\tilde{p} + p')^{1+\kappa}
 =
 \tilde{p}^{1+\kappa}
 + \frac{(1+\kappa) \tilde{p}^{\kappa} p'}{1 !}
 + \frac{ \kappa(1+\kappa) \tilde{p}^{\kappa -1} p^{\prime 2} }{2 !}
 + \cdots
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�.
�ΰ�ʿ�Ѥ�Ȥ��, ���դο���ι�Ͼä���.
���η��
\footnote{
\begin{eqnarray*}
 \overline{p^{1+\kappa}} - \tilde{p}^{1+\kappa}
 = \frac{\kappa (1+ \kappa) \tilde{p}^{\kappa -1} p^{\prime 2}}{2 !}.
\end{eqnarray*}
%
$\tilde{p} \gg p'$�Τ���, ���������ι��̵�뤷�Ƥ���.
}
��(2-95)�����������,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{A}
  &\doteq&
  \frac{1}{2} \kappa c_p g^{-1} p_s^{- \kappa}
  \int^{\theta_T}_{\theta_S} \tilde{p}^{\kappa - 1}
  \overline{p^{\prime 2}} \ d \theta
  \nonumber \\
 &=&
  \frac{1}{2} \kappa c_p g^{-1} p_s^{- \kappa}
  \int^{\theta_T}_{\theta_S} \tilde{p}^{1+ \kappa}
  \overline{(p' / \tilde{p})^2} \ d \theta
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
 \begin{eqnarray}
  \tilde{p}^{\kappa - 1} \overline{p^{\prime 2}}
   \ = \ \tilde{p}^{\kappa + 1}
   \frac{\overline{p^{\prime 2}}}{\tilde{p}^2}
   \ = \ \tilde{p}^{\kappa + 1}
   \overline{\left( \frac{p^{\prime 2}}{\tilde{p}^2} \right)}
   \ = \ \tilde{p}^{\kappa + 1}
   \overline{\left( \frac{p'}{\tilde{p}} \right)^2}.
   \nonumber
 \end{eqnarray}
}.
���Τ褦��, �ΰ����ͭ�����֥��ͥ륮�����������̾��
���Ϥ��Ѳ��˰�¸����
\footnote{
�������̾�ǰ��Ϥ������Ѳ����ʤ�����
�������ؾ���(�Ĥޤ��Lorenz�β��۾���)�ʤΤ�
ͭ�����֥��ͥ륮���ϥ����ˤʤ�.
}.
�����Ʊ�ͤ�, �����̤ˤ�����$\theta$(�ޤ���$T$)���Ѳ���
̩�ܤ˴ط�����Ȥ������ȤǤ���.
$\tilde{p}$-�̾�Ǥβ��̤Ȳ��٤�ʿ�Ѥ�
$\tilde{\theta} (= \overline{\theta})$��$\tilde{T} (= \overline{T})$
�Ȥ����,
%
\begin{eqnarray*}
 p \doteq \tilde{p}[\theta(p)]
 \qquad
 {\rm and}
 \qquad
 p' \doteq \tilde{p}(\theta + \theta ') - \tilde{p}(\theta)
    = \theta ' \partial \tilde{p} / \partial \theta
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
 ���δط����ϰʲ��Υƥ��顼Ÿ���μ�
 %
 \begin{eqnarray}
  f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x-a) + \frac{f''(a)}{2!}(x-a)^2
   + \cdots + \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^{n}
   \nonumber \\
   + \frac{f^{(n+1)}(a + \theta(x-a))}{(n+1)!}(x-a)^{n+1},
   \quad (0 < \theta < 1)
   \nonumber
 \end{eqnarray}
 %
 ��, $f(x) = \tilde{p}(x)$, $x = \theta + \theta '$, $a = \theta$
 ��������, ����$\theta '$�������Ǥ��뤳�Ȥ���$\theta '$��2��ʾ�ι��
 ���������,
 %
 \begin{eqnarray}
  \tilde{p}(\theta + \theta ') \simeq \tilde{p}(\theta) 
   + \theta '\DP{\tilde{p}}{\theta}
   \nonumber
 \end{eqnarray}
 %
 �Ȥʤ뤳�Ȥ���������.
}.
���Τ���
$\overline{(p'/\tilde{p})^2} = (1/\tilde{p}^2)
\overline{(\theta ' \ \partial \tilde{p}/ \partial \theta)^2}
= (1/\tilde{p}^2)\overline{\theta^{\prime 2}}
(\partial \tilde{p} / \partial \theta)^2$
�Ȥʤ�.
������(2-96)�����������,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{A}
 &=&
 \frac{1}{2} \kappa c_p g^{-1} p_s^{- \kappa}
 \int^{\theta_T}_{\theta_S}
 \frac{\tilde{p}^{\kappa}}{\tilde{p}}
 \overline{\theta ^{\prime 2}}
  \left(
   \DP{\tilde{p}}{\theta}
  \right)^2
  \ d\theta
 \nonumber \\
 &=&
  \frac{\kappa c_p}{2 g p_s ^{\kappa}}
  \int^{0}_{\tilde{p_s}}
  \tilde{p}^{(\kappa -1)}
  \tilde{\theta}^2
  \overline{
   \left(
    \frac{\theta '}{\tilde{\theta}}
   \right)^2
  }
  \left(
   \DP{\tilde{p}}{\theta}
  \right)
  \ dp
\end{eqnarray}
%
�Ȥ������ˤʤ�.
������, �ʲ��δط������Ѥ���
\footnote{
 1���ܤδط�����Ƴ�ФˤĤ��Ƥ� {\bfseries 2-11-D}����.
 2���ܤδط����������̾�($\tilde{p} =$����)������Ω�ļ��Ǥ���.
}.
%
\begin{eqnarray}
 (\partial \tilde{p} / \partial \theta) \kappa \tilde{\theta} /
  (\gamma_d \tilde{p}) = -1 / (\gamma_d - \tilde{\gamma}),
  \qquad
  \gamma = - \partial T /\partial z , \
  \gamma_d = g/c_p ,
  \nonumber \\
 \tilde{\theta} = \tilde{T} (p_s/\tilde{p})^{\kappa}
  \quad
  {\rm and}
  \quad
  \theta ' / \tilde{\theta} \doteq T'/\tilde{T}  .
  \nonumber
  \hspace{25mm}
\end{eqnarray}
%
������(2-97)����������Ȱʲ��Τ褦��$\overline{A}$��
�ǽ�Ū�ʷ���Ƴ�����Ȥ��Ǥ���
\footnote{
�ܺ٤ʷ׻���{\bf 2-11-B}����.
}.
%
\begin{eqnarray}
 \overline{A}
  \doteq
  \frac{1}{2} \int^{p_s}_{0}
  \frac{\tilde{T}}{\gamma_d - \tilde{\gamma}}
  \overline{
  \left(
   \frac{T'}{\tilde{T}}
  \right)^2
  }
  \ dp  .
\end{eqnarray}
%
�ʤ�, $\gamma$������Ψ
\footnote{
���٤ξ徺�ˤĤ첹�٤��㲼������.
}
, $\gamma_d$�ϴ�����Ǯ��Ψ
\footnote{
�����絤(�Ĥޤ���Ǯ��ȯ�����ʤ�����)��
��ǮŪ�˶�������徺���������β��٤���������.
}
�Ǥ���
\footnote{
����ͭ�����֥��ͥ륮���μ��˴ؤ���
{\bf 2-11-E}�ǹͻ����Ƥ���.
}.

ŵ��Ū�ʾ��ǹͤ����,
$\gamma \doteq 2 \gamma_d /3$,
$\overline{T ^{\prime 2}} = (15^{\circ})^2$
�Ȥʤ�.
���ξ���
%
\begin{eqnarray}
 \overline{A}/\overline{TPE} \sim 1/200
\end{eqnarray}
%
�Ǥ���
\footnote{
 �����ͤμºݤ�Ƴ�Ф˴ؤ��Ƥ�{\bfseries 2-11-F}�򻲾ȤΤ���.
}.
��ư���ͥ륮�����Ѵ������Τ������֥��ͥ륮����
1�ѡ�����Ȥ������ʤ�.
ñ�����Ѥ��絤�α���α�ư���ͥ륮��$K$��
�����֥��ͥ륮��$TPE$�Ϥ��줾��,
%
\begin{eqnarray}
 K = \frac{1}{2g} \int^{p_s}_{0} V^2 \ dp,
 \qquad
 TPE = \frac{c_v}{gR} \int^{p_s}_{0} c^2 \ dp
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
������$c^2 = c_p RT/c_v$�ϲ�®�����Ǥ���.
(ñ�̤�$c$ [m/s]�Ǥ���)
\footnote{
$R, c_v, c_p$��ñ�̤����� [J kg$^{-1}$ K$^{-1}$]
�Ǥ���.
�ޤ�, ��ư���ͥ륮����$K=(1/2)\int \rho V \ dz$��
$\rho \ dz = (1/g)dp$�δط������ѷ����뤳�Ȥ���
�狼��.
�����֥��ͥ륮���˴ؤ��Ƥ�,
$c^2 = c_p RT/ c_v$��(2-100)�θ���μ������������
$TPE = (c_p / g) \int T dp$�Ȥʤ�,
$TPE$��Ƴ����������Ʊ�ͤˤʤ뤳�Ȥ���狼�������.
}.

$V/c \sim 1/20$��ʿ�Ѥ�Ȥä��绨�Ĥ˸��Ѥ���
%
\begin{eqnarray}
 \overline{K}/\overline{TPE} \sim 1/2000
 \qquad
 {\rm and}
 \qquad
 \overline{K}/\overline{A} \sim 1/10
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
 ��ư���ͥ륮���������֥��ͥ륮�������Ƴ�Ф˴ؤ��Ƥ�
 {\bfseries 2-11-G}����.
}.
���Τ褦��, ��ư���ͥ륮�����Ѵ������ͭ�����֥��ͥ륮����
�����֥��ͥ륮���Τۤ�ΰ����˲᤮�ʤ�.
������, ����Ǥ�ͭ�����֥��ͥ륮���ϴ�¬�����
��ư���ͥ륮���Τ��褽10�ܤϤ���.
��ư���ͥ륮����ȯ�����ʤ����,
�����ͭ�����֥��ͥ륮���Ȥ����������Ƥ��륨�ͥ륮����­��ʤ��ΤǤϤʤ�,
���ͥ륮����������褦�ʥᥫ�˥��ब̵������Ǥ���.

ŷ��ͽ��ο��ͷ׻���������ˤ�����,
$TPE$�θ��������ä�0.01�ѡ�����ȤǤ��äƤ�
�����ư���ͥ륮�����̤��鸫���
��ư���ͥ륮����20�ѡ�����Ȥˤ�ʤ�褦�ʥ��ͥ륮�������̤Ȥʤ�.
��������������ϰϳ��θ����Ǥ���.

ŷ��ͽ��ˤ�����,
��������������ϰϳ��θ����Ǥ���.

��¸§��(2-87)����(2-92)�ˤ�����$E$�������$A$��
�Ȥä���Τ��ͤ�����.
�����������Ǥϼ��夲�ʤ�.

������, �ɤ�ʾ��ˤ����������ʰ�ή��ϱ�ư���ͥ륮�������߽Ф��ʤ�.
���Τ����ή�������������Ū�ʼ谷���ϸ��ä���ư���ͥ륮����
ȯ�����򤱤뤳�ȤǤ���.



%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             �ʲ���Appendix             %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%           ���ֹ�Υ������饤��         %%%%%%%% 
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{A-\arabic{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{center}
% {\bf 
% --------------------------------------
% ��ʸ�����ޤ�
% --------------------------------------
% } 
%\end{center}

\subsection*{2-11-A \qquad
$\overline{p^{1+ \kappa}}$��$\overline{p}^{1+ \kappa}$�Ȥΰ㤤
}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-11-A-\arabic{equation}}

�����Ǥ����絤��$n$�ܤα���
(ñ�����Ѥǹ⤵����ɽ�̤����絤��ü�ޤ�)��
��������Ƥ���ȹͤ���.
����ˤ�$k = 1 �� n$���ֹ��դ�����.
$k$���ܤα���ΰ��Ϥ�$p_k(\theta)$�Ȥ����,
�Ʊ���������֥��ͥ륮��$TPE_k$��
%
\begin{eqnarray*}
 TPE_k= \alpha \int p_k ^{1+\kappa} \ d\theta
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�.
�ʤ�, $\alpha = c_p p_s ^{- \kappa} / g(1+\kappa)$�Ǥ���,
������̵�뤷�Ƥ���.

��ä�, �����֥��ͥ륮����ʿ��$\overline{TPE}$��
%
\begin{eqnarray*}
 \overline{TPE}
 &=&
  \alpha
  \frac{1}{n}
  \sum_{k=1}^{n} \int p_k ^{1+\kappa} \ d\theta
 \\
 &=&
  \alpha
  \int \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} p_k ^{1+\kappa} \ d\theta  
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�.
������,
$\displaystyle \overline{p^{1+\kappa}}
= \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} p_k ^{1+\kappa}$
�Ȥ������ȤǼ�(2-94)�Ȥʤ�.

����, Lorenz�β��۾��֤Ǥ���ʸ�ΤȤ���
���������̾�ΰ���$\tilde{p}$�Ͻ���ΰ���ʬ�ۤ�ʿ����($\overline{p}$�Ȥ���)
����������
�Τ�,
$p_1(\theta)=p_2(\theta)= \cdots =p_n(\theta)=\overline{p}(\theta)$
�Ȥʤ�.
���Τ���, �����֥��ͥ륮����ʿ�Ѥ�
%
\begin{eqnarray*}
 \overline{TPE}
 &=&
  \alpha
  \frac{1}{n}
  n \int \tilde{p} ^{1+\kappa} \ d\theta
 \\
 &=&
  \alpha
  \int \tilde{p} ^{1+\kappa} \ d\theta  
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�.




\subsection*{2-11-B\qquad (2-98)����Ƴ��}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-11-B-\arabic{equation}}


(2-97)����ʲ���5�Ĥδط������Ѥ���(2-98)�����.
(ñ��ʷ׻�������).
%
\begin{eqnarray*}
  (\partial \tilde{p} / \partial \theta) \kappa \tilde{\theta} /
  (\gamma_d \tilde{p})
 &=&
  -1 / (\gamma_d - \tilde{\gamma})
 , \\
  \gamma
 &=&
  - \partial T /\partial z
 , \\
  \gamma_d
 &=&
  g/c_p
 , \\
  \tilde{\theta}
 &=&
  \tilde{T} (p_s/\tilde{p})^{\kappa}
 , \\
  \theta ' / \tilde{\theta}
 &\doteq&
  T'/ \tilde{T}.
\end{eqnarray*}
%
(2-97)���ѷ�����.
%
\begin{eqnarray*}
 \overline{A}
 &=&
  \frac{\kappa c_p}{2 g p_s ^{\kappa}}
  \int^{0}_{p_s}
  \tilde{p}^{(\kappa -1)}
  \overline{\theta^2}
  \overline{
   \left(
    \frac{\theta '}{\tilde{\theta}}
   \right)^2
  }
  \left(
   \DP{\tilde{p}}{\theta}
  \right)
  \ dp.
\end{eqnarray*}
%
������
$\tilde{\theta} = \tilde{T}(p_s/\tilde{p})^{\kappa}$, 
$\theta ' / \tilde{\theta} \doteq T'/ \tilde{T}$,
$\gamma_d = g/c_p$
��Ȥ���,
%
\begin{eqnarray*}
 \overline{A}
 &=&
  \frac{1}{2}\frac{c_p}{g}\frac{\kappa}{p_s^{\kappa}}
  \int^{0}_{p_s}
  \frac{\tilde{p}^{\kappa}}{\tilde{p}}
  \tilde{T}
   \left( \frac{p_s}{\tilde{p}} \right)^{\kappa}
  \tilde{\theta}
  \overline{
   \left(
    \frac{T '}{\tilde{T}}
   \right)^2
  }
  \left(
   \DP{\tilde{p}}{\tilde{\theta}}
  \right)
  \ dp
 \\
 &=&
  \frac{1}{2}\frac{1}{p_s^{\kappa}}
  \int^{0}_{p_s}
  \frac{\kappa}{\gamma_d} \frac{\tilde{\theta}}{\tilde{p}}
  \left(
   \DP{\tilde{p}}{\tilde{\theta}}
  \right)
  \tilde{p}^{\kappa}
  \frac{p_s ^{\kappa}}{\tilde{p}^{\kappa}}
  \tilde{T}
  \overline{
   \left(
    \frac{T '}{\tilde{T}}
   \right)^2
  }
  \ dp
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�.
�Ǹ��
$(\partial \tilde{p} / \partial \theta) \kappa \tilde{\theta} /
(\gamma_d \tilde{p}) =
-1 / (\gamma_d - \tilde{\gamma})$
��Ȥ���,
%
\begin{eqnarray*}
 \overline{A}
 &=&
  \frac{1}{2}
  \int^{0}_{p_s}
  - \frac{1}{\gamma_d - \gamma}
  \tilde{T}
  \overline{
   \left(
    \frac{T '}{\tilde{T}}
   \right)^2
  }
  \ dp
 \\
 &=&
  \frac{1}{2}
  \int^{p_s}_{0}
  \frac{\tilde{T}}{\gamma_d - \gamma}
  \overline{
   \left(
    \frac{T '}{\tilde{T}}
   \right)^2
  }
  \ dp
\end{eqnarray*}
%
�Ȥʤ�.


\subsection*{2-11-C\qquad ��ʬ�����ѷ�}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-11-C-\arabic{equation}}


���������̾�ˤ����벹��$T(x,y)$�ȱ�ľ®��$\omega (x,y)$�ζ�ʬ��
$\overline{T \omega}$���ѷ�
$\overline{T \omega} = \overline{T' \omega '} +
\overline{T} \overline{\omega}$�ˤĤ��ƹͻ�����.

$T$��$\omega$�򤽤줾����ܾ�($x$-$y$ʿ�̤ˤ�����ʿ����)
$\overline{T}$, $\overline{\omega}$��
�����(ʿ���ͤ���Τ���)$T'$, $\omega '$��ʬ����ɽ�������,
%
\begin{eqnarray}
 T(x,y) = \overline{T} + T'(x,y) , \quad
  \omega(x,y) = \overline{\omega} + \omega '(x,y)
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
��ä�, $T$��$\omega$����$T \omega$��,
%
\begin{eqnarray}
 T(x,y) \omega(x,y) &=& \left( \overline{T} + T'(x,y) \right)
  \left( \overline{\omega} + \omega '(x,y) \right)
  \nonumber \\
 &=& \overline{T} \overline{\omega} + T'(x,y) \overline{\omega}
  + \overline{T} \omega '(x,y) + T '(x,y) \omega '(x,y)
  \nonumber 
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
���ˤ�����$T \omega$��ʿ�Ѥ�Ȥ��,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{T(x,y) \omega(x,y)} &=& \overline{\overline{T} \overline{\omega}}
  + \overline{T'(x,y) \overline{\omega}}
  + \overline{\overline{T} \omega '(x,y)}
  + \overline{T '(x,y) \omega '(x,y)}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. 
$\overline{T}$��$\overline{\omega}$�ϴ���$x,y$�˰�¸���ʤ�ʿ���ͤ�
�ʤäƤ��뤿��,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{T(x,y) \omega(x,y)} &=& \overline{T} \overline{\omega}
  + \overline{T'(x,y)} \overline{\omega}
  + \overline{T} \overline{\omega '(x,y)}
  + \overline{T '(x,y) \omega '(x,y)}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
������ʿ���ͤϤ����������ͤ���
$\overline{T'} =0$, $\overline{\omega'} = 0$�Ȥʤ�.
��äưʲ��δط�������Ω��.
%
\begin{eqnarray}
 \overline{T \omega} &=& \overline{T} \overline{\omega}
  + \overline{T ' \omega '}.
  \nonumber
\end{eqnarray}



\subsection*{2-11-D\qquad ����Ψ�ȴ�����Ǯ��Ψ�δط���}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-11-D-\arabic{equation}}


�ط���
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-11-����Ψ�ȴ�����Ǯ��Ψ�δط���}
 (\partial \tilde{p} / \partial \theta) \kappa \tilde{\theta} /
  (\gamma_d \tilde{p}) = -1 / (\gamma_d - \tilde{\gamma})
  \qquad
\end{eqnarray}
%
��Ƴ�Ф���.
�ʤ�,
$\gamma = - \partial T /\partial z$, $\gamma_d = g/c_p$
�Ǥ���.
�ſ尵ʿ�դμ�(2-12)���ʲ��δط���
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-11-�ſ尵ʿ�դμ�}
  \DP{}{z} = - g \tilde{\rho} \DP{}{p}
\end{eqnarray}
%
���Ѥ����
%
\begin{eqnarray}
 \tilde{\gamma} &=& g \tilde{\rho} \DP{\tilde{T}}{p}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�
\footnote{
 ��ʸ��Ʊ��, �����( $\tilde{}$ )�ϰ������ؾ��֤Ǥ�ʪ���̤�ɽ��.
}.
�����ǲ���, ����, ���Ϥδط���
$\tilde{T} = \tilde{\theta} (\tilde{p} / p_s)^{\kappa}$
�����������,
%
\begin{eqnarray}
 \tilde{\gamma} &=& g \tilde{\rho} \DP{}{p}
  \left\{ \tilde{\theta}
   \left( \frac{\tilde{p}}{p_s} \right)^{\kappa}
  \right\}
  \nonumber \\
 &=& g \tilde{\rho} p_s^{- \kappa}
  \left\{
   \tilde{p}^{\kappa} \DP{\tilde{\theta}}{p}
   + \tilde{\theta} \DP{\tilde{p}^{\kappa}}{p}
  \right\}
  \nonumber \\
 &=& g \tilde{\rho} p_s^{- \kappa}
  \left\{
   \tilde{p}^{\kappa} \DP{\tilde{\theta}}{p}
   + \kappa \tilde{\theta} \tilde{p}^{\kappa - 1}
  \right\}
  \nonumber \\
 &=& g \tilde{\rho} 
  \left\{
   \left( \frac{\tilde{p}}{p_s} \right)^{\kappa}
   \DP{\tilde{\theta}}{p}
   + \left( \frac{\tilde{p}}{p_s} \right)^{\kappa}
   \frac{1}{\tilde{p}} \kappa \tilde{\theta}
  \right\}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�. ������
$(\tilde{p} / p_s)^{\kappa} = \tilde{T} / \tilde{\theta}$
�����������,
%
\begin{eqnarray}
 \tilde{\gamma} &=& g \tilde{\rho} 
  \left\{
   \frac{\tilde{T}}{\tilde{\theta}}
   \DP{\tilde{\theta}}{p}
   + \frac{\tilde{T}}{\tilde{\theta}}
   \frac{1}{\tilde{p}} \kappa \tilde{\theta}
  \right\}
  \nonumber \\
 &=& 
   g \tilde{\rho} \frac{\tilde{T}}{\tilde{\theta}}
   \DP{\tilde{\theta}}{p}
   + g \tilde{\rho} \frac{\tilde{T}}{\tilde{p}}
   \kappa
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�.
�����Ǿ���������
$\tilde{p} = \tilde{\rho} R \tilde{T}$�����������,
%
\begin{eqnarray}
 \tilde{\gamma} &=& 
   \frac{g \tilde{p}}{R \tilde{\theta}}
   \DP{\tilde{\theta}}{p}
   + \kappa \frac{g}{R}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�, $\kappa = R / c_p$�Ǥ��뤳�Ȥ���
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-11-����Ψ�μ�}
 \tilde{\gamma} &=& 
   \frac{\gamma_d \tilde{p}}{\kappa \tilde{\theta}}
   \DP{\tilde{\theta}}{p}
   + \frac{g}{c_p}
\end{eqnarray}
%
�Ǥ���.
����
\Deqref{hw-02-11-����Ψ�μ�}��
\Deqref{hw-02-11-����Ψ�ȴ�����Ǯ��Ψ�δط���}
�κ��դ����������,
%
\begin{eqnarray}
 - \frac{1}{\gamma_d - \tilde{\gamma}}
  &=& 1 \bigg/
  \left(
   \frac{\gamma_d \tilde{p}}{\kappa \tilde{\theta}}
   \DP{\tilde{\theta}}{p}
  \right)
  \nonumber \\
 &=& \DP{\tilde{p}}{\theta}
  \frac{\kappa \tilde{\theta}}{\gamma_d \tilde{p}}
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�, 
\Deqref{hw-02-11-����Ψ�ȴ�����Ǯ��Ψ�δط���}
��Ƴ�Ф��줿.
�ʤ�, �����ε����Ǥϴ���(1982)��Peixoto(1992)�򻲾Ȥ���.
%



\subsection*{2-11-E\qquad ͭ�����֥��ͥ륮���μ��˴ؤ��Ƥιͻ�}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-11-E-\arabic{equation}}


�ʲ���ͭ�����֥��ͥ륮���μ�(2-98)�˴ؤ��Ƥ���äȹͻ����Ƥߤ�.
%
\begin{eqnarray}
 \overline{A}
  \doteq
  \frac{1}{2} \int^{p_s}_{0}
  \frac{\tilde{T}}{\gamma_d - \tilde{\gamma}}
  \overline{
  \left(
   \frac{T'}{\tilde{T}}
  \right)^2
  }
  \ dp  .
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
\begin{Dlist}[abcdefghijk]
 \item[$\displaystyle \overline{\left( \frac{T'}{\tilde{T}} \right)^2}$:]
	ʿ�Ѳ��٤���٤ƾ����礭���ۤ�ͭ�����֥��ͥ륮�����礭���ʤ�.
	(�����Τ��礭���Ƥ�ʿ�Ѳ��٤��礭���Ȥ���ۤ�ͭ�����֥��ͥ륮��)
	���礭���ʤ�ʤ�.
 \item[$\tilde{T}$:]
	ʿ�Ѳ��٤��⤤�ۤ�ͭ�����֥��ͥ륮�����礭��.
 \item[$1/(\gamma_d - \tilde{\gamma})$:]
	����Ψ���礭���ۤ�(������Ǯ��Ψ�˶��դ��ۤ�)ͭ�����֥��ͥ륮��
	�Ϥ��������ʤ�.
\end{Dlist}


\subsection*{2-11-F\qquad ͭ�����֥��ͥ륮���������֥��ͥ륮������}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-11-F-\arabic{equation}}


��ʸ(2-99) $\overline{A}/\overline{TPE} = 1/200$��Ƴ�Ф��Ƥߤ�.
$\overline{A}$��$\overline{TPE}$����Ӥˤϰʲ��μ�:
%
\begin{eqnarray}
 \overline{A} &=& \frac{1}{2}
  \int_{0}^{p_s} \frac{\overline{T}}{\gamma_d - \overline{\gamma}}
  \overline{\left( \frac{T '}{\overline{T}} \right)^2} dp
  \ \sim \ \frac{1}{2}
  \frac{\overline{T}}{\gamma_d - \overline{\gamma}}
  \overline{\left( \frac{T '}{\overline{T}} \right)^2} p_s ,
  \nonumber \\
 \overline{TPE} &=& \frac{c_p}{g} \int_{0}^{p_s} \overline{T} dp
  \sim \ \frac{1}{\gamma_d} \overline{T} p_s
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
��Ȥ�.

$\overline{\gamma} = 2 \gamma_d/3$, $\overline{T^{\prime 2}} = 15^2$,
$\overline{T} = 270$�Ȳ��ꤹ���,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{A} / \overline{TPE} &=&
  \left(
   \frac{1}{2}
   \frac{\overline{T}}{(1/3)\gamma_d}
   \overline{\left( \frac{T '}{\overline{T}} \right)^2} p_s
  \right)
  \Big/
  \left(
   \frac{1}{\gamma_d} \overline{T} p_s
  \right)
  \nonumber \\
 &=&
  \frac{3}{2} \left( \frac{\overline{T'}}{\overline{T}} \right)^2
  \nonumber \\
 &=&
  \frac{3}{2} \left( \frac{1}{18} \right)^2
  \nonumber \\
 &=& \frac{1}{216} \ \simeq \ \frac{1}{200}
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�, (2-99)����뤳�Ȥ��Ǥ���.




\subsection*{2-11-G\qquad ��ư���ͥ륮���������֥��ͥ륮������}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{2-11-G-\arabic{equation}}


��ʸ�μ�(2-101) $\overline{K}/\overline{TPE} \sim 1/2000$��Ƴ�Ф���.
��ʸ���$V/c \sim 1/20$���ꤹ��. �ޤ�2����ʬ�Ҥ�������Ǯ$c_v$��
��ͳ�٤�5�Ǥ��뤳�Ȥ���$(5/2)R$�ʤΤ�,
%
\begin{eqnarray}
 \overline{K}/\overline{TPE} &=&
  \left(
   \frac{1}{2g} \int_{0}^{p_s} V^2 dp
  \right)
  \Big/
  \left(
   \frac{c_v}{gR} \int_{0}^{p_s} c^2 dp
  \right)
  \nonumber \\
 &\sim& 
  \left(
   \frac{1}{2g} V^2 p_s
  \right)
  \Big/
  \left(
   \frac{c_v}{gR} c^2 p_s
  \right)
  \nonumber \\
 &=& 
  \left(
   \frac{1}{2g} V^2 p_s
  \right)
  \Big/
  \left(
   \frac{5}{2g} c^2 p_s
  \right)
  \nonumber \\
 &\sim& 
   1^2
  \Big/
  \left(
   5 \times 20^2 
  \right)
  \nonumber \\
 &=& 1/2000
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
�Ȥʤ�, ��ư���ͥ륮���������֥��ͥ륮��������줿.




%\subsection*{Appendix \qquad }

%\subsubsection*{}

%%%%%%%%          ���ֹ�Υ������Х饤��        %%%%%%%% 
\setcounter{equation}{101}
\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%              text end                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
