\chapter{2次元流の安定性\label{chap:stat}}

ここでは, 基本場(流れ函数を用いて$\bar{\Psi}$と表現する)が最もスケールが大きい流れ函数で表される場合
\[
	\bar{\Psi}(\bm{x}, t) = \sum_{\bm{k}}c_{\bm{k}}\delta_{|\bm{k}|,1}\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}} \hspace{10pt} (c_{\bm{k}}:\mathrm{const}, t\leq 0)
\]
の安定性について議論する. $t=0$の流れ函数を
\[
	\psi(\bm{x},0) = \bar{\Psi}(\bm{x}, 0)+\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty}\hat{\psi}'_{\bm{k}}(0)\ee^{i\bm{k}\cdot\bm{x}}
\]
とする. つまり, 初期の流れ函数を基本場の流れと基本場よりも小さなスケールの擾乱とに分解する. このとき, 初期の全エネルギーと後の時刻における擾乱のエネルギーの比を考えよう. 初期のエネルギーとエンストロフィーはこのとき
\begin{align*}
	\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k}) &= \mathcal{E}_{0}(|\bm{k}|=1)+\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty}\mathcal{E}_{0}'(\bm{k}) \\
	\sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}_{0}(\bm{k}) &= \mathcal{Q}_{0}(|\bm{k}|=1)+\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty}\mathcal{Q}_{0}'(\bm{k}) \\
											   &= \mathcal{E}_{0}(|\bm{k}|=1)+\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty}\mathcal{Q}_{0}'(\bm{k}) \hspace{10pt} (\because \mathcal{Q}_0(\bm{k})=k^2\mathcal{E}_0(\bm{k}) より)
\end{align*}
と書けるから, 
\begin{equation}
	k_{0}^{2}=\frac{\displaystyle \mathcal{E}_{0}(|\bm{k}|=1)+\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{Q}_{0}'(\bm{k})}{\displaystyle \mathcal{E}_{0}(|\bm{k}|=1)+\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty}\mathcal{E}_{0}'(\bm{k})} \label{eq:hi2}
\end{equation}
である. 時間発展した後の擾乱と初期の全エネルギーとの比については, (\ref{eq:hi}) で$M=1$として
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{E}'(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k})} = \frac{k_{0}^{2}-k^{\star2}}{k^{\star\star2}-k^{\star2}}
\end{equation}
である. $M=1$のとき, (\ref{eq:futousikikstar}) と (\ref{eq:futousikikstarstar}) は
\begin{equation}
	k^{\star2}=1, k^{\star\star2} \geq 4 \label{eq:futousikiseiri}
\end{equation}
となる. よって, 
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{E}'(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k})} = \frac{k_{0}^{2}-1}{k^{\star\star2}-1} \label{eq:hi3}
\end{equation}
を得る. ここまで整理すると, 以下のことがすぐに証明できる.

\begin{shadebox}
\begin{theo}[2次元流の初期エネルギー, エンストロフィーと安定性]\label{th:stab}
初期の運動として波数が最も小さな流れを基本流としたとき, その流れに与えた擾乱のエンストロフィーが小さい場合, 流れの波数は基本場の波数に収束する, つまり, 流体の運動は安定である. 一方, 初期に与えた擾乱のエネルギーが小さいからといって, 流体の運動は安定であるとは限らない. 
\end{theo}
\end{shadebox}
\begin{proof}
仮定より, 任意の小さな数$\varepsilon\geq0$をとり, 
\begin{equation}
	\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{Q}_{0}'(\bm{k}) = \varepsilon
\end{equation}
とする(つまり, 初期の擾乱のエンストロフィーが小さいとする). $\mathcal{Q}_0'=k^2\mathcal{E}_0'$なので, 
\begin{equation}
	\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{E}_{0}'(\bm{k}) < \sum_{\bm{k}} k^2\mathcal{E}'_0(\bm{k}) = \sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}_0'(\bm{k}) = \varepsilon
\end{equation}
より, 初期エネルギーの擾乱は上限$\varepsilon$で抑えられる. $\varepsilon\rightarrow0$とすると, $\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{E}_{0}'(\bm{k})\rightarrow0$となる. よって, (\ref{eq:hi2}) で$\varepsilon\rightarrow 0$とすると,  $k_{0}^{2}\rightarrow1$となる. これを(\ref{eq:hi3}) に適用すると, 
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{E}'(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k})} \rightarrow 0
\end{equation}
とわかる. この式から, 定常流において, 初期エンストロフィーが小さいとき, 任意の時間における擾乱の全運動エネルギーは初期の全運動エネルギーに比べて小さくなることがわかる. つまり, 流れは安定である. 

一方, 同様の$\varepsilon$で
\begin{equation}
	\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{E}_{0}'(\bm{k}) = \varepsilon
\end{equation}
とする(つまり, 初期の擾乱のエネルギーが小さいとする). しかしこのとき,
\begin{equation}
	\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{Q}_{0}'(\bm{k}) > \varepsilon
\end{equation}
であるから, $\varepsilon\rightarrow0$としても, $\mathcal{Q}_0'\rightarrow0$とならない$\varepsilon$をとることは可能である. つまり,  (\ref{eq:hi2}) より$k_{0}^{2}$は任意に大きくとることが可能である. つまり, 流れは安定であるとは限らない.
$\Box$
\end{proof}

初期のエネルギーが小さい場合, (\ref{eq:futousikiseiri}) から$k_{0}^{2}=k^{\star\star2}\geq4$なる$K$をとることができ, このとき(\ref{eq:hi3})から
\begin{equation}
	\frac{\displaystyle\sum_{|\bm{k}|=2}^{\infty} \mathcal{E}'(\bm{k})}{\displaystyle\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}_{0}(\bm{k})} = 1
\end{equation}
となる. つまり, 初期のエネルギー(基本場のエネルギー)は全て擾乱のエネルギーに変換されることを表している. 

基本場の流れ$\Psi$はとりうる値の中では最大のスケールの成分を表しているため, 以上のことは次のように言い換えることができる; 2次元流の定常運動のが不安定であるためには, 擾乱が基本場の流れのスケールよりも大きなスケールをもつ成分によって表されることが必要である. この必要条件はエネルギースペクトルの擾乱の変化が見られるより一般的な結果にも関連付けられる. 
