\section{ベクトル解析を用いて計算で求める}
 
以上は図を利用して直感的に球面座標系における微分演算子を計算したが, ここからはベクトル解析を用いて, 座標変換の考えを用いて計算で同じ結果を得られることを確かめる. 

\subsection{一般論: 曲線座標系について}

デカルト座標系の点$(x,y,z)$から, ある点$(u,v,w)$が$C^k$級($k\geq 1$)の函数$u,v,w$によって
\begin{equation}
x=X(u,v,w), \hspace{2pt} y=Y(u,v,w), \hspace{2pt} z=Z(u,v,w) \label{cor_def}
\end{equation}
と関係付けられるとする. この点$(x,y,z)$に点$(u,v,w)$を対応させる関係が一対一で, かつ, ヤコビアン
\[\displaystyle
   J = \DP{(u,v,w)}{(x,y,z)} = \left|
    \begin{array}{ccc}
      \displaystyle\DP{X}{u} & \displaystyle\DP{X}{v} & \displaystyle\DP{X}{w} \\ \\
      \displaystyle\DP{Y}{u} & \displaystyle\DP{Y}{v} & \displaystyle\DP{Y}{w} \\ \\
      \displaystyle\DP{Z}{u} & \displaystyle\DP{Z}{v} & \displaystyle\DP{Z}{w}
    \end{array}
  \right|
\]
が空間の領域$R$でゼロでないとすると, $R$で (\ref{cor_def}) は一意的に$u,v,w$について$x,y,z$で解くことができ, 
\[
u=U(x,y,z), \hspace{2pt} v=V(x,y,z), \hspace{2pt} w=W(x,y,z)
\]
と表される. このとき, 函数の組$(u,v,w)$を領域$R$上で定義された$C^k$級の\emph{曲線座標系}と呼ぶ. 

ここで, デカルト座標系の点$(x,y,z)$の位置ベクトルを
\[
\bm{r} = (x,y,z) = (X(u,v,w), Y(u,v,w), Z(u,v,w))
\]
と表すことにする. このとき, 次のような言葉を定義する:
\begin{description}
\item[ $u$-曲線 ] $u$がパラメータで, $v,w$が一定の曲線: \\$\bm{r}(u) = (X(u,v_0,w_0), Y(u,v_0,w_0), Z(u,v_0,w_0))$
\item[ $v$-曲線 ] $v$がパラメータで, $u,w$が一定の曲線: \\$\bm{r}(v)=(X(u_0,v,w_0), Y(u_0,v,w_0), Z(u_0,v,w_0))$
\item[ $w$-曲線 ] $w$がパラメータで, $u,v$が一定の曲線: \\$\bm{r}(w)=(X(u_0,v_0,w), Y(u_0,v_0,w), Z(u_0,v_0,w))$
\end{description}
これら3つを総称して\emph{座標曲線}という. 座標曲線が互いに直交しているとき, $(u,v,w)$を\emph{直交曲線座標系}と呼ぶ. また, 
\begin{description}
\item[ $u$-曲面 ] $u$が一定で, $v,w$がパラメータの曲面: $U(x,y,z)=u_0$
\item[ $v$-曲面 ] $v$が一定で, $u,w$がパラメータの曲面: $V(x,y,z)=v_0$
\item[ $w$-曲面 ] $w$が一定で, $u,v$がパラメータの曲面: $W(x,y,z)=w_0$
\end{description}
の3つを\emph{座標曲面}と呼ぶ. 

直交曲線座標系における基底は点P$(u,v,w)$を通る座標曲線の単位接ベクトル$\bm{u},\bm{v},\bm{w}$である\footnote{
この$\bm{u},\bm{v},\bm{w}$が一次独立であることは, 合成函数の微分を用いて
\[
\DP{(u,v,w)}{(x,y,z)}\DP{(x,y,z)}{(u,v,w)}=\DP{(u,v,w)}{(u,v,w)}=\left|
    \begin{array}{ccc}
      1 & 0 & 0 \\
      0 & 1 & 0 \\
      0 & 0 & 1
    \end{array}
\right|
=1
\]
となることより, 
\[
\DP{(u,v,w)}{(x,y,z)}\neq0
\]
からわかる.
}. $u$-曲線の接ベクトルはデカルト座標系では$\displaystyle\left(\DP{x}{u},\DP{y}{u},\DP{z}{u}\right)$と表されるので, その長さは
\[
 g_1 = \sqrt{\left(\DP{x}{u}\right)^2+\left(\DP{y}{u}\right)^2+\left(\DP{z}{u}\right)^2}
\]
であるから, $\bm{u}$はデカルト座標系で成分表示をすると, 
 \[
  \bm{u}=\frac{1}{g_1}\left(\DP{x}{u},\DP{y}{u},\DP{z}{u}\right)
 \]
と書ける. $\bm{v},\bm{w}$についても同様に, 
\begin{align*}
  &\bm{v}=\frac{1}{g_2}\left(\DP{x}{v},\DP{y}{v},\DP{z}{v}\right) \hspace{10pt} ただし, g_2 = \sqrt{\left(\DP{x}{v}\right)^2+\left(\DP{y}{v}\right)^2+\left(\DP{z}{v}\right)^2}, \\
  &\bm{w}=\frac{1}{g_3}\left(\DP{x}{w},\DP{y}{w},\DP{z}{w}\right) \hspace{5pt} ただし, g_3 = \sqrt{\left(\DP{x}{w}\right)^2+\left(\DP{y}{w}\right)^2+\left(\DP{z}{w}\right)^2}
\end{align*}
となる. この$g_1,g_2,g_3$を\emph{第一基本量}, または, \emph{計量係数}と呼ぶ. これらの式を書き換えると, 
\begin{subnumcases}
  {}
      \bnabla u = \frac{1}{g_1}\bm{u} \\
      \bnabla v = \frac{1}{g_2}\bm{v} \\
      \bnabla w = \frac{1}{g_3}\bm{w}
\end{subnumcases}
となる\footnote{
これらの式は, 第一基本量の定義の式から導かれる. まず, $\bm{u}$は$u$-曲面に垂直であるから, $\bnabla u と \bm{u}$は平行になる:
\[
 \bnabla u = \rho\bm{u}.
\]
ここで, ベクトル$\bm{u}$と$\bnabla u$の向きは函数$u$の増加する方向である. $\rho$は正のスカラー量である. よって, 
\[
  |\bnabla u| = \rho\bm{u} = \rho \Leftrightarrow \rho = |\bnabla u|.
\]
一方, $u$-曲線上のある定点から測った弧長を$s$とすると, $u$-曲線は$u$-曲面に対して垂直なので,
\[
  \DD{u}{s} = |\bnabla u|
\]
となる. また, $u$を時間と考えた時の$u$-曲線上の運動の速度の大きさが$g_1$であると考えられるので, 
\[
  g_1 = \DD{s}{u}
\]
よって, $\displaystyle\rho=\frac{1}{g_1}$とわかるので, $\displaystyle\bnabla u =\frac{1}{g_1}\bm{u}$となる. 他についても同様に導ける.
}. 

\subsection{$\bnabla$の$(u, v, w)$成分}

$\bm{u},\bm{v},\bm{w}$の成分表示の式から, 直交座標系の単位ベクトル$\bm{x}, \bm{y}, \bm{z}$と直行曲線座標系の単位ベクトル$\bm{u}, \bm{v}, \bm{w}$との間には
\begin{align*}
  &\bm{u}=\frac{1}{g_1}\left(\DP{x}{u}\bm{x}+\DP{y}{u}\bm{y}+\DP{z}{u}\bm{z}\right) \\
  &\bm{v}=\frac{1}{g_2}\left(\DP{x}{v}\bm{x}+\DP{y}{v}\bm{y}+\DP{z}{v}\bm{z}\right) \\
  &\bm{w}=\frac{1}{g_3}\left(\DP{x}{w}\bm{x}+\DP{y}{w}\bm{y}+\DP{z}{w}\bm{z}\right)
\end{align*}
の関係があることがわかる. 行列で表すと, 
\begin{eqnarray*}
  \left(
  \begin{array}{c}
    \bm{u} \\
    \bm{v} \\
    \bm{w}
  \end{array}
  \right)
  = \left(\begin{array}{ccc}
       \displaystyle\frac{1}{g_1}\DP{u}{x} & \displaystyle\frac{1}{g_1}\DP{u}{y} & \displaystyle\frac{1}{g_1}\DP{u}{z} \\\\
       \displaystyle\frac{1}{g_2}\DP{v}{x} & \displaystyle\frac{1}{g_2}\DP{v}{y} & \displaystyle\frac{1}{g_2}\DP{v}{z} \\\\
       \displaystyle\frac{1}{g_3}\DP{w}{x} & \displaystyle\frac{1}{g_3}\DP{w}{y} & \displaystyle\frac{1}{g_3}\DP{w}{z}
     \end{array}\right)
     \left(
     \begin{array}{c}
       \bm{x} \\
       \bm{y} \\
       \bm{z}
     \end{array}
     \right).
\end{eqnarray*}
正規直交基底の変換行列はユニタリ行列であったので, 
\begin{eqnarray*}
  \left(
  \begin{array}{c}
    \bm{x} \\
    \bm{y} \\
    \bm{z}
  \end{array}
  \right)
  = \left(\begin{array}{ccc}
       \displaystyle\frac{1}{g_1}\DP{u}{x} & \displaystyle\frac{1}{g_1}\DP{u}{y} & \displaystyle\frac{1}{g_1}\DP{u}{z} \\\\
       \displaystyle\frac{1}{g_2}\DP{v}{x} & \displaystyle\frac{1}{g_2}\DP{v}{y} & \displaystyle\frac{1}{g_2}\DP{v}{z} \\\\
       \displaystyle\frac{1}{g_3}\DP{w}{x} & \displaystyle\frac{1}{g_3}\DP{w}{y} & \displaystyle\frac{1}{g_3}\DP{w}{z}
     \end{array}\right)^{T}
     \left(
     \begin{array}{c}
       \bm{u} \\
       \bm{v} \\
       \bm{w}
     \end{array}
     \right).
\end{eqnarray*}
つまり,
\begin{align*}
  &\bm{x}=\frac{1}{g_1}\DP{x}{u}\bm{u}+\frac{1}{g_2}\DP{x}{v}\bm{v}+\frac{1}{g_3}\DP{x}{w}\bm{w} \\
  &\bm{y}=\frac{1}{g_1}\DP{y}{u}\bm{u}+\frac{1}{g_2}\DP{y}{v}\bm{v}+\frac{1}{g_3}\DP{y}{w}\bm{w} \\
  &\bm{z}=\frac{1}{g_1}\DP{z}{u}\bm{u}+\frac{1}{g_2}\DP{z}{v}\bm{v}+\frac{1}{g_3}\DP{z}{w}\bm{w}.
\end{align*}
これらの式の両辺にそれぞれ$\DP{}{x,} \DP{}{y}, \DP{}{z}$を掛けると, 
\begin{align*}
  &\DP{}{x}\bm{x}=\frac{1}{g_1}\DP{x}{u}\DP{\bm{u}}{x}+\frac{1}{g_2}\DP{x}{v}\DP{\bm{v}}{x}+\frac{1}{g_3}\DP{x}{w}\DP{\bm{w}}{x} \\
  &\DP{}{y}\bm{y}=\frac{1}{g_1}\DP{y}{u}\DP{\bm{u}}{y}+\frac{1}{g_2}\DP{y}{v}\DP{\bm{v}}{y}+\frac{1}{g_3}\DP{y}{w}\DP{\bm{w}}{y} \\
  &\DP{}{z}\bm{z}=\frac{1}{g_1}\DP{z}{u}\DP{\bm{u}}{z}+\frac{1}{g_2}\DP{z}{v}\DP{\bm{v}}{z}+\frac{1}{g_3}\DP{z}{w}\DP{\bm{w}}{z}.
\end{align*}
これらの辺々を足すと, 
\begin{align*}
  \bnabla &= \left(\DP{}{x}, \DP{}{y}, \DP{}{z} \right) \\
              &=\bm{x}\DP{}{x} + \bm{y}\DP{}{y} + \bm{z}\DP{}{z} \\
              &= \bm{u}\frac{1}{g_1}\left(\DP{x}{u}\DP{}{x}+\DP{y}{u}\DP{}{y}+\DP{z}{u}\DP{}{z}\right) \\
              &\quad + \bm{v}\frac{1}{g_2}\left(\DP{x}{v}\DP{}{x}+\DP{y}{v}\DP{}{y}+\DP{z}{v}\DP{}{z}\right) \\
              &\qquad + \bm{w}\frac{1}{g_3}\left(\DP{x}{w}\DP{}{x}+\DP{y}{w}\DP{}{y}+\DP{z}{w}\DP{}{z}\right) \\
              &= \bm{u}\frac{1}{g_1}\DP{}{u} + \bm{v}\frac{1}{g_2}\DP{}{v} + \bm{w}\frac{1}{g_3}\DP{}{w} \\
              &= \left(\frac{1}{g_1}\DP{}{u}, \frac{1}{g_2}\DP{}{v}, \frac{1}{g_3}\DP{}{w}\right)
\end{align*}
を得る.

\subsection{$\bnabla\cdot\bm{A}$の$(u,v,w)$系表示}

\begin{align*}
 \bnabla &= \bm{u}\frac{1}{g_1}\DP{}{u}+\bm{v}\frac{1}{g_2}\DP{}{v}+\bm{w}\frac{1}{g_3}\DP{}{w}, \\
 \bm{A}  &= A_u\bm{u}+A_v\bm{v}+A_w\bm{w} 
\end{align*}
と分配法則を用いると, 
\begin{align*}
  \bnabla\cdot\bm{A} &= \bnabla\cdot(A_u\bm{u}+A_v\bm{v}+A_w\bm{w}) \\
                                 &= \{(\bnabla A_u)\cdot\bm{u}+A_u(\bnabla\cdot\bm{u})\} + \{(\bnabla A_v)\cdot\bm{v}+A_v(\bnabla\cdot\bm{v})\} + \{(\bnabla A_w)\cdot\bm{w}+A_w(\bnabla\cdot\bm{w})\}
\end{align*}
の6つの項が現れる. 第1項と第2項をそれぞれ計算すると, 
\begin{align*}
  (\bnabla A_u)\cdot\bm{u} &= \left( \frac{1}{g_1}\DP{A_u}{u}\bm{u} + \frac{1}{g_2}\DP{A_v}{v}\bm{v} + \frac{1}{g_3}\DP{A_w}{w}\bm{w} \right)\cdot\bm{u} = \frac{1}{g_1}\DP{A_u}{u} = \frac{g_2 g_3}{g_1 g_2 g_3}\DP{A_u}{u} \\
  A_u(\bnabla\cdot\bm{u}) &= A_u\left( \frac{\bm{u}}{g_1}\DP{}{u}\bm{u} + \frac{\bm{v}}{g_2}\DP{}{v}\bm{u} + \frac{\bm{w}}{g_3}\DP{}{w}\bm{u} \right) \\
                                         &= A_u\left( \frac{\bm{u}}{g_1}\DP{}{u}\bm{u} + \frac{\bm{v}}{g_2}\frac{1}{g_1}\DP{g_2}{u}\bm{v} + \frac{\bm{w}}{g_3}\frac{1}{g_1}\DP{g_3}{u}\bm{w} \right) \\
                                         &= A_u\left( 0 + \frac{1}{g_2 g_1}\DP{g_2}{u} + \frac{1}{g_3 g_1}\DP{g_3}{u} \right) \\
                                         &= \frac{A_u}{g_1 g_2 g_3}\DP{(g_2 g_3)}{u}.
\end{align*}
ここで, 
\begin{align*}
  \DP{\bm{u}}{v} &= \frac{1}{g_1}\DP{g_2}{u}\bm{v} \\
  \DP{\bm{u}}{w} &= \frac{1}{g_1}\DP{g_3}{u}\bm{w} 
\end{align*}
を用いた\footnote{
この式の導出は以下のとおり: 
\begin{align*}
 & \DP{}{v}\DP{\bm{r}}{u}=\DP{}{u}\DP{\bm{r}}{v} \\
 \Leftrightarrow & \DP{}{v}(g_{1} \bm{u}) = \DP{}{u}(g_{2} \bm{v}) \\
 \Leftrightarrow & \DP{g_{1}}{v}\bm{u} + g_{1} \DP{\bm{u}}{v} = \DP{g_{2}}{u}\bm{v} + g_{2} \DP{\bm{v}}{u}, 
\end{align*}
の両辺に$\bm{v}$を掛けると, $\bm{v}\cdot\bm{u}=0, \partial_u\bm{v}\cdot\bm{v}=0$より, 
\[
  g_1\DP{\bm{u}}{v}\DP{g_2}{u}=\DP{g_2}{u} \Leftrightarrow \DP{\bm{u}}{v}=\frac{1}{g_1}\DP{g_2}{u}\bm{v}
\]
となる. もう一つの式も同様. 
}. よって, 
\[
  (\bnabla A_u)\cdot\bm{u}+A_u(\bnabla\cdot\bm{u}) = \frac{1}{g_1 g_2 g_3}\DP{(A_u g_2 g_3)}{u}
\]
とわかる. 同様にして, 
\begin{align*}
  (\bnabla A_v)\cdot\bm{v}+A_v(\bnabla\cdot\bm{v}) &= \frac{1}{g_1 g_2 g_3}\DP{(A_v g_1 g_3)}{v}
  (\bnabla A_w)\cdot\bm{w}+A_w(\bnabla\cdot\bm{w}) &= \frac{1}{g_1 g_2 g_3}\DP{(A_w g_1 g_2)}{w}
\end{align*}
もわかる. 以上より, 
\[
  \bnabla\cdot\bm{A} = \frac{1}{g_1 g_2 g_3}\left( \DP{(A_u g_2 g_3)}{u} + \DP{(A_v g_1 g_3)}{v} + \DP{(A_w g_1 g_2)}{w} \right).
\]

\subsection{$\bnabla\times\bm{A}$の$(u,v,w)$系表示}

先程と同様に, 分配法則を用いて, 
\begin{align*}
   \bnabla\times\bm{A} &= \bnabla\times(A_u\bm{u}+A_v\bm{v}+A_w\bm{w}) \\
                                   &= -\{(\bm{u}\times\bnabla)A_u + (\bm{v}\times\bnabla)A_v+(\bm{w}\times\bnabla)A_w\} \\
                                   &\qquad + \{(A_u(\bnabla\times\bm{u})+A_v(\bnabla\times\bm{v})+A_w(\bnabla\times\bm{w})\}. 
\end{align*}
ここで, $\bm{u}\times\bm{v}=\bm{w}, \bm{v}\times\bm{w}=\bm{u},\bm{w}\times\bm{u}=\bm{v}$を用いて, 
\[
  (\bm{u}\times\bnabla)A_u=\left(\bm{u}\times\left(\bm{u}\frac{1}{g_1}\DP{}{u} + \bm{v}\frac{1}{g_2}\DP{}{v} + \bm{w}\frac{1}{g_3}\DP{}{w}\right)\right) A_u =\bm{w}\frac{1}{g_1}\DP{A_u}{v}-\bm{v}\frac{1}{g_3}\DP{A_u}{w}.
\]
同様に, 
\begin{align*}
   (\bm{u}\times\bnabla)A_u &= -\bm{w}\frac{1}{g_1}\DP{A_v}{u}+\bm{u}\frac{1}{g_3}\DP{A_v}{w}, \\
   (\bm{w}\times\bnabla)A_w &= \bm{v}\frac{1}{g_1}\DP{A_w}{u}-\bm{u}\frac{1}{g_2}\DP{A_w}{v}.
\end{align*}
また, 
\begin{align*}
  A_u(\bnabla\times\bm{u}) &= A_u\left( \bm{u}\frac{1}{g_1}\DP{}{u}+\bm{v}\frac{1}{g_2}\DP{}{v}+\bm{w}\frac{1}{g_3}\DP{}{w} \right)\times\bm{u} \\
                                          &= A_u\left( \bm{u}\times\frac{1}{g_1}\DP{\bm{u}}{u} + \bm{v}\times\frac{1}{g_2}\DP{\bm{u}}{v} + \bm{w}\times\frac{1}{g_3}\DP{\bm{u}}{w} \right) \\
                                          &= A_u\left( \bm{u}\times\frac{1}{g_1}\DP{\bm{u}}{u} + \bm{v}\times\frac{1}{g_2 g_1}\DP{g_2}{v}\bm{v} + \bm{w}\times\frac{1}{g_3 g_1}\DP{g_3}{u}\bm{w} \right) \\
                                          &= \frac{A_u}{g_1}\left(\bm{u}\times\DP{\bm{u}}{u}\right) \\
                                          &= \frac{A_u}{g_1}\bm{u}\times\left(-\frac{1}{g_1}\DP{g_1}{v}-\frac{1}{g_3}\DP{g_1}{w}\bm{w}\right) \\
                                          &= -\frac{A_u}{g_1 g_2}\DP{g_1}{v}\bm{w}+\frac{A_u}{g_1 g_3}\DP{g_1}{w}\bm{v}.
\end{align*}
ここで, 
\[
  \DP{\bm{u}}{u}=-\frac{1}{g_2}\DP{g_1}{v}\bm{v}-\frac{1}{g_3}\DP{g_1}{w}\bm{w}
\]
を用いた\footnote{
この式の導出は以下のとおり: $\displaystyle\DP{\bm{u}}{u}\cdot\bm{u}=0$より, 係数$A, B$を用いて, 
\[
  \DP{\bm{u}}{u} = A\bm{v}+B\bm{w}
\]
とおける. この両辺に$\bm{v}$を内積で掛けると, 
\[
  \DP{\bm{u}}{u}=-\bm{u}\cdot\DP{\bm{v}}{u}=-\bm{u}\left(\frac{1}{g_2}\DP{g_1}{v}\bm{u}\right)=-\frac{1}{g_2}\DP{g_1}{v}=A
\]
となる. $B$は両辺に$\bm{w}$を掛けると出てくる. 
}. 同様にして, 
\begin{align*}
  A_u(\bnabla\times\bm{u}) &= \frac{A_v}{g_2 g_1}\DP{g_2}{u}\bm{w}-\frac{A_v}{g_2 g_3}\DP{g_2}{w}\bm{u} \\
  A_w(\bnabla\times\bm{w}) &= -\frac{A_w}{g_3 g_2}\DP{g_3}{v}\bm{u}+\frac{A_w}{g_3 g_1}\DP{g_3}{u}\bm{v}
\end{align*}
これらを合わせると, 
\begin{align*}
  \bnabla\times\bm{A} &= \left(\frac{g_3}{g_2 g_3}\DP{A_w}{v} - \frac{g_2}{g_2 g_3}\DP{A_v}{w}\right)\bm{u} + \left(\frac{A_w}{g_2 g_1}\DP{g_3}{v} - \frac{A_v}{g_2 g_3}\DP{g_2}{w}\right)\bm{u}+\cdots \\
                                   &= \frac{1}{g_2 g_3}\left(\DP{}{v}(g_3 A_w)-\DP{}{w}(g_2 A_v)\right)\bm{u} \\
                                   &\quad  + \frac{1}{g_3 g_1}\left(\DP{}{w}(g_1 A_u)-\DP{}{u}(g_3 A_w)\right)\bm{v} \\
                                   &\qquad  + \frac{1}{g_1 g_2}\left(\DP{}{u}(g_2 A_v)-\DP{}{v}(g_1 A_1)\right)\bm{w}
\end{align*}
となる. 

%\subsubsection*{外微分を用いた微分公式の導出}
%
%$\bnabla f$は0次微分形式を1次微分形式にする外微分である: 
%\[
%  \dd f = \DP{f}{u}\dd u + \DP{f}{v} \dd v + \DP{f}{w} \dd w \leftrightarrow \bnabla f.
%\]
%特に, $f$として函数$u$をとれば, $\displaystyle \dd u \leftrightarrow \bnabla u \leftrightarrow \frac{1}{g_1}\bm{u}$となる. $\dd v, \dd w$についても同様より, 
%\[
%  \bnabla f = \frac{1}{g_1}\DP{f}{u}\bm{u} + \frac{1}{g_2}\DP{f}{v}\bm{v} + \frac{1}{g_3}\DP{f}{w}\bm{w}
%\]
%となる. 

\subsection{球面座標系の微分演算の計算}

3次元直交座標系$(x,y,z)$から座標変換
\begin{subnumcases}
  {}
      x = r\cos\theta\cos\varphi \\
      y = r\cos\theta\sin\phi \\
      z = r\sin\theta
\end{subnumcases}
により, 球面座標系$(r,\theta,\varphi)$を定義する. これより, $r,\theta,\varphi$をそれぞれ$x,y,z$で表すと, 
\begin{subnumcases}
  {}
      r = \sqrt{x^2+y^2+z^2}\\
      \theta = \arctan\frac{z}{\sqrt{x^2+y^2}} \\
      \varphi = \arctan\frac{y}{x}
\end{subnumcases}
となる. 第一基本量を計算するために, $\bm{r}=(r\cos\theta\cos\varphi, r\cos\theta\sin\phi, r\sin\theta)$を$r,\theta,\varphi$で微分すると, 
\begin{align*}
 &\DP{\bm{r}}{r} = (\sin\theta\cos\varphi, \sin\theta\sin\varphi, \cos\theta) = g_1\bm{e}_r, \\
 &\DP{\bm{r}}{\theta} = (r\cos\theta\cos\varphi, r\cos\theta\sin\varphi, -r\sin\theta) = g_2\bm{e}_\theta, \\
 &\DP{\bm{r}}{\varphi} = (-r\sin\theta\sin\varphi, r\sin\theta\cos\varphi, 0) = g_3\bm{e}_\varphi.
\end{align*}
これより, 
\begin{align*}
 & g_1 = \sqrt{\left(\sin\theta\cos\varphi\right)^2+\left(\sin\theta\sin\varphi\right)^2+\left(\cos\theta\right)^2} = 1, \\
 & g_2 = \sqrt{\left(r\cos\theta\cos\varphi\right)^2+\left(r\cos\theta\sin\varphi\right)^2+\left(-r\sin\theta\right)^2} = r \\
 & g_3 = \sqrt{\left(-r\sin\theta\sin\varphi\right)^2+\left(r\sin\theta\cos\varphi\right)^2} = r\sin\theta
\end{align*}
である. これらを代入すると, 
\begin{align*}
 &\bnabla f = \bm{e}_r\DP{f}{r}+\bm{e}_\theta\frac{1}{r}\DP{f}{\theta}+\bm{e}_\varphi \frac{1}{r\cos\theta}\DP{f}{\varphi}, \\
 &\bnabla\cdot\bm{A} = \frac{1}{r^2}\DP{}{r}(r^2 A_r)+\frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\theta}(\cos\theta A_\theta) + \frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\theta}{\varphi}, \\
 &\bnabla^2 V = \frac{1}{r^2}\DP{}{r}\left(r^2 \DP{V}{r} \right)+\frac{1}{r^2\cos\theta}\DP{}{\theta}\left(\cos\theta \DP{V}{\theta}\right) + \frac{1}{r^2\cos^2\theta}\DP[2]{V}{\varphi}, \\
 &\bnabla\times\bm{A} = \bm{e}_r\left\{ \frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\theta}(\cos\theta A\varphi)-\frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\theta}{\varphi} \right\} \\ &\qquad\qquad + \bm{e}_\theta \left\{ \frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_r}{\varphi}-\frac{1}{r}\DP{}{r}(rA_\theta) \right\} \\ &\qquad \qquad\quad+ \bm{e}_\varphi\left\{ \frac{1}{r}\DP{}{r}(rA_\theta)-\frac{1}{r}\DP{A_r}{\theta} \right\}
\end{align*}
を得ることができる.


\section{まとめ}
以上をまとめると次のようになる:

\begin{shadebox}
\begin{align}
\begin{split}
 &\DP{\bm{e}_r}{r}=0, \DP{\bm{e}_\theta}{r}=0, \DP{\bm{e}_\varphi}{r}=0, \\
 &\DP{\bm{e}_r}{\theta}=\bm{e}_\theta, \DP{\bm{e}_\theta}{\theta}=-\bm{e}_r, \DP{\bm{e}_\varphi}{\theta}=0, \\
 &\DP{\bm{e}_r}{\varphi}=\cos\theta\bm{e}_\varphi, \DP{\bm{e}_\theta}{\varphi}=-\sin\theta\bm{e}_\varphi, \DP{\bm{e}_\varphi}{\varphi}=-\cos\theta\bm{e}_r+\sin\theta\bm{e}_\theta, 
 \end{split} \\
 &\bnabla f = \bm{e}_r\DP{f}{r}+\bm{e}_\theta\frac{1}{r}\DP{f}{\theta}+\bm{e}_\varphi \frac{1}{r\cos\theta}\DP{f}{\varphi}, \\
 &\bnabla\cdot\bm{A} = \frac{1}{r^2}\DP{}{r}(r^2 A_r)+\frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\theta}(\cos\theta A_\theta) + \frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\theta}{\varphi}, \\
 &\bnabla^2 V = \frac{1}{r^2}\DP{}{r}\left(r^2 \DP{V}{r} \right)+\frac{1}{r^2\cos\theta}\DP{}{\theta}\left(\cos\theta \DP{V}{\theta}\right) + \frac{1}{r^2\cos^2\theta}\DP[2]{V}{\varphi}, \\
 \begin{split}
 &\bnabla\times\bm{A} = \bm{e}_r\left\{ \frac{1}{r\cos\theta}\DP{}{\theta}(\cos\theta A\varphi)-\frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_\theta}{\varphi} \right\} \\ &\qquad\qquad + \bm{e}_\theta \left\{ \frac{1}{r\cos\theta}\DP{A_r}{\varphi}-\frac{1}{r}\DP{}{r}(rA_\theta) \right\} \\ &\qquad \qquad\quad+ \bm{e}_\varphi\left\{ \frac{1}{r}\DP{}{r}(rA_\theta)-\frac{1}{r}\DP{A_r}{\theta} \right\}
\end{split}  
\end{align}
\end{shadebox}

