%
% Chapter 2   Wave Motion in the Atmosphere  Part I
%             2-2 LINEARIZED EQUATIONS
%
% 2002/07/27  森川 靖大   作成
% 2002/07/28  森川 靖大   完成
% 2002/09/23  森川 靖大   摂動法に関して修正
% 2002/09/25  森川 靖大   摂動法に関して再度修正
%
%
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%         title and date setting         %%%%%%%%
\markboth{3-2 線形方程式}{3-2 線形方程式}
%\markright{2-2 線形方程式}
%\Ddate{2002/09/25}
%\Dfile{hw-02-02.tex}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        page and section setting        %%%%%%%%
\setcounter{chapter}{3}
\setcounter{section}{1}
\setcounter{footnote}{0}
\setcounter{equation}{0}
%\setcounter{page}{1}
%\setcounter{figure}{0}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%        Counter Output Format           %%%%%%%%
\def\thesection{\arabic{chapter}-\arabic{section}}
\def\thesubsection{\arabic{chapter}-\arabic{section}-\arabic{subsection}}
\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}
\def\thepage{\arabic{page}}
\def\thefigure{\arabic{chapter}-\arabic{figure}}
\def\thetable{\arabic{chapter}-\arabic{table}}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              text start                %%%%%%%%

\section{線形方程式}

\begin{itembox}[l]{概要}
 この節では, 支配方程式系(運動方程式, 熱力学の式, 連続の式)
 の線形化をおこなう.
 非常に簡単な条件を与えることで支配方程式系を簡略化し,
 その上で摂動法を用いることで方程式系を線形化する. 
\end{itembox}

非常に複雑な大気の運動を理解するには,
まず, その複雑な運動を構成する単純な運動の一つ一つを
別々に分け, そしてその一つ一つの運動について解析するのが望ましい.
この章ではこのようにして解析をおこなっていく.
この目的のため, まずは$x$-$z$平面の運動のみを考える.
側面方向($y$方向)は一様だと仮定し,
地球の回転, 摩擦は無視し,
断熱系であると仮定する.
以上の仮定によって, ニュートンの運動方程式, 熱力学の式,
連続の式は以下のように書き表すことができる
\footnote{
これらの方程式の簡略化に関しては
{\bfseries 3-2-A}を参照のこと
}
.
%
\begin{eqnarray}
 \DD{u}{t} + \alpha \DP{p}{x} &=& 0,
 \nonumber \\
 \DD{w}{t} + \alpha \DP{p}{z} + g &=& 0,
 \nonumber \\
 \alpha \DD{p}{t} + p \gamma \DD{\alpha}{t} &=& 0,
 \\
 \alpha \Ddiv \Dvect{V} - \DD{\alpha}{t} &=& 0.
 \nonumber
\end{eqnarray}
%
ここで
$
 \displaystyle
 \gamma = \frac{c_p}{c_v}, \
 \alpha = \frac{1}{\rho}
$
である
($\gamma$ は{\bfseries 比熱比}と呼ばれる).

これらの方程式をいわゆる{\bfseries 摂動法}({\itshape perturbation method})
で線形化する.
単純化のために, 流れの基本場を$U$(一定)
\footnote{
 本文中では明記していないが, $U$は$x$方向の流れであり,
 $z$方向には流れの基本場は無い.
}
とする.
また, 基本状態の熱力学変数を$\overline{p}$と$\overline{\alpha}$
とする.
次に, 従属変数を基本または非擾乱の値に擾乱を加えたもので表す.
(例えば, $u = U + u'$).
そしてこれらを系(3-1)に代入する.
方程式から基本の流れだけを引き,
擾乱の積を無視すると,
以下のような擾乱の項に関する線形方程式が得られる
\footnote{
これらの式の導出に関しては{\bfseries 3-2-B}参照.
}
.
%
\begin{eqnarray}
  \DP{u'}{t} + U \DP{u'}{x} + \overline{\alpha} \DP{p'}{x}
 &=& 0,
 \nonumber \\
  \delta_1
   \left(
    \DP{w'}{t} + U \DP{w'}{x}
   \right)
  + \overline{\alpha} \DP{p'}{z}
  - \frac{g \alpha ' }{\overline{\alpha}}
 &=& 0,
 \nonumber \\
 \overline{\alpha}
  \left(
   \DP{p'}{t} + U \DP{p'}{x}
  \right)
  - g w'
  + \overline{p} \gamma
   \left(
    \DP{\alpha '}{t} + U \DP{\alpha'}{x} + w' \DP{\overline{\alpha}}{z}
   \right)
 &=& 0,
  \\
 \left(
  \DP{u'}{x} + \DP{w'}{z}
 \right)
 \overline{\alpha}
 - \delta_2
  \left(
   \DP{\alpha '}{t} + U \DP{\alpha '}{x}
  \right)
 - w' \DP{\overline{\alpha}}{z}
 &=& 0.
 \nonumber
\end{eqnarray}
%
$\delta_1$と$\delta_2$の項は, この後におこなう解析で
それぞれ鉛直方向の加速度の項と圧縮率の項として扱われる.
そしてこれらの項は除外されるか他の項に含まれるかすることによって
1か0の値をとる.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%             以下はAppendix             %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%%%%%%%%           式番号のローカライズ         %%%%%%%% 
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{A-\arabic{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\begin{center}
% {\bf 
% --------------------------------------
% 本文ここまで
% --------------------------------------
% } 
%\end{center}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      3-2-A      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{3-2-A\qquad 方程式の簡略化}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{3-2-A-\arabic{equation}}

\subsubsection*{3-2-A-a \quad ニュートンの運動方程式の簡略化}

ニュートンの運動方程式(2-5)
\footnote{
\begin{eqnarray*}
 \DD{\Dvect{V}}{t}
  =
 - \alpha \nabla p
 - 2 \Dvect{\Omega} \times \Dvect{V}
 + \Dvect{g} + \Dvect{F}.
\end{eqnarray*}
}
を本文の仮定によって簡略化する.
地球の回転を無視するので$\Dvect{\Omega} = 0$となる.
つまり, このことによってコリオリ力を無視できる.
摩擦力も無視できるので$\Dvect{F} = 0$である.
また, $y$方向は一様であるため$dv/dt = 0 , \ \partial p /\partial y = 0$
となり, $y$方向の運動方程式は事実上無くなる.
よって(2-5)は
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-02-簡略化した運動方程式-x}
 \DD{u}{t} + \alpha \DP{p}{x} &=& 0
 , \\
 \Deqlab{hw-02-02-簡略化した運動方程式-z}
 \DD{w}{t} + \alpha \DP{p}{z} + g &=& 0
\end{eqnarray}
%
となる.



\subsubsection*{3-2-A-b \quad 熱力学の式の簡略化}

熱力学の式(2-9)を簡略化する.
(2-9a)
\footnote{
\begin{eqnarray*}
 Q = c_v \DD{T}{t} + p \DD{\alpha}{t}.
\end{eqnarray*}
},
(2-9b)
\footnote{
\begin{eqnarray*}
 Q = c_p \DD{T}{t} - \alpha \DD{p}{t}.
\end{eqnarray*}
}
のどちらからおこなっても同じ結果になるが,
ここでは(2-9b)から簡略化する.

まず, 断熱系であることから$Q = 0$である.
そして, 状態方程式(2-8)から$T = p \alpha / R$が成り立つので,
これを代入すると,
%
\begin{eqnarray}
  c_p \DD{}{t} \left( \frac{p \alpha}{R} \right) - \alpha \DD{p}{t}
 &=& 0
 \nonumber , \\
  \frac{c_p}{R} p \DD{\alpha}{t} + \frac{c_p}{R} \alpha \DD{p}{t}
  - \alpha \DD{p}{t}
 &=& 0
 \nonumber , \\
  \frac{c_p}{R} p \DD{\alpha}{t} + \frac{c_p - R}{R} \alpha \DD{p}{t}
 &=& 0
 \nonumber , \\  
  \frac{c_p}{R} p \DD{\alpha}{t} + \frac{c_v}{R} \alpha \DD{p}{t}
 &=& 0,   \qquad (c_p - c_v = R)
 \nonumber , \\
  \frac{c_p}{c_v} p \DD{\alpha}{t} + \alpha \DD{p}{t}
 &=& 0
 \nonumber , \\
 \Deqlab{hw-02-02-簡略化した熱力学の式}
   p \gamma \DD{\alpha}{t} + \alpha \DD{p}{t}
 &=& 0
\end{eqnarray}
%
となる.



\subsubsection*{3-2-A-c \quad 連続の式の簡略化}

連続の式は(2-7)
\footnote{
\begin{eqnarray*}
 \frac{1}{\alpha} \DD{\alpha}{t} = \Ddiv \Dvect{V}.
\end{eqnarray*}
}
のままである.




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      3-2-B      %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

\subsection*{3-2-B\qquad 方程式の線形化}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{3-2-B-\arabic{equation}}

以下では簡略化された方程式系(3-1)を摂動法にて線形化する.
ここでは以下の手順で線形化をおこなう.
%
\begin{Dlist}[1.]
 \item[a.] 基本場(擾乱を含まない)の方程式系を導出
 \item[b.] 擾乱を含む方程式系を導出した後, 基本場の方程式系を引き,
	   擾乱の積を除外
 \item[c.] 与えられた仮定(静水圧平衡など)を用いて線形化
\end{Dlist}


\subsubsection*{3-2-B-a \quad  基本場の方程式系の導出}

擾乱を含んだ方程式系を導く前に, 基本場のみで考えた方程式系を導く.
この場合には各従属変数は以下のようになる.
(本文で挙げられていた仮定は最後に用いる).
%
\begin{eqnarray}
 u(x,z,t) &=& U(x,z,t) ,
  \nonumber \\
 w(x,z,t) &=& W(x,z,t) ,
  \nonumber \\
 \Deqlab{hw-02-02-基本量のみ} 
 p(x,z,t) &=& \overline{p}(x,z,t),
  \\
 \alpha (x,z,t) &=& \overline{\alpha} (x,z,t).
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
この
\Deqref{hw-02-02-基本量のみ}を簡略化した方程式系(3-1)に代入すると
以下のような方程式系が得られる.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-02-基本場のx方向運動方程式} 
  \DP{U}{t} + U \DP{U}{x} + W \DP{U}{z}
  + \overline{\alpha} \DP{\overline{p}}{x} &=& 0,
  \\
 \Deqlab{hw-02-02-基本場のz方向運動方程式} 
  \DP{W}{t} + U \DP{W}{x} + W \DP{W}{z}
  + \overline{\alpha} \DP{\overline{p}}{z} + g &=& 0,
  \\
 \Deqlab{hw-02-02-基本場の熱力学の式} 
  \overline{\alpha}
  \left\{
   \DP{\overline{p}}{t} + U \DP{\overline{p}}{x} + W \DP{\overline{p}}{z}
  \right\}
 + \overline{p} \gamma
  \left\{
   \DP{\overline{\alpha}}{t}
   + U \DP{\overline{\alpha}}{x} + W \DP{\overline{\alpha}}{z}
  \right\} &=& 0,
  \\
 \Deqlab{hw-02-02-基本場の連続の式} 
  \overline{\alpha}
  \left\{
   \DP{U}{x} + \DP{W}{z}
  \right\}
   - \DP{\overline{\alpha}}{t}
   - U \DP{\overline{\alpha}}{x} - W \DP{\overline{\alpha}}{z}
   &=& 0.
\end{eqnarray}



\subsubsection{3-2-B-b \quad  擾乱を含んだ方程式系の導出}

\subsubsection{b-1 \quad 擾乱を含む各従属変数}

各従属変数を時間変化しない
(ものによっては空間変化もしない)基本場と擾乱に分ける.
具体的には以下のようになる
%
\begin{eqnarray}
 u(x, z, t) &=& U(x, z, t) + u'(x, z, t),
  \nonumber \\
 w(x, z, t) &=& W(x, z, t) + w'(x, z, t),
  \nonumber \\
 \Deqlab{hw-02-02-基本量と摂動量}
  p(x ,z, t) &=& \overline{p}(x, z, t) + p' (x, z, t),
 \\
 \alpha (x, z, t) &=& \overline{\alpha} (x, z, t) + \alpha ' (x, z, t).
  \nonumber
\end{eqnarray}
%



\subsubsection*{b-2 \quad 運動方程式($x$方向)}

\Deqref{hw-02-02-基本量と摂動量}を(3-1)の最初の式に代入し,
計算をおこなうと,
%
\begin{eqnarray}
 & &
  \DD{u}{t} + \alpha \DP{p}{x} = 0
 \nonumber \\
 & &
  \DP{u}{t} + u \DP{u}{x} + w \DP{u}{z} + \alpha \DP{p}{x} = 0
 \nonumber \\
 & &
 \Deqlab{hw-02-02-運動方程式の線形化中1}
  \DP{(U + u')}{t} + (U + u') \DP{(U + u')}{x}
  + (W + w') \DP{(U + u')}{z}
  + (\overline{\alpha} + \alpha ') \DP{(\overline{p} + p')}{x} = 0
 \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる.
この式から基本場の$x$方向の運動方程式
\Deqref{hw-02-02-基本場のx方向運動方程式}
を引くと,
\Deqref{hw-02-02-運動方程式の線形化中1}は
%
\begin{eqnarray}
  \DP{u'}{t} + U \DP{u'}{x} + u' \DP{U}{x} + u' \DP{u'}{x} 
  + W \DP{u'}{z} + w' \DP{U}{z} + w' \DP{u'}{z}
  \hspace{10mm}
  \nonumber \\
  + \overline{\alpha} \DP{p'}{x}
  + \alpha ' \DP{\overline{p}}{x}
  + \alpha ' \DP{p'}{x}
  = 0
  \nonumber
\end{eqnarray}%
%
となる. さらに, 本文にもあるように擾乱の積を無視すると,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-02-擾乱を含むx方向運動方程式}
  \DP{u'}{t} + U \DP{u'}{x} + u' \DP{U}{x}
  + W \DP{u'}{z} + w' \DP{U}{z}
  + \overline{\alpha} \DP{p'}{x}
  + \alpha ' \DP{\overline{p}}{x}
  = 0 
\end{eqnarray}%
%
となる.


\subsubsection*{b-3 \quad 運動方程式($z$方向)}

(3-1)の$z$方向の運動方程式に
\Deqref{hw-02-02-基本量と摂動量}を代入すると,
%
\begin{eqnarray}
 & &
  \DD{w}{t} + \alpha \DP{p}{z} + g =  0
 \nonumber \\
 & &
  \DP{(W + w')}{t} + (U + u') \DP{(W + w')}{x} + (W + w') \DP{(W + w')}{z}
  \nonumber \\
 & & \hspace{70mm}
   + (\overline{\alpha} + \alpha ') \DP{(\overline{p} + p')}{z} + g = 0
   \nonumber 
\end{eqnarray}
%
となる. この式から基本場の$z$方向運動方程式
\Deqref{hw-02-02-基本場のz方向運動方程式} 
を引き, 擾乱の積を無視すると,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-02-擾乱を含むz方向運動方程式} 
  \DP{w'}{t} + U \DP{w'}{x} + u' \DP{W}{x}
   + W \DP{w'}{z} + w' \DP{W}{z}
  + \overline{\alpha} \DP{p'}{z}
  + \alpha ' \DP{\overline{p}}{z}
  = 0 
\end{eqnarray}
%
となる.


\subsubsection*{b-4 \quad 熱力学の式}

(3-1)の熱力学の式に
\Deqref{hw-02-02-基本量と摂動量}を代入すると,
%
\begin{eqnarray}
 & &
  \alpha \DD{p}{t} + p \gamma \DD{\alpha}{t} = 0
 \nonumber \\
 & &
  ( \overline{\alpha} + \alpha ' )
   \left\{
    \DP{( \overline{p} + p ' )}{t}
    + (U + u') \DP{( \overline{p} + p' )}{x}
    + (W + w') \DP{( \overline{p} + p' )}{z}
   \right\}
 \nonumber \\
 & & \hspace{5mm}
  + (\overline{p} + p') \gamma
   \left\{
    \DP{( \overline{\alpha} + \alpha ' )}{t}
    + (U + u') \DP{( \overline{\alpha} + \alpha' )}{x}
    + (W + w') \DP{( \overline{\alpha} + \alpha' )}{z}
   \right\}
  = 0
 \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. 基本場の熱力学の式
\Deqref{hw-02-02-基本場の熱力学の式}を引き, 擾乱の積を無視すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \overline{\alpha}
  \left\{
   \DP{p '}{t}
   + U \DP{p'}{x}
   + u' \DP{\overline{p}}{x}
   + W \DP{p'}{z}
   + w' \DP{\overline{p}}{z}
  \right\}
 + \alpha '
  \left\{
   \DP{\overline{p}}{t}
   + U \DP{\overline{p}}{x}
   + W \DP{\overline{p}}{z}
  \right\}
 \hspace{25mm}
 \nonumber \\
 \hspace{10mm}
  \overline{p} \gamma
  \left\{
   \DP{\alpha '}{t}
   + U \DP{\alpha'}{x}
   + u' \DP{\overline{\alpha}}{x}
   + W \DP{\alpha'}{z}
   + w' \DP{\overline{\alpha}}{z}
  \right\}
 + p ' \gamma
  \left\{
   \DP{\overline{\alpha}}{t}
   + U \DP{\overline{\alpha}}{x}
   + W \DP{\overline{\alpha}}{z}
  \right\} = 0.
 \nonumber \\
 \Deqlab{hw-02-02-擾乱を含む熱力学の式}
\end{eqnarray}
%
となる.


\subsubsection*{b-5 \quad 連続の式の線形化}

(3-1)の熱力学の式に
\Deqref{hw-02-02-基本量と摂動量}を代入すると,
%
\begin{eqnarray}
 & & \alpha \Ddiv \Dvect{V} - \DD{\alpha}{t} = 0
  \nonumber \\
 & &
  (\overline{\alpha} + \alpha ')
  \left\{
   \DP{(U + u')}{x} + \DP{(W + w')}{z}
  \right\}
  \nonumber \\
 & & \hspace{10mm}
  - \DP{( \overline{\alpha} + \alpha ' )}{t}
  - (U + u') \DP{( \overline{\alpha} + \alpha' )}{x}
  - (W + w') \DP{( \overline{\alpha} + \alpha' )}{z}
  = 0
  \nonumber
\end{eqnarray}
%
となる. 基本場の連続の式
\Deqref{hw-02-02-基本場の連続の式}を引き, 擾乱の積を無視すると, 
%
\begin{eqnarray}
 \overline{\alpha}
  \left\{
   \DP{u'}{x} + \DP{w'}{z}
  \right\}
  + \alpha '
  \left\{
   \DP{U}{x} + \DP{W}{z}
  \right\}
  \hspace{30mm}
  \nonumber \\
 \Deqlab{hw-02-02-擾乱を含む連続の式} 
  - \DP{\alpha '}{t}
  - U \DP{\alpha '}{x} - u' \DP{\overline{\alpha}}{x}
  - W \DP{\alpha '}{z} - w ' \DP{\overline{\alpha}}{z}
  = 0
\end{eqnarray}
%
となる.


\subsubsection*{3-2-B-c \quad  仮定を用いて線形化}


\subsubsection*{c-1 \quad 与えられた仮定から使用する関係式を得る}

本文から以下が仮定されている.
%
\begin{eqnarray}
\Deqlab{hw-02-02-仮定}
 U {\rm は一定}, \qquad W = 0.
\end{eqnarray}
%
以上の仮定と
\Deqref{hw-02-02-基本場のx方向運動方程式}〜
\Deqref{hw-02-02-基本場の連続の式}
を用いて線形化に必要な関係式を得る.
\Deqref{hw-02-02-基本場のx方向運動方程式}〜
\Deqref{hw-02-02-基本場の連続の式}
に仮定を用いると,
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-02-仮定を用いたx方向運動方程式} 
  \overline{\alpha} \DP{\overline{p}}{x} &=& 0,
  \\
 \Deqlab{hw-02-02-仮定を用いたz方向運動方程式} 
  \overline{\alpha} \DP{\overline{p}}{z} + g &=& 0,
  \\
 \Deqlab{hw-02-02-仮定を用いた熱力学の式} 
  \overline{\alpha}
  \left\{
   \DP{\overline{p}}{t} + U \DP{\overline{p}}{x}
  \right\}
 + \overline{p} \gamma
  \left\{
   \DP{\overline{\alpha}}{t}
   + U \DP{\overline{\alpha}}{x}
  \right\} &=& 0,
  \\
 \Deqlab{hw-02-02-仮定を用いた連続の式} 
   - \DP{\overline{\alpha}}{t}
   - U \DP{\overline{\alpha}}{x}
   &=& 0. 
\end{eqnarray}
%
となる.
\Deqref{hw-02-02-仮定を用いたx方向運動方程式}より
$\overline{p}$は$x$には依存しないことがわかる.
\Deqref{hw-02-02-仮定を用いたz方向運動方程式}より
静水圧の式が成り立つ.
\Deqref{hw-02-02-仮定を用いたx方向運動方程式}と
\Deqref{hw-02-02-仮定を用いた連続の式}を
\Deqref{hw-02-02-仮定を用いた熱力学の式}に代入すると
$\partial \overline{p} / \partial t = 0$となり
$\overline{p}$は$t$にも依存せず, 結果として
$\overline{p}$は$z$にのみ依存することがわかった.
このことと
\Deqref{hw-02-02-仮定を用いたz方向運動方程式}より
$\overline{\alpha}$も$z$にのみ依存することがわかる.
結果として以下の関係式が成り立つ.
%
\begin{eqnarray}
 \Deqlab{hw-02-02-仮定から得られた関係式}
  \overline{p} , \overline{\alpha} {\rm は} z {\rm にのみ依存}, \qquad
  & &
  \overline{\alpha} \DP{\overline{p}}{z}= -g.
\end{eqnarray}
%

\subsubsection*{c-2 \quad 方程式系を線形化}

擾乱を含んだ方程式系
\Deqref{hw-02-02-擾乱を含むx方向運動方程式}〜
\Deqref{hw-02-02-擾乱を含む連続の式}
に
\Deqref{hw-02-02-仮定},
\Deqref{hw-02-02-仮定から得られた関係式}
を用いることで以下の線形方程式が得られる.
%
\begin{eqnarray}
  \DP{u'}{t} + U \DP{u'}{x} + \overline{\alpha} \DP{p'}{x}
 &=& 0,
 \nonumber \\
    \DP{w'}{t} + U \DP{w'}{x}
  + \overline{\alpha} \DP{p'}{z}
  - \frac{g \alpha ' }{\overline{\alpha}}
 &=& 0,
 \nonumber \\
 \overline{\alpha}
  \left(
   \DP{p'}{t} + U \DP{p'}{x}
  \right)
  - g w'
  + \overline{p} \gamma
   \left(
    \DP{\alpha '}{t} + U \DP{\alpha'}{x} + w' \DP{\overline{\alpha}}{z}
   \right)
 &=& 0,
  \nonumber \\
 \overline{\alpha} 
  \left(
   \DP{u'}{x} + \DP{w'}{z}
   \right)
  - \DP{\alpha '}{t} - U \DP{\alpha '}{x}
  - w' \DP{\overline{\alpha}}{z}
  &=& 0.
 \nonumber
\end{eqnarray}
%





%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%      Appendix        %%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%\subsection*{Appendix \qquad }

%\subsubsection*{}

%%%%%%%%          式番号のグローバライズ        %%%%%%%% 
%\setcounter{equation}{20}
%\def\theequation{\arabic{chapter}-\arabic{equation}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%              text end                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
