\documentclass[dvipdfmx,12pt]{beamer} % dvipdfmx ドライバを指定
\usepackage{bxdpx-beamer}  % ナビゲーションシンボルを機能させる
% \setbeamertemplate{some beamer element}[square] % ナビゲーションバー
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}      % ナビゲーションバー非表示
%\usepackage{pxjahyper}     % しおりの文字化け対策
\usepackage{minijs}        % 和文メトリックの調整（代わりに otf を読み込んでも良い）
\renewcommand{\kanjifamilydefault}{\gtdefault} % 和文既定をゴシックに変更

%---------- 使用パッケージの宣言
\usepackage{bm}

%---------- コマンドの定義
\newcommand{\dd}{\mathrm{d}}
\newcommand{\ee}{\mathrm{e}}
\newcommand{\bnabla}{\bm{\nabla}}
\newcommand{\DD}[3][]{\frac{\dd^{#1}#2}{\dd#3^{#1}}}
\newcommand{\DDD}[3][]{\frac{\mathrm{D}^{#1} #2}{\mathrm{D} #3^{#1}}}
\newcommand{\DP}[3][]{\frac{\partial^{#1} #2}{\partial #3^{#1}}}
\renewcommand\thefootnote{\dag\arabic{footnote}}
\renewcommand{\theenumii}{\roman{enumii}}

%---------- renewcommand
\renewcommand{\figurename}{図\thefigure}

%---------- デザインの選択(省略可)
\usetheme{Copenhagen}
%---------- カラーテーマの選択(省略可) 
\usecolortheme{dolphin}
%---------- フォントテーマの選択(省略可)
\usefonttheme{default}
%---------- フレーム内のテーマの選択(省略可)
\useinnertheme{rectangles}
%---------- フレーム外側のテーマの選択(省略可)
\useoutertheme{infolines}

%---------- スライドの情報([  ]内に略称を書く)
\title[McWilliams (1990)]{2 次元乱流における秩序渦による \\ 乱流のカスケードの抑制の例示}
\subtitle{McWilliams(1990) の紹介 \\ \scriptsize{A demonstration of the
suppression of turbulent cascades by coherent vortices in
two-dimensional turbulence. {\it Physics of Fluids}, {\bf A2},
547--552.}} 
\author{岡崎 正悟}
\institute[神戸大院理]{神戸大学大学院理学研究科惑星学専攻修士 1 回生}
\date{2015/7/2}

\usepackage{amsmath}	% required for `\align' (yatex added)
\begin{document}
%---------- タイトルページ
\begin{frame}
 \titlepage
\end{frame}

%---------- 目次
\begin{frame}
 \frametitle{目次}
 \tableofcontents
\end{frame}

\section{はじめに}

\begin{frame}
 \begin{flushright}
  {\Huge はじめに}
 \end{flushright}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{目的}
 McWilliams (1990) を選んだ理由
 \begin{itemize}
  \item 2 次元乱流のさらなる理解
	\begin{itemize}
	 \item 基本的な理論の勉強(卒論の続き) $+\alpha$
	 \item McWilliams (1990) は結論が明確. 
	 \item 再現・追試可能
	\end{itemize}
  \item 数値計算の手法について基本的なことを学ぶ
	\begin{itemize}
	 \item SPMODEL を用いて計算
	 \item gtool5 や gnuplot を用いて計算結果を表示
	 \item SPMODEL や gtool5 などの使い方を学ぶ
	\end{itemize}
 \end{itemize}
 
\end{frame}

\section{McWilliams (1990) について}

\begin{frame}
 \begin{flushright}
  {\Huge McWilliams (1990) について}
 \end{flushright}
\end{frame}

\subsection{概要}

\begin{frame}{McWilliams (1990) の概要}
 \begin{itemize}
  \item 2 次元乱流の時間発展では, 局在した波数スペクトルが拡がる.\\ エネルギーは低波数側
	に, エンストロフィーは高波数側にカスケードすることが知られている
	(Kraichnan, 1967) 
  \item そのとき, 秩序渦 (coherent vortices) と呼ばれる軸対称で長寿命な
	渦が空間的にスカスカな状態で存在(Basdevant et al.,
	1981. McWilliams, 1984. など)
  \item この論文では, 2 次元乱流における秩序渦の役割について研究している.特
	に, 秩序渦によるカスケードの抑制について数値計算の結果を例示している.
	\begin{itemize}
	 \item 支配方程式に従って初期値問題として数値計算を実行した場合
	       と, 発展の途中で流れ函数の位相をランダムにした場合との結
	       果の違いを示している.  
	\end{itemize}
 \end{itemize}
 
\end{frame}

\subsection{問題設定}

\begin{frame}
 \frametitle{数値実験の設定 1}
 \begin{itemize}
 \item 支配方程式 : 重調和超粘性拡散を伴う 2 次元の渦度方程式
       \begin{equation}
	\DP{\zeta}{t}+\bm{v}\cdot\bnabla\zeta = -\nu\bnabla^{4}\zeta \label{eq:voreq}
       \end{equation}
       \begin{itemize}
	\item 超粘性係数$\nu = 3\times10^{-8}$
       \end{itemize}
  \item 二重周期境界の正方領域モデル
	\begin{itemize}
	 \item 領域の大きさ : $2\pi\times2\pi$
	 \item 格子点数 : 256$^2$
	 \item 切断波数 : 128
	\end{itemize}
  \item 初期条件として, エネルギースペクトルを次のように与える;
	\[
	 E(k) \propto \frac{k^{30}}{(k+k_0)^{60}}
	\]
	\begin{itemize}
	 \item $k_0$ はエネルギースペクトルの値の最大値を与える波数
	 \item 論文では, $k_0 = 15$として計算
	\end{itemize}
\end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{数値実験の設定 2}
 \begin{itemize}
  \item 比較のために, 以下の 3 つのように積分を実行
	 \begin{itemize}
	  \item 支配方程式を$t=0$から, $t=30$までそのまま積分
	  \item $t=0$から$t=10$まで積分し, $t=10$で位相をかき混ぜ, その状態を初
		期条件として再び$t=30$まで積分
	  \item $t=0$から$t=20$まで積分し, $t=20$で位相をかき混ぜた後, $t=30$ま
		で積分
	 \end{itemize}
  \item 位相のかき混ぜは流線函数の Fourier 係数$\hat{A}(\bm{k})$について, 
	\[
	 \hat{A}_{C}(\bm{k}) = \hat{A}_{P}(\bm{k}) \exp(i2\pi r(\bm{k}))
	\]
	の$r(\bm{k})$に$[0,1]$の一様乱数を振ることで行う
	\begin{itemize}
	 \item 位相のかき混ぜ前後で, エネルギーやエンストロフィーの総量
	       や, スペクトルの形は変化しないように位相をかき混ぜる
	\end{itemize}
 \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{McWilliams (1990) の計算結果}

\begin{frame}{McWilliams (1990) の計算結果 1 : \\ \hspace{1zw} 位相のかき混ぜ}
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{tabular}{cc}
   \begin{minipage}{0.4\hsize}
    \begin{center}
     \includegraphics[width=0.8\hsize]{mcwilliams-fig1.eps}
     \caption{位相のかき混ぜを行なう前の$t=20$の渦度場 (McWilliams(1990)
     Fig. 1)}
    \end{center}
   \end{minipage}
   \begin{minipage}{0.4\hsize}
    \begin{center}
     \includegraphics[width=0.8\hsize]{mcwilliams-fig3.eps}
     \caption{位相のかき混ぜを行なったあとの$t=20$の渦度場
     (McWilliams(1990) Fig. 3)}
     \label{fig:enstot-run1}
    \end{center}
   \end{minipage}
  \end{tabular}
 \end{figure} 
\end{frame}

\begin{frame}{McWilliams (1990) の計算結果 2 : \\ \hspace{1zw} スペクトルの形の変化}
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{tabular}{cc}
   \begin{minipage}{0.4\hsize}
    \begin{center}
     \includegraphics[width=1.\hsize]{mcwilliams-fig2.eps}
     \caption{位相のかき混ぜを行わなかった場合のエンストロフィースペクト
     ル (Mcwilliams(1990)
     Fig. 2)}
    \end{center}
   \end{minipage}
   \begin{minipage}{0.4\hsize}
    \begin{center}
     \includegraphics[width=1.\hsize]{mcwilliams-fig4.eps}
     \caption{位相のかき混ぜを$t=20$で行なったときのエンストロフィースペ
     クトル (McWilliams(1990) Fig. 4)}
     \label{fig:enstot-run1}
    \end{center}
   \end{minipage}
  \end{tabular}
 \end{figure} 
\end{frame}

\begin{frame}{McWilliams (1990) の計算結果 3 : \\ \hspace{1zw} エネルギーと
 エンストロフィーの変化}
 \begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
   \includegraphics[width=.32\hsize]{mcwilliams-fig5.eps}
   \caption{位相のかき混ぜをした場合としなかった場合のエネルギーとエンス
   トロフィーの変化 (Mcwilliams(1990) Fig. 5)}
  \end{center}
 \end{figure} 
\end{frame}

\section{McWilliams (1990) の再現実験}

\begin{frame}
 \begin{flushright}
  {\Huge McWilliams (1990) の再現実験}
 \end{flushright}
\end{frame}

\subsection{設定}

\begin{frame}{用いた手法}
 \begin{itemize}
  \item 地球流体電脳倶楽部の SPMODEL ライブラリを用いた
  \item SPMODEL プロジェクトの「プログラム集」の 2 次元 2 重周期境界モデ
	ルのプログラムと岩山先生作成のプログラムを基にプログラムを作成,
	実行
	\begin{itemize}
	 \item 数値積分は, 4 次ルンゲクッタ法
	 \item 切断波数は 85 に設定
	 \item $k_0 =30$とした
	\end{itemize}
  \item 以下の 3 つの計算結果を比較した
	\begin{description}
	 \item[run1] 支配方程式を$t=0$から, $t=30$までそのまま積分
	 \item[run2] $t=0$から$t=10$まで積分し, $t=10$で位相を
		    かき混ぜ, その状態を初期条件として再び$t=30$まで積分
	 \item[run3] $t=0$から$t=20$まで積分し,
		    $t=20$で位相をかき混ぜた後, $t=30$まで積分 
	\end{description}
 \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{計算結果 1 : 位相をかき混ぜなかった場合}

\begin{frame}
 \frametitle{計算結果 1-(1)}
 $t=0$から, $t=30$まで(\ref{eq:voreq})を積分することで得られる解
 \begin{itemize}
  \item 渦度場の様子
	\href{http://epa.scitec.kobe-u.ac.jp/~okazakis/epasemi/20150702/run1_anim.gif}{\beamergotobutton{
	アニメーション}} 
	\begin{figure}[htbp]
	 \begin{tabular}{cc}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \setcounter{figure}{0}
	    \includegraphics[width=0.48\hsize]{run1-t0.eps}
	    \caption{$t=0$}
	    \label{fig:run1-t0}
	   \end{center}
	   \begin{center}
	    \setcounter{figure}{2}
	    \includegraphics[width=0.48\hsize]{run1-t20.eps}
	    \caption{$t=20$}
	    \label{fig:run1-t20}
	   \end{center}
	  \end{minipage}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \setcounter{figure}{1}
	    \includegraphics[width=0.48\hsize]{run1-t10.eps}
	    \caption{$t=10$}
	    \label{fig:run1-t10}
	   \end{center}
	   \begin{center}
	    \setcounter{figure}{3}
	    \includegraphics[width=0.48\hsize]{run1-t30.eps}
	    \caption{$t=30$}
	    \label{fig:run1-t30}
	   \end{center}
	   \end{minipage}
	 \end{tabular}
	\end{figure} 
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{計算結果 1-(2)}
 \begin{itemize}
  \item エネルギースペクトルの変化
	\begin{figure}[htbp]
	 \begin{tabular}{cc}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \includegraphics[width=0.7\hsize,angle=270]{onedeksp-run1-2.eps}
	    \caption{$t=0$}
	    \label{fig:onedeksp-run1-1}
	   \end{center}
	  \end{minipage}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \includegraphics[width=0.7\hsize,angle=270]{onedeksp-run1.eps}
	    \caption{$t=10, 20, 30$}
	    \label{fig:onedeksp-run1-2}
	   \end{center}
	   \end{minipage}
	 \end{tabular}
	\end{figure} 
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{計算結果 1-(3)}
 \begin{itemize}
  \item エネルギーとエンストロフィーの総量の変化
	\begin{figure}[htbp]
	 \begin{tabular}{cc}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \includegraphics[width=0.7\hsize,angle=270]{run1-ektot.eps}
	    \caption{エネルギーの総量の変化}
	    \label{fig:ektot-run1}
	   \end{center}
	  \end{minipage}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \includegraphics[width=0.7\hsize,angle=270]{run1-enstot.eps}
	    \caption{エンストロフィーの総量の変化}
	    \label{fig:enstot-run1}
	   \end{center}
	   \end{minipage}
	 \end{tabular}
	\end{figure} 
 \end{itemize}
\end{frame}

\subsection{計算結果 2 : 途中で位相をかき混ぜた場合}

\begin{frame}{位相のかき混ぜ方について}
 途中での位相のかき混ぜは McWilliams (1990) で示されている方法とは異なる
 方法を採った
 \begin{align}
  \hat{A}_C({\bm{k}}) =  |\hat{A}_P(\bm{k})|\exp(i2\pi r(\bm{k}))
 \end{align}
\end{frame}

\begin{frame}{計算結果 2-(1)}
 \begin{itemize}
  \item 位相のかき混ぜを行ったあとの渦度場の様子
	\begin{figure}[htbp]
	 \begin{tabular}{cc}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \includegraphics[width=0.5\hsize]{run1-t10.eps}
	    \caption{run1 の$t=10$}
	    \label{fig:run1-t0}
	   \end{center}
	   \begin{center}
	    \setcounter{figure}{10}
	    \includegraphics[width=0.5\hsize]{run1-t20.eps}
 	    \caption{run1 の$t=20$}
	    \label{fig:run1-t20}
	   \end{center}
	  \end{minipage}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \setcounter{figure}{9}
	    \includegraphics[width=0.5\hsize]{run14-t10.eps}
	    \caption{run14 の$t=10$}
	    \label{fig:run1-t10}
	   \end{center}
	   \begin{center}
	    \setcounter{figure}{11}
	    \includegraphics[width=0.5\hsize]{run15-t20.eps}
	    \caption{run15 の$t=20$}
	    \label{fig:run1-t30}
	   \end{center}
	   \end{minipage}
	 \end{tabular}
	\end{figure}
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{計算結果 2-(2)}
 \begin{itemize}
  \item エネルギーとエンストロフィー総量の変化
	\begin{figure}[htbp]
	 \begin{tabular}{cc}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \includegraphics[width=0.7\hsize,angle=270]{ektot-run-rst.eps}
	    \caption{エネルギーの総量の変化}
	    \label{fig:ektot-run1}
	   \end{center}
	  \end{minipage}
	  \begin{minipage}{0.4\hsize}
	   \begin{center}
	    \includegraphics[width=0.7\hsize,angle=270]{enstot-run-rst.eps}
	    \caption{エンストロフィーの総量の変化}
	    \label{fig:enstot-run1}
	   \end{center}
	   \end{minipage}
	 \end{tabular}
	\end{figure} 
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}{計算結果 2 の問題点}
 \begin{itemize}
  \item 位相のかき混ぜは, エネルギー・エンストロフィーの総量とスペクトル
	の形は変えないように行っているはずなのに, 変わってしまっている.
	\begin{itemize}
	 \item 位相のかき混ぜを行った場合のエネルギーとエンストロフィーの下がり
	具合が大きすぎる
	 \item スペクトルの形の比較
	      \begin{figure}[htbp]
	       \begin{tabular}{cc}
		\begin{minipage}{0.4\hsize}
		 \begin{center}
		  \includegraphics[width=0.7\hsize,angle=270]{eksp-run1-and-14-t10.eps}
		  \caption{$t=10$のスペクトルの比較}
		  \label{fig:ektot-run1}
		 \end{center}
		\end{minipage}
		 \begin{minipage}{0.4\hsize}
		  \begin{center}
		   \includegraphics[width=0.7\hsize,angle=270]{eksp-run1-and-15-t20.eps}
		   \caption{$t=20$のスペクトルの比較}
		   \label{fig:enstot-run1}
		  \end{center}
		 \end{minipage}
	       \end{tabular}
	      \end{figure} 
	\end{itemize}
 \end{itemize}
 
\end{frame}

\section{まとめ}

\begin{frame}
 \begin{flushright}
  {\Huge まとめ}
 \end{flushright}
\end{frame}

\begin{frame}
 \frametitle{まとめ}
 \begin{itemize}
  \item McWilliams (1990) の紹介
	\begin{itemize}
	 \item 2 次元の減衰性乱流の数値実験で, 2 次元流体の基本的な性質
	       を確認することができた  
	       \begin{itemize}
		\item 時間発展させると, 軸対称な秩序渦が現れる.
		\item 秩序渦によって, スケールの伝達や散逸が抑えられる
	       \end{itemize}
	 \item 時間発展の途中で位相のかき混ぜを行うと, 再びエネルギーや
	       エンストロフィーは減少する 
	       \begin{itemize}
		\item 特に, エンストロフィーの減衰率が大きい
	       \end{itemize}
	\end{itemize}
  \item SPMODEL や gtool を用いて, McWilliams (1990) の再現を試みた
	\begin{itemize}
	 \item 位相のかき混ぜを行ったあとのエネルギーやエンストロフィー
	       の減少が大きすぎる
	 \item スペクトルの形が変わってしまった
	 \item 原因については解明されたので, 修正して改めて実験を行う
	\end{itemize}
 \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[t,allowframebreaks, allowdisplaybreaks]
\frametitle{参考文献}
{\scriptsize
\begin{thebibliography}{99}
\setlength{\itemsep}{-.5zw}
\beamertemplatetextbibitems

\bibitem{McWilliams} McWilliams, J. C. (1990), A demonstration of the
	suppression of turbulent cascades by coherent vortices in
	two-dimensional turbulence. {\it Physics of Fluids}, {\bf A2}, 547--552.

	
 \bibitem{Kraichnan1967} Kraichnan, R. H. (1967), Inertial Ranges in
	 Two-Dimensional Turbulence. {\it Physics of Fluids}, {\bf 10},
	 1417-1423.
	 
 \bibitem{Basdevat1981} C. Basdevant, B. Legras, R. Sadourny and
	 M. Béland (1981), A study of barotropic model flows :
	 intermittency, waves and predictability, {\it J. Atmos. Sci.},
	 {\bf 38}, 2305-2326.
	 
 \bibitem{McWilliams1984} McWilliams, J. C. (1984), The emergence of
	 isolated coherent vortices in turbulent flow, {\it J. Fluid
	 Mech}, {\bf 146}, 21-43.
	 
\bibitem{spmodel} 竹広 真一, 佐々木 洋平, 石岡 圭一, 小高 正嗣, 高橋 芳
	幸, 中島 健介, 石渡 正樹, 林 祥介, spmodel 開発グループ, 2013:
	階層的地球流体力学スペクトルモデル集 (SPMODEL),
	http://www.gfd-dennou.org/library/spmodel/, 地球流体電脳倶楽部.
	
 \bibitem{gtool} 森川 靖大, 高橋 芳幸, 佐々木 洋平, 西澤 誠也, 乙部 直人,
	 石渡 正樹, 小高正嗣, 竹広 真一, 堀之内 武, 林 祥介, 豊田 英司,
	 gtool 開発グループ, 2010: gtool5 ライブラリ,
	 http://www.gfd-dennou.org/library/gtool/, 地球流体電脳倶楽部. 

\end{thebibliography}
}
\end{frame}

\end{document}