\chapter{はじめに\label{chap:intro}}

地球の大気や海洋の大規模な運動を扱う「地球流体力学」では, 以下のようにしばしば扱う空間を2次元であるとして議論する;
\begin{itemize}
\item 「大気や海洋は, 球面上の薄い流体層であり, それらの厚さや深さが水平方向の広がりに比べてとても小さい. さらに, 大気や海洋の運動は 2 つの効果, 回転と成層による影響を強く受ける: 後者は, しばしば水平方向の密度勾配に比べて鉛直方向の密度勾配が大きくなることを意味する. 」(Vallis(2006)\cite{vallis}, p.51)
\item 「テイラー・プラウドマンの定理によれば, 次の条件が満足されているときには, 回転流体中の運動は回転軸の方向の座標によらない 2 次元の流れとなる. その条件というのは a) 流体の密度が一様で, b) 運動は定常で, c) 運動方程式を線形化してもいいくらい運動が遅く, d) 摩擦力が無視できる, の 4 つである. 」(小倉(1978)\cite{ogura}, p.64)
\end{itemize}
また, 観測によって地球大気の運動で2次元乱流的な性質が現れている例もある.
例えば, 図\ref{fig:zu1}である. この図は1975 年から 1979 年にかけて航空機
観測によって得られた対流圏界面付近の東西風速と南北風速のエネルギースペク
トルである. スケールの大きな領域(波数の小さな領域, 図の左側)に2次元乱流
のエンストロフィー慣性領域のスペクトルに見られる$k^{-3}$の傾きが現れてい
る(岩山(2013)\cite[iwayama]). 以上のことから, 2次元乱流の基本的な性質を
理論的に扱うことは地球流体力学を学ぶ上で有用である.
\begin{figure}[htbp]
\begin{center}
  \includegraphics[clip,width=7.0cm]{zu1.eps}
  \caption{1975 年から 1979 年にかけて航空機観測によって得られた対流圏界面付近の東西風速と南北風速のエネルギースペクトル (Naston \& Gage(1985)\cite{nastman}). 南北風速のスペクトルは右にずらしている.}
  \label{fig:zu1}
\end{center}
\end{figure}

本論文では, 2次元流体の基本的な性質を調べた Fj$\mathrm{\o}$rtoft (1953) のレビューである. 本論文の目的と構成は以下の通りである.
\begin{itemize}
\item 周期境界条件を課した2次元平面内における非粘性非圧縮順圧流体の運動方程式から出発し, 渦度方程式の導出, 流れ函数の導入, エネルギーとエンストロフィーの保存則を導くことにより, 2次元流体における基本的な方程式の理解を目指す(\ref{sec:kiso}節・\ref{sec:con}節).
\item 上記で導いた方程式や物理量をスペクトル空間(波数空間)における表現に直すことで, その計算方法を理解する(\ref{sec:spec}節).
\item \ref{chap:prepare}で導いたエネルギー保存則とエンストロフィー保存則
      のスペクトル表源を用いて, 異なる波数間でのエネルギー変換はどのよう
      になるかを議論する(\ref{chap:enercon}).
\item 基本場が与えられた 2 次元流体の流れに対して擾乱を付加したとき, その擾乱が成長するか否かは擾乱の与え方に依存することを議論する(第\ref{chap:stat}章). 
\item Fj$\mathrm{\o}$rtoft (1953) では球面上の非圧縮非粘性順圧流体について議論されていたため, 球面上の微分演算について導出も含め確認し(付録\ref{chap:bibun}), 球面上の固有値問題について学ぶ(付録\ref{chap:legendre}).
\end{itemize}

