\chapter{準備\label{chap:prepare}}

Fj$\mathrm{\o}$rtoft (1953) の論文内で述べられているいくつかの結論について, 現代的な表記や用語を用いて整理するために必要な方程式や物理量をまずここで導入する. Fj$\mathrm{\o}$rtoft (1953) では球面上で物理量を定義して議論されているが, 本論文では2次元平面上のデカルト座標系で議論をし, その上で定義される場の量は2次元領域$\Omega$の境界で二重周期条件が課されているとして議論する;
\begin{align}
	&\Omega = \{ (x,y) \, | \, 0\leq x\leq L, 0\leq L\leq L\}, \\
	&^\forall \psi(x,y,t)\in\Omega, \, \psi(x,y,t)=\psi(x+L,y,t)=\psi(x,y+L,t).
\end{align}

\section{基礎方程式: 非粘性非圧縮2次元の場合\label{sec:kiso}}

まずは, 2次元における非粘性非圧縮順圧流体について考える.

\subsection{運動方程式}

2次元平面上の非粘性非圧縮流体の運動方程式は,
\begin{align}
	\DP{u}{t}=-u\DP{u}{x}-v\DP{u}{y}-\frac{1}{\rho}\DP{p}{x} \label{eq:eqomx}\\
	\DP{v}{t}=-u\DP{v}{x}-v\DP{v}{y}-\frac{1}{\rho}\DP{p}{y}  \label{eq:eqomy}
\end{align}
と書ける. ここで, 
\begin{itemize}
	\item $u(x,y,t), v(x,y,t) : x方向, y方向の速さ$
	\item $\rho : 密度(均質流体を考えているので, 定数)$
	\item $p=p(x,y,t):圧力$
\end{itemize}
である. 以下, 場の独立変数は省略するとしておく. 今回は, 強制と散逸は無視する. また, 非圧縮の仮定より, 連続の式は
\begin{equation}
	\DP{u}{x}+\DP{v}{y}=0
\end{equation}
である. 以上をまとめて, $x方向, y方向, z方向$の単位ベクトルをそれぞれ$\bm{e}_x, \bm{e}_y, \bm{e}_z$としてベクトル形式で記述すると,
\begin{align}
	&\DP{\bm{v}}{t}=-\bm{v}\cdot\bnabla\bm{v}-\frac{1}{\rho}\bnabla p, \label{eq:eqom}\\
	&\bnabla\cdot\bm{v}=0 \label{eq:cont}
\end{align}
となる. ここで, 
\begin{itemize}
\item $\bm{v}=(u,v):2次元平面上の速度ベクトル$
\item $\bnabla:2次元平面上の勾配演算子$
\end{itemize}
で, $\bm{v}\cdot\bnabla\bm{v}$は平面上の移流の加速度を表す.

\subsection{渦度方程式}

\begin{defi}[渦度の定義]
流体の 3 次元速度ベクトル$\bm{u}=(u,v,w)$から
\begin{equation}
	\bm{\omega}\equiv\bnabla_3\times\bm{u}=\left(\DP{w}{y}-\DP{v}{z}, \DP{u}{z}-\DP{w}{x}, \DP{v}{x}-\DP{u}{y}\right)=(\xi,\eta,\zeta) \label{eq:defivor}
\end{equation}
で定義される量を\textbf{渦度}という. ここで, $\bnabla_3$は3次元空間における勾配演算子である.
\end{defi}

渦度は, 流体粒子の回転角速度の2倍である. ここでは, 2 次元平面で考えているので, (\ref{eq:defivor}) は鉛直方向成分のみ, すなわち
\begin{equation}
	\zeta=\DP{v}{x}-\DP{u}{y}
\end{equation}
のみを考えるだけで良い. 

\begin{lem}
2次元平面内における渦度の時間発展変化は次の\textbf{渦度方程式}によって記述される;
\begin{equation}
	\DP{\zeta}{t}=-\bm{v}\cdot\bnabla\zeta. \label{eq:voreq}
\end{equation}
\end{lem}
\begin{proof}
まずは, 一般的な3次元空間における渦度方程式を導く. $\bm{\omega}=\bnabla_3\times\bm{u}, p/\rho = \gamma$として, 運動方程式 (\ref{eq:eqom}) を書き換えた式
\[
	\DP{\bm{v}}{t} = -\bnabla\left(\frac{1}{2}\bm{u}^2 + \gamma\right)+\bm{u}\times\bm{\omega} \tag{\ref{eq:eqom}'}
\]
を用いる\footnote{%
ここで, $\bm{u}\cdot\bnabla\bm{u}=\bnabla(\bm{u}^{2}/2)-\bm{u}\times\bm{\omega}$を用いた.
}. (\ref{eq:eqom}') の両辺に$\bnabla\times$を掛けると, 
\begin{align*}
  (左辺) &= \DP{\bm{\omega}}{t} , \\
  (右辺) &= \bnabla\times(\bm{u}\times\bm{\omega}) \\
           &= \bm{e}_i \varepsilon_{ijk}\partial_j (\bm{u}\times\bm{\omega})_{k} \\
           &= \bm{e}_i \varepsilon_{ijk}\partial_j \varepsilon_{klm} u_l \omega_m \\
           &= \bm{e}_i \partial_j(u_{i}\omega_{j}) - \bm{e}_i \partial_{j}(u_{j}\omega_{i}) \\
           &= \bm{e}_i \omega_j \partial_j u_i + \bm{e}_i u_i \partial_j \omega_j - \bm{e}_i \omega_i \partial_j u_j - \bm{e}_i u_j \partial_j \omega_i \\
           &= (\bm{\omega}\cdot\bnabla)\bm{u} + \underbrace{\bm{u}\bnabla\cdot\bm{\omega}}_{=\bnabla\cdot(\bnabla\times\bm{u})=0} - (\bnabla\cdot\bm{u})\bm{\omega} - (\bm{u}\cdot\bnabla)\bm{\omega}
\end{align*}
となる. 途中で, Eddington のイプシロンの性質$\varepsilon_{ijk}=\varepsilon_{kij}$と$\varepsilon_{kij}\varepsilon_{klm}=\delta_{il}\delta_{jm}-\delta_{im}\delta_{jl}$を用いた. これより, 一般的な渦度方程式
\[
  \DP{\bm{\omega}}{t}+(\bm{u}\cdot\bnabla)\bm{\omega} = \underbrace{(\bm{\omega}\cdot\bnabla)\bm{u}}_{\mathrm{tilting\hspace{1pt}term}}-\underbrace{(\bnabla\cdot\bm{u})\bm{\omega}}_{\mathrm{divergence\hspace{1pt}term}}
\]
を得る. いま, 非圧縮流体では$\bnabla\cdot\bm{u}=0$より, 
\begin{equation}
  \DP{\bm{\omega}}{t}+(\bm{u}\cdot\bnabla)\bm{\omega} = (\bm{\omega}\cdot\bnabla)\bm{u} \tag{VE}\label{eq:VE}
\end{equation}
となる. ここで, (\ref{eq:VE}) の$z$成分のみを考えると,  
\begin{align*}
  \DP{\zeta}{t}+(\bm{v}\cdot\bnabla)\zeta &= (\bm{\omega}\cdot\bnabla)w \\
                                                                   &= 0
\end{align*}
となる. 最後の等号は, 流体が2次元平面に束縛される状況 ($w=0$) を考えているためである. よって, (\ref{eq:voreq}) が導かれた. $\Box$
\end{proof}

\subsection{流れ函数の導入}

2 次元流体における非圧縮性条件(\ref{eq:cont})を満たすように, 次のようなスカラー函数$\psi$を定める導入することが可能である;

\begin{defi}[流れ函数の定義]
\textrm{2}次元平面上の函数$\psi(x,y,t)$について,
\begin{equation}
	u=\DDD{x}{t}=-\DP{\psi}{y}, \, v=\DDD{y}{t}=\DP{\psi}{x}
\end{equation}
を満たすものを\textbf{流れ函数}(または, 流線函数)という.
\end{defi}

流れ函数によって, 渦度は
\begin{equation}
	\zeta=\bnabla^2\psi
\end{equation}
と表される. これとヤコビアン$J(a,b)=\partial a/\partial x - \partial b /\partial y$を用いれば, (\ref{eq:voreq}) の右辺は, 
\[
	\bm{v}\cdot\bnabla\zeta = \left(-\DP{\psi}{y}, \DP{\psi}{x}\right) \cdot \left(\DP{\bnabla^2\psi}{x}, \DP{\bnabla^2\psi}{y}\right) = -\DP{\psi}{y}\DP{\bnabla^2\psi}{x}+\DP{\psi}{x}\DP{\bnabla^2\psi}{y} = J(\psi,\bnabla^2\psi)
\]
と書けるので, (\ref{eq:voreq}) は
\begin{equation}
	\DP{\bnabla^2\psi}{t}=-J(\psi,\bnabla^2\psi) \label{eq:voreq2}
\end{equation}
である. 

\section{保存則\label{sec:con}}

\begin{defi}[エネルギーとエンストロフィー]
\begin{equation}
	E=\int_\Omega \frac{1}{2}(\bnabla\psi)^2\,\dd\Omega
\end{equation}
で表される量$E$を\textbf{エネルギー}と呼び, 
\begin{equation}
	Q=\int_\Omega \frac{1}{2}(\bnabla^2\psi)^2\,\dd\Omega
\end{equation}
で定義される量$Q$を\textbf{エンストロフィー}と呼ぶ.
\end{defi}
(注) 一般の流体の場合, エネルギー密度としては$\rho|\bm{v}|^2/2$を用いるが, ここで考えているのは均質流体, すなわち密度一定であるため, エネルギー密度は$|\bm{v}|^2/2$としている.

\begin{theo}[エネルギー保存則] \label{th:locenergy}
領域$\Omega$内において, エネルギーの総和は保存する. すなわち, 
\begin{equation}
	\int_\Omega (\bnabla\psi)^2\,\dd\Omega = \mathrm{const} \label{eq:locenergy}
\end{equation}
が成立する.
\end{theo}
\begin{proof}
$\bm{v}=u\bm{e}_x + v\bm{e}_y$より, 
\[
	\int_\Omega (\bnabla\psi)^2\,\dd \Omega = \int_\Omega (u^2 + v^2)\,\dd \Omega = 0 \Leftrightarrow \DD{}{t}\int_\Omega (u^2 + v^2)\,\dd\Omega = 0
\]
を示せば良い. (\ref{eq:eqomx}) と (\ref{eq:eqomy}) にそれぞれに$u, v$を掛けた式の辺々を足すと,
\begin{align*}
	\DP{}{t}\left(\frac{u^2+v^2}{2}\right) &= -\frac{1}{\rho}\left(u\DP{p}{x}+v\DP{p}{y}\right)-\frac{1}{2}\bm{v}\cdot\bnabla(u^2+v^2) \\
											&= -\frac{1}{\rho}\bm{v}\cdot\bnabla p -\frac{1}{2}\bm{v}\cdot\bnabla(u^2+v^2) \\
											&= -\left\{(\bm{v}\cdot\bnabla)\left(\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}(u^2+v^2)\right)\right\} \\
											&= -\bnabla\cdot\left\{\left(\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}(u^2+v^2)\right)\bm{v}\right\} + \left\{\left(\frac{p}{\rho}+\frac{1}{2}(u^2+v^2)\right)\right\}\bnabla\cdot\bm{v} 
\end{align*}
となる. この式を領域内で積分すると, 右辺第1項はガウスの発散定理と周期境界条件よりゼロとなり, 右辺第2項は連続の式からゼロである. よって, (\ref{eq:locenergy}) が導かれた. $\Box$
\end{proof}

\begin{theo}[エンストロフィー保存則]
領域$\Omega$内において, エンストロフィーの総和は保存する. すなわち, 
\begin{equation}
	\int_\Omega \zeta^2\,\dd\Omega = \mathrm{const} \label{eq:locenstrophy}
\end{equation}
が成立する. 
\end{theo}
\begin{proof}
(\ref{eq:voreq2}) の両辺に$\omega=\bnabla^2\psi /2$を掛けると, 
\begin{align*}
	\DP{}{t} \left(\frac{1}{2}\omega^2\right) &= -\bm{v}\cdot\bnabla\left(\frac{1}{2}\omega^2\right) \\
	&= -\bnabla\left(\frac{1}{2}\omega^2\bm{v}\right) + \frac{1}{2}\omega^2\bnabla\cdot\bm{v}
\end{align*}
となり, 両辺を$\Omega$で積分すると, 定理\ref{th:locenergy}の証明と同様の理由から成立する.
$\Box$
\end{proof}

\section{スペクトル空間における方程式系\label{sec:spec}}

\subsection{スペクトル空間の定義}

2重周期境界が定義されている領域$\Omega$において, 物理量$\psi$は Fourier 級数展開することができて, 
\begin{equation}
	\psi(x,y,t) = \sum_{n_x=-\infty}^{\infty}\sum_{n_y=-\infty}^{\infty} \hat{\psi}(n_x,n_y,t)\exp\left\{i\left(\frac{2\pi}{L}n_x x + \frac{2\pi}{L}n_y y\right)\right\}
\end{equation}
となる. ここで, $k_x=2\pi n_x/L, \, k_y=2\pi n_y/L$とすると, 
\begin{equation}
	\psi(x,y,t) = \sum_{k_x=-\infty}^{\infty}\sum_{k_y=-\infty}^{\infty} \hat{\psi}(k_x,k_y,t)\exp\{i(k_x x + k_y y)\} \label{eq:spectrum}
\end{equation}
となる. 実空間での物理量$\psi(x,y,t)$の Fourier 係数$\hat{\psi}$に注目する空間を\textbf{スペクトル空間}と呼ぶ. $k_x,\, k_y$をそれぞれ$x方向とy方向$の\textbf{波数}と呼び, $\bm{k}=(k_x,k_y)$を\textbf{波数ベクトル}と呼ぶ. $\hat{\psi}(k_x,k_y,t)=\hat{\psi}_{\bm{k}}(t)$と書くと, (\ref{eq:spectrum}) は
\begin{equation}
	\psi(\bm{x},t) = \sum_{\bm{k}} \hat{\psi}_{\bm{k}}(t)\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}
\end{equation}
と書き直せる. ここで, $\psi(x,y,t)\in\mathbb{R}$であるから, $\hat{\psi}_{\bm{k}}^{\ast}(t)=\hat{\psi}_{\bm{-k}}(t)$を満たす($^{\ast}$は複素共役を表す).

\subsubsection{渦度のスペクトル表現}

$\zeta=\bnabla^2\psi$の両辺を Fourier 級数展開すると, 
\begin{align*}
	\zeta &= \sum_{\bm{k}}\hat{\zeta}_{\bm{k}}\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}} \\
	\bnabla^2\psi &= \sum_{\bm{k}} \bnabla^2\hat{\psi}_{\bm{k}}\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}} = -\sum_{\bm{k}}(k_x^2 + k_y^2)\hat{\psi}_{\bm{k}}\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}
\end{align*}
となる. ここで, Fourier 級数の性質として, $\partial/\partial x\rightarrow ik_x, \, \partial/\partial y\rightarrow ik_y$より, $\bnabla^2=\partial^2/\partial x^2 + \partial^2/\partial y^2 \rightarrow -(k_x^2+k_y^2)$と演算が読み替えられることを用いた. これより, 渦度のスペクトル表現
\begin{equation}
	\hat{\zeta}_{\bm{k}}(t) = -k^2\hat{\psi}_{\bm{k}}(t) \label{eq:vortexspec}
\end{equation}
を得る. ここで, $k_x^2+k_y^2 \equiv k^2$とした.

\subsection{渦度方程式のスペクトル表現}

渦度方程式(\ref{eq:voreq})のスペクトル表現を得るために, (\ref{eq:voreq2})の両辺に$\ee^{-i\bm{k}\cdot\bm{x}}$を掛け, $\Omega$で積分すると,
\begin{align*}
	(左辺) &= -\DD{\hat{\zeta}_{\bm{k}}(t)}{t}, \\
	(右辺) &= \frac{1}{L^2}\int_{\Omega} J(\psi, \bnabla^2\psi)\ee^{-i\bm{k}\cdot\bm{x}}\,\dd\Omega \\
	         &= \frac{1}{L^2}\int_{\Omega} J(\psi, \zeta)\ee^{-i\bm{k}\cdot\bm{x}}\,\dd\Omega \\
	         &= \frac{1}{L^2}\int_{\Omega} \left(\DP{\psi}{x}\DP{\zeta}{y}-\DP{\zeta}{x}\DP{\psi}{y}\right)\ee^{-i\bm{k}\cdot\bm{x}}\,\dd\Omega \\
	         &= \frac{1}{L^2}\sum_{\bm{l}+\bm{m}}(-l_x m_y\hat{\psi}_{\bm{l}}\hat{\zeta}_{\bm{m}}+l_y m_x\hat{\psi}_{\bm{l}}\hat{\zeta}_{\bm{m}})\int_{\Omega} \ee^{i(\bm{l}+\bm{m}-\bm{k})\cdot\bm{x}}\,\dd\Omega \\
	         &= \sum_{\bm{l}+\bm{m}-\bm{k}=0} -m^2 (-l_x m_y + l_y m_x)\hat{\psi}_{\bm{l}}\hat{\psi}_{\bm{m}} \tag{*}\label{hisenkei1}
\end{align*}
となる. (\ref{hisenkei1}) は$\bm{l}と\bm{m}$を入れ替えても成立するので, 
\[
	(右辺) = \sum_{\bm{l}+\bm{m}-\bm{k}=0} -l^2 (-m_x l_y + m_y l_x)\hat{\psi}_{\bm{l}}\hat{\psi} _{\bm{m}} \tag{**}\label{hisenkei2}
\]
である. (\ref{hisenkei1}) と (\ref{hisenkei2}) を足して,  2 で割ると, 
\[
	(右辺) = \sum_{\bm{l}+\bm{m}-\bm{k}=0} \frac{1}{2}(m^2 - l^2)(l_x m_y + l_y m_x)\hat{\psi}_{\bm{l}}\hat{\psi}_{\bm{m}}
\]
ここで, $\bm{l}を-\bm{l}, \bm{m}を-\bm{m}$と置き換えると, 
\begin{align*}
	(右辺) &= \frac{1}{2}\sum_{\bm{l}+\bm{m}+\bm{k}=0}(l_x m_y + l_y m_x)(m^2 - l^2)\hat{\psi}_{\bm{l}}^{\ast}\hat{\psi}_{\bm{m}}^{\ast} \\
		  &= \frac{1}{2}\sum_{\bm{l}+\bm{m}+\bm{k}=0} \bm{e}_z \cdot (\bm{l}\times\bm{m})(m^2-l^2)\hat{\psi}_{\bm{l}}^{\ast}\hat{\psi}_{\bm{m}}^{\ast}
\end{align*}
となる. よって, (\ref{eq:voreq}) のスペクトル表示は
\begin{equation}
	\DD{\hat{\zeta}_{\bm{k}}(t)}{t} = -\frac{1}{2}\sum_{\bm{l}+\bm{m}+\bm{k}=0} \bm{e}_z \cdot (\bm{l}\times\bm{m})(m^2-l^2)\hat{\psi}_{\bm{l}}^{\ast}\hat{\psi}_{\bm{m}}^{\ast} \label{eq:veqspec}
\end{equation}
である. (\ref{eq:vortexspec})を用いれば, 
\begin{equation}
	\DD{\hat{\psi}_{\bm{k}}(t)}{t} = \frac{1}{2k^{2}}\sum_{\bm{l}+\bm{m}+\bm{k}=0} \bm{e}_z \cdot (\bm{l}\times\bm{m})(m^2-l^2)\hat{\psi}_{\bm{l}}^{\ast}\hat{\psi}_{\bm{m}}^{\ast} \label{eq:veqspec2}
\end{equation}
となる.

\subsection{スペクトル空間における保存則}

\begin{screen}
\begin{lem}[エネルギー保存則のスペクトル表現]
波数$\bm{k}$をもつ2次元エネルギースペクトルは全空間内で保存する. すなわち, (\ref{eq:locenergy}) は
\begin{equation}
	\frac{1}{L^2}\int_{\Omega} \frac{1}{2}(\bnabla\psi)^2\,\dd\Omega = \sum_{\bm{k}} \frac{1}{2} k^2 |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2  = \mathrm{const} \label{eq:locenergyspec}
\end{equation}
と表せる.
\end{lem}
\end{screen}
\begin{proof}
\[
	\int_\Omega (\bnabla \psi)^2\,\dd\Omega = \int_\Omega \bnabla\cdot(\psi\bnabla\psi)\,\dd \Omega - \int_\Omega \psi\bnabla^2\psi\,\dd \Omega = - \int_\Omega \psi\bnabla^2\psi\,\dd \Omega
\]
と複素指数函数の直交性
\[
	\int_\Omega \ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}} \ee^{i\bm{l}\cdot\bm{x}} \,\dd\Omega = L^2 \delta_{\bm{k}, -\bm{l}}
\]
を用いると, 
\begin{align*}
	\int_{\Omega} \frac{1}{2}(\bnabla\psi)^2\,\dd\Omega &= -\frac{1}{2} \int_\Omega \psi\bnabla^2\psi\,\dd \Omega \\
	&= -\frac{1}{2} \int_\Omega \sum_{\bm{l}}\hat{\psi}_{\bm{l}}\ee^{i\bm{l}\cdot\bm{x}} \left(-\sum_{\bm{k}} k^2\hat{\psi}_{\bm{k}}\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}\right) \,\dd \Omega \\
	&= \frac{1}{2}  \sum_{\bm{k}} \sum_{\bm{l}} k^2\int_\Omega \hat{\psi}_{\bm{k}} \hat{\psi}_{\bm{l}} \ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}\ee^{i\bm{l}\cdot\bm{x}}\,\dd\Omega \\
	&= \frac{1}{2}  \sum_{\bm{k}} \sum_{\bm{l}} k^2 \hat{\psi}_{\bm{k}}\hat{\psi}_{\bm{l}}L^2 \delta_{\bm{k},-\bm{l}}\\
	&= \sum_{\bm{k}} \frac{1}{2}L^2 k^2 |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2  
\end{align*}
となり, この表現を得る. $\Box$
\end{proof}

\begin{screen}
\begin{lem}[エンストロフィー保存則のスペクトル表現]
波数$\bm{k}$をもつ2次元エンストロフィースペクトルは全空間内で保存する. すなわち, (\ref{eq:locenstrophy}) は
\begin{equation}
	\frac{1}{L^2}\int_{\Omega} \frac{1}{2}\zeta^2\,\dd\Omega = \sum_{\bm{k}} \frac{1}{2} k^4 |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2  = \mathrm{const} \label{eq:locenstrophyspec}
\end{equation}
と表せる.
\end{lem}
\end{screen}
\begin{proof}
先程と同様に, 
\begin{align*}
	\int_{\Omega}\frac{1}{2}(\bnabla^2\psi)^2\,\dd\Omega =& \int_\Omega \frac{1}{2}\left(-\sum_{\bm{k}} k^2 \psi_{\bm{k}} \ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}\right) \left(-\sum_{\bm{l}} l^2 \psi_{\bm{l}} \ee^{i\bm{l}\cdot\bm{x}}\right) \,\dd\Omega \\
								   =& \int_{\Omega} \frac{1}{2}\left(\sum_{\bm{k}} \sum_{\bm{l}} k^2 l^2 \psi_{\bm{k}} \psi_{\bm{l}} \ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}\ee^{i\bm{l}\cdot\bm{x}}\right)\,\dd\Omega \\
								   =& \sum_{\bm{k}} \sum_{\bm{l}} k^2 l^2 \frac{1}{2}\hat{\psi}_{\bm{k}} \hat{\psi}_{\bm{l}} L^2 \delta_{\bm{k},-\bm{l}}\\
								   =& \sum_{\bm{k}} \frac{1}{2} L^2 k^4 |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2
\end{align*}
となり, この表現を得る. $\Box$
\end{proof}

今後の議論の便利のために, 波数$\bm{k}$をもつエネルギースペクトルとエンストロフィースペクトルをそれぞれ
\begin{align}
	\mathcal{E}(\bm{k}) &\equiv \frac{1}{2} k^2  |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2  , \\
	\mathcal{Q}(\bm{k}) &\equiv \frac{1}{2} k^4 |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2 
\end{align}
とする. ここで注意すべきことは, 空間内の全エネルギーやエンストロフィーは保存するが, スペクトル毎のエネルギーやエンストロフィーは保存しないことである;
\begin{align*}
	\DD{}{t} \sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k}) = 0, \hspace{10pt} \DD{}{t}\mathcal{E}(\bm{k})\neq 0 \\
	\DD{}{t} \sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}(\bm{k}) = 0, \hspace{10pt} \DD{}{t}\mathcal{Q}(\bm{k})\neq 0
\end{align*}
またここで, 流れ函数$\psi_{\bm{k}}$のスケール(波長)を$\ell_{k}$($=|\bm{k}|^{-1}$) とおく. 波数が大きいほど「スケールは小さい」といい, 波数が小さいほど「スケールは大きい」ということにする. 与えられた速度場に対して, 運動エネルギーは対応するスケール$\ell_{k}$をもつ異なる成分$\psi_{\bm{k}}$に分布する. 
