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\chapter{放射に関する基本的知識}
\markright{第\arabic{chapter}章 放射に関する基本的知識} %  節の題名を書き込むこと
% ここから本文を書く

計算式の導出に向けて, 本章では放射に関する基礎知識を説明する.

\section{放射フラックスと放射輝度}
ある基準面の単位面積を通る, 単位時間あたりの放射エネルギーを\textbf{放射フラックス}という.
今回は任意の周波数について考えるため, 単位周波数あたりの放射フラックス $F_{\nu}$ を用いる.

また, 単位立体角 $\dd{\Omega}=\sin{\theta}\dd{\theta}\dd{\phi}$ を通る放射フラックスを\textbf{放射輝度}といい, $I_{\nu}$ と表す.
ここで $\theta$ は天頂角, $\phi$ は方位角である.
放射フラックスと放射輝度の間には次の関係が成り立つ.
\begin{equation}
	F_{\nu} = \int_0^1 \int_0^{2\pi} \mu I_\nu \dd{\phi} \dd{\mu}.
	\label{eq:2.1}
\end{equation}
ここで $\mu \equiv \cos{\theta}$ と定義している.
今後は式を見やすくするため, $\theta$ の代わりに $\mu$ を用いることにする.

\section{散乱位相関数と単一散乱アルベド}
$(\mu',\phi')$ 方向の入射光が $(\mu,\phi)$ 方向に散乱される確率を表す関数を\textbf{散乱位相関数}といい, $p_{\nu}(\mu,\phi;\mu',\phi')$ と表される.
ここで $\Theta$ は入射光と散乱光が成す角である.
散乱位相関数は規格化条件
\begin{equation}
	\int_{-1}^1 \int_0^{2\pi} {p_{\nu}(\mu,\phi;\mu',\phi')} \dd{\phi} \dd{\mu} = 4\pi
	\label{eq:2.2}
\end{equation}
を満たす.

また, 放射エネルギーの消散率に対する散乱率の比を\textbf{単一散乱アルベド}といい, 
\begin{equation}
	\varpi_{\nu} \equiv \frac{\beta_{s\nu}}{\beta_{e\nu}} = \frac{\beta_{s\nu}}{\beta_{a\nu}+\beta_{s\nu}}
	\label{eq:2.3}
\end{equation}
と定義される.
ここで $\beta_{e\nu}$, $\beta_{a\nu}$, $\beta_{s\nu}$ をそれぞれ消散係数, 吸収係数, 散乱係数といい, これらは放射エネルギーの消散率, 吸収率, 散乱率を示す.
この三つの係数には $\beta_{e\nu}=\beta_{a\nu}+\beta_{s\nu}$ の関係が成り立つ.

\section{光学的深さ}
媒体中に任意の幾何学距離 $s$ を取ると, 光学的距離は
\begin{equation}
	\tau \equiv \int_s \beta_{e\nu} \dd{s}
	\label{eq:2.4}
\end{equation}
と定義される.
(\ref{eq:2.4}) を微分の形で書くと
\begin{equation}
	\dd{\tau} = \beta_{e\nu} \dd{s}
	\label{eq:2.5}
\end{equation}
となる.

本研究では $\tau$ を大気上端からの鉛直方向の光学的距離である, \textbf{光学的深さ}で定義する.
(\ref{eq:2.5}) より, 光学的深さ $\tau$ は地表からの高さ $z$ を用いて
\begin{equation}
	\dd{\tau} = - \beta_{e\nu} \dd{z}
	\label{eq:2.6}
\end{equation}
と表される.

\section{放射伝達方程式}
\subsection{放射伝達方程式の基本形}
放射伝達方程式とは, 放射の吸収, 散乱, あるいは射出といった媒体との相互作用による放射エネルギーの変化を表す方程式である.
放射伝達方程式の基本形は
\begin{equation}
	\frac{\dd{I_{\nu}}}{k_{e\nu} \rho \dd{s}} = - I_{\nu} + J_{\nu}
	\label{eq:2.7}
\end{equation}
である.
ここで $J_{\nu}$ は放射源関数であり, 放射エネルギーの増加を示す.
また, $k_{e\nu}$ は質量消散係数であり, 
\begin{equation}
	\beta_{e\nu} = k_{e\nu} \rho
	\label{eq:2.8}
\end{equation}
を満たす.

\subsection{放射伝達方程式の導出}
微小距離 $\dd{s}$ を進む放射について, 図 \ref{fig:2.1} のような放射伝達過程を考える.
消散による放射輝度の減少は
\begin{equation}
	\begin{split}
		\dd{I_{\nu}} &= - \beta_{e\nu} I_{\nu} \dd{s}
		\\&= - k_{e\nu} \rho I_{\nu} \dd{s}
	\end{split}
	\label{eq:2.9}
\end{equation}
と表される.
また, 散乱や媒体の射出による放射輝度の増加は
\begin{equation}
	\dd{I_{\nu}} = j_{\nu} \rho \dd{s}
	\label{eq:2.10}
\end{equation}
と表される.
ここで $j_{\nu}$ は質量射出係数である.
(\ref{eq:2.9}), (\ref{eq:2.10}) をまとめて
\begin{equation}
	\dd{I_{\nu}} = - k_{e\nu} \rho I_{\nu} \dd{s} + j_{\nu} \rho \dd{s}
	\label{eq:2.11}
\end{equation}
と書くことができ, 両辺を $k_{e\nu} \rho$ で割ると放射伝達方程式 (\ref{eq:2.7}) が得られる.
ここで放射源関数を
\begin{equation}
	J_{\nu} \equiv \frac{j_{\nu}}{k_{e\nu}}
	\label{eq:2.12}
\end{equation}
と定義している.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{figs/fig2_1.png}
    \caption{
      放射伝達の概念図.
    }
    \label{fig:2.1}
  \end{center}
\end{figure}

\subsection{平行平面大気の放射伝達方程式}
平行平面大気とは, 光学的特性が水平方向に一様な大気のことである.
本研究では平行平面大気を仮定し, 水平方向の変化を考えない.

図 \ref{fig:2.2} より, 
\begin{equation}
	\begin{split}
		\dd{z} &= \cos{\theta} \dd{s}
		\\&= \mu \dd{s}
	\end{split}
	\label{eq:2.13}
\end{equation}
が成り立つ.
従って, 放射伝達方程式 (\ref{eq:2.7}) は
\begin{equation}
	\mu \frac{\dd{I_{\nu}(z)}}{k_{e\nu} \rho \dd{z}} = - I_{\nu}(z) + J_{\nu}(z)
	\label{eq:2.14}
\end{equation}
となる.
さらに (\ref{eq:2.4}), (\ref{eq:2.8}) より, (\ref{eq:2.14}) を光学的深さ $\tau$ を用いた形
\begin{equation}
	\mu \frac{\dd{I_{\nu}(\tau)}}{\dd{\tau}} = I_{\nu}(\tau) - J_{\nu}(\tau)
	\label{eq:2.15}
\end{equation}
で表すことができる.

\begin{figure}[htbp]
  \begin{center}
    \includegraphics[width=10cm]{figs/fig2_2.png}
    \caption{
      放射の方向の微小距離 $\dd{s}$ と 微小高さ $\dd{z}$  の関係図.
    }
    \label{fig:2.2}
  \end{center}
\end{figure}

% ここで本文おしまい
%\end{document}                  
%%%%%%%%              Text End                  %%%%%%%%
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%\begin{figure}[h]
%  \begin{center}
%    \includegraphics[width=10cm]{fig6_2.PNG}
%    \caption{\footnotesize{}}
%  \end{center}
%\end{figure}

%extractbb ***.PNG
