\chapter{(\ref{eq:9})の導出\label{chap:legendre}} 

\section{問題設定}

(\ref{eq:9}) の$a_q$を求めることは, 球面上の函数$\psi_q$について線型演算子$\bnabla_s^2$の固有値を求めることである. すなわち, 球面上のラプラス方程式
\begin{equation}
	\bnabla_s^2\psi_q = -a_q\psi_q \label{eq:settei}
\end{equation}
を満たす$a_q$を求めることである(この式は(\ref{eq:8})と同じ式である). ラプラス方程式の正則な解を一般に\emph{調和函数}と呼ぶ. 特に, 調和函数のうち, 球座標(極座標)$(R,\theta,\varphi)$を用いて,$R^n Y_n(\theta,\varphi)$(ただし, $n$は0または正の整数)の形に表されるものを$n$次の\emph{体球函数}, $Y_n(\theta,\varphi)$を$n$次の\emph{球面調和函数}(または, 単に球面函数)という.

\section{方程式の球座標での表示と変数分離}

球面上のラプラシアンを用いて (\ref{eq:settei}) の左辺を書き下すと,
\begin{align*}
	\bnabla_s^2 \psi_q &= \frac{1}{r^2}\DP{}{r}\left(r^2 \DP{\psi_q}{R} \right)+\frac{1}{r^2\cos\theta}\DP{}{\theta}\left(\cos\theta \DP{\psi_q}{\theta}\right) + \frac{1}{R^2\cos^2\theta}\DP[2]{\psi_q}{\varphi} \\
						  &= \frac{1}{R^2}\DP{}{R}\left(R^2 \DP{\psi_q}{R} \right)+\frac{1}{R^2}\left\{\frac{1}{\cos\theta}\DP{}{\theta}\left(\cos\theta \DP{}{\theta}\right) + \frac{1}{\cos^2\theta}\DP[2]{}{\varphi}\right\}\psi_q
\end{align*}
となるが, 今回は球面上での変化しか考えていない (鉛直方向$=r$方向の変化は考えていない) ので, 
\begin{equation}
	\frac{1}{R^2}\left\{\frac{1}{\cos\theta}\DP{}{\theta}\left(\cos\theta \DP{}{\theta}\right) + \frac{1}{\cos^2\theta}\DP[2]{}{\varphi}\right\}\psi_q = -a_q \psi_q
\end{equation}
となる. ここで, $\psi_q=\Theta(\theta)\Phi(\varphi)$と変数分離をすると, 
\begin{align*}
	\frac{\Phi}{R^2\cos\theta}\DD{}{\theta}\left(\cos\theta \DD{}{\theta}\right)\Theta + \frac{\Theta}{R^2\cos^2\theta}\DD[2]{}{\varphi}\Phi = -a_q\Theta\Phi, \\
	\frac{1}{R^2\cos\theta\Theta}\DD{}{\theta}\left(\cos\theta \DD{\Theta}{\theta}\right) + \frac{1}{R^2\Phi\cos^2\theta}\DD[2]{\Phi}{\varphi} = -a_q, \\
	\frac{\cos\theta}{R^2\Theta}\DD{}{\theta}\left(\cos\theta \DD{\Theta}{\theta}\right) + a_q\cos^2\theta = \frac{1}{R^2\Phi}\DD[2]{\Phi}{\varphi}\end{align*}
となる. 変数分離定数を$\alpha$とすると, まず$\Phi$については一般解として
\[
  \begin{cases}
    \Phi = A\ee^{i\sqrt{\alpha}R\varphi} + B\ee^{-i\sqrt{\alpha}R\varphi} & (\alpha > 0) \\
    \Phi = C_1\ee^{\sqrt{|\alpha|}R\varphi} + C_2\ee^{\sqrt{|\alpha|}R\varphi} & (\alpha < 0)
  \end{cases}
\]
を得る($A,B,C_1,C_2$は任意定数である). しかし, $\alpha<0$の場合の解は周期境界条件$\Phi(\varphi)=\Phi(\varphi+2n\pi)\,(n\in\mathbb{Z})$を満たさないので不適である. また, $\alpha>0$の場合の解についても周期境界条件を考慮すると, $\sqrt{\alpha}R=n$より, $\alpha=(n/R)^2\equiv m^2$とできる. よって, $\varphi$方向 (= 経度方向) の解は
\[
	\Phi = \hat{\Phi}_n \ee^{ims\varphi}
\]
とできる. つまり, $\phi$方向の固有函数は Fourier 級数展開を使って書ける. 

一方, $\theta$方向 (=緯度方向) については, 
\begin{align}
	\frac{\cos\theta}{R^2\Theta}\DD{}{\theta}\left(\cos\theta \DD{}{\theta}\right)\Theta + a_q\cos^2\theta = \alpha ,  \nonumber\\
	\cos^2\theta\DD[2]{\Theta}{\theta} - \cos\theta\sin\theta\DD{\Theta}{\theta}-\left(m^2 - a_q R^2\cos^2\theta\right)\Theta = 0 \label{eq:henkan}
\end{align}
となる. ここで, $x\equiv\sin\theta$と変数変換を行うと, 
\[
	\DD{}{\theta}=\DD{x}{\theta}\DD{}{x} = \cos\theta\DD{}{x}, \, \DD[2]{}{\theta}=\DD{}{\theta}\left(\cos\theta\DD{}{x}\right)=-\sin\theta\DD{}{x}+\cos^2\theta\DD[2]{}{x}
\]
より, (\ref{eq:henkan}) は
\begin{align}
	\cos^4\theta\DD[2]{\Theta}{x}-2\cos^2\theta\sin\theta\DD{\Theta}{x}-\left(m^2-a_q R^2\cos^2\theta\right)\Theta = 0 \nonumber\\
	\cos^2\theta\DD{\Theta}{x}-2\sin\theta\DD{\Theta}{x}-\left(\frac{m^2}{\cos^2\theta}-a_q R^2\right)\Theta = 0 \nonumber\\
	(1-x^2)\DD{\Theta}{x}-2x\DD{\Theta}{x}-\left(\frac{m^2}{1-x^2}-a_q R^2\right)\Theta = 0 \label{eq:Legendre1}
\end{align}
となる. これは, ルジャンドルの微分方程式\footnote{
ルジャンドルの微分方程式は変数係数の2階線型常微分方程式であるが, $\dd^2\Theta/\dd x^2$の係数$(1-x^2)$が$-x = \pm1$でゼロになるため, 解くのは難しい. このような確定特異点をもつ微分方程式は無限級数の解の形で求める.
}の形式になっている. 

\section{ルジャンドルの微分方程式の級数解法}

ここで, $m=0$としたときの (\ref{eq:Legendre1}) の解を$P$とすると, 
\begin{equation}
	(1-x^2)\DD{P}{x}-2x\DD{P}{x}+a_q R^2 P = 0 \label{eq:Legendre2}
\end{equation}
となる. これを級数解法で解くために
\begin{equation}
	P=\sum_{n=0}^{\infty} c_n x^n \hspace{10pt} (-1\leq x \leq 1)
\end{equation}
とおく. これより,
\[
	\DD{P}{x}=\sum_{n=0}^{\infty} nc_n x^{n-1}, \, \DD[2]{P}{x} = \sum_{n=0}^{\infty} n(n-1)c_n x^{n-2}
\]
となるので, これらを (\ref{eq:Legendre2}) に代入すると, 
\begin{align}
	&\sum_{n=0}^{\infty} \{ (1-x^2)n(n-1)c_n x^{n-2} -2x nc_n x^{n-1} + a_q R^2 c_n x^n \} \nonumber\\
	= &\sum_{n=0}^{\infty} [ \{ n(1-n)c_n - 2n c_n + a_q R^2 c_n \} x^n + n(n-1)c_n x^{n-2} ] \nonumber\\ 
	= &\sum_{n=0}^{\infty} [ \underbrace{\{ a_qR^2 - n(n+1) \} c_n x^n}_{(*1)} + \underbrace{n(n-1)c_n x^{n-2}}_{(*2)} ] = 0
\end{align}
となる. この式から, $c_n$が満たす漸化式を求める;
\begin{itemize}
\item $x^0$の係数$\cdots(*1)$の項に$n=0$, $(*2)$の項に$n=2$を代入したものを足すと, 
		\[
			a_q R^2 c_0 + 2c_2 = 0
		\]
\item $x^1$の係数$\cdots(*1)$の項に$n=1$, $(*2)$の項に$n=3$を代入したものを足すと, 
		\[
			(a_q R^2 -2) c_1 + 6c_3 = 0
		\]
\item $x^2$の係数$\cdots(*1)$の項に$n=2$, $(*2)$の項に$n=4$を代入したものを足すと, 
		\[
			(a_q R^2 -6) c_2 + 12c_4 = 0
		\]
$\vdots$
\item $x^q$の係数$\cdots(*1)$の項に$n=q$, $(*2)$の項に$n=q+2$を代入したものを足すと, 
		\[
			\{a_q R^2 - q(q+1)\} c_q + (q+2)(q+1)c_{q+2} = 0
		\]
\end{itemize}
以上から, 
\begin{equation}
	\frac{c_{n+2}}{c_n} = \frac{n(n+1)-a_q R^2}{(n+1)(n+2)}
\end{equation}
と推定できる. これより, $c_0, c_1$を定めれば$c_n$は順次求められるが, $c_0=c_1=0$としてしまうと, 全ての$c_n$がゼロとなり, $p=0$の自明な解しか得られないので, $c_0\neq0, c_1\neq0$と仮定する. $P$が$-1<x<1$で発散しないためには, この級数が有限で終わる必要がある. ある$q$で$c_q=q(q+1)-a_q R^2 =0$となれば, $c_{q+2}=0$となり, $q$以降の係数は全てゼロとなる. よって,
\begin{equation}
	a_q=\frac{q(q+1)}{R^2}
\end{equation}
となる必要がある. これで, 求めるべき固有値が求まった.

