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%% \begin{document}
\chapter{議論}    % 章の始めからの場合はこのコマンドを使用する
\markright{第\arabic{chapter}章 議論}
\begin{comment}
\section{表皮効果}
固体導電性物質は半空間\ $z>0$\ では磁気拡散定数\ $\eta=1/\mu_0\sigma$\ で一定で均一な導体で満たされ,$z<0$\ では変動磁場
\begin{align}
    \bm{B}=(B_0\cos\omega t,0,0)
\end{align}
が存在すると仮定する.\ 
($B_0,\omega$\ は定数である.)\ 
この時誘導の式\ (\ref{Yudo})\ が\ $\bm{v}=0$\ の場合と考えられるので,\ 
\begin{align}%
    \DP{\bm{B}}{t}=\eta\nabla^2\bm{B}
\end{align}
となり,\ 変動磁場から導体に誘導される磁場は
\begin{align}
    \bm{B}=\biggl(B_0e^{-z/\delta}\cos\biggl(t-\frac{z}{\delta}\biggr),0,0\biggr)
\end{align}
となる.ただし\ $\delta=(2\mu_0/\omega)^{1/2}$\ である.\ 
磁場と式\ (\ref{HassanDenryu})\ で求まる電流は\ $z$\ は導体に近づくに連れて指数関数的に振幅が減少する.\ 
このとき\ $\delta$\ は導体表面を覆う薄い層で,\ 電磁表皮と呼ばれている.\ 
また\ $\delta$\ の値自体を表皮深さと呼ぶ.\ 
地球外核では


\ $3$\ 章の結果に基づき回転し円筒系について考察する.%推敲の必要ありつまりいいたいことはgeomagのch3
\section{\ $\omega$\ -効果}
\end{comment}
\section{スケーリング}
はじめに誘導の式\ (\ref{Yudo})\ を磁気拡散時間\ $Vr_{core}/\eta$\ と\ $r_{core}$\ でスケーリングすると,(ただし\ $V$\ は典型的な速度である.) 
\begin{align}
\DP{\bm{B}}{t}=R_m\nabla\times(\bm{v}\times\bm{B})+\nabla^2\bm{B}
\end{align}
となる.\ $R_m=Vr_{core}/\eta$\ は磁気レイノルズ数である.\ この無次元数は熱拡散に対する誘導のサイズを表している.\ 
地球外核ではこの値は\ $200$\ 程度である.\ 

次に温度方程式はブシネスク近似で圧力の時間微分が無視でき,$C_p$\ を定数とすることで
\begin{align}
    \dot{\theta}+\bm{v}\cdot\nabla\theta=\kappa\nabla^2\theta+\frac{\varepsilon}{\rho C_p}
\end{align}
ここで\ $\theta$\ は温度であり,$\kappa$\ は熱拡散定数である.\ 

この温度方程式を熱拡散時間\ $r^2_{core}/\kappa$\ と典型的な速度と温度\ $V,\quad\theta_0$\ でスケーリングすると
\begin{align}
    \dot{\theta}+P_e\bm{v}\cdot\nabla\theta=\nabla^2\theta+\varepsilon
\end{align}
となり,$P_e$\ はペクレ数である.\ この無次元数は熱拡散に対する熱対流のサイズを表している.\ 
地球外核ではおおよそ\ $3\times10^7$\ である.\ 
そしてペクレ数に対する磁気レイノルズ数の比は拡散比率ということができる\footnote{この比には名前がない}.\ 


%\end{document}                  
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%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

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