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\chapter{本論}    % 章の始めからの場合はこのコマンドを使用する
\markright{第\arabic{chapter}章 本論} %  節の題名を書き込むこと
\section{\ MHD\ 近似}
地球外核の流体の運動スケールは光速より十分遅く,\ 高温である.\footnote{キュリー温度を超えているため磁化されないことを示している.}\ 
このため電磁気学に関する基礎方程式のうち時間変化する項の大きさをスケーリングし,\ 適切に処理する必要がある.\ 

はじめに相対的な電磁場はローレンツ因子は\ $\gamma\approx1$\ なので電磁場は次のようになる.\ 
\begin{align}
  \bm{E}'=\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B}
\end{align}
\begin{align}
  \bm{B}'=\bm{B}-\frac{\bm{v}\times\bm{B}}{c^2}
\end{align}
これらの\ $\bm{v}\times\bm{B}$\ を含む項については次の節でスケーリングを考える.\ 
\subsection{マクスウェル方程式のスケーリング}
電磁気学の基礎方程式のうち時間変化項を含むものは
ファラデーの法則とマクスウェル\ $=$\ アンペールの法則である.\ 
ここで外核の典型的な磁場の大きさを\ $\mathscr{B}$,\ 電場の大きさを\ $\mathscr{E}$,\ とする.
また物体の典型的な長さスケールを\ $l$,\ 時間スケールを\ $\tau$\ とする.\ 
ファラデーの法則の両辺の割合は次のように書ける.\ 
\begin{align}
  \frac{|\nabla\times\bm{E}|}{\biggl|\DP{\bm{B}}{t}\biggr|}=\frac{\tau\mathscr{E}}{l\mathscr{B}}
\end{align}
ここで,\ ファラデーの法則が成り立つと仮定すると次のスケーリングが成り立つ.\ 
\begin{align}
  \frac{\mathscr{E}}{\mathscr{B}}=\frac{l}{\tau}
\end{align}
ここで\ $\bm{v}\times\bm{B}$\ の大きさは
\begin{align}
  |\bm{v}\times\bm{B}|=\frac{l}{\tau}\mathscr{B}\approx\mathscr{E}
\end{align}
真空中の透磁率は\ $\mathscr{E}\ll c^2$\ であるため電磁場は次のように書ける.\ 
\begin{align}
  \bm{E}'=\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B},\qquad\bm{B}'=\bm{B}
\end{align}

マクスウェル\ $=$\ アンペールの法則のうち変位電流以外の項の大きさの割合は次のように書ける.\ 
\begin{align}
  \frac{\nabla\times\bm{B}}{\biggl|1/c^2\DP{\bm{E}}{t}\biggr|}=c^2\frac{\tau\mathscr{B}}{l\mathscr{E}}=c^2\frac{\tau^2}{l^2}
\end{align}
ここで最終項はファラデーの法則が成り立つと仮定したことを使っている.\ 
$l/\tau$\ は物体の典型的な速度スケールであり,\ 外核の流体の運動スケールが光速より遅いことから\ $c\gg l/\tau$\ である.\ 
このことからマクスウェル\ $=$\ アンペールの法則の磁場と電場を含む項は
\begin{align}
  |\nabla\times\bm{B}|\gg\frac{1}{c^2}\biggl|\DP{\bm{E}}{t}\biggr|
\end{align}
となるため,\ 電場の時間変化項を無視して次のように書ける.\ 
\begin{align}
  \label{ampe}
  \nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{j}
\end{align}
最後にローレンツ力のスケーリングを行なう.\ 
\begin{align}
  \frac{|\rho_e\bm{E}|}{|\bm{j}\times\bm{B}|}\approx\frac{l^2/\tau^2}{c^2}
\end{align}
したがって電場が電荷に対して行なう力は小さいことが明らかなのでローレンツ力は
\begin{align}
  \bm{F}_L=\bm{j}\times\bm{B}
\end{align}
となる.\ 
%これはアンペールの法則と同様の形であり変位電流の項を含まないため,\ 電荷保存則が成り立っていない.
%\footnote{アンペールの法則の発散をとると,\ 
%\begin{align}
%  \mu_0\nabla\cdot\bm{j}=\mu_0\sigma\bm{E}'=\mu_0\sigma\nabla\cdot(\bm{v}\times\bm{B})=\mu_0\sigma(\bm{v}\cdot(\nabla\times\bm{B})-\bm{B}\cdot(\nabla\times\bm{v}))=\mu_0^2\sigma\bm{v}\cdot\bm{j}
%\end{align}
%} 
\subsection{誘導方程式}
$\mu_0\times\bm{j}$\ の発散を取り,\ ソレノイド条件\ $\nabla\cdot\bm{B}=0$\ とベクトル公式\ $\nabla\times(\nabla\times\bm{B})=\nabla(\nabla\cdot\bm{B})-\nabla^2\bm{B}$\ を使うと次のようになる.\ 
\begin{align}
  \label{HassanDenryu}
  \mu_0\nabla\times\bm{j}=-\nabla^2\bm{B}
\end{align}
そしてアンペールの法則\ $\nabla\times\bm{B}=\mu_0\bm{j}$\ は式\ (\ref{HassanDenryu})\ とオームの法則,\ ファラデーの法則より次のように書ける.\ 
\begin{align}
  \label{Yudo}
  \DP{\bm{B}}{t}=\nabla\cdot(\bm{v}\times\bm{B})+\frac{1}{\mu_0\sigma}\nabla^2\bm{B}
\end{align}
これは慣性系での磁場の時間変化を表す式で誘導の式と呼ばれる.\ 
ただし\ $1/\mu_0\sigma=\eta$\ としている.\ 
$\eta$\ は磁気拡散率と呼ばれている.\ 

つぎに式\ (\ref{Yudo})\ が回転系でも同様であることを示す.\ 
式\ (\ref{Yudo})\ の右辺第\ 1\ 項を展開すると,\ 
\begin{align}
  \nabla\times(\bm{v}\times\bm{B})=(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{B}-(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{v}+\bm{B}(\nabla\cdot\bm{v})
\end{align}
となる.\ 
ただし\ $\bm{v}(\nabla\cdot\bm{B})$\ の項はソレノイド条件でゼロになるため省略した.\ 
したがって式\ (\ref{Yudo})\ は回転系の物質微分の形では次のように書ける.\ 
\begin{align}
  \label{Seishiyudo}
  \biggl(\DD{\bm{B}}{t}\biggr)_I=-(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{v}+\bm{B}(\nabla\cdot\bm{v})+\eta\nabla^2\bm{B}
\end{align}
この式を導く際にラグランジュ微分と物質微分の関係
\begin{align}
  \label{Bussitu2}
  \DD{A}{t}=\DP{A}{t}+(\bm{v}\cdot\nabla)A
\end{align}
を使った.\ 
次に慣性系の物質微分と回転系の物質微分の関係は
\begin{align}
  \label{Seishi2Kaiten}
  \biggl(\DD{\bm{A}}{t}\biggr)_I=\biggl(\DD{\bm{A}}{t}\biggr)_R+\Omega\times\bm{A}
\end{align}
であるので静止系と回転系での速度は次の関係が成り立つ.\ 
\begin{align}
  \bm{v}_I=\bm{v}_R+\bm{\Omega}\times\bm{r}
\end{align}
これらをつかって式\ (\ref{Seishiyudo})\ を回転系の表現に書き換える.\ 
\begin{align}
  \label{yudo2kaiten}
  \biggl(\DD{\bm{B}}{t}\biggr)_I
  &=-(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{v}_I+\bm{B}(\nabla\cdot\bm{v}_I)+\eta\nabla^2\bm{B} \notag \\
  &=-\bm{B}(\nabla\cdot\bm{v}_R)-\bm{B}(\nabla\cdot(\bm{\Omega}\times\bm{r}))+(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{v}_R+(\bm{B}\cdot\nabla)(\bm{\Omega}\times\bm{r})+\eta\nabla^2\bm{B}
\end{align}
ここで回転系での角速度\ $\bm{\Omega}$\ が一定であるとすると,\ 式\ (\ref{yudo2kaiten})\ は次のように書ける.\ 
\begin{align}
  \biggl(\DD{\bm{B}}{t}\biggr)_R=\biggl(\DD{\bm{B}}{t}\biggr)_I-\bm{\Omega}\times\bm{B}=(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{v}_R-\bm{B}(\nabla\cdot\bm{v}_R)+\eta\nabla^2\bm{B}
\end{align}
これは慣性系での誘導の式と同じ形である.\ 
\subsection{マクスウェルの応力テンソル}
マクスウェルの応力テンソルは
\begin{align}
  m_{ij}=m^e_{ij}+m^m_{ij}
\end{align}
であり,\ $m^e_{ij}$,$m^m_{ij}$\ はそれぞれ電場のマクスウェルの応力テンソルと磁場のマクスウェルの応力テンソルを表す.\ 
これらの具体的な中身は
\begin{align}
  \label{MaxwellTesolarFull}
  m^e_{ij}=\varepsilon_0\biggl(E_iE_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}|\bm{E}|^2\biggr),\qquad m^m_{ij}=\frac{1}{\mu_0}\biggl(B_iB_j-\frac{1}{2}\delta_{ij}|\bm{B}|^2\biggr)
\end{align} 
である.\ 
ここで式\ (\ref{MaxwellTesolarFull})\ の電場のマクスウェルの応力テンソルと磁場のマクスウェルの応力テンソルを比較すると
\begin{align}
  \varepsilon_0\mu_0\frac{|E_iE_j|}{|B_iB_j|}\sim\frac{v^2}{c^2}\ll1
\end{align}
なので電場のマクスウェルの応力テンソルの項は無視できるのでマクスウェルの応力テンソルは磁場のマクスウェルの応力テンソルのみを考えればよい.\ 
この応力テンソルの発散の\ $x$\ 成分を考える.\ 
\begin{align}
  (\nabla\cdot m_{ij})_x
  &=\DP{m_{xx}}{x}+\DP{m_{yx}}{y}+\DP{m_{zx}}{z} \notag \\
  &=\frac{1}{\mu_0}\biggl(\DP{{B}_x}{x}+\DP{{B}_y}{y}+\DP{{B}_z}{z}\biggr)E_x-\frac{1}{\mu_0}\biggl(\DP{{B}_y}{x}-\DP{{B}_y}{x}\biggr)E_y-\frac{1}{\mu_0}\biggl(\DP{{B}_x}{z}-\DP{{B}_z}{x}\biggr)E_z \notag \\
  &=-\frac{1}{\mu_0}(\bm{B}\times(\nabla\times\bm{B}))_x
\end{align}
したがって,物体に働く力は
\begin{align}
  \bm{F}_M=-\frac{1}{\mu_0}\bm{B}\times(\nabla\times\bm{B})=\bm{j}\times\bm{B}
\end{align}
ここで右辺への変形は外積の性質\ $\bm{A}\times\bm{B}=-\bm{B}\times\bm{A}$\ と式\ (\ref{ampe})\ を使った.\ 
このことは電磁場が物体に対して加える力はローレンツ力のみであることを示す.\ 
ここでローレンツ力を式\ (\ref{ampe})\ を使って展開する.\ 
\begin{align}
  \bm{j}\times\bm{B}
  &=\frac{1}{\mu_0}(\nabla\times\bm{B})\times\bm{B}=\frac{1}{\mu}\biggl(-\frac{1}{2}\nabla|\bm{B}|^2+(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{B}\biggr) \notag \\
  &=-\nabla\biggl(\frac{|\bm{B}|^2}{2\mu_0}\biggr)+\frac{1}{\mu_0}(\bm{B}\cdot\nabla)\bm{B}
\end{align}
$|\bm{B}|^2/2\mu_0$\ は磁場圧力と呼ばれる項で保存力である.\ 
そして右辺第\ $2$\ 項は磁気張力であり,\ 運動による物体の運動による磁力線の伸びを表す.\ 
\subsection{エネルギー方程式}
これまでの議論の結果をつかってエネルギーを求めることにする.\ 
誘導の式\ (\ref{Yudo})\ と\ $\bm{B}/\mu_0$\ の内積をとると,\ 
\begin{align}
  \frac{\bm{B}}{\mu_0}\cdot\DP{\bm{B}}{t}=\frac{\bm{B}}{\mu_0}\cdot\nabla\times(\bm{v}\times\bm{B})-\frac{\bm{B}}{\mu_0}\cdot\nabla\times(\eta\nabla\times\bm{B})
\end{align}
となる.\ 
各項はそれぞれ
\begin{align}
  \frac{\bm{B}}{\mu_0}\cdot\DP{\bm{B}}{t}&=\DP{}{t}\biggl(\frac{|\bm{B}|^2}{2\mu_0}\biggr)\\
\end{align}
\begin{align}
  \label{yudocdot2}
  \frac{\bm{B}}{\mu_0}\cdot\nabla\times(\bm{v}\times\bm{B})
  &=\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot\biggl((\bm{v}\times\bm{B})\times\bm{B}\biggr)+\frac{1}{\mu_0}(\bm{v}\times\bm{B})\cdot\nabla\times\bm{B} \notag \\
  &=\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot\biggl((\bm{v}\times\bm{B})\times\bm{B}\biggr)+(\bm{v}\times\bm{B})\cdot\bm{j} \notag \\
  &=\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot\biggl((\bm{v}\times\bm{B})\times\bm{B}\biggr)-\bm{v}\cdot(\bm{j}\times\bm{B}) \\
  \label{yudocdot3}
  -\frac{\bm{B}}{\mu_0}\cdot\nabla\times(\eta\nabla\times\bm{B})=
  &=\nabla\cdot\biggl(\frac{\eta}{\mu_0}\bm{B}\times(\nabla\times\bm{B})\biggr)-(\nabla\times\bm{B})\cdot\biggl(\frac{\eta}{\mu}\nabla\times\bm{B}\biggr) \notag \\
  &= \nabla\cdot(\eta\bm{B}\times\bm{j})-\frac{|\bm{j}|^2}{\sigma}
\end{align}
ただし式\ (\ref{yudocdot2}),(\ref{yudocdot3})\ には$\nabla\cdot(\bm{A}\times \bm{B})=\bm{B}\cdot(\nabla\cdot \bm{A})-\bm{A}\cdot(\nabla\cdot \bm{B})$\ とソレノイド条件,\ 式\ (\ref{ampe})\ を使った.\ 
したがって,\ 単位時間当たりの磁場圧力の変化は
\begin{align}
  \label{ene}
  \DP{}{t}\biggl(\frac{|\bm{B}|^2}{2\mu_0}\biggr)=\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot\biggl((\bm{v}\times\bm{B})\times\bm{B}\biggr)-\bm{v}\cdot(\bm{j}\times\bm{B})+\nabla\cdot(\eta\bm{B}\times\bm{j})-\frac{|\bm{j}|^2}{\sigma}
\end{align} 
ここで右辺第\ $1$\ 項をオームの法則\ $\bm{j}=\sigma(\bm{E}+\bm{v}\times\bm{B})$\ を使って,\ 変形する.\ 
\begin{align}
  \frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot\biggl((\bm{v}\times\bm{B})\times\bm{B}\biggr)
  &=\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot\biggl((\frac{j}{\sigma}-\bm{E})\times\bm{B}\biggr) \notag \\
  &=\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\bm{B}\times\bm{E})-\nabla\cdot(\eta\bm{B}\times\bm{j})
\end{align}
したがって右辺第\ $2$\ 項は式\ (\ref{ene})\ の右辺第\ $3$\ 項と打ち消される.\ 
よって磁場のエネルギーの式は次のように表される.\ 
\begin{align}
  \DP{}{t}\biggl(\frac{|\bm{B}|^2}{2\mu_0}\biggr)=\frac{1}{\mu_0}\nabla\cdot(\bm{B}\times\bm{E})-\bm{v}\cdot(\bm{j}\times\bm{B})-\frac{|\bm{j}|^2}{\sigma}
\end{align}
右辺第\ $1$\ 項の\ $\bm{E}\times\bm{B}/\mu_0$\ は系への単位時間当たり単位体積当たりのエネルギーの減少でありポインティングベクトルと呼ばれている.\ 
つぎに右辺第\ $2$\ 項はローレンツ力の仕事である.\ 
そして右辺第\ $3$\ 項はでんジカ熱にいるエネルギーの散逸を表し,\ オーム加熱と呼ばれている.\ 
電磁場と物体からなる系から熱を外部へ放出しているので符号はマイナスである,\ 地球の核ではこの熱は流体を暖めるため,\ 流体の式に対しては異符号として扱う.\  
定常な場合を考えるときポインティングベクトルの仕事はゼロとなるため,\ ローレンツ力の仕事とオーム加熱は等しくなる.\ 
\section{ブシネスク近似}
ブシネスク近似とは圧縮性がある主に気体のような流体を次の条件が満たされるとき非圧縮性の流体,\ すなわち液体のように扱うことである.\ 
ブシネスク近似が可能な流体の条件とは次の\ $2$\ つである.\ 
\begin{itemize}
  \item 流速が音速よりはるかに小さい
  \item 流体粒子が上下に動く距離が小さい
\end{itemize}
一つ目の条件については流体の運動方程式\ (\ref{ryu3})\ におけるコリオリ力の項と圧力勾配力が同程度の大きさと仮定した時の圧力と,\ 静力学平衡のときの圧力を比較することで流体による圧力変化が小さいことを示すことによって達成される.\ 
具体的には地球の角速度\ $\Omega\approx7.3\times10^{-5}\ \rm{/s}$,流速\ $v\approx10^{-2} \rm{m\ s^{-1}}$,外核の密度\ $\rho\approx10^4 \rm{kg\ m^{-3}}$,\ として圧力勾配\ $|\nabla p|\approx p/r_{core}$\ と近似できると,\ 流体による圧力は\ $p\approx10^4\ \rm{Pa}$\ となる.\ 
一方,\ 静力学平衡の圧力は$p\approx \rho g r_{core}$であるので\ $2$\ つの圧力は\ $10^5$\ ほど大きさが異なる. 
このため一つ目の条件は地球外核で満たされる.\ 
次に二つ目の条件は外核は液体鉄であるがここでは大気力学のスケールハイトを援用して.\ 典型的な流体粒子の上下に運動する距離が小さいことを示す.\ 
スケールハイトは
\begin{align}
  H=\frac{RT}{g}
\end{align}
で与えられ,$T\approx3000\ \rm{K}$\ として概算するとスケールハイトは\ $90\ \rm{km}$\ であり,\ この条件も満たしている.\ 
したがってここからは外核を非圧縮流体として扱う.\ 

さらに流体力学の式を静水圧平衡,\ 断熱平衡,\ とそこから線形化したしたものと考える.\ つまり次のように書ける.\ 
\begin{align}
  p=p_0+p_1,\quad T=T_0+T_1, \quad \rho=\rho_0+\rho_1, \quad S=S_0+S_1
\end{align}
ここで下付き文字ゼロは基本状態つまり,\ 静水圧平衡の圧力,\ 断熱温度,\ 平均密度,\ 平均エントロピーである.\ 
\subsubsection{質量保存の式}
非圧縮流体に対して質量保存の式\ (\ref{rho})\ を考える.\ 
\begin{align}
  \DP{}{t}(\rho_0+\rho_1)+\nabla\cdot((\rho_0+\rho_1)\bm{v})=\DP{\rho_1}{t}+\nabla\cdot(\rho_0\bm{v})
\end{align}
右辺第\ $1$\ 項はそもそも\ $\rho_1\ll\rho_0$\ であるので無視でき,\ $\rho_0$\ は定数であることから
\begin{align}
  \label{hia}
  \nabla\cdot\bm{v}=0
\end{align}
となる.\ これは非発散の式であり,\ 非圧縮流体の特徴を示す\ $1$\ つの式である.\ 
\subsubsection{流体力学の式}
流体力学の運動方程式\ (\ref{ryu3})\ は微小な項と,\ 力学平衡な項を取り除くと次のようになる.\ 
\begin{align}
  \label{ryup}
  \DP{\bm{v}}{t}+(\bm{v}\cdot\nabla)\bm{v}+2\bm{\Omega}\times\bm{v}
  &=-\frac{1}{2}\nabla((\bm{\Omega}\times\bm{x})^2)-\nabla p_1+\frac{\rho_1}{\rho_0}g_0+g_1+\nu\nabla^2\bm{v}+\frac{\bm{f}_b}{\rho_0} \notag \\
  &=-\nabla\hat{\omega}+\frac{\rho_1}{\rho_0}g_0+g_1+\nu\nabla^2\bm{v}+\frac{\bm{f}_b}{\rho_0}
\end{align}
式\ (\ref{ryup}),\ 式\ (\ref{tem})\ 式\ (\ref{hia})\ の三本を持ってブシネスク近似での流体力学の式である.\ 

%\end{document}
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%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

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