\chapter{結論\label{chap:conclusion}}

2次元非圧縮非粘性順圧流体の波数空間における性質として, 異なる波数の間でのエネルギー輸送と擾乱を与えた時の安定性について議論してきた. この議論の特徴は, 運動方程式を参照せずにエネルギー保存則とエンストロフィー保存則のスペクトル表現
\begin{align}
	\DD{}{t}\sum_{\bm{k}} \frac{1}{2} k^2 |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2  = \DD{}{t}\sum_{\bm{k}} \mathcal{E}(\bm{k}) = 0 \\
	\DD{}{t}\sum_{\bm{k}} \frac{1}{2} k^4 |\hat{\psi}_{\bm{k}}|^2  = \DD{}{t}\sum_{\bm{k}} \mathcal{Q}(\bm{k}) = 0
\end{align}
からエネルギー輸送と安定性について議論している点である. 

エネルギーの輸送については定理\ref{th:sanpa}にまとめられたとおり, 運動エネルギーは異なる3つのスケールのみの間で輸送されており, その輸送は
\begin{itemize}
	\item 大きいスケールと小さいスケールから, 中間のスケールに向けて
	\item 中間のスケールから, 大きなスケールと小さなスケールに向けて
\end{itemize}
のいずれかである. エンストロフィーの輸送についても同様の議論により同じ結論が得られる. 輸送の様子は図\ref{fig:yusoukai}のように表される. Fj$\mathbf{\mathrm{\o}}$rtoft (1953) では, 波数ベクトルの相対的な大きさを指定して, エネルギーやエンストロフィーの交換率を議論しているが, これは誤りであることが後に指摘されている. また, 粘性流体におけるエネルギーとエンストロフィーの時間変化についても非粘性の場合と同様に議論したが, 決定的な結論は得られなかった.

波数が最も小さい, つまり, スケールが最も大きい流れを基本場としたときに, 与える擾乱のエネルギーやエンストロフィーの大きさによって擾乱が成長するか否かが変わることも示した(定理\ref{th:stab}). それは次のようにまとめられる;
\begin{itemize}
	\item 与えた擾乱のエンストロフィーが小さい場合, 擾乱は成長せず, 流れは基本場に収束する.
	\item 与えた擾乱のエネルギーが小さい場合, 擾乱は成長する可能性があり, 流れが基本場に収束するとは限らない.
	\item 逆に, 流れが不安定になるためには, 擾乱のスケールが基本場のスケールよりも大きなスケールでなければならない. 
\end{itemize}
