\chapter{エネルギー変換過程に関する議論\label{chap:enercon}}

ここでは, 前章で導いたエネルギー保存則とエンストロフィー保存則のスペクトル表現を用いて, 異なるスケールの間でエネルギーがどのように変換されるかについて議論する. 

\section{非粘性流体の場合}

\begin{shadebox}
\begin{theo}[三波相互作用の議論に基づくエネルギー変換]\label{th:sanpa}
流体の運動が定常でないとき, 運動エネルギーは異なる3つのスケールの間で変換されており, その変換は
\begin{itemize}
\item 大きいスケールと小さいスケールから, 中間のスケールに向けて
\item 中間のスケールから, 大きなスケールと小さなスケールに向けて
\end{itemize}
のいずれかである.
\end{theo}
\end{shadebox}
\begin{proof}
任意の時刻$t$と$t+\Delta t$($\Delta t$は微小時間)とのエネルギースペクトル, エンストロフィースペクトルの変化量をそれぞれ
\begin{align}
	\Delta\mathcal{E}(\bm{k}) &\equiv \mathcal{E}(\bm{k})|_{t+\Delta t} - \mathcal{E}(\bm{k})|_{t} \label{eq:energydelta}\\
	\Delta\mathcal{Q}(\bm{k}) &\equiv \mathcal{Q}(\bm{k})|_{t+\Delta t} - \mathcal{Q}(\bm{k})|_{t} \label{eq:enstrophydelta}
\end{align}
とおく. これらを (\ref{eq:locenergyspec}) と (\ref{eq:locenstrophyspec}) に代入すると, 時間に関わらずエネルギーとエンストロフィーの総量は一定であるから, 
\begin{align}
	&\sum_{\bm{k}}\Delta\mathcal{E}(\bm{k}) = 0, \label{eq:locenergytime} \\
	&\sum_{\bm{k}}\Delta\mathcal{Q}(\bm{k}) = 0 \label{eq:locenstrophytime}
\end{align}
である. 以下, 異なるスケール間でのエネルギーの変換は, 3つのスケール間でしか起こらない (つまり, 2つのスケールの間では起こらず, 4つ以上のスケール場合も3つのスケールの場合に帰着される) ことを示す;
\begin{enumerate}

\item 異なる2つのスケールでのエネルギー変換

(\ref{eq:locenergytime}) と (\ref{eq:locenstrophytime}) を$l > m$(ただし, $l\equiv|\bm{l}|, m\equiv|\bm{m}|$)なる2つの波数ベクトル$\bm{l}, \bm{m}$についてのみ考えると, 
\begin{align}
	& \Delta\mathcal{E}(\bm{l}) + \Delta\mathcal{E}(\bm{m}) = 0, \label{eq:locenergy2}\\
	& \Delta\mathcal{Q}(\bm{l}) + \Delta\mathcal{Q}(\bm{m}) = 0 \nonumber\\
	\Leftrightarrow\,& l^2 \Delta\mathcal{E}(\bm{l}) + m^2 \Delta\mathcal{E}(\bm{m}) = 0 \label{eq:locenstrophy2}
\end{align}
となる. (\ref{eq:locenergy2}) と (\ref{eq:locenstrophy2}) を連立して解くと, この系の行列式が$m^2 - l^2 \neq 0$より, 逆行列が存在するので, 
\[
	\Delta\mathcal{E}(\bm{l}) = \Delta\mathcal{E}(\bm{m}) = 0
\]
である. つまり, 異なる2つのスケール間では, エネルギーの変換はない. 

\item 異なる3つのスケールでのエネルギー変換

先ほどと同様に(\ref{eq:locenergytime}) と (\ref{eq:locenstrophytime}) を$|\bm{k}|>|\bm{l}|>|\bm{m}|\,\Leftrightarrow\, k>l>m$なる3つの波数ベクトル$\bm{k}, \bm{l}, \bm{m}$についてのみ考えると, 
\begin{align}
	\Delta\mathcal{E}(\bm{k}) + \Delta\mathcal{E}(\bm{l}) + \Delta\mathcal{E}(\bm{m}) &= 0, \label{eq:locenergy3}\\
	k^2\Delta\mathcal{E}(\bm{k}) + l^2 \Delta\mathcal{E}(\bm{l}) + m^2 \Delta\mathcal{E}(\bm{m}) &= 0 \label{eq:locenstrophy2}
\end{align}
となる. $\Delta\mathcal{E}(\bm{m}), \Delta\mathcal{E}(\bm{k})$をそれぞれ$\Delta\mathcal{E}(\bm{l})$のみで表現すると, 
\begin{align}
	\Delta\mathcal{E}(\bm{k}) &= -\frac{l^2-m^2}{k^2-m^2}\Delta\mathcal{E}(\bm{l}), \label{eq:energyhi1}\\
	\Delta\mathcal{E}(\bm{m}) &= -\frac{k^2-l^2}{k^2-m^2}\Delta\mathcal{E}(\bm{l}) \label{eq:energyhi2}
\end{align}
となる. (\ref{eq:energyhi1}) と (\ref{eq:energyhi2}) の右辺の$\Delta\mathcal{E}(\bm{l})$の係数はどちらも負であるから, この結果からわかることは, 以下の通りである(図\ref{fig:yusou}); 
\begin{enumerate}
\item 中間のスケール(つまりここでは, 波数$\bm{l}$のスケール)の運動エネルギーの変化は他の2つのスケールの運動エネルギーの変化とは逆の変化である.
\item 最大スケールと中間, 最小のスケールとのやりとりは実現しない
\item 最小スケールと中間, 最大のスケールとのやりとりは実現しない
\end{enumerate}

\begin{figure}
\begin{center}
  \includegraphics[clip,width=14.0cm]{yusou2.eps}
  \caption{$k<p<q$を満たすモード間でのエネルギーやエンストロフィーの変換. 定理\ref{th:sanpa}からわかったことは, (i) は起こりうるが, (ii) と (iii) は起こりえないことである. 白色の矢印は注目している波数に向けてエネルギーが輸送される場合で, 黒色の矢印は注目している波数から他の 2 つの波数へエネルギーが輸送される場合を表す.}
  \label{fig:yusou}
\end{center}
\end{figure}

\item 任意の数$N$個のスケールでのエネルギー変換

(\ref{eq:locenergytime}) と (\ref{eq:locenstrophytime}) を次のように書き換える; $N>3, N>M, \Delta\mathcal{E}(\bm{l})\leq0, \Delta\mathcal{E}(\bm{m})\geq0$として,
\begin{align}
	&\sum_{|\bm{l}|=1}^{M} \Delta\mathcal{E}(\bm{l}) + \sum_{|\bm{m}|=M+1}^{N} \Delta\mathcal{E}(\bm{m}) = 0, \label{eq:locenergytimeN}\\
	&\sum_{|\bm{l}|=1}^{M} \Delta\mathcal{Q}(\bm{l}) + \sum_{|\bm{m}|=M+1}^{N} \Delta\mathcal{Q}(\bm{m}) = 0  \nonumber\\
	\Leftrightarrow\,&\sum_{|\bm{l}|=1}^{M} l^2\Delta\mathcal{E}(\bm{l}) + \sum_{|\bm{m}|=M+1}^{N} m^2\Delta\mathcal{E}(\bm{m}) = 0. \label{eq:locenstrophytimeN}
\end{align}

いま, 波数$M$以下のスケールではエネルギースペクトルは時間発展とともに減少し, 波数$M+1$以上ではエネルギースペクトルは時間発展とともに増加しているとする. ここで, 
\begin{align}
	\sum_{|\bm{k}|=1}^{M}\mathcal{Q}(\bm{k}) = \sum_{|\bm{k}|=1}^{M} k^2\mathcal{E}(\bm{k}) \equiv k^{\star2}\sum_{|\bm{k}|=1}^{M} \mathcal{E}(\bm{k}) \,\Leftrightarrow\, &k^{\star2} \equiv \frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=1}^{M}\mathcal{Q}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=1}^{M} \mathcal{E}(\bm{k})} \label{eq:defkstar}\\
	\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{N}\mathcal{Q}(\bm{k}) = \sum_{|\bm{k}|=M+1}^{N} k^2\mathcal{E}(\bm{k}) \equiv k^{\star\star2}\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{N} \mathcal{E}(\bm{k}) \nonumber\\\,\Leftrightarrow\, &k^{\star\star2} \equiv \frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{N}\mathcal{Q}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{N} \mathcal{E}(\bm{k})} \label{eq:defkstarstar}
\end{align}
とする. つまり, $k^{\star2}$は時間発展したあとの波数$M$以下のエネルギースペクトルで平均された波数の2乗の平均, $k^{\star\star2}$は時間発展したあとの波数$M+1$以上のエネルギースペクトルで平均された波数の2乗の平均である\footnote{
	定義から, $1\leq k^{\ast} \leq M$なので, (\ref{eq:hasuuheikin1}), $M+1\leq k^{\ast\ast} \leq N$なので, (\ref{eq:hasuuheikin2}) を容易に示せる.
};
\begin{align}
	1 \leq &k^{\star2} \leq M^2, \label{eq:hasuuheikin1}\\
	(M+1)^2 \leq &k^{\star\star2} \leq N^2. \label{eq:hasuuheikin2}
\end{align}
これらを用いれば, (\ref{eq:locenstrophytimeN}) は
\begin{align}
	k^{\star2}\sum_{|\bm{l}|=1}^{M} \Delta\mathcal{E}(\bm{l}) + k^{\star\star2}\sum_{|\bm{m}|=M+1}^{N} \Delta\mathcal{E}(\bm{m}) = 0 \label{eq:locenstrophytimeN2}
\end{align}
となる. (\ref{eq:locenergytimeN}) と (\ref{eq:locenstrophytimeN2}) の系を解くと, 行列式は$k^{\star\star2}-k^{\star2}>0$であるから, 逆行列が存在するので, $\sum_{|\bm{l}|=1}^{M} \Delta\mathcal{E}(\bm{l})=\sum_{|\bm{m}|=M+1}^{N} \Delta\mathcal{E}(\bm{m})=0$となる. つまり, 4つ以上の異なるスケールがある場合では, 3つの場合に帰着される.
\end{enumerate}
以上により, 定理が示された. $\Box$
\end{proof}

\subsection{初期状態からのエネルギー変換の上限}

次に, ある与えられたスケールと等しい, もしくはそれよりも小さいスケールをもつ成分へのエネルギーの変換の上限について議論する. まず, (\ref{eq:defkstar}), (\ref{eq:defkstarstar})と同様の記号を定義する; $\mathcal{E}(\bm{k})|_{t=0} =\mathcal{E}_{0}(\bm{k}), \mathcal{Q}(\bm{k})|_{t=0} =\mathcal{Q}_{0}(\bm{k})$とし, 
\begin{align}
	k_{0}^{2} \equiv \frac{\displaystyle\sum_{\bm{k}}\mathcal{Q}_0(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{\bm{k}}\mathcal{E}_0(\bm{k})} , \, 
	k^{\star2} \equiv \frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=1}^{M}\mathcal{Q}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=1}^{M} \mathcal{E}(\bm{k})} , \,
	k^{\star\star2} \equiv \frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty}\mathcal{Q}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k})}
\end{align}
とする. つまり, $k_{0}^{2}$は初期の全空間の波数の2乗の平均, $k^{\star2}$は時間発展したあとの波数$M$以下のエネルギースペクトルで平均された波数の2乗の平均, $k^{\star\star2}$は時間発展したあとの波数$M+1$以上のエネルギースペクトルで平均された波数の2乗の平均である. 先ほどと異なり, 波数の上限は$\infty$とした. 定義より, 
\begin{align}
	1 \leq &k_{0}^{2} < \infty \label{eq:futousikik} \\
	1 \leq &k^{\star2} \leq M^2 \label{eq:futousikikstar}\\
	(M+1)^2 \leq &k^{\star\star2} < \infty \label{eq:futousikikstarstar} \\
	&k^{\star2} < k^{\star\star2}
\end{align}
これらを用いて(\ref{eq:energydelta}) から (\ref{eq:locenstrophytime}) より, 系
\begin{align}
	\sum_{|\bm{k}|=1}^{M} \mathcal{E}(\bm{k}) + \sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k}) = \sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_0(\bm{k}) \label{eq:locenergykai}\\
	k^{\star2}\sum_{|\bm{k}|=1}^{M} \mathcal{E}(\bm{k}) + k^{\star\star2}\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k}) = k_{0}^{2} \sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_0(\bm{k}) \label{eq:locenstrophykai}
\end{align}
を得る. (\ref{eq:locenergykai}) の両辺に$k_{0}^{2}$を掛け, 辺々を引き, $\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_0(\bm{k})$を消去すると, 
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=1}^{M} \mathcal{E}(\bm{k})} = \frac{k_{0}^{2}-k^{\star2}}{k^{\star\star2}-k_{0}^{2}} \label{eq:hi4}
\end{equation}
となる. この式の左辺はゼロまたは正であるから, 
\begin{equation}
	k^{\star2} \leq k_{0}^{2} \leq k^{\star\star2} \hspace{10pt} (ただし, k^{\star2} \neq k^{\star\star2})
\end{equation}
でなくてはならない. 次に, (\ref{eq:locenergykai}) の両辺に$k^{\star2}$を掛け, 辺々を引き, $\sum_{|\bm{k}|=1}^{M} \mathcal{E}(\bm{k})$を消去すると, 
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k})} = \frac{k_{0}^{2}-k^{\star2}}{k^{\star\star2}-k^{\star2}} \label{eq:hi}
\end{equation}
となる. これより, 初期のエネルギーからあるスケールよりも小さなスケールへのエネルギーの変換の上限がわかる. (\ref{eq:hi}) の右辺の比の最大値は, $k^{\star\star2}=k_{0}^{2}$のとき$1$である. これは, 
\begin{equation}
	k_{0}^{2} \geq (M+1)^2 \label{eq:energymax}
\end{equation}
のときのみ可能である. 

\subsection{初期エネルギーのスケールが大きい場合}

 (\ref{eq:hi}) は$k^{\star2}$と$k^{\star\star2}$がとりうる最小値の場合, すなわち (\ref{eq:futousikikstar}) と (\ref{eq:futousikikstarstar}) より, $k^{\star} = 1, \, k^{\star\star2}=(M+1)^2$の場合に, 
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k})} \leq \frac{k_{0}^{2}-1}{(M+1)^2-1} = \frac{k_{0}^{2}}{(M+1)^2}\cfrac{1-\cfrac{1}{k_{0}^{2}}}{1-\cfrac{1}{(M+1)^2}} < \frac{k_{0}^{2}}{(M+1)^2} \label{eq:jougen1}
\end{equation}
となる. 

いま, (\ref{eq:energymax}) でない場合, つまり,
\begin{equation}
	k_{0}^{2} < (M+1)^2 \label{eq:jouken}
\end{equation}
の場合を考えよう. これは, 初期エネルギーの波数の2乗の平均がある波数$M+1$の2乗よりも小さい場合, すなわち, 初期エネルギーのスケールがあるスケールよりも大きい場合である. この場合を考えるために, 初期エネルギースペクトルの成分は, $L < M+1$なる波数$L$以下の成分しかないとする. (\ref{eq:futousikik}), (\ref{eq:futousikikstar}), (\ref{eq:futousikikstarstar}) より
\begin{equation}
	1\leq k_{0}^{2} \leq L^2 < (M+1)^2
\end{equation}
となり, $L$は条件を満たす. この場合を (\ref{eq:jougen1}) に適用すると,
\begin{align}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=1}^{L} \mathcal{E}_{0}(\bm{k})} \leq \frac{k_{0}^{2}-1}{(M+1)^2-1} \leq \frac{L^2-1}{(M+1)^2-1} &= \frac{L^2}{(M+1)^2}\cfrac{1-\cfrac{1}{L^2}}{1-\cfrac{1}{(M+1)^2}} \nonumber\\ &< \left(\frac{L}{M+1}\right)^2 = \left(\frac{l_{M+1}}{l_{L}}\right)^2 \label{eq:jougen2}
\end{align}
となる. よって, 時間発展したあと, スケール$l_{M+1}$よりも大きなスケールに流れ得るエネルギーは初期の全エネルギーの$(l_{M+1} / l_L)^2$未満である. つまり, 初期の流れが大きなスケールの速度場によって表されるとき, より小さいスケールの運動エネルギーは重要視して考える必要はなくなる.

\section{粘性流体の場合}

ここまでの非粘性流体におけるエネルギー変換の議論を粘性流体に対しても適用してみる.

\subsection{運動方程式と渦度方程式}

動粘性係数を$\nu$とすると, 非圧縮性 2 次元順圧流体運動方程式は
\begin{equation}
	\DP{\bm{v}}{t}=-\bm{v}\cdot\bnabla\bm{v}-\frac{1}{\rho}\bnabla p + \nu\bnabla^2\bm{v}
\end{equation}
となる. 両辺に$\bnabla\times$を作用させ, 鉛直方向成分のみ考えると, 渦度方程式
\begin{equation}
	\DP{\bnabla^2\psi}{t} = -J(\psi, \bnabla^2\psi)+\nu\bnabla^4 \psi \label{eq:vorviscous}
\end{equation}
を得る. 

\subsection{エネルギーとエンストロフィーの時間変化}

(\ref{eq:vorviscous}) から直ちに次の結果が得られる;
\begin{lem}
非発散の粘性流体における空間内のエネルギーとエンストロフィーの単位時間あたりの変化量はそれぞれ次のように表せる;
\begin{align}
	&\DD{}{t}\int_{\Omega} (\bnabla\psi)^2\,\dd \Omega = -\nu\int_\Omega \zeta^2\,\dd\Omega, \label{eq:energydiff}\\
	&\DD{}{t}\int_\Omega \zeta^2\,\dd\Omega = \nu\int_\Omega \zeta\bnabla^4\psi\,\dd\Omega = -\nu\int_{\Omega}(\bnabla\zeta)^2 \dd\Omega. \label{eq:enstrophydiff}
\end{align}
\end{lem}
\begin{proof}
(\ref{eq:vorviscous}) に$\psi$を掛け, 考えている空間内で積分する. (\ref{eq:voreq2}) から新たに加わった鴻海に注目して計算する;
\[
	\nu\int_\Omega\psi\bnabla^2\bnabla^2\psi\,\dd\Omega=\nu\int_\Omega\{\bnabla^2(\psi\bnabla^2\psi)-(\bnabla^2\psi)^2\}\,\dd\Omega= -\nu\int_\Omega(\bnabla^2\psi)^2\,\dd\Omega
\]
となるので, 最終的に(\ref{eq:energydiff}) を得る. また, (\ref{eq:vorviscous}) に$\bnabla^2\psi$を掛け, 空間内で積分をすると, 右辺第 1 項はゼロとなるので, (\ref{eq:enstrophydiff}) を得る. $\Box$
\end{proof}

ここで, 
\begin{align}
	\sum_{\bm{k}} k^2\mathcal{E}(\bm{k}) \equiv \bar{k^2}^{\mathcal{E}}\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k}), \label{eq:defA}\\
	\sum_{\bm{k}} k^4\mathcal{E}(\bm{k}) \equiv \bar{k^2}^{\mathcal{Q}}\sum_{\bm{k}} k^2\mathcal{E}(\bm{k}) \label{eq:defB}
\end{align}
なる$\bar{k^2}^{\mathcal{E}}, \bar{k^2}^{\mathcal{Q}}$を定義する. これを用いれば, (\ref{eq:energydiff}) の右辺の積分箇所を
\begin{align*}
	\int_{\Omega}\zeta^2\,\dd\Omega &= \int_{\Omega} \left(-\sum_{\bm{k}} k^2\hat{\psi}_{\bm{k}}\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}\right) \left(-\sum_{\bm{l}} l^2\hat{\psi}_{\bm{l}}\ee^{i\bm{l}\cdot\bm{x}}\right)\,\dd\Omega \\
											&= \int_{\Omega} \sum_{\bm{k}} \sum_{\bm{l}} k^2 l^2 \hat{\psi}_{\bm{k}} \hat{\psi}_{\bm{l}} \ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}} \ee^{i\bm{l}\cdot\bm{x}} \,\dd\Omega \\
											&= \sum_{\bm{k}} \sum_{\bm{l}} k^2 l^2 \hat{\psi}_{\bm{k}} \hat{\psi}_{\bm{l}} L^2 \delta_{\bm{k}, -\bm{l}} \\
											&= \sum_{\bm{k}} k^2 k^2 L^2 |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2 \\
											&= 2L^2 \sum_{\bm{k}} k^2 \mathcal{E}(\bm{k}) \\
											&= 2L^2 \bar{k^2}^{\mathcal{E}}\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k}) \\
											&= 2L^2 \bar{k^2}^{\mathcal{E}} \sum_{\bm{k}} \frac{1}{2} k^2|\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2 \\
											&= \bar{k^2}^{\mathcal{E}}\int_\Omega \left(\sum_{\bm{k}} \hat{\psi}_{\bm{k}}\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}\right) \left(\sum_{\bm{l}} l^2 \hat{\psi}_{\bm{l}}\ee^{i\bm{l}\cdot\bm{x}}\right) \,\dd\Omega \\
											&= \bar{k^2}^{\mathcal{E}}\int_\Omega \psi (-\bnabla^2\psi)\,\dd\Omega \\
											&= \bar{k^2}^{\mathcal{E}}\int_\Omega (\bnabla\psi)^2 \,\dd\Omega
\end{align*}
と書き直せる. さらに, (\ref{eq:enstrophydiff}) の右辺の積分箇所も同様に
\[
	\int_\Omega\bnabla^2\psi\cdot\bnabla^4\psi\,\dd\Omega = -\bar{k^2}^{\mathcal{Q}}\int_\Omega(\bnabla^2\psi)^2\,\dd\Omega
\]
と書けるので, (\ref{eq:energydiff}) と (\ref{eq:enstrophydiff}) は
\begin{align}
	&\DD{}{t}\int_{\Omega} (\bnabla\psi)^2\,\dd \Omega = -\nu \bar{k^2}^{\mathcal{E}}\int_\Omega (\bnabla\psi)^2 \,\dd\Omega, \label{eq:energydiff2}\\
	&\DD{}{t}\int_\Omega \zeta^2\,\dd\Omega = -\nu \bar{k^2}^{\mathcal{Q}} \int_\Omega \zeta^2 \,\dd\Omega. \label{eq:enstrophydiff2}
\end{align}
と書ける. (\ref{eq:defA}) と (\ref{eq:defB}) から, 
\begin{align*}
	\bar{k^2}^{\mathcal{Q}}-\bar{k^2}^{\mathcal{E}} &= \frac{\displaystyle \sum_{\bm{k}} k^4\mathcal{E}(\bm{k})}{\displaystyle \sum_{\bm{k}}k^2\mathcal{E}(\bm{k})} -  \frac{\displaystyle\sum_{\bm{k}} k^2\mathcal{E}(\bm{k})}{\displaystyle \sum_{\bm{k}} \mathcal{E} (\bm{k})} \\
	       &= \frac{\displaystyle \sum_{\bm{k}} k^4\mathcal{E}(\bm{k})\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k}) - \left(\sum_{\bm{k}} k^2\mathcal{E}(\bm{k})\right)^2}{\displaystyle \sum_{\bm{k}} \mathcal{E} (\bm{k}) \sum_{\bm{k}} k^2\mathcal{E}(\bm{k})} \geq 0
\end{align*}
となる. 最後の不等号については, 分母は正であることは明らかであるから分子について計算すると, 
\begin{align*}
	\sum_{\bm{k}} k^4\mathcal{E}(\bm{k})\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k}) - \left(\sum_{\bm{k}} k^2\mathcal{E}(\bm{k})\right)^2 
	&= \sum_{\bm{k}}\sum_{\bm{l}} (l^4 - k^2 l^2) \mathcal{E}(\bm{m})\mathcal{E}(\bm{l}) \\
	&= \sum_{\bm{l}}\sum_{\bm{k}} (k^4 - k^2 l^2) \mathcal{E}(\bm{m})\mathcal{E}(\bm{l}) \\
	&= \sum_{\bm{k}}\sum_{\bm{l}} \frac{1}{2}(k^4 + l^4 - 2 k^2 l^2) \mathcal{E}(\bm{m})\mathcal{E}(\bm{l}) \\
	&= \sum_{\bm{k}}\sum_{\bm{l}} \frac{1}{2}(k^2 - l^2)^2 \mathcal{E}(\bm{m})\mathcal{E}(\bm{l})
\end{align*}
よりわかる. よって, 
\begin{equation}
	\bar{k^2}^{\mathcal{Q}} \geq \bar{k^2}^{\mathcal{E}}
\end{equation}
となる. 等号は$\psi$が単一の波数成分のみで表されているときに成立する. また, 粘性流体の場合, $\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k}) \leq \sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k}), \sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}(\bm{k}) \leq \sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}_{0}(\bm{k})$であるから, $\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k}) = n_1 \sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k}), \sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}(\bm{k}) = n_2 \sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}_{0}(\bm{k})$なる$0<n_1, n_2 \leq 1$をとると,
\[
	\frac{\displaystyle \sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}(\bm{k})}{\displaystyle \sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k})} 
	= \frac{\displaystyle n_2\sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}_0(\bm{k})}{\displaystyle n_1\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_0(\bm{k})} 
	= \frac{\displaystyle n_2\sum_{\bm{k}} k^2\mathcal{E}_0(\bm{k})}{\displaystyle n_1\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_0(\bm{k})} 
	= \frac{\displaystyle k_{0}^{2} n_2\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_0(\bm{k})}{\displaystyle n_1 \sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_0(\bm{k})} 
	= k_{0}^{2} \frac{n_2}{n_1}
\]
を得る. これを用いると, 粘性流体の場合は (\ref{eq:hi4}) の右辺に相当する式は
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=1}^{M} \mathcal{E}(\bm{k})} = \cfrac{k_{0}^{2}\cfrac{n_2}{n_1}-k^{\star2}}{k^{\star\star2}-k_{0}^{2}\cfrac{n_2}{n_1}}
\end{equation}
と書き直せる. また, 同様に (\ref{eq:hi}) に相当する式は
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=M+1}^{\infty} \mathcal{E}(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k})} = \cfrac{k_{0}^{2}\cfrac{n_2}{n_1}-k^{\star2}}{k^{\star\star2}-k^{\star2}} \label{eq:hi5}
\end{equation}
と書き直される. 以上から分かることは, 次のようにまとめられる;
\begin{itemize}\setlength{\parindent}{1zw}

	\item 流体の粘性によって運動エネルギーと渦度が同じ率で減っていく場合 (つまり, $n_1=n_2$)
	
	時間発展したあとのより大きなスケールから時間発展したあとのより小さなスケールへのエネルギーの変換と初期の全エネルギーから時間発展したあとのより小さなスケールへのエネルギーの変換は, 非粘性流体の場合と同様に起こる.

	\item 流体の粘性によって運動エネルギーの方がエンストロフィーよりも低い率で減少する場合(つまり, $n_1 < n_2$)
	
	時間発展したあとのより大きなスケールから時間発展したあとのより小さなスケールへのエネルギーの変換と初期の全エネルギーから時間発展したあとのより小さなスケールへのエネルギーの変換は, 非粘性流体の場合より多く起こる.

	\item 流体の粘性によって運動エネルギーの方がエンストロフィーよりも高い率で減少する場合(つまり, $n_1 > n_2$)
	
	時間発展したあとのより大きなスケールから時間発展したあとのより小さなスケールへのエネルギーの変換と初期の全エネルギーから時間発展したあとのより小さなスケールへのエネルギーの変換は, 非粘性流体の場合よりあまり起こらない.
\end{itemize}