\chapter{渦度方程式の導出と座標系による普遍性の確認}

運動方程式 (\ref{eq:1}) を書き換えた式(ただし, ここでは, 一般化して3次元非粘性流体を考える)
\[
\DP{\bm{v}}{t} = -\bnabla\left(\frac{1}{2}\bm{v}^2 + \gamma\right)+\bm{v}\times\bm{\omega} \tag{1.1'}
\]
を用いる. (1.1') の両辺に$\bnabla\times$を掛けると, 
\begin{align*}
  (左辺) &= \DP{\bm{\omega}}{t} , \\
  (右辺) &= \bnabla\times(\bm{v}\times\bm{\omega}) \\
           &= \bm{e}_i \varepsilon_{ijk}\partial_j (\bm{v}\times\bm{\omega})_{k} \\
           &= \bm{e}_i \varepsilon_{ijk}\partial_j \varepsilon_{klm} v_l \omega_m \\
           &= \bm{e}_i \partial_j(v_{i}\omega_{j}) - \bm{e}_i \partial_{j}(v_{j}\omega_{i}) \\
           &= \bm{e}_i \omega_j \partial_j v_i + \bm{e}_i v_i \partial_j \omega_j - \bm{e}_i \omega_i \partial_j v_j - \bm{e}_i v_j \partial_j \omega_i \\
           &= (\bm{\omega}\cdot\bnabla)\bm{v} + \underbrace{\bm{v}\cdot\bnabla\bm{\omega}}_{=\bnabla\cdot(\bnabla\times\bm{v})=0} - (\bnabla\cdot\bm{v})\bm{\omega} - (\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{\omega}
\end{align*}
となる. 途中で, Eddington のイプシロンの性質$\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{kij}$と$\varepsilon_{kij}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$を用いた. これより, 一般的な渦度方程式
\[
  \DP{\bm{\omega}}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{\omega} = \underbrace{(\bm{\omega}\cdot\bnabla)\bm{v}}_{\mathrm{tilting\hspace{1pt}term}}-\underbrace{(\bnabla\cdot\bm{v})\bm{\omega}}_{\mathrm{divergence\hspace{1pt}term}}
\]
を得る. いま, 非圧縮流体では$\bnabla\cdot\bm{v}=0$より, 
\[
  \DP{\bm{\omega}}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{\omega} = (\bm{\omega}\cdot\bnabla)\bm{v}
\]
となる. 

次に, 非圧縮2次元流体の渦度方程式は, 座標系に依らず
\[
  \DP{\bm{\omega}}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{\omega} = 0
\]
となることを示す: まず, デカルト座標系で$z$成分のみを考えると,  
\begin{align*}
  \DP{\omega_z}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)w_z &= (\bm{\omega}\cdot\bnabla)v_z \\
                                                                   &= 0
\end{align*}
最後の等号は, 流体が2次元平面に束縛される状況を考えているためである. 

次に, 球面座標系で考える: 左辺第2項を球面座標で計算すると, 
\begin{align*}	
  (\bm{v}\cdot\bnabla)\bm{\omega} &= \left(v_r\DP{}{r}+\frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)(\omega_r\bm{e}_r+\omega_\theta\bm{e}_\theta+\omega_\varphi\bm{e}_\varphi) \\
                                                      &= \bm{e}_r\left[\left(v_r\DP{}{r}+\frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)\omega_r -\frac{v_{\theta}\omega_{\theta}}{r}-\frac{v_{\varphi}\omega_{\varphi}}{r}\right] \\
                                                      &\quad + \bm{e}_\theta\left[\left(v_r\DP{}{r}+\frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)\omega_\theta +\frac{v_{\theta}\omega_r}{r}+\frac{v_{\varphi}\omega_{\varphi}}{r}\tan\theta\right] \\
                                                      &\qquad + \bm{e}_\varphi\left[\left(v_r\DP{}{r}+\frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}\right)\omega_\varphi +\frac{v_{\varphi}\omega_r}{r}-\frac{v_{\varphi}\omega_{\theta}}{r}\tan\theta\right]
\end{align*}
となる. また, 右辺の$r$成分は
\[
  [(\bm{\omega}\cdot\bnabla)\bm{v}]_r = (\bm{\omega}\cdot\bnabla)_s v_r - \frac{\omega_\theta v_\theta}{r}-\frac{\omega_\varphi v_\varphi}{r} =  - \frac{\omega_\theta v_\theta}{r}-\frac{\omega_\varphi v_\varphi}{r}
\]
である, ここで, 球面に束縛されているので, $v_r$はゼロとなることを用いると, 渦度方程式の$r$成分は, 
\begin{align*}
   &\DP{\omega_r}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)_s\omega_r - \frac{1}{r}(v_\theta \omega_\theta+v_\varphi \omega_\varphi) = - \frac{1}{r}(v_\theta \omega_\theta+v_\varphi \omega_\varphi) \\
   \therefore\hspace{2pt}& \DP{\omega_r}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)_s\omega_r = 0
\end{align*}
となり, デカルト座標系の場合と同じ形式になることが確かめられた. ここで, 
\[
	(\bm{v}\cdot\bnabla)_s \equiv \frac{v_\theta}{r}\DP{}{\theta}+\frac{v_\varphi}{r\cos\theta}\DP{}{\varphi}
\]
である.
