\chapter{球座標系における微分演算\label{chap:bibun}}

この論文では, 2次元球座標系を用いて議論を進めているので, より一般的に 3 次元球座標系における微分演算の公式 ( $\bnabla f, \bnabla\cdot\bm{A}, \bnabla\times\bm{A}, \bnabla\cdot\bnabla f, (\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{v}$ ) を導出しておく.

\section{幾何学的を利用した直観的な方法による導出}

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
 \includegraphics[height=9cm]{sphere_cordinate.eps}
\caption{球座標系の定義}
\label{def}
\end{center}
\end{figure}

球座標系では, 単位ベクトルの方向は位置によって変わる. そのため, 単位ベクトルの微分も一定ではない. はじめに, 図を利用して単位ベクトルの空間微分を導出しておく. 

\begin{description}
\item[単位ベクトルの$r$微分] $r$方向に微小距離$\delta r$だけずれた点における単位ベクトルは, 元の場所での単位ベクトルと方向は変わらない. つまり, どの単位ベクトルも$r$には依存せず, $r$による偏微分はゼロである.

\item[単位ベクトルの$\theta$微分] 

図\ref{def}において, 点Pから$\theta$方向に$r\delta \theta$だけ変化させた点における単位ベクトルを考える (図\ref{merdian}). まず, $\bm{e}_\varphi$は点Pからずれても方向は変わらないので, 偏微分はゼロである. 点Pにおける残り2つの単位ベクトルをそれぞれ$\bm{e}_r(\theta, \varphi), \bm{e}_\theta(\theta, \varphi)$とし, 変化した点における単位ベクトルをそれぞれ$\bm{e}_r(\theta+\delta\theta, \varphi), \bm{e}_\theta(\theta+\delta\theta, \varphi)$とする.

$\bm{e}_r$の変化は, $\bm{e}_\theta$の向きで大きさは単位ベクトルの大きさ ($=1$) と$\bm{e}_r(\theta, \varphi)$と$\bm{e}_r(\theta+\delta\theta, \varphi)$の間の角度 ($=\delta\theta$) の積 (つまり, 弧の長さ) になることから, 
\begin{align}
  \DP{\bm{e}_r}{\theta} &= \lim_{\delta\theta\rightarrow 0}\frac{\bm{e}_r(\theta+\delta\theta,\varphi)-\bm{e}_r(\theta,\varphi)}{\delta\theta} \nonumber\\
                                   &= \lim_{\delta\theta\rightarrow 0}\frac{\delta\theta\bm{e}_\theta}{\delta\theta} = \bm{e}_\theta
\end{align}
となる. 同様にして, 
\begin{align}
  \DP{\bm{e}_\theta}{\theta} &= \lim_{\delta\theta\rightarrow 0}\frac{\bm{e}_\theta(\theta+\delta\theta,\varphi)-\bm{e}_\theta(\theta,\varphi)}{\delta\theta} \nonumber\\
                                   &= \lim_{\delta\theta\rightarrow 0}\frac{\delta\theta(-\bm{e}_r)}{\delta\theta} = -\bm{e}_r
\end{align}
とわかる. 

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
 \includegraphics[height=7cm]{sphere_merdian.eps}
\caption{球座標系の定義の子午線面. 緯度$\theta$に依存して単位ベクトルの方向が変わっている. $\bm{e}_\varphi$の方向は, 紙面手前から奥に向かう方向}
\label{merdian}
\end{center}
\end{figure}

\item[単位ベクトルの$\varphi$微分]

図\ref{pole}の点Pにおける単位ベクトル$\bm{e}_r(\theta, \varphi)$, $\bm{e}_\theta(\theta, \varphi)$, $\bm{e}_\varphi(\theta, \varphi)$とそこから$\varphi$方向に$r\cos\theta\delta\varphi$だけ移動した点における単位ベクトル$\bm{e}_r(\theta, \varphi+\delta\varphi+\delta\varphi)$, $\bm{e}_\theta(\theta, \varphi)$, $\bm{e}_\varphi(\theta, \varphi+\delta\varphi)$を考える. ここで, $\bm{e}_\theta$の射影の大きさは 1 ではなく, $\sin\theta$, $\bm{e}_r$の射影の大きさは$\cos\theta$であることに注意する. $\theta$微分の時と同様に, $\varphi$の微分を求める. $\bm{e}_r$の$\varphi$微分は, 
\begin{align}
  \DP{\bm{e}_r}{\varphi} &= \lim_{\delta\varphi\rightarrow 0} \frac{\bm{e}_r(\theta, \varphi+\delta\varphi) - \bm{e}_r(\theta, \varphi)}{\delta\varphi} \nonumber\\
                                    &= \lim_{\delta\varphi\rightarrow 0} \frac{\delta\varphi\cos\theta\bm{e}_\varphi}{\delta\varphi} = \cos\theta\bm{e}_\varphi
\end{align}
となる. $\bm{e}_\theta$の$\varphi$微分も同様に, 
\begin{align}
  \DP{\bm{e}_\theta}{\varphi} &= \lim_{\delta\varphi\rightarrow 0} \frac{\bm{e}_\theta(\theta, \varphi+\delta\varphi) - \bm{e}_\theta(\theta, \varphi)}{\delta\varphi} \nonumber\\
                                            &= \lim_{\delta\varphi\rightarrow 0} \frac{\delta\varphi(-\sin\theta\bm{e}_\varphi)}{\delta\varphi} = -\sin\theta\bm{e}_\varphi
\end{align}
と求まる. $\bm{e}_\varphi$の$\varphi$微分は, 図\ref{merdian}を利用すると, 点Pから点Qへと向かうベクトルは, $-\bm{e}_r+\bm{e}_\theta$とわかり, これを緯度円上で表すと$\cos\bm{e}_r-\sin\bm{e}_\theta$となることより, 
\begin{align}
  \DP{\bm{e}_\varphi}{\varphi} &= \lim_{\delta\varphi\rightarrow 0} \frac{\bm{e}_\varphi(\theta, \varphi+\delta\varphi) - \bm{e}_\varphi(\theta, \varphi)}{\delta\varphi} \nonumber\\
                                            &= \lim_{\delta\varphi\rightarrow 0} \frac{\delta\varphi(-\cos\theta\bm{e}_r+\sin\theta\bm{e}_\theta)}{\delta\varphi} = -\cos\theta\bm{e}_r+\sin\theta\bm{e}_\theta
\end{align}
となる. 

\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
 \includegraphics[height=7cm]{sphere_pole.eps}
\caption{球座標系の定義を極軸の正の方向から眺めた図. 単位ベクトル$\bm{e}_r$と$\bm{e}_\theta$の緯度円上への射影はそれぞれQP方向とPQ方向で, 大きさはそれぞれ$\cos\theta, \sin\theta$である.}
\label{pole}
\end{center}
\end{figure}

\end{description} 

次に, 単位ベクトル$\bm{e}_r, \bm{e}_\theta, \bm{e}_\varphi$の各方向の微小距離を考えると, それぞれ$\delta r$, $r\delta\theta$, $r\cos\theta\delta\varphi$であると図からわかるので, 勾配演算子$\bnabla$は
\begin{equation}
  \bnabla=\bm{e}_r\DP{}{r}+\bm{e}_\theta\frac{1}{r}\DP{}{\theta}+\bm{e}_\varphi \frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}
\end{equation}
と表される. ここで, ある3次元ベクトル$\bm{A}=\bm{e}_r A_r +\bm{e}_\theta A_\theta +\bm{e}_\varphi A_\varphi$に$\bnabla\cdot$を作用させる. このとき, 先ほど求めた単位ベクトル微分に注意する. 微分の連鎖律を適用して, 
\begin{align}
\bnabla\cdot\bm{A} &= \left(\bm{e}_r\DP{}{r}+\bm{e}_\theta\frac{1}{r}\DP{}{\theta}+\bm{e}_{\varphi}\frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)\cdot\left(\bm{e}_r A_r +\bm{e}_\theta A_\theta + \bm{e}_\varphi A_\varphi\right) \nonumber\\
  \begin{split}
                       &= \DP{A_r}{r}+\frac{1}{r}\DP{A_\theta}{\theta}+\frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\varphi}{\varphi}\\
                       &\quad + A_r \left(\bm{e}_r\cdot\DP{\bm{e}_r}{r}+\frac{1}{r}\bm{e}_\theta\cdot\DP{\bm{e}_r}{\theta}+\frac{1}{r\cos\theta}\bm{e}_\varphi\cdot\DP{\bm{e}_r}{\varphi}\right) \\
                       &\qquad + A_\theta\left(\bm{e}_r\cdot\DP{\bm{e}_\theta}{r}+\frac{1}{r}\bm{e}_\theta\cdot\DP{\bm{e}_\theta}{\theta}+\frac{1}{r\cos\theta}\bm{e}_\varphi\cdot\DP{\bm{e}_\theta}{\varphi}\right) \\
                       &\qquad\quad + A_\varphi \left(\bm{e}_r\cdot\DP{\bm{e}_\varphi}{r}+\frac{1}{r}\bm{e}_\varphi\cdot\DP{\bm{e}_\varphi}{\theta}+\frac{1}{r\cos\theta}\bm{e}_\varphi\cdot\DP{\bm{e}_\varphi}{\varphi}\right) \nonumber
  \end{split} \\
                                &= \DP{A_r}{r}+\frac{1}{r}\DP{A_\theta}{\theta}+\frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\varphi}{\varphi} +\frac{2}{r}A_r + \frac{1}{r}\tan\theta A_\theta \nonumber\\
                                 &= \frac{1}{r^2}\DP{}{r}(r^2 A_r)+\frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\theta}(\cos\theta A_\theta) + \frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\theta}{\varphi}  \label{div}
\end{align}
を得る. スカラー函数$V(r,\theta,\varphi)$のラプラシアンは, (\ref{div}) で, \[ A_r = \DP{V}{r}, A_\theta = \frac{1}{r}\DP{V}{\theta}, A_{\varphi} = \frac{1}{r\cos\theta}\DP{V}{\varphi} \]を代入すると求まる: 
\begin{align}
  \bnabla^2 V &= \frac{1}{r^2}\DP{}{r}\left(r^2 \DP{V}{r} \right)+\frac{1}{r^2\cos\theta}\DP{}{\theta}\left(\cos\theta \DP{V}{\theta}\right) + \frac{1}{r^2\cos^2\theta}\DP[2]{V}{\varphi}
\end{align}
また, $\bm{A}$に$\bnabla\times$を作用させると, 
\begin{align}
  \bnabla\times\bm{A} &= \left(\bm{e}_r\DP{}{r}+\bm{e}_\theta\frac{1}{r}\DP{}{\theta}+\bm{e}_{\varphi}\frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)\times\left(\bm{e}_r A_r +\bm{e}_\theta A_\theta + \bm{e}_\varphi A_\varphi\right) \nonumber \\
   &= \bm{e}_\varphi\DP{A_\theta}{r} - \bm{e}_\theta\DP{A_\varphi}{r} - \frac{1}{r}\bm{e}_\varphi\DP{A_r}{\theta} + \frac{A_\theta}{r}\bm{e}_\varphi + \frac{1}{r}\bm{e}_r \DP{A_\varphi}{\theta} \\ &\quad + \frac{1}{r\cos\theta}\bm{e}_\theta\DP{A_r}{\varphi} - \frac{1}{r\cos\theta}\bm{e}_r\DP{A_\theta}{\varphi} + \frac{A_\varphi}{r\cos\theta}(-\cos\theta\bm{e}_\theta-\sin\theta\bm{e}_r) \nonumber\\
   &= \bm{e}_r\left( \frac{1}{r}\DP{A_\varphi}{\theta}-\frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\theta}{\varphi}-\frac{\sin\theta}{r\cos\theta}A_\varphi \right) + \bm{e}_\theta\left( -\DP{A_\varphi}{r}+\frac{1}{\cos\theta}-\frac{A_\varphi}{r} \right) \nonumber \\ &\quad + \bm{e}_\varphi\left( \DP{A_\theta}{r}-\frac{1}{r}\DP{A_r}{\theta}+\frac{A_\theta}{r} \right) \nonumber \\
 \begin{split}
   &= \bm{e}_r\left\{ \frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\theta}(\cos\theta A\varphi)-\frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\theta}{\varphi} \right\} \\ &\quad + \bm{e}_\theta \left\{ \frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_r}{\varphi}-\frac{1}{r}\DP{}{r}(rA_\theta) \right\} \\ &\qquad + \bm{e}_\varphi\left\{ \frac{1}{r}\DP{}{r}(rA_\theta)-\frac{1}{r}\DP{A_r}{\theta} \right\}
 \end{split}  
\end{align}
ここで,  $\bm{e}_r \times\bm{e}_\theta = \bm{e}_\varphi, \bm{e}_\theta \times \bm{e}_\varphi = \bm{e}_r, \bm{e}_{\varphi}\times\bm{e}_r = \bm{e}_\theta$を用いた. 

これらを用いて, $\bm{v}=(v_r, v_\theta, v_\varphi)$について, $(\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{v}$を計算して成分表示すると, 
\begin{align*}
  &\quad (\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{v} \\
  &= \left\{ (\bm{e}_r v_r + \bm{e}_\theta v_\theta + \bm{e}_\varphi v_\varphi ) \cdot \left( \bm{e}_r\DP{}{r}+\bm{e}_\theta\frac{1}{r}\DP{}{\theta}+\bm{e}_\varphi \frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi} \right) \right\} \bm{v} \\
  &= \left( v_r \DP{}{r} + \frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta} + \frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi} \right) (\bm{e}_r v_r + \bm{e}_\theta v_\theta + \bm{e}_\varphi v_\varphi ) \\
  &= v_r^2 \DP{\bm{e}_r}{r} + \bm{e}_r v_r \DP{v_r}{r} + v_r v_\theta \DP{\bm{e}_\theta}{r} + \bm{e}_\theta v_r \DP{v_\theta}{r} + v_r v_\varphi \DP{\bm{e}_\varphi}{r} + \bm{e}_\varphi v_r \DP{v_\varphi}{r} \\
  &\quad + \frac{1}{r}\left(v_\theta v_r \DP{\bm{e}_r}{\theta} + \bm{e}_r v_\theta \DP{v_r}{\theta} + v_\theta^2 \DP{\bm{e}_\theta}{\theta} + \bm{e}_\theta v_\theta \DP{v_\theta}{\theta} + v_\theta v_\varphi \DP{\bm{e}_\varphi}{\theta} + \bm{e}_\varphi v_\theta \DP{v_\varphi}{\theta} -\frac{v_\varphi^2}{r} \right) \\
  &\qquad + \frac{1}{r\cos\theta} \left(v_\varphi v_r \DP{\bm{e}_r}{\varphi} + \bm{e}_r v_\varphi \DP{v_r}{\varphi} + v_\varphi v_\theta \DP{\bm{e}_\theta}{\varphi} + \bm{e}_\theta v_\varphi \DP{v_\theta}{\varphi} +v_\varphi^2 \DP{\bm{e}_\varphi}{\varphi} + \bm{e}_\varphi v_\varphi \DP{v_\varphi}{\varphi} \right) \\
  &= \bm{e}_r \left( v_r\DP{v_r}{r} + \frac{v_\theta}{r}\DP{v_r}{\theta} + \frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{v_\varphi}{\varphi} - \frac{v_\theta^2}{r} - \frac{v_\theta v_\varphi}{r} \right) \\ 
  &\quad + \bm{e}_\theta\left( v_r\DP{v_\theta}{r} + \frac{v_\theta}{r}\DP{v_\theta}{\theta} + \frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{v_\theta}{\varphi} + \frac{v_\theta v_\varphi}{r} - \frac{v_\theta v_\varphi \sin\theta}{r\cos\theta} \right) \\
  &\qquad + \bm{e}_\varphi \left( v_r\DP{v_\varphi}{r} + \frac{v_\theta}{r}\DP{v_\varphi}{\theta} + \frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{v_\varphi}{\varphi} +\frac{v_\theta v_r}{r} - \frac{v_\theta v_\varphi r\sin\theta}{r\cos\theta} + \frac{v_\varphi^2 \sin\theta}{r\cos\theta} \right)
\end{align*}