\chapter{Fj$\mathbf{\mathrm{\o}}$rtoft (1953) の全訳と修正}
% 章の概要
Fj$\mathrm{\o}$rtoft (1953) の全訳と論文内に出てくる式の導出, 論文内の誤りを訂正して述べる.

\begin{abstract}
\begin{center}
\emph{概要}
\end{center}
流体が周囲から分離されているとき, 均質な非発散非粘性流体の 2 次元流の時間発展において, 2 乗された全渦度だけでなく, 全運動エネルギーは変化しない積分量である. その場合, 流体は球面上全体の領域で定義されていると考える. 運動エネルギースペクトルの分布の時間変化の特徴は, 上で言及されている 2 つの保存量を基に議論される. 初期状態のエネルギーの少量が小さなスケールに流れることができ, 同時に, 多くのエネルギーはより大きなスケール成分に流れていくことがわかる. あるスケールよりも小さなスケールの運動エネルギーの成分に向けての運動エネルギーの流れの上限を発見する. 保存則はまた2次元運動 (球面上である必要はない) の定常なの流れの安定性を議論するのに用いられる. 安定性の証明のために擾乱の運動エネルギーが小さいことを考えるだけでなく, その渦度の小ささも考えることがどれほど重要かが示される. 

第 II 章においては, 分子粘性を球面上の流れの計算に考慮する. 最終的に, 2 次元の流れと 3 次元の流れの根本的な違いに関して結論的注意を述べる.
\end{abstract}

\section{球面上の2次元非粘性流体の流れ}

球面の全表面上で定義される均質流体の2次元非発散の流れを考える\footnote{球面上における微分演算については, 付録にてまとめる.}. まずは粘性を無視する. 慣性系における流体の純粋な運動は方程式,
\begin{align} % 運動方程式
	\DP{\bm{v}}{t}=-\bnabla_s\gamma-(\bm{v}\cdot\bnabla_s\bm{v})_s, \label{eq:1} \\
	\bm{v}=-\bnabla_s \psi\times\bm{k}, \label{eq:2}
\end{align}
で支配される. ここで, 
\begin{itemize} % 記号の定義
	\item $\bm{v}$ : 速度
	\item $\bnabla_s$ : 球面上の微分作用素(勾配演算子)
	\item $\gamma$ : (圧力)$\div$(密度)
	\item $-(\bm{v}\cdot\bnabla_s \bm{v})_s$ : 球面上に沿った移流の加速度
	\item $\bm{k}$ : 球面に垂直な単位ベクトル, 
	\item $\psi \mathrm{ : 球面座標における一価二階微分可能な函数} $\hspace{\fill}(1.3)
\end{itemize}
である\footnote{% 運動方程式の球座標表示
(\ref{eq:1}) を付録の球座標系における微分演算を用いて, 球座標系$(r, \theta, \phi)$で成分表示する; まず, (\ref{eq:2})を成分表示すると,  
\begin{align*} % 速度の球座標表示
	\bm{v} =& -\bnabla_s\psi\times\bm{k} \\
	           =& -\bnabla_s\psi\times\bm{e}_r \\
	           =& \left(-\bm{e}_\theta\frac{1}{R}\DP{\psi}{\theta}-\bm{e}_\phi\frac{1}{R\cos\theta}\DP{\psi}{\phi}\right)\times\bm{e}_r \\
	           =& -\bm{e}_\phi\frac{1}{R}\DP{\psi}{\theta}-\bm{e}_\theta\frac{1}{R\cos\theta}\DP{\psi}{\phi} \\
	           =& \bm{e}_\phi v_\phi + \bm{e}_\theta v_\theta
\end{align*}
となる. これより, 
\begin{align*} % 運動方程式の変形
	\DP{\bm{v}}{t} &= \DP{}{t}(v_\theta\bm{e}_\theta + v_\phi\bm{e}_\phi) \\
	                      &= \DP{v_\theta}{t}\bm{e}_\theta+\DP{v_\phi}{t}\bm{e}_\phi, \\
	-\bnabla_s\gamma &=-\bm{e}_\theta\frac{1}{R}\DP{\gamma}{\theta}-\bm{e}_\phi\frac{1}{R\cos\theta}\DP{\gamma}{\phi} \\
	\bm{v}\cdot\bnabla_s &= (v_\theta\bm{e}_\theta + v_\phi\bm{e}_\phi)\left(\bm{e}_\theta\frac{1}{R}\DP{}{\theta}+\bm{e}_\phi\frac{1}{R\cos\theta}\DP{}{\phi}\right) \\
	                                  &= v_\theta\frac{1}{R}\DP{}{\theta}+\frac{v_\phi}{R\cos\theta}\DP{}{\phi}, \\
	(\bm{v}\cdot\bnabla_s\bm{v})_s &=\left(v_\theta\frac{1}{R}\DP{}{\theta}+\frac{v_\phi}{R\cos\theta}\DP{}{\phi}\right)(v_\theta\bm{e}_\theta + v_\phi\bm{e}_\phi) \\
	                                  &= \frac{v_\theta}{R}\DP{v_\theta}{\theta}\bm{e}_\theta-\frac{v_\theta^2}{R}\bm{e}_r+\frac{v_\theta}{R}\DP{v_\phi}{\theta}\bm{e}_\phi+\frac{v_\phi}{R\cos\theta}\DP{v_\phi}{\phi}\bm{e}_\theta \\
	                                  &\quad -\frac{v_\phi v_\theta}{2}\tan\theta\bm{e}_\phi+\frac{v_\phi}{R\cos\theta}\DP{v\phi}{\phi}\bm{e}_\phi-\frac{v_\phi}{R}\bm{e}_r+\frac{v_\phi^2}{R}\tan\theta\bm{e}_\theta \\
	                                  &= \bm{e}_\theta\left(\frac{v_\theta}{R}\DP{v_\theta}{\theta}+\frac{v_\phi}{R\cos\theta}\DP{v_\theta}{\phi}+\frac{v_\phi^2}{R}\tan\theta\right) \\
	                                  &\quad +\bm{e}_\phi\left(\frac{v_\theta}{R}\DP{v_\phi}{\theta}-\frac{v_\phi v_\theta}{R}\tan\theta+\frac{v_\theta}{R\cos\theta}\DP{v_\phi}{\phi}\right) \\
	                                  & \qquad + \bm{e}_r\left(-\frac{v_\theta^2}{R}-\frac{v_\phi^2}{R}\right)
\end{align*}
となる. よって, 
\begin{align*} % 結果
	\DP{v_\theta}{t} =& -\frac{1}{R}\DP{\gamma}{\theta}-\frac{v_\theta}{R}\DP{v_\theta}{\theta}-\frac{v_\phi}{R\cos\theta}\DP{v_\phi}{\phi}-\frac{v_\phi}{R}\tan\theta \\ 
	                        =& -\frac{1}{R}\DP{\gamma}{\theta}-\bm{v}\cdot\bnabla_s v_\theta-\frac{v_\phi^2}{R}\tan\theta, \\
	\DP{v_\phi}{t} =& -\frac{1}{R\cos\theta}\DP{\gamma}{\phi}-\frac{v_\theta}{R}\DP{v_\theta}{\theta}-\frac{v_\theta}{R\cos\theta}\DP{v_\phi}{\phi}+\frac{v_\phi v_\theta}{R}\tan\theta \\ 
	                     =& -\frac{1}{R\cos\theta}\DP{\gamma}{\phi}-\bm{v}\cdot\bnabla_s v_\phi+\frac{v_\phi v_\theta}{R}\tan\theta
\end{align*}
}. 
\setcounter{equation}{3}

全運動エネルギーは今考えている流体において明らかに保存される. それゆえ, 球面上のすべての領域$F$で, 
\begin{equation} % エネルギー保存則
	\int_{F} (\bnabla_s \psi)^2 \,\dd F = \mathrm{const} \label{eq:4}
\end{equation}
となる\footnote{% エネルギー保存則の導出
エネルギー保存則(\ref{eq:4})を導出する; $\bm{v}=\bm{e}_\phi v_\phi + \bm{e}_\theta v_\theta$より, 
\[
	\int_F (\bnabla_s\psi)^2\,\dd F = \int_F (v_\theta^2 + v_\phi^2)\,\dd F = 0 \Leftrightarrow \DD{}{t}\int_F (v_\theta^2+v_\phi^2)\,\dd F = 0
\]
を示せば良い. $\partial v_\theta/\partial t, \partial v_\phi/\partial t$にそれぞれ$v_\theta, v_\phi$を掛けた式
\begin{align*}
	\DP{}{t}\left(\frac{1}{2}v_\theta^2\right) =& -\frac{v_\theta}{R}\DP{\gamma}{\theta}-\bm{v}\cdot\bnabla_s \frac{1}{2}v_\theta^2 -\frac{v_\phi^2 v_\theta}{R}\tan\theta, \\
	\DP{}{t}\left(\frac{1}{2} v_\phi^2\right) =& -\frac{v_\phi}{R\cos\theta}\DP{\gamma}{\phi}-\bm{v}\cdot\bnabla_s \frac{1}{2}v_\phi^2 + \frac{v_\phi^2 v_\theta}{R}\tan\theta
\end{align*}
の辺々を足すと, 
\begin{align*}
	\DP{}{t}\left(\frac{v_\theta^2 + v_\phi^2}{2}\right) =& -\frac{v_\theta}{R}\DP{\gamma}{\theta} - \frac{v_\phi}{R\cos\theta}\DP{\gamma}{\phi}-\bm{v}\cdot\bnabla_s \frac{1}{2}v_\phi^2 - \bm{v}\cdot\bnabla_s \frac{1}{2}v_\theta^2 \\
													   =& \left\{(\bm{v}\cdot\bnabla_s)\left(\gamma+\frac{1}{2}(v_\theta^2 + v_\phi^2)\right)\right\} \\
													   =& -\bnabla_s\cdot\left[\left\{\gamma+\frac{1}{2}(v_\theta^2 + v_\phi^2)\right\}\bm{v}\right] + \left\{\gamma+\frac{1}{2}(v_\theta^2 + v_\phi^2)\right\}\underbrace{\bnabla_s\cdot\bm{v}}_{=0}
\end{align*}
ここで, 一般に2次元球面上のベクトル場$\bm{A}$について,
\begin{align*}
	\int_{\mathrm{球面上}} \bnabla_s\cdot\bm{A}\,\dd F =& \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_0^{2\pi} R^2\cos\theta\frac{1}{R\cos\theta}\left[\DP{}{\theta}(\cos\theta A_\theta)+\DP{A_\phi}{\phi}\right] \,\dd\phi \,\dd\theta \\
														 =& R \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} \left\{\DP{}{\theta}(A_\theta\cos\theta)+\DP{}{\phi}A_\phi\right\} \,\dd\phi \,\dd\theta \\
														 =& R\left[ \int \,\dd\phi\, [A_\theta\cos\theta]_{-\pi/2}^{\pi/2} + \int\,\dd\theta\, [A_\phi]_{0}^{2\pi} \right] \\
														 =& 0
\end{align*}
であるから, 辺々を足した式を$F$上で積分すると, 
\[
	\DP{}{t}\int_F \left(\frac{v_\theta^2 + v_\phi^2}{2}\right) \,\dd F = 0 \Leftrightarrow \int_F (v_\theta^2 + v_\phi^2) \,\dd F =0
\]
を得る.
}. (\ref{eq:1}) から$\bnabla_s\gamma$を消去し, (\ref{eq:2}) を用いると, 
\begin{equation}
	\DP{\bnabla_s^2\psi}{t}=-\bm{v}\cdot\bnabla_s\bnabla_s^2\psi \label{eq:5}
\end{equation}
を得る\footnote{
(\ref{eq:5}) を導出する; (\ref{eq:VE}) を球面上の式に書き換える. 左辺第2項を球面座標で計算すると, 
\begin{align*}	
  (\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{\omega} &= \left(v_r\DP{}{r}+\frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)(\omega_r\bm{e}_r+\omega_\theta\bm{e}_\theta+\omega_\varphi\bm{e}_\varphi) \\
                                                      &= \bm{e}_r\left[\left(v_r\DP{}{r}+\frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)\omega_r -\frac{v_{\theta}\omega_{\theta}}{r}-\frac{v_{\varphi}\omega_{\varphi}}{r}\right] \\
                                                      &\quad + \bm{e}_\theta\left[\left(v_r\DP{}{r}+\frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)\omega_\theta +\frac{v_{\theta}\omega_r}{r}+\frac{v_{\varphi}\omega_{\varphi}}{r}\tan\theta\right] \\
                                                      &\qquad + \bm{e}_\varphi\left[\left(v_r\DP{}{r}+\frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)\omega_\varphi +\frac{v_{\varphi}\omega_r}{r}-\frac{v_{\varphi}\omega_{\theta}}{r}\tan\theta\right]
\end{align*}
となる. また, 右辺の$r$成分は
\[
  [(\bm{\omega}\cdot\bnabla)\bm{v}]_r = (\bm{\omega}\cdot\bnabla)_s v_r - \frac{\omega_\theta v_\theta}{r}-\frac{\omega_\varphi v_\varphi}{r} =  - \frac{\omega_\theta v_\theta}{r}-\frac{\omega_\varphi v_\varphi}{r}
\]
である, ここで, 球面に束縛されているので, $v_r$はゼロとなることを用いると, 渦度方程式の$r$成分は, 
\begin{align*}
   &\DP{\omega_r}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)_s\omega_r - \frac{1}{r}(v_\theta \omega_\theta+v_\varphi \omega_\varphi) = - \frac{1}{r}(v_\theta \omega_\theta+v_\varphi \omega_\varphi) \\
   \therefore\hspace{2pt}& \DP{\omega_r}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)_s\omega_r = 0
\end{align*}
となり, (\ref{eq:5})が導かれた. ここで, 
\[
	(\bm{v}\cdot\bnabla)_s \equiv \frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}
\]
である.
}. ここで, $\bnabla_s^2\psi$は球面に垂直な渦度成分を表す. (\ref{eq:5}) の両辺に$\displaystyle\frac{1}{2}\bnabla_s^2\psi$を掛け, $F$上で積分すると, 
\begin{equation}
	\int_F(\bnabla_s^2\psi)^2 \,\dd F = \mathrm{const} \label{eq:6}
\end{equation}
を得る\footnote{
(\ref{eq:6})を確かめる; (\ref{eq:5})の両辺に$\omega=\bnabla_s^2\psi/2$を掛け, Fで積分すると, 
\begin{align*}
	\int_F \DP{}{t}\left(\frac{1}{2}\omega^2\right)\,\dd F &= -\int_F \bm{v}\cdot\bnabla_s\left(\frac{1}{2}\omega^2\right)\,\dd F \\
	                                                                               &= -\int_F \bnabla_s\left(\frac{1}{2}\omega^2\bm{v}\right)\,\dd F \\
	                                                                               &= -\int_{\partial F}\frac{1}{2}\omega^2\bm{v} \,\dd\bm{r} \hspace{5pt}(\because ガウスの発散定理より) \\
	                                                                               &=0
\end{align*}
最後の等号は, 無限周期境界条件・球面の周期境界条件のいずれにせよ, 境界上での値はゼロより成立. これより, 
\[
	\DD{}{t}\int_F \frac{1}{2}\omega^2 \,\dd F=0
\]
が成立.
}. (\ref{eq:4}) と (\ref{eq:6}) は 2 つの保存則を表現している\footnote{
(\ref{eq:4})はエネルギー保存則, (\ref{eq:6})はエンストロフィー保存則である. 
}. 以下では, 初期条件がわかっているときの (\ref{eq:1}) と (\ref{eq:2}) の解の性質としてこれらの保存則から得られる少なからぬ情報を引き出すことができることを示そう. 

よく知られている通り, $\psi$は一般に函数の無限級数で書かれる: 
\begin{equation}
\psi=\sum_{q=1}^{\infty}\psi_q. \label{eq:7}
\end{equation}
ここで, $\psi_q$は
\begin{align}
	&\bnabla_s^2\psi_q+a_q\psi_q=0, \label{eq:8}\\
	&a_q=\frac{q(q+1)}{R^2};\hspace{6pt} q=1,2,\ldots \hspace{10pt} R=球の半径 \label{eq:9}
\end{align}
を満たす\footnote{
(\ref{eq:9})の導出については, 付録にて行う.
}. 

演算子$\bnabla_s^2$を (\ref{eq:7}) の両辺に掛けて, (\ref{eq:8}) を用いると, 
\begin{equation}
	\bnabla_s^2\psi =-\sum_{q=1}^{\infty}a_q\psi_q \label{eq:10}
\end{equation}
を得る. ここで, 
\begin{equation*}
	\int (\bnabla_s \psi)^2\,\dd F = \int \bnabla_s\cdot(\psi\bnabla_s\psi)\,\dd F - \int\psi\bnabla_s^2\psi\,\dd F
\end{equation*}
と
\begin{equation*}
	\int_{F}\bnabla_s\cdot(\psi\bnabla_s\psi)\,\dd F=0
\end{equation*}
を用いると, 
\begin{equation*}
	\int_{F}(\bnabla_s\psi)^2 \,\dd F =-\int_{F}\psi\bnabla^2_s\psi\,\dd F
\end{equation*}
を得る. この式の右辺に (\ref{eq:7}) と (\ref{eq:10}) を代入し, 直交性
\begin{equation*}
	\int_{F}\psi_q\psi_p\,\dd F=0,\hspace{2pt}(q\neq p)
\end{equation*}
を用いる\footnote{
$\psi_q$の直交性を証明する; (\ref{eq:8}) の両辺に$\psi_p, \psi_q$をそれぞれ掛け, $F$で積分した式
\begin{align*}
	\int_F \psi_p\bnabla^2\psi_q\,\dd F = -a_q\int_F\psi_p\psi_q\,\dd F, \\
	\int_F \psi_q\bnabla^2\psi_p\,\dd F = -a_p\int_F\psi_p\psi_q\,\dd F
\end{align*}
の辺々を引くと,
\begin{align*}
	(左辺) =& \int_F(\psi_p\bnabla^2\psi_q - \psi_q\bnabla^2\psi_p)\,\dd F = -(a_q - a_p)\int_F\psi_p\psi_q\,\dd F ,\\
	         =& \int_F\{\bnabla\cdot(\psi_p\bnabla\psi_q) - (\bnabla\psi_p\cdot\bnabla\psi_q)-\bnabla\cdot(\psi_q\bnabla\psi_p)+(\bnabla\psi_q)\cdot(\bnabla\psi_p)\}\,\dd F \\
	         =& 0 \hspace{3pt} (\because \mathrm{Gaussの発散定理より}), \\
	(右辺) =& (a_q-a_p) \int_F \psi_p\psi_q\,\dd F.
\end{align*}
$p\neq qのとき, a_p \neq a_q$より, 直交性
\[
	\int_F \psi_p\psi_q\,\dd F=0
\]
を得る. 
}と, 
\begin{equation}
	\int_{F}(\bnabla_s\psi)^2\,\dd F=\sum_{q=1}^{\infty}\int_{F}a_q\psi_q^2\,\dd F \label{eq:11}
 \end{equation}
 を得る\footnote{
 (\ref{eq:11}) を導出する; 本文にある通り, 右辺を変形すると, 
 \begin{align*}
 	-\int_F \psi\bnabla_s^2\psi\,\dd F =& -\int_F \sum_{q=1}^{\infty} \psi_q \sum_{q=1}^{\infty} \bnabla_s^2 \psi_p \,\dd F \\
							 =& -\int_F \sum_{q=1}^{\infty} \psi_q \left(-\sum_{p=1}^{\infty} a_p \psi_p \right) \,\dd F \\
							 =& \sum_{q=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{\infty} a_p \int_F \psi_p \psi_q\,\dd F \,\delta_{p,q} \\
							 =& \sum_{q=1}^{\infty} \int_F a_q \psi_q^2 \,\dd F.
 \end{align*}
 }. 一方で, 容易に
\begin{equation}
	\int_{F}(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F=\sum_{q=1}^{\infty}\int_{F}a_q^2\psi_q^2\,\dd F \label{eq:12}
\end{equation}
もわかる\footnote{
(\ref{eq:12})を導出する; (\ref{eq:11}) の導出と同様に変形すると, 
\begin{align*}
	\int_{F}(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F =& \int_F \left(-\sum_{q=1}^{\infty} a_q \psi_q \right) \left(-\sum_{p=1}^{\infty} a_p \psi_p \right) \,\dd F \\
								   =& \int_F \left(\sum_{q=1}^{\infty}\sum_{p=1}^{\infty} a_q a_p \psi_q \psi_p \right)\,\dd F \\
								   =& \sum_{q=1}^{\infty}\sum_{p=1}^{\infty} a_q a_p \int \psi_q \psi_p \,\dd F \, \delta_{p,q} \\
								   =& \sum_{q=1}^{\infty} \int_F a_q^2 \psi_q^2 \,\dd F.
\end{align*}
}. $H_q$を
\begin{equation*}
	H_q\equiv\int_{F}a_q\psi_q^2\,\dd F
\end{equation*}
と定義する\footnote{
現代的な表記では, $H_q$は「波数$q$をもつ一次元エネルギースペクトル」を表す. 
}と, (\ref{eq:4}) と (\ref{eq:6}) を用いて, (\ref{eq:11}) と (\ref{eq:12}) を合わせると, 
\begin{align}
	&\sum_{q=1}^{\infty}H_q = \mathrm{const} \label{eq:13}\\
	&\sum_{q=1}^{\infty}a_q H_q =\mathrm{const} \label{eq:14}
\end{align}
を得る\footnote{
(\ref{eq:13}) は空間の全エネルギーが保存すること, (\ref{eq:14}) は空間の全エンストロフィーが保存することを示す.
}. 

函数列$\psi_{q}$は領域$F$を$\psi_{q}$がいたるところで正か負の符号を持つような領域$F_{q}$に分割する. すぐに分かることは, 
\begin{equation*}
	F_{q}\rightarrow 0 \hspace{5pt} (q\rightarrow\infty \mathrm{のとき})
\end{equation*}
である. 

ここで, 
\begin{equation}
	l_{q} \sim \frac{1}{\sqrt{a_q}} \label{eq:15}
\end{equation}
で定義される量$l_{q}$は, $F_q$の直径の平均に等しく, 流れ函数$\psi_q$から決定される運動の典型的なスケールを表している\footnote{現代的な表記で言えば, $q$は波数, $\frac{1}{\sqrt{a_q}}$は波長を表す.}.

それゆえ, もし, $H_q$が$1/\sqrt{a_q}$ごとに描かれたとすると, 与えられた速度場に対して, 運動エネルギーは, 対応するスケール$l_q$をもつ異なる成分$\psi_q$上に分布する. 次に取り組む問題は, 保存則(\ref{eq:13})と(\ref{eq:14})を用いることによって, 与えられた初期のエネルギースペクトル分布が時間についてどのように変化するかということと, 特にある与えられたスケールと等しいかそれよりも小さなスケールの成分へ向けてのエネルギーの流れに関するより正確な上限を求めることである.

与えられる最初の結果は, 運動が定常でないとき, 運動エネルギーは少なくとも3つの異なる成分間で変化しなければならない, 言い換えると, 3つの異なるスケールに変化しなければならない, ということである. 

このことを証明するために, $\Delta H_q$を
\begin{equation*}
	\Delta H_q \equiv (H_q)_t - (H_q)_{t=0}
\end{equation*}
と定義する. (\ref{eq:13}) と (\ref{eq:14}) における定数に代入すると, 明らかに, 
\begin{equation*}
	\sum_{q=1}^{\infty}(H_q)_{t=0} \hspace{5pt} \mathrm{and} \hspace{5pt} \sum_{q=1}^{\infty}a_q (H_q)_{t=0}
\end{equation*}
のこれらの式は, 
\begin{align}
	\sum_{q=1}^{\infty} \Delta H_q = 0 \label{eq:16} \\
	\sum_{q=1}^{\infty} a_q \Delta H_q = 0 \label{eq:17}
\end{align}
と書けるだろう. ここで, $r>p$であるように, $q=p, q=r$と番号付けられた成分についてのみ取り替えて議論しても差し支えはない. (\ref{eq:16}) と (\ref{eq:17}) を
\begin{align*}
	\Delta H_p +\Delta H_r = 0&, \\
	a_p \Delta H_p + a_r \Delta H_r = 0&
\end{align*}
と書き換える. $r>p$ととると, (\ref{eq:9}) からこの系の行列式が$a_r - a_p > 0$とわかる. 従って, $\Delta H_p = \Delta H_r = 0$である.  しかしながら, 運動エネルギーの変化は, $s>r>p$であるような$q=p, p=r, q=s$と番号付けられた異なる3つのスケールに変換される. 保存則の要請 (\ref{eq:13}), (\ref{eq:14}) は次に述べることから考えると, いつも満たされている. この場合,  (\ref{eq:16}), (\ref{eq:17}) は
\begin{align}
\begin{split}
	\Delta H_p + \Delta H_r + \Delta H_s = 0&, \\
	a_p \Delta H_p + a_r \Delta H_r + a_s \Delta H_s = 0& \label{eq:18}
\end{split}
\end{align}
と書き換える. つまり, 
\begin{align}
\begin{split}
	\Delta H_p = -\frac{a_s - a_r}{a_s - a_p} \Delta H_r&, \\
	\Delta H_s = -\frac{a_r - a_p}{a_s - a_p} \Delta H_r& \label{eq:19}
\end{split}
\end{align}
である\footnote{
(\ref{eq:19}) を導出する; $H_s$を消去するために, (\ref{eq:18})の上の式に$a_s$を掛けた式
\[
	a_s\Delta H_p + a_s\Delta H_r + a_s\Delta H_s = 0
\]
から, (\ref{eq:18})の下の式を引くと, 
\begin{align*}
	(a_s - a_p)\Delta H_p + (a_s-a_r)\Delta_s=0, \\
	\Delta H_p = \frac{a_s-a_r}{a_s-a_p}\Delta H_r = -\frac{a_r-a_s}{a_s-a_p}\Delta H_r
\end{align*}
を得る. 同様に, $H_p$を消去するために, (\ref{eq:18})の下の式に$a_p$を掛けた式
\[
	a_p\Delta H_p + a_p\Delta H_r + a_p\Delta H_s = 0
\]
から, (\ref{eq:18})の下の式を引くと, 
\begin{align*}
	(a_p - a_r)\Delta H_r + (a_p-a_s)\Delta_s=0, \\
	\Delta H_s = \frac{a_p-a_r}{a_p-a_s}\Delta H_r = -\frac{a_r-a_p}{a_s-a_p}\Delta H_r
\end{align*}
を得る.
}. $r>p, s>r$と (\ref{eq:9}) より, 
\begin{equation*}
	\frac{a_s - a_r}{a_s - a_p}>0,\hspace{5pt} \frac{a_r - a_p}{a_s - a_p} >0
\end{equation*}
を得る. 従って, (\ref{eq:19}) の結果において, 中間スケールの成分の運動エネルギーの変化は, 他の2つの成分の運動エネルギーとは逆の変化をする. さらに, 第二の結果は, 次のようにまとめられる: 3つの成分のうち, ある1つの成分が他の2つの成分のスケールの中間スケールの成分となっていないとき, その成分単独では, 他の2つのスケールのエネルギーの源や受け皿になることはない.

ここでさらに, (\ref{eq:18}) と
\begin{equation}
	\frac{\Delta H_p}{\Delta H_s}=\frac{a_s - a_r}{a_r - a_p} > 0 \label{eq:20}
\end{equation}
の式\footnote{
原文では, 右辺が 1 となっていたが, 間違い; 実際に$\Delta H_p / \Delta H_s$を計算してみると,
\begin{align*}
	\frac{\Delta H_p}{\Delta H_s} = \frac{a_s-a_r}{a_r-a_p} = \frac{(a_r-a_p)-2a_r+a_p+a_s}{a_r-a_p} = 1+ \frac{(a_p-a_r) + (a_s-a_r)}{a_r-a_p}
\end{align*}
となる. $a_p-a_r < 0, a_s-a_r < 0$より, 右辺は 1 よりも小さくなることが分かる. 
}から, 運動エネルギーの変化量の値は, 中間スケールの成分に対して大きくなり, 最も小さなスケールの成分に対して小さくなる.

例として, 
\begin{equation*}
	a_s / a_r = 4, a_r / a_p = 4
\end{equation*}
の場合\footnote{
これは, 例としては不適切. その理由は後の論文によって証明されているが, 空間内の全波数について和を取る際, 3波の相対的な大きさだけでなく, その形にも注目しなくてはならないからである.
}を考えると, 異なるスケール間の比は, 
\begin{equation*}
	l_s/l_r \sim 2, l_r/l_p \sim 2
\end{equation*}
である\footnote{原文では, $\sim$が$=$になっていたので, 訂正した. }. さらに, (\ref{eq:20}) から, 
\begin{equation*}
	\Delta H_p / \Delta H_s = 4
\end{equation*}
である. 従って, エネルギーの輸送において他の成分に対して影響されないとすると, あるスケールの運動エネルギーの変化は2倍のスケールと半分のスケールの成分に対して$4/1$の比で分配される. 

上記の2次元流に対するスペクトルの変化の状態についての結果は, 任意の数の成分がエネルギーの輸送に関わっている場合に簡単に拡張できる. 

(\ref{eq:16}) と (\ref{eq:17}) を
\begin{align}
\begin{split}
	&\sum_{q=1}^{N} \Delta H_p + \sum_{r=N+1}^{N+1+P} \Delta H_r = 0, \\
	&\sum_{q=1}^{N} a_p \Delta H_p + \sum_{r=N+1}^{N+1+P} a_r \Delta H_r = 0 \label{eq:21}
\end{split}
\end{align}
と書き換え, 
\begin{align}
\begin{split}
	&\Delta H_q \leq 0 \, ; \,q=1,2,\ldots,N \\
	&\Delta H_r \geq 0 \, ; \, r=N+1,\ldots,N+1+P \label{eq:22}
\end{split}
\end{align}
と仮定すると, (\ref{eq:21}) は
\begin{align} \label{eq:23}
\begin{split}
	\sum_{q=1}^{N} \Delta H_p +& \sum_{q=N+1}^{N+1+P} \Delta H_r = 0, \\
	a^{\star} \sum_{q=1}^{N} \Delta H_p +& a^{\star\star}\sum_{r=N+1}^{N+1+P} \Delta H_r = 0 
\end{split}
\end{align}
と書ける\footnote{$a^\star と a^{\star\star}$は第2式で定義されているように見えるが, これだけでは不十分である. 正確な定義は後の(\ref{eq:25}), (\ref{eq:26}) である. }. ここで, (\ref{eq:9}) と (\ref{eq:22}) より, 
\begin{align*}
	a_1 \leq & a^{\star} \leq a_N, \\
	a_{N+1} \leq & a^{\star\star} \leq a_{N+1+P}
\end{align*}
である. ゆえに, (\ref{eq:9}) を調べると, 系 (\ref{eq:23}) の行列式は$a^{\star\star}-a^{\star}>0$である. 

よって, 仮定 (\ref{eq:22}) は不可能である. 

いま, 非常に興味深い流れの問題は, ある与えられたスケールと等しいかそれよりも小さなスケールをもつ成分のへのエネルギーの流れの上限を決定することと関連した問題を提示する. 

まず, 
\begin{equation*}
	(H_q)_{t=0} = h_q ; \hspace{3pt} h=\sum_{q=1}^{\infty} h_q
\end{equation*}
で定義される量$h, h_q$を導入\footnote{
$h_q$は初期エネルギースペクトルを表し, $h$は初期のエネルギーの総量を表す.
}し, $a, a^{\star}, a^{\star\star}$は次の式で定義されるとする:
\begin{align}
	\sum_{q=1}^{\infty} a_q h_q &= a\sum_{q=1}^{\infty} h_q, \label{eq:24} \\
	\sum_{q=1}^{N} a_q H_q &= a^{\star}\sum_{q=1}^{N} H_q, \label{eq:25} \\
	\sum_{q=N+1}^{\infty} a_q H_q &= a^{\star\star}\sum_{q=N+1}^{\infty} H_q. \label{eq:26}
\end{align}
(\ref{eq:23}) は形式的に方程式の系
\begin{align*} \tag{1.23'}\label{eq:23'}
\begin{split}
	\sum_{q=1}^{N} H_q & + \sum_{q=N+1}^{\infty} H_q = \sum_{q=1}^{\infty} h_{q}, \\
	a^{\star}\sum_{q=1}^{N} H_q & + a^{\star\star}\sum_{q=N+1}^{\infty} H_q = a\sum_{q=1}^{\infty} h_{q} 
\end{split}
\end{align*}
と書ける$\footnote{
原文には, この式に式番号はついていなかったが, 今後の議論の助けのためにここでは付けている.
}$. これらの方程式の形式的な解から, 
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{q=N+1}^{\infty}H_q}{\displaystyle\sum_{q=1}^{N} H_{q}} = \frac{a-a^{\star\star}}{a^{\star\star}-a} \label{eq:27}
\end{equation}
を得る\footnote{
原文では, 左辺は : を用いて比の形で書かれていたが, 見にくいので分数の形に書き直した. 以下同様.
}\footnote{
(\ref{eq:27}) を導出する; (\ref{eq:23'}) の上の式の両辺に$a$を掛けた式
\[
	a\sum_{q=1}^{N} H_q + a\sum_{q=N+1}^{\infty} H_q = a\sum_{q=1}^{\infty} h_{q}
\]
から, 下の式を引くと,
\[
	(a-a^\star)\sum_{q=1}^{N} H_q + (a-a^{\star\star})\sum_{q=N+1}^{\infty} H_q = 0
\]
となるので, (\ref{eq:27}) を得る.
}. $H_{q}とh_{q}$は, 全て正かゼロの量で, $a_{q}$は$q$について単調増大する量で, (\ref{eq:24}) と (\ref{eq:25}), (\ref{eq:26}) から,
\begin{align}
	a_1 \leq & a < \infty, \label{eq:28} \\
	a_1 \leq & a^{\star} \leq a_{N}, \label{eq:29} \\
	a_{N+1} \leq & a^{\star\star} <\infty \label{eq:30}
\end{align}
となる\footnote{原文では, (\ref{eq:28}) と (\ref{eq:30}) に$<\infty$は書いていないが, 今後の議論の助けのために書き加えた. }. さらに, 
\[
	a^{\star\star} > a^{\star} 
\]
である. このことは, (\ref{eq:27}) の左辺は正またはゼロであることと関連付けることにおいて, $a^{\star}とa^{\star\star}$は
\begin{equation}
	a^{\star} \leq a \leq a^{\star\star} \label{eq:31}
\end{equation}
の関係\footnote{ただし, $a^{\star}=a^{\star\star}$にはならないことが必要. }で与えられる値に固定している. 

$q \geq N+1$の範囲内で含まれている運動エネルギーと全エネルギーとの比について, 
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{q=N+1}^{\infty} H_{q}}{h} = \frac{a-a^{\star}}{a^{\star\star}-a^{\star}} \label{eq:32}
\end{equation}
を得る\footnote{
(\ref{eq:32}) を導出する; (\ref{eq:23'}) の上の式に$a^\star$を掛けた式から下の式を引くと, 
\[
	(a^\star - a^{\star\star})\sum_{q=N+1}^{\infty} H_q = (a^\star -a)\sum_{q=1}^{\infty} h_{q}
\]
となり, $\sum_{q=1}^{\infty} h_{q} = h$より, (\ref{eq:32}) を得る.
}. 

この比の最大値は, $a^{\star\star}=a$のときである. このことは, (\ref{eq:30}), (\ref{eq:31}) から
\begin{equation}
	a_{N+1} \leq a \label{eq:33}
\end{equation}
のときのみ可能である. 

最も興味深い
\begin{equation}
	a_{N+1} > a \label{eq:34}
\end{equation}
の場合に進む前に, 定常運動\footnote{
(原文脚注) 定常な場合とは, $\psi=\psi_{1}$が (\ref{eq:5}) を$\displaystyle\DP{\bnabla_{s}^{2}\psi}{t}＝0$で満たす場合をいう. 
}の安定性の問題に関連付けられた場合, つまり, 
\begin{equation}
	\psi=\psi_1 \label{eq:35}
\end{equation}
の場合をまず議論しよう. $\psi_1$は\emph{球面上の}固有値問題に対して, 最低固有値をもつ固有函数である必要はない. しかし, $\psi_{q}$は, 最も一般的な2次元固有値問題 : 
\begin{eqnarray}
	\begin{cases}
		a_{q+1} > a_{q}, \hspace{2pt}a_{q} > 0 \hspace{2pt} ; \hspace{2pt} q=1,2,\ldots & \\
		a_{q} \rightarrow \infty , \hspace{2pt} q\rightarrow\infty & \label{eq:36}
	\end{cases}
\end{eqnarray}
に従うとき, 
\begin{align*}
	\bnabla_{2}^{2}\psi_{q} + a_{q}\psi_{q} = 0 &, \\
	境界 L で \hspace{2pt} \psi_{q}=0 & 
\end{align*}
の最低固有値をもつ固有函数になるだろう\footnote{
上の式の左辺の勾配演算子$\bnabla_2^2$の下添字の「2」は「一般的な2次元平面での勾配演算子」の意味である(と思われる).
}. (\ref{eq:35}) の代わりに, 
\[
	\psi_{t=0} = \psi_1 + \sum_{q=2}^{\infty}\psi'_{q}
\]
のとき, 
\begin{align*}
	h &= h_1 + \sum_{q=2}^{\infty}h'_q, \\
	ah &= a_1 h_1 + \sum_{q=2}^{\infty} a_{q} h'_{q}
\end{align*}
とすると, 
\begin{equation}
	a = \frac{\displaystyle a_1 h_1 + \sum_{q=2}^{\infty} a_{q} h'_{q}}{\displaystyle h_1 + \sum_{q=2}^{\infty}h'_q} \label{eq:37}
\end{equation}
である. 任意の後の時間において, $N=1$としたとき, (\ref{eq:32}) から
\begin{equation*}
	\frac{\displaystyle\sum_{q=2}^{\infty}H'_{q}}{h} = \frac{a-a^{\star}}{a^{\star\star}-a^{\star}}
\end{equation*}
を得る\footnote{つまり, (\ref{eq:32})の$q \geq 2$の場合は, 擾乱(ずれ)だと考える, ということである. }. いま, $N=1$として, 方程式(\ref{eq:29})\footnote{原文では(\ref{eq:28})となっていたが, 間違い. } と(\ref{eq:30}) は
\begin{align}
\begin{split}
	& a_{1}=a^{\star} \\
	& a_{2} \leq a^{\star\star} \label{eq:38}
\end{split}
\end{align}
となる. よって, 
\begin{equation}
\frac{\displaystyle\sum_{q=2}^{\infty} H'_{q}}{h} = \frac{a-a_1}{a^{\star\star}-a_1} \label{eq:39}
\end{equation}
である.

$\sum_{q=2}^{\infty} a_{q}h'_{q}$は初期の擾乱の渦度の2乗の和を表している\footnote{つまり, 初期擾乱のエンストロフィーを表す. }. ここで, 
\begin{equation}
	\sum_{q=2}^{\infty}a_{q}h'_{q} \rightarrow 0 \label{eq:40}
\end{equation}
が成り立っている\footnote{つまり, エンストロフィーが小さい場合}としよう. (\ref{eq:36}) から, このことは
\begin{equation}
	\sum_{q=2}^{\infty} h'_{q} \rightarrow 0 \label{eq:41}
\end{equation}
となることが必要である\footnote{(\ref{eq:40})の左辺は, 初期擾乱のエネルギーである.}. (\ref{eq:37}) に (\ref{eq:40}) と (\ref{eq:41}) を用いると, 
\[
	\sum_{q=2}^{\infty} a_q h'_q \rightarrow 0 のとき, a\rightarrow a_1
\]
を得る. さらに, (\ref{eq:39}) より, (\ref{eq:38}) と関連付けることにより, 
\begin{equation}
	\sum_{q=2}^{\infty} a_{q}h'_{q} \rightarrow 0 のとき, \cfrac{\displaystyle\sum_{q=2}^{\infty} H'_{q}}{h}\rightarrow 0 \label{eq:42}
\end{equation}
とわかる. これは, 定常流$\psi=\psi_1$は, 初期の擾乱の渦度の二乗の和がゼロに収束するなら, 擾乱の全運動エネルギー$\sum_{q=2}^{\infty} H_{q}$は全ての時間においてゼロに向かうある極限値より小さな値にとどまるという意味で, 安定であることを表している. 

一方, いま, 
\[
	\sum_{q=2}^{\infty} h'_q = \varepsilon
\]
としよう. 十分小さなスケールのこのエネルギーを考えることにより, (\ref{eq:36}) から
\[
	\sum_{q=2}^{\infty} a_q h'_q > P
\]
とすることは可能である. ここで, $P$は任意に大きく取れるが, $\varepsilon$は小さくとる. (\ref{eq:37}) における$a$についての表現を考えると, このことはいつでも可能であることがわかるが, 小さな$\varepsilon$は$a$を任意に大きくするようにとられる. 特に, $a$は(\ref{eq:38}) より$a^{\star\star}=a$とることが出来る状態であるような$a_{2}$と等しいかより大きな値をとれ, さらに
\[
	\frac{\displaystyle\sum_{q=2}^{\infty} H'_q}{h} = 1
\]
を得る. しかしながら, 擾乱の初期運動エネルギーに対しては小さな値しか取れない. 

この例から, エネルギーだけでなく, 渦度が小さいとされている擾乱の安定性の証明がどれほど重要かがわかったが, この場合でない時は定常流が不安定であるかどうかについては疑問が残る点である.

基本流$\psi=\psi_1$は可能な最大のスケールの成分を表す. それゆえ, この流れの安定性は次のように理解される: 2次元流の定常運動の不安定性に対する必要条件は, 擾乱が基本流のスケールよりも大きなスケールをもつ成分によって表されることである. 従って, 不安定性の必要条件は, エネルギースペクトルの擾乱における変化に対して見られるより一般的な結果と直接関連付けられる. さらに, 境界条件が$\psi$が一定である必要のない場合, 例えば, 平行な壁の間の流れに簡単に拡張できる. 条件をこのようにとると, 流れ函数$(定数)\times\cos(2\pi\gamma / L^\star) \hspace{3pt} (0\leq\gamma\leq H)$によって表される線型流に対してこの結果に適用する. この基本流のスケールは,  対応する固有値$(4\pi^2) / ({L^{\star}}^{2})$から決定されるのに対して, 壁に沿った方向に対して波長$L$の擾乱が重ね合わさったとき, 擾乱の成分のスケールは固有値$(4\pi^2 / L^2 ) + (4\pi^2 q^2 / (2H)^2$から決定される. 従って, 考えている線型流は
\begin{equation}
	\frac{4\pi^2}{L^2}+\frac{4\pi^2 q^2}{(2H)^2} < \frac{4\pi^2}{{L^{\star}}^2} \label{eq:43}
\end{equation}
のときのみ不安定になり得るだろう. 

(\ref{eq:34}) の場合に考えを進めよう. $a^{\star}とa^{\star\star}$が可能な最小値のとき, (\ref{eq:32})における比は上限に達する. その最小値とは, (\ref{eq:29})と(\ref{eq:30})より, それぞれ$a_1とa_{N+1}$である. よって, 
\begin{align}
	\frac{\displaystyle\sum_{q=N+1}^{\infty} H_q}{h} \leq \frac{a-a_1}{a_{N+1}-a_1} = \frac{a}{a_{N+1}}\cfrac{1-\cfrac{a_1}{a}}{1-\cfrac{a_1}{a_{N+1}}} < \frac{a}{a_{N+1}} \label{eq:44}
\end{align}
である\footnote{
最後の不等号は, (\ref{eq:34}) から, $a_1 / a > a_1 > a_{N+1}$より導ける.
}. (\ref{eq:44}) を重要な場合に適用するために, 
\[
	h=\sum_{q=1}^{L} h_q
\]
とする. (\ref{eq:24}) から定義される$a$はいま,
\begin{equation}
	a_1 \leq a \leq a_{L} \label{eq:45}
\end{equation}
であるだろう. (\ref{eq:34}) を保証するために, $L<N+1$を仮定すれば十分である. ここで, (\ref{eq:44}) を (\ref{eq:15}) で定義されるスケールを導入することで, 
\begin{align*}
	\frac{\displaystyle\sum_{q=N+1}^{\infty} H_q}{h} \leq \frac{a-a_1}{a_{N+1}-a_1} \leq \frac{a_L -a_1}{a_{N+1}-a_1} = \left(\frac{l_{N+1}}{l_L}\right)^2 \cfrac{1-\left(\cfrac{l_L}{l_1}\right)^2 }{1-\left(\cfrac{l_{N+1}}{l_L}\right)^2} < \left(\frac{l_{N+1}}{l_L}\right)^2
\end{align*}
と書く\footnote{
原文には, ミスが多くあったので訂正した. さらに, この後に述べられる主張で必要なので, 最後の不等式を追記した.
}. よって, この場合, 一定のスケール$l_{N+1}$をもつ成分に流れ得る少量の全エネルギーは, はじめに表された最小のスケール$l_{L}$と$l_{N+1}$の比の二乗より小さいか等しい.  それゆえ, もし, 初期の流れが典型的な大スケールの速度場($L$が相対的に小さい)によって表されるなら, より小さな渦の内部の運動エネルギーの流れは, すみやかに重要でなくなる. 

明らかに, この結果を得るためには, 任意の$q>L$に対して$h_q=0$である必要はない. 
\[
	a \leq a_L
\]
と$L$が対応する場を「典型的な」大きなスケールの場として特徴づけるのに十分小さくとれば, 十分である.


\section{粘性流体の2次元流}

分子の粘性を伴う運動の支配方程式は
\begin{align*}
	\DP{\bm{v}}{t}=-\bnabla_s\gamma-(\bm{v}\cdot\bnabla_s\bm{v})_s+\nu\bnabla_s^2\bm{v}, \\
	\bm{v}=-\bnabla_s\psi\times\bm{k}
\end{align*}
である. $\bnabla_s\gamma$を消去すると, 渦度方程式
\[
	\DP{\bnabla_s^2\psi}{t}=-\bm{v}\cdot\bnabla_s\bnabla_s^2\psi+\nu\bnabla_s^4\psi
\]
を得る. 全運動エネルギーと渦度の2乗の全量の単位時間あたりの変化は
\begin{align*}
	\DD{}{t}\int_F(\bnabla_s\psi)^2\,\dd F=-\nu\int_F(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F, \\
	\DD{}{t}\int_F(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F=\nu\int_F\bnabla_s^2\psi\cdot\bnabla_s^4\psi\,\dd F
\end{align*}
となる\footnote{
この2式を導出する; すぐ上の渦度方程式に$\psi$を掛け, $F$上で積分すると,
\[
	(左辺) = \DD{}{t}\int_F \psi(\bnabla_s^2 \psi)\,\dd F = \DD{}{t}\int_F \{\bnabla_s(\psi\bnabla_s\psi)-(\bnabla_s\psi)^2\}\,\dd F = -\DD{}{t}\int_F (\bnabla_s\psi)^2\,\dd F.  \]
ここで, ガウスの発散定理を用いて, 第一項は境界線上の積分となり, 境界条件よりゼロとなる事を用いた. 右辺第一項については$\bm{v}\cdot\bnabla_s \bnabla_S^2 = \bnabla_s\psi\cdot\bnabla_s \bnabla_s^2\psi = J(\psi,\bnabla_s^2)$と書けるので, 
\begin{align*}
	(右辺第一項) = \int_F \psi J(\psi,\bnabla_s^2\psi)\,\dd F = \int_F J\left(\frac{1}{2}\psi^2, \bnabla_s^2\psi\right)\,\dd F.
\end{align*}
ここで, 一般にヤコビアンについて,
\[
	J(a,b)=\DP{a}{x}\DP{b}{y}-\DP{a}{y}\DP{b}{x} = \DP{}{x}\left(a\DP{b}{y}\right)-\DP{}{y}\left(a\DP{b}{x}\right) = \bnabla_s\cdot a\left(\DP{b}{y}\bm{e}_x - \DP{b}{x}\bm{e}_y\right)
\]
と発散の形に書けるので, ガウスの発散定理と境界条件により, この積分はゼロとなる. また, 
\begin{align*}
	(右辺第二項) &= \nu\int_F \psi\bnabla_s^4\psi\,\dd F = \nu\int(\psi\bnabla_s^2\bnabla_s^2\psi)\,\dd F \\ 
				  &= \nu\int_F \{ \bnabla_s^2(\psi\bnabla_s^2\psi) - (\bnabla_s^2\psi)^2)\} \,\dd F = -\nu\int_F (\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F
\end{align*}
である(ここでも, ガウスの発散定理と境界条件を用いた)ので, 最終的に, 
\[
	\DD{}{t}\int_F(\bnabla_s\psi)^2\,\dd F=-\nu\int_F(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F
\]
を得る. 下の式を得るには, 渦度方程式に$\bnabla_s^2\psi$を掛け, $F$上で積分すると,
\begin{align*}
	(右辺第一項) &= \int_F \bnabla_s^2\psi \bm{v}\cdot\bnabla_s^2\bnabla_s^2\psi\,\dd F = \int_F \bm{v}\cdot\bnabla_s\frac{1}{2}(\bnabla_s^2)\,\dd F \\ &= \int_F \bnabla_s\left(\frac{1}{2}(\bnabla_s^2\psi)\bm{v}\right)\,\dd F = 0,
\end{align*}
より, 
\[
	\DD{}{t}\int_F(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F=\nu\int_F\bnabla_s^2\psi\cdot\bnabla_s^4\,\dd F
\]
も得られる.
}. (\ref{eq:8}) と (\ref{eq:9}) を用いると, これらの方程式は
\begin{align}
	\DD{}{t}\int_F(\bnabla_s\psi)^2\,\dd F=-\nu A\int_F(\bnabla_s\psi)^2\,\dd F \hspace{2pt} ; \hspace{2pt} A>0, \label{eq:46} \\
	\DD{}{t}\int_F(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F=-\nu B\int_F(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F \hspace{2pt} ; \hspace{2pt} B>0 \label{eq:47}
\end{align}
となる\footnote{
原文では, (47) の左辺に$\dd F$が抜けていたので訂正した. (\ref{eq:46}) を導出する; 右辺の$-\nu$以外の部分を変形すると, 
\begin{align*}
	\int_F(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F &= \int_F\bnabla_s^2\psi\cdot\bnabla_s^2\psi\,\dd F = \int_F \left(-\sum_{q=1}^{\infty}a_q\psi_q\right)\left(-\sum_{p=1}^{\infty}a_p\psi_p\right)\,\dd F \\
									     &= \int_F \sum_{q=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{\infty} a_q a_p \psi_q \psi_p \,\dd F = \int_F \sum_{q=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{\infty} a_q a_p \psi_q \psi_q \delta_{p,q} \,\dd F \\
									     &= \int_F \sum_{q=1}^{\infty} a_q a_p \psi_q^2 \,\dd F \\
									     &= \sum_{q=1}^{\infty} a_q H_q \hspace{20pt}  (\because\,(\ref{eq:13})直前のH_{q}の定義より) \\
									     &= A\sum_{q=1}^{\infty}H_q \hspace{20pt} (\because\, 後に出てくるAの定義式より) \\
									     &= A\int_F \sum_{q=1}^{\infty} a_q\psi_q^2 \,\dd F = A\int_F\left(\sum_{p=1}^{\infty}\psi_q\right)\left(\sum_{q=1}^{\infty}a_q\psi_q\right)\,\dd F \\
									     &= A\int_F \psi(-\bnabla_s^2\psi)\,\dd F = A\int_F (\bnabla_s\psi)^2\,\dd F
\end{align*}
より得られる. (\ref{eq:47}) も同様に, 右辺の積分している部分を変形すると,
\begin{align*}
	\int_F\bnabla_s^2\psi\cdot\bnabla_s^4\psi\,\dd F &= \int_F \left(-\sum_{q=1}^{\infty}a_q\psi_q\right)\left(\sum_{p=1}^{\infty}a_p^2\psi_p\right)\,\dd F = -\int_F \sum_{q=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{\infty} a_q a_p \psi_q \psi_q \delta_{p,q} \,\dd F \\
													   &= \sum_{q=1}^{\infty}\int_F a_q^3 \psi_q^2\,\dd F = -B\int_F \sum_{q=1}^{\infty}a_q^2 \psi_q^2\,\dd F \hspace{10pt} (\because\, Bの定義より) \\
													   &= -B\int_F \left(\sum_{q=1}^{\infty}a_q \psi_q\right) \left(\sum_{p=1}^{\infty}a_p \psi_p\right) \,\dd F = -B\int_F (-\bnabla_s^2\psi)(-\bnabla_s^2\psi)\,\dd F \\
													   &= -B\int(\bnabla_s^2\psi)^2\,\dd F
\end{align*}
より得られる. 
}. ここで, 
\begin{equation}
	B(t) \geq A \label{eq:48}
\end{equation}
で\footnote{
原文では, 不等号が逆になっていたが, 誤りであるため訂正した. \\ 実際, $A=(\sum_{q=1}^{\infty}a_q H_q)/(\sum_{q=1}^{\infty}H_q)$, $B=(\sum_{q=1}^{\infty}a_q^2 H_q)/(\sum_{q=1}^{\infty} a_q H_q)$より, 
\[
	A-B = \frac{(\sum a_q H_q)^2 - \sum H_q \sum a_q^2 H_q}{\sum H_q \sum a_q H_q}
\]
の分母は正であるが, 分子については,
\begin{align*}
	\left(\sum_{q=1}^{\infty} a_q H_q \right)^2 - \sum_{q=1}^{\infty}\sum_{p=1}^{\infty} a_p^2 H_p H_q &= \sum_{q=1}^{\infty} \sum_{p=1}^{\infty} (a_p a_q - a_p^2) H_p H_q \\
																						   &= \sum_{p=1}^{\infty} \sum_{q=1}^{\infty} (a_q a_p - a_q^2) H_p H_q \\
																						   &= \frac{1}{2} \sum_{p=1}^{\infty} \sum_{q=1}^{\infty} (2a_q a_p - a_q^2 - a_q^2 ) H_p H_q \\
																						   &= -\frac{1}{2} \sum_{p=1}^{\infty} \sum_{q=1}^{\infty} (a_p-a_q)^2 H_p H_q
\end{align*}
より, 負であることが分かる. よって, $B\leq A$は誤りである.
}, 等号は$\psi$が単一の成分で表されている($\psi=\psi_q$)のときのみ成立. このことは, $AとB$の定義式
\begin{align*}
	\sum_{q=1}^{\infty}a_q H_q \equiv A\sum_{q=1}^{\infty}H_q, \\
	\sum_{q=1}^{\infty}a_q^2 H_q \equiv B a_q\sum_{q=1}^{\infty}H_q
\end{align*}
と (\ref{eq:9}) から容易にわかる\footnote{
(\ref{eq:13})より$\sum_{q=1}^{\infty}H_q$は定数, (\ref{eq:14})より$\sum_{q=1}^{\infty}a_q H_q$も定数なので, $A$も定数である. 一方, $\sum_{q=1}^{\infty}a_q^2 H_q$は定数ではなく$t$の函数なので, $B$は$t$の函数である.
}. (\ref{eq:46}), (\ref{eq:47}), (\ref{eq:48}) から, 
\[
	\frac{\displaystyle\sum_{q=1}^{\infty}H_q}{\displaystyle\sum_{q=1}^{\infty}a_q H_q}=\frac{n}{a}
\]
を得る\footnote{
原文には中辺に$nh / nah$が書かれていたが, 誤りであるから削除した.
}. ここで, 
\begin{equation}
	B \geq A に従って, n\leq1 \label{eq:49}
\end{equation}
である. (\ref{eq:27}) を
\[
	\frac{\displaystyle\sum_{q=N+1}^{\infty}H_q}{\displaystyle\sum_{q=1}^{N}H_q} = \cfrac{\cfrac{a}{n}-a^\star}{a^{\star\star}-\cfrac{a}{n}}
\]
と書き直される. この比の上限は, $a/n$が減少するのとともに減少していくので, 粘性のために運動エネルギーと渦度が一様に減っていくのは別にして, より小さなスケールへのエネルギーの流れは従来($n>1$より\footnote{(\ref{eq:49})と符号が逆になっているが...謎.}), $a/n$が$a<a/n$である非粘性流体\footnote{つまり, $n=1$の場合}に対してよりも少ない確率でしか起こりえないであろう\footnote{
以上のことは, (\ref{eq:32}) に対応する式
\[
	\frac{\displaystyle\sum_{q=N+1}^{\infty}H_q}{h}=m\left(\cfrac{\cfrac{a}{n}-a^{\star}}{a^{\star\star}-a^{\star}}\right)
\]
が導けてはじめて言えることである.
}.

\section{結論}

2次元流の運動エネルギーのスペクトルの分散における変化の性質は, 実際の乱流が発展する場合の変化とは根本的に異なる. この不一致は実際の乱流が渦度の2乗に関しては保存しないというよく知られた性質をもつ3次元における運動を考えていることによると考えるのが自然であろう. 

(\ref{eq:43}) の包含関係と著者と他の人々の以前の研究との関係は後の時代に現れる論文においてより完全に議論されることであろう.