
%% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%% %%%%%%%%             Textcd  Start                 %%%%%%%%
%% \begin{document}

\setcounter{chapter}{1}

\chapter{準備}
\markright{第\arabic{chapter}章 準備} %  節の題名を書き込むこと
% ここから本文を書く
\begin{comment}
\section{地球外核の基本量}
地球外核の温度,\ 圧力,\ 半径,\ 平均密度,\ などの値は地震学の研究結果や主に温度と圧力を再現した実験結果から概算値として知られている.\ 
表\ $1$\ はそれらの値である.\ 
\begin{table}
  \caption[地球のコアの物性]{一段目のグループの値は直接観測によって決定しているものである.\ 
  二段目は高温高圧の環境下において外核を構成すると推定される物質の実験から基づく値であり非常に不十分である.}
  \centering
  \begin{tabular}{lll}
    \hline
      密度           &$\rho$      &$10^4\rm{kgm^{-3}}$\\
      \ $P$\ 波速度  &$V_p$       &$9\rm{kms^{-1}}$\\
      非圧縮率       &$\kappa_s$  &1$0^{12}\rm{Pa}$\\
      圧力          &$p$          &$1-3\times10^{11}\rm{Pa}$\\
      重力加速度     &$g$         &$0-10\rm{ms^{-2}}$\\
      コア半径      &$c$          &$3485\rm{km}$\\  
      内核半径      &$r_i$        &$1215\rm{km}$\\
      地球の半径    &$a$          &$6371\rm{km}$\\
    \hline
      動粘性率   &$\nu$           &$10^{-6}\rm{ms^{-2}}$\\
      電気伝導率 &$\sigma$        &$5\times10^5\rm{Sm^{-1}}$\\
      熱伝導率   &$k$             &$50\rm{Wm^{-1}K^{-1}}$\\
      比熱      &$C_p$           &$700\rm{Jkg^{-1}K^{-1}}$\\
      潜熱      &$L$             &$10^6\rm{Jkg^{-1}}$\\
      断熱勾配  &$-\DP{T}{r}_s$  &$0.1\rm{Kkm^{-1}}$\\
      融点      &$T_M$           &$4000\rm{K}$\\
      熱拡散率  &$\alpha$        &$5\times10^{-6}\rm{K^{-1}}$\\
      電気拡散率&$\eta$          &$1\rm{m^2d^{-1}}$\\
      熱拡散率  &$\kappa$       &$10^{-5}\rm{m^2s^{-1}}$\\
    \hline
  \end{tabular}
  \end{table}
\end{comment}
\section{基本方程式}
ここでは本論文で必要となる方程式の近似されていない形を掲載する.\
\subsection{電磁気学の式}
\subsubsection{真空中のマクスウェル方程式}
つぎの\ $4$\ 本の式は真空中の電磁場を支配するマクスウェル方程式で式\ (\ref{gauss})\ ガウスの法則,\ 式\ (\ref{soreno})\ はソレノイド条件,\ 式\ (\ref{fara})\ はファラデーの法則,\ 式\ (\ref{maxampe})\ はマクスウェル\ $=$\ アンペールの法則である.\ 
\begin{align}
  \label{gauss}
  \nabla\cdot\bm{D}=\rho_e(\bm{r})\\
  \label{soreno}
  \nabla\cdot\bm{B}=0\\
  \label{fara}
  \nabla\times\bm{E}=-\DP{\bm{B}}{t}\\
  \label{maxampe}
  \nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{j}+\frac{1}{c^2}\DP{\bm{E}}{t}
\end{align}
ここで\ $\bm{D}$\ は電束密度,$\bm{B}$\ は磁場,$\bm{E}$\ は電場,$\bm{j}$は電流密度ベクトル,$\rho_e$は電荷密度である.\ 
ただし\ $\bm{D}=\varepsilon_0\bm{E}$\ の関係が成り立っている.\ 
$\mu_0$\ は真空中の透磁率,$c$\ は光速であり,$1/c^2=\varepsilon_0\mu_0$\ を満たしている.\ 
ただし,$\varepsilon_0$\ は真空中の誘電率である.\ 

今考える系は真空ではなく導電性をもつ流体であるので本来は物質中のマクスウェル方程式を考える必要があるが,\ 物質中の電磁場に表れる分極は小さいものとし,\ 磁化はキュリー温度を超えているため起こらないため物質中でも真空中と同じ誘電率と透磁率を用いる.\ 
\subsubsection{オームの法則}
物体中の原子核や一部の電子は分極や磁化として自由電子の運動に対して抵抗を与える.\ 
このことを表しているのがオームの法則である.\ 
\begin{align}
  \label{ohm}
  \bm{j}=\sigma\bm{E}'
\end{align}
ここで\ $\sigma$\ は電気伝導率であり,\ $\bm{E}'$\ は静止系からみた電場である.\ 
\subsubsection{相対論的な電磁場}
オームの法則で静止系からみた電場を必要としたが,\ 特殊相対論によると絶対静止系は存在せず,\ ふたつの慣性系はローレンツ変換を通して同じ形である.\ 
ある慣性系と別の慣性系の電磁場の関係は次であると知られている.\ 
\begin{align}
  \label{soutaiE}
  \bm{E}'=(1-\gamma)\frac{(\bm{v}\cdot\bm{E})\bm{v}}{v^2}+\gamma(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})\\
  \label{soutaiB}
  \bm{B}'=(1-\gamma)\frac{(\bm{v}\cdot\bm{B})\bm{v}}{v^2}+\gamma(\bm{B}-\frac{\bm{v}\times\bm{B}}{c^2})
\end{align}
ここで\ $\bm{B}'$\ はある慣性系からみた磁場で\ $\bm{B}$\ は今慣性系にいる観測者が測定した磁場である.\ 
そして\ $\gamma=1/\sqrt{1-(v/c)^2}$\ でローレンツ因子と呼ばれている.\ 
\subsubsection{ローレンツ力}
電磁場の中を速度\ $\bm{v}$\ で運動する電荷\ $q$\ の点電荷は
\begin{align}
  \bm{f}_L=q(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})
\end{align}
の力を受ける.\ 
この力をローレンツ力と呼び,\ 複数の電荷に対して考え,\ 単位体積当たりのローレンツ力を考えると次のようになる.\ 
\begin{align}
  \bm{F}_L=\rho_e\bm{E}+\bm{j}\times\bm{B}
\end{align}
ここで電流密度は単位体積に単位時間当たりに流れる電荷の量であることを使った.\ 
\subsection{流体力学}
流体力学は質点および剛体の力学とは異なり,\ 粒子そのものを追跡するのではなく流体が作る場に注目する必要がある.\ 
このため単位体積当たりの運動方程式と熱力学関数を使う.\ 
\subsubsection{質量保存の式}
流体全体では質量が増減しないため次が成り立つ.\ 
\begin{align}
  \label{rho}
  \DP{\rho}{t}+\nabla\cdot(\rho\bm{v})=0
\end{align}
これは\ $\rho$\ であるときは質量保存を表すが,\ $\rho$\ の代わりに\ $\rho_e$\ であるときは電荷保存を表す.\ 
\subsubsection{運動方程式}
流体の運動方程式は次のようになる.\ 
\begin{align}
  \label{ryutai1}
  \rho\biggl(\DP{\bm{v}}{t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}\biggr)=-\bm{b}+\nabla\cdot\bm{T}
\end{align}
ただし,\ $\bm{v}$\ は流速,$\bm{T}$\ は応力テンソル,$\bm{b}$\ は体積力,$\rho$\ は密度である.\ 
ここで応力テンソルは\ $i$\ 軸に垂直な単位体積当たりに働く\ $j$\ 方向の力を表す.\ 
したがって単位体積にかかる\ $j$\ 番目の力は発散定理より,\ 
\begin{align}
  \oint_ST_{ij}dS=\int_V\DP{T_{ij}}{x_j}
\end{align}
したがって式\ (\ref{ryutai1})\ の右辺最終項は単位体積当たりの当たりの応力\ (面積力)\ を示している.\ 
この\ $T_{ij}$\ の内訳については後に議論する.\ 
そして,\ 体積力は今考える系では重力とローレンツ力である.\ 
左辺は慣性系の形であるため,\ 回転系に書き換える必要がある.\ 
ベクトル\ $\bm{P}$\ に対して慣性系と回転系では次に関係がある.\ 
\begin{align}
  \biggl(\DD{\bm{P}}{t}\biggr)_R=\biggl(\DD{\bm{P}}{t}\biggr)_I+\bm{\Omega}\times\bm{P}
\end{align}
ここで\ $\bm{\Omega}$\ は角速度ベクトルである.\ 
この関係を使って式\ (\ref{ryutai1})\ の左辺を回転系に書き換えると次のようになる.\ 
\begin{align}
  \label{ryutai2}
  \rho\biggl(\biggl(\DD{\bm{v}}{t}\biggr)_R+2\Omega\times\bm{v}+\DD{\bm{\Omega}}{t}\times\bm{x}+\bm{\Omega}\times(\bm{\Omega\times\bm{x}})\biggr)
\end{align}
この式の第\ $2$\ 項はコリオリ力,\ 第\ $3$\ 項は慣性重力波で,\ 第\ $3$\ 項は遠心力である.\ 
式\ (\ref{ryutai2})\ の第\ $3$\ 項は勾配表示で次のように書ける.\ 
\begin{align}
  \bm{\Omega}\times(\bm{\Omega\times\bm{x}})=\frac{1}{2}\nabla((\bm{\Omega}\times\bm{x})^2)
\end{align}
\subsubsection{応力テンソルと体積力}
ニュートン流体では応力テンソルはひずみ速度テンソルと次の関係がある.\
\begin{align}
  \label{tens}
  T_{ij}=-p\delta_{ij}+2\rho\nu e_{ij}-\frac{2}{3}\rho\nu e_{kk}\delta_{ij}
\end{align} 
ただし,$\nu$\ は動粘性定数で,$\delta_{ij}$\ はクロネッカーのデルタである.\ 
ひずみ速度テンソルは
\begin{align}
  e_{ij}=\frac{1}{2}\biggl(\DP{u_i}{x_j}+\DP{u_j}{x_i}\biggr)
\end{align}
である.\ 

つぎに体積力のうち重力は重力ポテンシャルの勾配\ $\nabla\psi$\ として表される.\ 
ただし重力ポテンシャルは次を満たす.\ 
\begin{align}
  \nabla^2\psi =-4\pi G\rho
\end{align}

式\ (\ref{ryutai1}),\ 式\ (\ref{ryutai2}),\ 式\ (\ref{tens}),\ より流体の運動方程式は次のようになる.\ 
\begin{align}
  \label{ryu3}
  \rho\biggl(\DP{\bm{v}}{t}+\bm{v}\cdot\nabla\bm{v}+2\bm{\Omega}\times\bm{v}+\bm{\Omega}\times(\bm{\Omega}\times\bm{x})\biggr)=\rho\nabla\psi-\nabla p+\rho\nu\nabla^2\bm{v}+\frac{1}{3}\rho\nu\nabla(\nabla\cdot\bm{v})+\bm{F}_L
\end{align}
ただし角速度の変化はないものとした.\ 
\subsubsection{熱力学関数}
単位体積当たりの熱力学を考えるので
\begin{align}
  \rho\DD{U}{t}-\frac{p}{\rho}\DD{\rho}{t}=-\nabla\cdot\bm{q}+\varepsilon
\end{align}
ただし\ $U$\ は内部熱エネルギーで,$\bm{q}$\ は熱流束ベクトルで,$varepsilon$\ は熱生成率である.\ 
これを熱力学の関係式\ $dU+pdV=TdS$\ より
\begin{align}
  \label{Son}
  \rho T\DD{S}{t}=-\nabla\cdot\bm{q}+\varepsilon
\end{align}
と書き換わる.\ 
ここで熱流束ベクトルはフーリエの法則より
\begin{align}
  \label{fu}
  \bm{q}=-k\nabla T
\end{align}
である.\ 
ここで\ $T$\ は温度,$k$\ は熱伝導率で,\ 密度と温度で決定される値である.\ 
温度勾配について地球外核ではマントルへ一定熱量\ $Q$\ を損失するとして,\ 次の条件をおける.\ 
\begin{align}
  -k\hat{\bm{n}}\cdot\nabla T=Q/4\pi r^2_{core}
\end{align}
ここで\ $\hat{\bm{n}}$\ は地球中心から半径方向への単位ベクトルであり,$r_{core}$\ は核の半径である.\ 
式\ (\ref{Son})\ に対して次のように変数を変える.\ 
\begin{align}
  \rho TdS
  &=\rho T\biggl(\DP{S}{T}\biggr)_pdT+\rho T\biggl(\DP{S}{p}\biggr)_Tdp \notag \\
  &=\rho T\biggl(\DP{S}{T}\biggr)_pdT-\rho T\biggl(\DP{V}{T}\biggr)_pdp \notag \\
  &=\rho T\biggl(\DP{S}{T}\biggr)_pdT-\rho T\DP{\rho}{V}\biggl(\DP{V}{T}\biggr)_pdp \notag \\
  &=\rho T\biggl(\DP{S}{T}\biggr)_pdT+\frac{T}{\rho}\biggl(\DP{\rho}{T}\biggr)_pdp \notag \\
  &=\rho C_pdT-\alpha Tdp \\
\end{align}
ここで\ $\alpha$\ は体積膨張率で,$C_p$\ は定圧比熱である.\ 
式\ (\ref{Son})\ は上の変数変換を行うと,\ 
\begin{align}
  \label{tem}
  \rho C_p\DD{T}{t}-\alpha T\DD{p}{t} =\nabla\cdot(k\nabla T)+\varepsilon
\end{align}
となり,\ 地球外核は圧力一定だと考えられるのでこれがもっとも使いやすい温度方程式である.\ 


% ここで本文おしまい
%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption7{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG