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\markright{付録} %  節の題名を書き込むこと
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\chapter*{付録A Legendre 多項式}
\addcontentsline{toc}{chapter}{付録A Legendre 多項式}
\def\theequation{A.\arabic{equation}}
関数 $f(t) = (1-2xt+t^2)^{-1/2}$
の Maclaurin 展開
\begin{equation}
	\frac{1}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} P_n(x)t^n
	\label{eq:A.1}
\end{equation}
を満たす $P_n(x)$を Legendre 多項式という.
Legendre 多項式にはいくつかの表現があり, その一つが Rodrigues の公式
\begin{equation}
	P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \dv[n]{x} (x^n-1)^n
	\label{eq:A.2}
\end{equation}
である.
(\ref{eq:A.2}) に二項定理を用いると, 
\begin{equation}
	P_n(x) = \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^{[n/2]} \frac{(-1)^k(2n-2k)!}{k!(n-k)!(n-2k)!} x^{n-2k}
	\label{eq:A.3}
\end{equation}
が得られる.
また Legendre 多項式は, Legendre 方程式
\begin{equation}
	(1-x^2)\dv[2]{P_n(x)}{x} -2x \dv{P_n(x)}{x} + n(n+1) P_n(x) = 0
	\label{eq:A.4}
\end{equation}
を満たす.

Legendre 多項式の重要な性質の一つとして, 直交性
\begin{equation}
	\int_{-1}^1 P_n(x) P_m(x) \dd{x} =
	\left\{
	\begin{array}{cl}
		0 &(n \neq m) \\
		\frac{2}{2n+1} &(n = m)
	\end{array}
	\right.
	\label{eq:A.4}
\end{equation}
がある.
この性質を用いて (\ref{eq:3.15}), (\ref{eq:3.35}) が導出される.

\chapter*{付録B 球面調和関数の加法定理と (3.13) の導出}
\addcontentsline{toc}{chapter}{付録B 球面調和関数の加法定理と (3.13) の導出}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{B.\arabic{equation}}
まずは, 球面調和関数
\begin{subequations}
	\begin{align}
	Y_l^m(\theta,\phi) &= (-1)^m \qty[\frac{(2l+1)(l-m)!}{4\pi(l+m)!}]^{1/2} P_l^m(\cos{\theta}) \mathrm{e}^{im\phi}
	\label{eq:B.1a}
	\\
	\overline{Y_l^m(\theta,\phi)} &= (-1)^m Y_l^{-m}(\theta,\phi)
	\label{eq:B.1b}
	\end{align}
\end{subequations}
を用いて球面調和関数の加法定理
\begin{equation}
	Y_l^0(0)Y_l^0(\Theta) = \sum_{m=-l}^l \overline{Y_l^m(\theta',\phi')} Y_l^{m}(\theta,\phi)
	\label{eq:B.2}
\end{equation}
を導出する.
まず, Laplace 方程式 $\laplacian u=0$ の解 $u(r,\theta.\phi)$ を変数分離し, 
\begin{equation}
	u(r,\theta,\phi) = R(r) f(\theta, \phi)
	\label{eq:B.3}
\end{equation}
と表す.
$f(\theta, \phi)$は球面調和関数を用いて
\begin{equation}
	f(\theta, \phi) = \sum_{l=0}^{\infty} \sum_{m=-l}^{l} A_l^m Y_l^m(\theta,\phi)
	\label{eq:B.4}
\end{equation}
と展開できる.
ここで $A_l^m$ は展開係数であり, 球面調和関数の直交性により
\begin{equation}
	A_l^m = \int_{0}^{\pi} \int_0^{2\pi} \sin{\theta'} f(\theta',\phi') \overline{Y_l^m(\theta',\phi')} \dd{\phi'} \dd{\theta'}
	\label{eq:B.5}
\end{equation}
と表される.
また, $z$ 軸 (天頂角が 0 となる軸) は任意の方向に定められるので, ($\theta$, $\phi$) 方向に $z$ 軸をとると
\begin{equation}
	f(\theta, \phi) = \sum_{l=0}^{\infty}  B_l^0 Y_l^0(0)
	\label{eq:B.6}
\end{equation}
ここで, $Y_l^m(0, \phi) = 0$ $(m \neq 0)$ であることを用いた.
また $m=0$ のとき, 球面調和関数は方位角に依らないことから第二引数を省略している.
$B_l^0$ は (\ref{eq:B.5}) と同様にして
\begin{equation}
	B_l^0 = \int_{0}^{\pi} \int_0^{2\pi} \sin{\theta'} f(\theta',\phi') \overline{Y_l^0(\Theta)} \dd{\phi'} \dd{\theta'}
	\label{eq:B.7}
\end{equation}
と表される.
(\ref{eq:B.4}) に (\ref{eq:B.5}), (\ref{eq:B.6}) に (\ref{eq:B.7}) をそれぞれ代入して連立させると
\begin{equation}
	\begin{split}
		\sum_{l=0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} \int_0^{2\pi} \sin{\theta'} f(\theta',\phi') \sum_{m=-l}^{l} \overline{Y_l^m(\theta',\phi')} Y_l^m(\theta,\phi) \dd{\phi'} \dd{\theta'}
		\\= \sum_{l=0}^{\infty} \int_{0}^{\pi} \int_0^{2\pi} \sin{\theta'} f(\theta',\phi') \overline{Y_l^0(\Theta)} Y_l^0(0) \dd{\phi'} \dd{\theta'}
	\end{split}
	\label{eq:B.8}
\end{equation}
となる.
これが任意の $f(\theta,\phi)$ で成り立つことから, $Y_l^0(\Theta) = \overline{Y_l^0(\Theta)}$ を用いて加法定理 (\ref{eq:B.2}) が導出される.

続いて加法定理 (\ref{eq:B.2}) から (\ref{eq:3.13}) を導出する.
(\ref{eq:B.2}) に (\ref{eq:B.1a}), (\ref{eq:B.1b}) を代入すると,
\begin{equation}
	\qty(\frac{2l+1}{4\pi})P_l(\cos\Theta) = \sum_{m=-l}^l \qty(\frac{2l+1}{4\pi}) (-1)^m P_n^{-m}(\mu') P_n^m(\mu) \mathrm{e}^{im(\phi-\phi')}
	\label{eq:B.9}
\end{equation}
ここで $P_l^0(x)=P_l(x)=1$, $\mu=\cos{\theta}$, $\mu'=\cos{\theta'}$ を用いた.
\begin{equation}
	P_n^{-m} = (-1)^m \frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_n^m
	\label{eq:B.10}
\end{equation}
であることを用いて, $m<0$, $m>0$ の場合について
\begin{equation}
	\sum_{m=0}^l (-1)^m P_n^{-m}(\mu') P_n^m(\mu) \mathrm{e}^{im(\phi-\phi')} = \sum_{m=0}^l \frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_n^m(\mu') P_n^m(\mu) \mathrm{e}^{im(\phi-\phi')}
	\label{eq:B.11}
\end{equation}
\begin{equation}
	\begin{split}
		\sum_{m=-l}^{0} (-1)^m P_n^{-m}(\mu') P_n^m(\mu) \mathrm{e}^{im(\phi-\phi')}
		&= \sum_{m=-l}^{0} \frac{(n+m)!}{(n-m)!} P_n^{-m}(\mu') P_n^{-m}(\mu) \mathrm{e}^{im(\phi-\phi')}
		\\&= \sum_{m=0}^l \frac{(n-m)!}{(n+m)!} P_n^m(\mu') P_n^m(\mu) \mathrm{e}^{im(\phi-\phi')}
	\end{split}
	\label{eq:B.12}
\end{equation}
であり, また $m=0$ のとき
\begin{equation}
	P_n^{0}(\mu') P_n^0(\mu) \mathrm{e}^{i\cdot0\cdot(\phi-\phi')}  = P_n(\mu') P_n(\mu)
	\label{eq:B.13}
\end{equation}
であることを用いると, (\ref{eq:B.9}) から (\ref{eq:3.13}) が導出される.

\chapter*{付録C (3.37a), (3.37b) の導出}
\addcontentsline{toc}{chapter}{付録C (3.37a), (3.37b) の導出}
\setcounter{equation}{0}
\def\theequation{C.\arabic{equation}}
二流方程式
\begin{subequations}
	\def\theequation{C.1\alph{equation}}
	\begin{align}
		\dv{F^+}{\tau} &= \gamma_1 F^+ - \gamma_2 F^- - S^+(\tau)
		\label{eq:C.1a}
		\\
		\dv{F^-}{\tau} &= \gamma_2 F^+ - \gamma_1 F^- + S^-(\tau)
		\label{eq:C.1b}
	\end{align}
\end{subequations}
\begin{subequations}
	\def\theequation{C.2\alph{equation}}
	\begin{align}
		S^+(\tau) = \pi F_s \tilde{\omega} \gamma_3 \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
		\label{eq:C.2a}
		\\
		S^-(\tau) = \pi F_s \tilde{\omega} \gamma_4 \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
		\label{eq:C.2b}
	\end{align}
\end{subequations}
から放射フラックスの方程式 (\ref{eq:3.37a}), (\ref{eq:3.37b}) を導出する.
(\ref{eq:C.1a}) を $\tau$ で微分すると
\begin{equation}
	\dv[2]{F^+(\tau)}{\tau} = \gamma_1 \dv{F^+(\tau)}{\tau} - \gamma_2 \dv{F^-(\tau)}{\tau} - \dv{S^+(\tau)}{\tau}
	\label{eq:C.3}
\end{equation}
となる.
これに (\ref{eq:C.1a}), (\ref{eq:C.1b}) を代入すると,
\begin{equation}
	\dv[2]{F^+(\tau)}{\tau} = (\gamma_1^2 - \gamma_2^2) F^+(\tau) - (\gamma_1-1/\mu_0) S^+(\tau) - \gamma_2 S^-(\tau)
	\label{eq:C.4}
\end{equation}
ここで, $\lambda^2 = \gamma_1^2 - \gamma_2^2$ と置き, (\ref{eq:C.2a}), (\ref{eq:C.2b}) を代入すると,
\begin{equation}
	\dv[2]{F^+(\tau)}{\tau} = \lambda^2 F^+(\tau) - [(\gamma_1-1/\mu_0)\gamma_3+\gamma_2\gamma_4] \pi F_s \tilde{\omega} \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
	\label{eq:C.5}
\end{equation}
となり, 二階微分方程式に帰着する.
斉次方程式
\begin{equation}
	\dv[2]{F^+(\tau)}{\tau} = \lambda^2 F^+(\tau)
	\label{eq:C.6}
\end{equation}
の一般解は
\begin{equation}
	F^+(\tau) = k_1^+ \mathrm{e}^{\lambda\tau} +  k_2^+ \mathrm{e}^{-\lambda\tau}
	\label{eq:C.7}
\end{equation}
である.
また (\ref{eq:C.5}) の特解を
\begin{equation}
	F^+(\tau) = \Phi^+ \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}
	\label{eq:C.8}
\end{equation}
と仮定し, (\ref{eq:C.5}) に代入すると,
\begin{equation}
	\Phi^+ = \frac{\pi F_s \tilde{\omega} [(\gamma_1-1/\mu_0)\gamma_3+\gamma_2\gamma_4]}{\lambda^2-1/\mu_0^2}
	\label{eq:C.9}
\end{equation}
(\ref{eq:C.7}), (\ref{eq:C.9}) より,
\begin{subequations}
	\def\theequation{C.10\alph{equation}}
	\begin{align}
		F^+(\tau) &= k_1^+ \mathrm{e}^{\lambda\tau} + k_2^+ \mathrm{e}^{-\lambda\tau} +C^+(\tau)
		\label{eq:C.10a}
		\\
		C^+(\tau) &= \frac{\pi F_s \tilde{\omega} \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}[(\gamma_1-1/\mu_0)\gamma_3+\gamma_2\gamma_4]}{\lambda^2-1/\mu_0^2}
		\label{eq:C.10b}
	\end{align}
\end{subequations}
となる.

(\ref{eq:C.1b}) についても同様にして二階微分方程式を作ると, その一般解は
\begin{subequations}
	\def\theequation{C.11\alph{equation}}
	\begin{align}
		F^-(\tau) &= k_1^- \mathrm{e}^{\lambda\tau} + k_2^- \mathrm{e}^{-\lambda\tau} +C^-(\tau)
		\label{eq:C.11a}
		\\
		C^-(\tau) &= \frac{\pi F_s \tilde{\omega} \mathrm{e}^{-\tau/\mu_0}[(\gamma_1+1/\mu_0)\gamma_4+\gamma_2\gamma_3]}{\lambda^2-1/\mu_0^2}
		\label{eq:C.11b}
	\end{align}
\end{subequations}
である.
(\ref{eq:C.1a}) に (\ref{eq:C.10a}), (\ref{eq:C.11a}) を代入して係数を比較すると, 
\begin{subequations}
	\def\theequation{C.12\alph{equation}}
	\begin{align}
		k_1^- &= \frac{\gamma_1-\lambda}{\gamma_2} k_1^+
		\label{eq:C.12a}
		\\
		k_2^+ &= \frac{\gamma_2}{\gamma_1+\lambda} k_2^-
		\label{eq:C.12b}
	\end{align}
\end{subequations}
が成り立つ.
$\Gamma = \gamma_2/(\gamma_1+\lambda) = (\gamma_1-\lambda)/\gamma_2$, $k_1=k_1^+$, $k_2=k_2^-$ とおくと,
\begin{subequations}
	\def\theequation{C.13\alph{equation}}
	\begin{align}
		F^+(\tau) = k_1 \mathrm{e}^{\lambda\tau} + \Gamma k_2 \mathrm{e}^{-\lambda\tau} +C^+(\tau)
		\label{eq:C.13a}
		\\
		F^-(\tau) = \Gamma k_1 \mathrm{e}^{\lambda\tau} + k_2 \mathrm{e}^{-\lambda\tau} +C^-(\tau)
		\label{eq:C.13b}
	\end{align}
\end{subequations}
となり, (\ref{eq:3.37a}), (\ref{eq:3.37b}) が導出された.


% ここで本文おしまい
%\end{document}
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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%%%%%%%%              Sample                    %%%%%%%%

%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
